Войти
В математике, аксиома Смейла A определяет класс динамических систем, которые были широко изучены и динамика которых относительно хорошо изучена. Ярким примером является карта подковы Смейла. Термин «аксиома А» происходит от Стивена Смейла. Важность таких систем демонстрируется в том, что «для всех практических целей» многие тела аппроксимируются системой Аносова.
Пусть M будет гладким многообразием с диффеоморфизмом f: M → М. Тогда f является аксиомой, диффеоморфизмом, если выполняются следующие два условия:
Для поверхностей гиперболичность неблуждающего множества подразумевает плотность периодические точки, но это уже не так в более высоких измерениях. Тем не менее, диффеоморфизмы аксиомы A иногда называют гиперболическими диффеоморфизмами, потому что часть M, где происходит интересная динамика, а именно Ω (f), демонстрирует гиперболическое поведение.
Аксиома A диффеоморфизмы обобщают системы Морса – Смейла, которые удовлетворяют дополнительным ограничениям (конечное число периодических точек и трансверсальность стабильных и неустойчивых подмногообразий). Отображение подковы Смейла является аксиомой. Диффеоморфизм с бесконечным числом периодических точек и положительной топологической энтропией.
Любой диффеоморфизм Аносова удовлетворяет аксиоме A. In в этом случае все многообразие M гиперболично (хотя вопрос о том, составляет ли неблуждающее множество Ω (f) все M, остается открытым).
Руфус Боуэн показал, что неблуждающее множество Ω (f) любой аксиомы A диффеоморфизма поддерживает марковское разбиение. Таким образом, ограничение f на некоторое общее подмножество Ω (f) сопряжено с сдвигом конечного типа.
. Плотность периодических точек в неблуждающем множестве подразумевает его локальную максимальность: существует открытая окрестность U области Ω (f) такая, что
Важное свойство систем Axiom A - их структурная устойчивость к малым возмущениям. То есть траектории возмущенной системы остаются в топологическом соответствии 1-1 с невозмущенной системой. Это свойство важно, поскольку оно показывает, что системы аксиомы A не являются исключительными, но в определенном смысле являются «надежными».
Точнее, для каждого C- возмущения fεфункции f его неблуждающее множество образовано двумя компактными, f ε -инвариантными подмножествами Ω 1 и Ω 2. Первое подмножество гомеоморфно Ω (f) посредством гомеоморфизма h, который сопрягает ограничение f на Ω (f) с ограничением f ε на Ω 1:
Если Ω 2 равно пусто, то h лежит на Ω (f ε). Если это так для любого возмущения f ε, то f называется омега-стабильным . Диффеоморфизм f является омега-стабильным тогда и только тогда, когда он удовлетворяет аксиоме A и условию отсутствия цикла (что орбита, однажды покинув инвариантное подмножество, не возвращается).
