Марковская перегородка

Марковской раздел является инструментом, используемым в динамических системах теории, позволяя методы символической динамики, которые будут применены к изучению гиперболической динамики. Используя марковское разбиение, можно сделать систему похожей на марковский процесс с дискретным временем, с долгосрочными динамическими характеристиками системы, представленными в виде марковского сдвига. Название «Марков» уместно, потому что результирующая динамика системы подчиняется марковскому свойству. Таким образом, марковское разделение позволяет применять стандартные методы символической динамики, включая вычисление математических ожиданий, корреляций, топологической энтропии, топологических дзета-функций, определителей Фредгольма и т.п.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Мотивация
• 2 Формальное определение
• 3 Примеры
• 4 ссылки

Мотивация

Позвольте быть дискретной динамической системой. Основной метод изучения его динамики - найти символическое представление: точное кодирование точек последовательностями символов, так что карта становится картой сдвига. ${\ Displaystyle (М, \ varphi)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ varphi}$

Предположим, что он был разделен на несколько частей, которые считаются такими же маленькими и локализованными, практически без перекрытия. Поведение точки при итерациях можно отслеживать путем записи для каждой части, которая содержит. Это приводит к бесконечной последовательности в алфавите, который кодирует точку. В общем, это кодирование может быть неточным (одна и та же последовательность может представлять много разных точек), и набор последовательностей, возникающих таким образом, может быть трудно описать. При определенных условиях, которые становятся явными в строгом определении марковского разбиения, привязка последовательности к точке становится почти взаимно однозначным отображением, образ которого является символической динамической системой особого вида, называемой сдвигом конечный тип. В этом случае символическое представление - мощный инструмент для исследования свойств динамической системы. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E_ {1}, E_ {2}, \ ldots, E_ {r}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle E_ {i}}$${\ Displaystyle \ varphi ^ {п} (х)}$${\ Displaystyle \ {1,2, \ ldots, г \}}$${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle (М, \ varphi)}$

Формальное определение

Маркова перегородка является конечным покрытием из инвариантного множества многообразия набора криволинейных прямоугольников таким образом, что ${\ Displaystyle \ {E_ {1}, E_ {2}, \ ldots, E_ {r} \}}$

• Для любой пары точек это ${\ displaystyle x, y \ in E_ {i}}$${\ displaystyle W_ {s} (x) \ cap W_ {u} (y) \ in E_ {i}}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {Int} E_ {i} \ cap \ operatorname {Int} E_ {j} = \ emptyset}$ для ${\ displaystyle i \ neq j}$
• Если и, то ${\ displaystyle x \ in \ operatorname {Int} E_ {i}}$${\ displaystyle \ varphi (x) \ in \ operatorname {Int} E_ {j}}$

${\ Displaystyle \ varphi \ left [W_ {u} (x) \ cap E_ {i} \ right] \ supset W_ {u} (\ varphi x) \ cap E_ {j}}$

${\ displaystyle \ varphi \ left [W_ {s} (x) \ cap E_ {i} \ right] \ subset W_ {s} (\ varphi x) \ cap E_ {j}}$

Здесь и являются нестабильными и устойчивые многообразия из х, соответственно, и просто обозначает внутренность. ${\ Displaystyle W_ {и} (х)}$${\ Displaystyle W_ {s} (х)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Int} E_ {i}}$${\ displaystyle E_ {i}}$

Эти последние два условия можно понимать как формулировку марковского свойства символической динамики; то есть движение траектории от одной открытой крышки к другой определяется только самой последней крышкой, а не историей системы. Именно это свойство покрытия заслуживает наименования «марковское». Результирующая динамика - это динамика марковского сдвига ; то, что это действительно так, объясняется теоремами Якова Синая (1968) и Руфуса Боуэна (1975), тем самым ставя символическую динамику на прочную основу.

Найдены варианты определения, соответствующие условиям на геометрию фигур. ${\ displaystyle E_ {i}}$

Примеры

Марковские перегородки были построены в нескольких ситуациях.

• Диффеоморфизмы на торе.
• Динамический биллиард, и в этом случае покрытие счетно.

Марковские разбиения позволяют легко описать гомоклинические и гетероклинические орбиты.

Система имеет марковское разбиение, и в этом случае символическим представлением действительного числа в является его двоичное разложение. Например:. Назначение точек их последовательностям в марковском разбиении хорошо определено, за исключением диадических рациональных чисел - морально говоря, это потому, что так же, как и в десятичных разложениях. ${\ Displaystyle ([0,1), х \ mapsto 2x \ mod \ 1)}$${\ Displaystyle E_ {0} = (0,1 / 2), E_ {1} = (1 / 2,1)}$${\ displaystyle [0,1)}$${\ displaystyle x \ in E_ {0}, Tx \ in E_ {1}, T ^ {2} x \ in E_ {1}, T ^ {3} x \ in E_ {1}, T ^ {4} x \ in E_ {0} \ Rightarrow x = (0,01110...) _ {2}}$${\ displaystyle [0,1)}$${\ displaystyle (0,01111 \ точек) _ {2} = (0,10000 \ точек) _ {2}}$${\ displaystyle 1 = 0,999 \ точек}$

Рекомендации

• Линд, Дуглас; Маркус, Брайан (1995). Введение в символическую динамику и кодирование. Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-55124-3. Zbl   1106.37301.
• Пифей Фогг, Н. (2002). Берте, Валери ; Ференци, Себастьян; Mauduit, Christian; Сигель, Энн (ред.). Подстановки в динамике, арифметике и комбинаторике. Конспект лекций по математике. 1794. Берлин: Springer-Verlag. ISBN   978-3-540-44141-0. Zbl   1014.11015.