Автоморфное число

В математике автоморфное число ( иногда упоминается как круговое число ) является натуральным числом в заданном числовом основании $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$квадрат "оканчивается" теми же цифрами, что и само число.

• 1 Определение и свойства
  • 1.1 Автоморфные числа в базе $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$
• 2 Расширения
  • 2.1 $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$-автоморфные числа
  • 2.2 Триморфные числа
• 3 Пример программирования
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Дана числовая база $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$, натуральное число $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$с $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$digits - это автоморфное число, если $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$является фиксированной точкой полиномиальной функции $f\; (x)\; =\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\}$более $Z\; /\; bk\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; b\; ^\; \{k\}\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$, кольцо из целых чисел по модулю $bk\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; ^\; \{k\}\}$. Поскольку обратный предел для $Z\; /\; bk\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; b\; ^\; \{k\}\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$равен $Z\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{b\}\}$, кольцо $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$-адических целых чисел, автоморфные числа используются для нахождения числовых представлений фиксированных точек $f\; (x)\; =\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\}$над $Z\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{b\}\}$.

Например, с $b\; =\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; 10\}$, есть четыре 10-адических фиксированных точки $f\; (x)\; =\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\}$, последние 10 цифр из которых не соответствуют

$\dots \; 0000000000\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 0000000000\}$

$\dots \; 0000000001\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 0000000001\}$

$\dots \; 8212890625\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 8212890625\}$(последовательность A018247 в OEIS )

$\dots \; 1787109376\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 1787109376\}$(последовательность A018248 в OEIS )

Таким образом, автоморфные числа в базе 10 являются 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 1821289010625, 817625890910 59918212890625,... (последовательность A003226 в OEIS ).

Фиксированная точка $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$- это ноль функции $g\; (x)\; знак\; равно\; е\; (х)\; -\; х\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\; =\; f\; (x)\; -x\}$. В кольце из целых чисел по модулю $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$ есть $2\; \omega \; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{\backslash \; omega\; (b)\}\; \}$обнуляется до $g\; (x)\; =\; x\; 2\; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\; -x\}$, где простое число функция омега $\omega \; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; (b)\}$- количество различных простых множителей в $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$. Элемент $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $Z\; /\; b\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; b\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$равен нулю из $g\; (x)\; =\; x\; 2\; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\; -x\}$тогда и только тогда, когда $x\; \equiv \; 0\; mod\; pvp\; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; Equiv\; 0\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\}\; ^\; \{v\_\; \{p\}\; (b)\}\}$или $x\; \equiv \; 1\; mod\; pvp\; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; bmod\; \{p\}\}\; ^\; \{v\_\; \{p\}\; (b)\}\}$для всех $p\; |\; х\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; |\; x\}$. Поскольку в $\{0,\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lbrace\; 0,1\; \backslash \; rbrace\}$есть два возможных значения, а также $\omega \; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; (b)\}$такой $p\; |\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; |\; x\}$, есть $2\; \omega \; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{\backslash \; omega\; (b)\}\}$нулей $g\; (x)\; =\; x\; 2\; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\; -x\}$, и, следовательно, имеется $2\; \omega \; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{\backslash \; omega\; (b)\}\}$фиксированные точки $f\; (x)\; =\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\}$. Согласно лемме Гензеля, если есть $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$нулей или фиксированных точек полиномиальной функции по модулю $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$, тогда существуют $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$соответствующие нули или фиксированные точки одной и той же функции по модулю любой степени $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$, и это остается верным в обратном пределе. Таким образом, в любом заданном основании $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$имеется $2\; \omega \; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{\backslash \; omega\; (b)\}\}$$b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$-адические фиксированные точки $f\; (x)\; =\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\}$.

Поскольку 0 всегда является нулем divisor, 0 и 1 всегда являются фиксированными точками $f\; (x)\; =\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\}$, а 0 и 1 автоморфны числа в каждой базе. Эти решения называются тривиальными автоморфными числами . Если $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$является степенью простого числа, тогда кольцо $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$- Адические числа не имеют делителей нуля, кроме 0, поэтому единственные фиксированные точки $f\; (x)\; =\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\}$равны 0 и 1. В результате нетривиальные автоморфные числа, отличные от 0 и 1, существуют только тогда, когда основание $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$имеет по крайней мере два различных простых фактора.

Автоморфные числа в базе $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$

Все $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$-адические числа представлены в базе $b\; \{\; \backslash \; displaystyle\; b\}$, используя A – Z для представления цифровых значений от 10 до 35.

$b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$	Простые множители $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$	Неподвижные точки в $Z\; /\; b\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; b\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$из $f\; (x)\; =\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\}$	$b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$-адические фиксированные точки $f\; (x)\; =\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\; \}$	Автоморфные числа в базе $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$
6	2, 3	0, 1, 3, 4	$\dots \; 0000000000\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 0000000000\}$ $\dots \; 0000000001\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 0000000001\}$ $\dots \; 2221350213\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 2221350213\}$ $\dots \; 3334205344\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 3334205344\}$	0, 1, 3, 4, 13, 44, 213, 344, 5344, 50213, 205344, 350213, 1350213, 4205344, 21350213, 34205344, 221350213, 334205344, 2221350213, 3334205344,...
10	2, 5	0, 1, 5, 6	$\dots \; 0000000000\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 0000000000\}$ $\dots \; 0000000001\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 0000000001\}$ $\dots \; 8212890625\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 8212890625\}$
12	2, 3	0, 1, 4, 9	$\dots \; 0000000000\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 0000000000\}$ $\dots \; 0000000001\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 0000000001\}$ $\dots \; 21\; B\; 61\; B\; 3854\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 21\; \{\backslash \; text\; \{B\}\}\; 61\; \{\backslash \; text\; \{B\}\}\; 3854\}$ $\dots \; 9\; A\; 05\; A\; 08369\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 9\; \{\backslash \; text\; \{A\}\}\; 05\; \{\backslash \; text\; \{A\}\}\; 08369\}$	0, 1, 4, 9, 54, 69, 369, 854, 3854, 8369, B3854, 1B3854, A08369, 5A08369, 61B3854, B61B3854, 1B61B3854, A05A08369, 21B61B3854, 9A05A08>2, 7	0, 1, 7, 8	$\dots \; 0000000000\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 0000000000\}$ $\dots \; 0000000001\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 0000000001\}$ $\dots \; 7337\; AA\; 0\; C\; 37\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 7337\; \{\backslash \; text\; \{A\}\}\; \{\backslash \; text\; \{A\}\}\; 0\; \{\backslash \; text\; \{C\}\; \}\; 37\}$ $\dots \; 6\; AA\; 633\; D\; 1\; A\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 6\; \{\backslash \; text\; \{A\}\}\; \{\backslash \; text\; \{A\}\}\; 633\; \{\backslash \; text\; \{D\}\}\; 1\; \{\backslash \; text\; \{A\}\}\; 8\}$	0, 1, 7, 8, 37, A8, 1A8, C37, D1A8, 3D1A8, A0C37, 33D1A8, AA0C37, 633D1A8, 7AA0C37, 37AA0C37, A633D1A8, 337AA0C37, AA633AA06A8
15	3, 5	0, 1, 6, 10	$\dots \; 0000000000\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 0000000000\}$ $\dots \; 0000000001\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 0000000001\}$ $\dots \; 624\; D\; 4\; BDA\; 86\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 624\; \{\backslash \; text\; \{D\}\}\; 4\; \{\backslash \; text\; \{B\}\}\; \{\backslash \; text\; \{D\}\}\; \{\backslash \; text\; \{A\}\}\; 86\}$ $\dots \; 8\; CA\; 1\; A\; 3146\; A\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 8\; \{\backslash \; text\; \{C\}\}\; \{\backslash \; text\; \{A\}\}\; 1\; \{\backslash \; text\; \{A\}\}\; 3146\; \{\backslash \; text\; \{A\}\}\}$	0, 1, 6, A, 6A, 86, 46A, A86, 146A, DA86, 3146A, BDA86, 4BDA86, A3146A, 1A3146A, D4BDA86, 4D4BDA86, A1A3146A, 24D4BDA86, CA1A3146A, 624D4BDA86, 8CA1A3146A,
18	288,
18	288,
18	2,...
18	1, 9, 10	... 000000 ... 000001 ... 4E1249 ... D3GFDA
20	2, 5	0, 1, 5, 16	... 000000 ... 000001 ... 1AB6B5 ... I98D8G
21	3, 7	0, 1, 7, 15	... 000000 ... 000001 ... 86H7G7 ... CE3D4F
22	2, 11	0, 1, 11, 12	... 000000 ... 000001 ... 8D185B ... D8KDGC
24	2, 3	0, 1, 9, 16	... 000000 ... 000001 ... E4D0L9 ... 9JAN2G
26	2, 13	0, 1, 13, 14	... 0000 ... 0001 ... 1G6D ... O9JE
28	2, 7	0, 1, 8, 21	... 0000 ... 0001 ... AAQ8 ...HH1L
30	2, 3, 5	0, 1, 6, 10, 15, 16, 21, 25	... 0000 ... 0001 ... B2J6 ... H13A ... 1Q7F ... S3MG ... CSQL ... IRAP
33	3, 11	0, 1, 12, 22	... 0000 ... 0001 ... 1KPM ... VC7C
34	2, 17	0, 1, 17, 18	... 0000 ... 0001 ... 248H ... VTPI
35	5, 7	0, 1, 15, 21	... 0000 ... 0001 ... 5MXL ... TC1F
36	2, 3	0, 1, 9, 28	...0000 ... 000 1 ... DN29 ... MCXS

Расширения

Автоморфные числа могут быть расширены до любой такой полиномиальной функции степени $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$$f\; (x)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; naixi\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{i\}\; x\; ^\; \{i\}\}$с b-адическими коэффициентами $ai\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\}$. Эти обобщенные автоморфные числа образуют дерево.

$a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$-automorphic numbers

An $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$-автоморфное число возникает, когда функция полинома $f\; (x)\; =\; ax\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; ax\; ^\; \{2\}\}$

Например, с $b\; =\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; 10\}$и $a\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; 2\}$, поскольку есть две фиксированные точки для $f\; (x)\; =\; 2\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; е\; (х)\; =\; 2x\; ^\; \{2\}\}$в $Z\; /\; 10\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; 10\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$($x\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 0\}$и $x\; =\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 8\}$), согласно лемме Гензеля, существуют две 10-адические неподвижные точки для $f\; (x)\; =\; 2\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; 2x\; ^\; \{2\}\}$,

$\dots \; 0000000000\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 0000000000\}$

$\dots \; 0893554688\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; 0893554688\}$

поэтому 2-автоморфные числа в с основанием 10 равны 0, 8, 88, 688, 4688...

Триморфные числа

A триморфное число или сферическое число возникает, когда полиномиальная функция равна $f\; (x)\; =\; x\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{3\}\}$. Все автоморфные номера триморфны. Термины круговой и сферический раньше использовались для немного другого случая числа, все степени которого имеют ту же последнюю цифру, что и само число.

Для основания $b\; =\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; 10\}$, триморфные числа:

0, 1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249, 251, 375, 376, 499, 501, 624, 625, 749, 751, 875, 999, 1249, 3751, 4375, 4999, 5001, 5625, 6249, 8751, 9375, 9376, 9999,... (последовательность A033819 в OEIS )

Для базы $b\; =\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; 12\}$триморфные числа:

0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, B, 15, 47, 53, 54, 5B, 61, 68, 69, 75, A7, B3, BB, 115, 253, 368, 369, 4A7, 5BB, 601, 715, 853, 854, 969, AA7, BBB, 14A7, 2369, 3853, 3854, 4715, 5BBB, 6001, 74A7, 8368, 8369, 9853, A715, BBBB,...

def hensels_lemma (polynomial_function, base: int, power: int): "" "Лемма Гензеля." "" if power == 0: return [0] if power>0: root = hensels_lemma (polynomial_function, base, power - 1) new_roots = для root в корнях: для i в диапазоне (0, base): new_i = i * base ** (power - 1) + root new_root = polynomial_function (new_i)% pow (base, power) if new_root == 0: new_roots.append (new_i) return new_roots base = 10 цифр = 10 def automorphic_polynomial (x): return x ** 2 - x для i в диапазоне (1, цифры + 1): print (hensels_lemma (automorphic_polynomial, base, i))

• Арифметическая динамика
• Число Капрекара
• П-адическое число
• П-адический анализ
• Делитель нуля

1. ^См. Статью Жерара Мишона на
2. ^"сферическое число". Оксфордский словарь английского языка (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета. Сентябрь 2005 г. (требуется подписка или членство в публичной библиотеке Великобритании.)

• примеры 1-автоморфных чисел на PlanetMath.org.

• Weisstein, Эрик У. «Автоморфное число». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик У. «Триморфное число». MathWorld.