Трубчатый район

редактировать

Кривая синего цвета и несколько перпендикулярных к ней линий зеленого цвета. Небольшие участки этих линий вокруг кривой окрашены в красный цвет.

Крупный план рисунка выше. Кривая синего цвета, а ее трубчатая окрестность T - красным. В обозначениях в статье кривая - это S, пространство, содержащее кривую, - это M, и

{\ displaystyle T = j (N).}

{\ displaystyle T = j (N).}

Схематическое изображение нормального пучка N с нулевым участком синего цвета. Преобразование J отображает N 0 к кривой S на рисунке выше, и Н к трубчатой окрестности S.

{\ displaystyle N_ {0}}

N_ {0}

В математике, трубчатая окрестность из подмногообразия в виде гладкого многообразия является открытым множеством вокруг него похожее на нормальное расслоение.

Идею трубчатой окрестности можно объяснить на простом примере. Рассмотрим гладкую кривую на плоскости без самопересечений. В каждой точке кривой проведите линию, перпендикулярную кривой. Если кривая не прямая, эти линии будут довольно сложно пересекаться между собой. Однако, если смотреть только в узкую полосу вокруг кривой, части линий в этой полосе не будут пересекаться и покроют всю полосу без промежутков. Эта полоса представляет собой трубчатую окрестность.

В общем, пусть S быть Подмногообразие из многообразия M, и пусть N будет нормальное расслоение из S в M. Здесь S играет роль кривой, а M - плоскость, содержащую кривую. Рассмотрим естественную карту

{\ displaystyle i: N_ {0} \ to S}

{\ displaystyle i: N_ {0} \ to S}

который устанавливает взаимно однозначное соответствие между нулевым сечением из N и подмногообразия S из M. Расширение j этого отображения на все нормальное расслоение N со значениями в M такое, что является открытым множеством в M, а j является гомеоморфизмом между N и называется трубчатой окрестностью. ${\ displaystyle N_ {0}}$ $N_ {0}$ ${\ displaystyle j (N)}$ ${\ displaystyle j (N)}$ ${\ displaystyle j (N)}$ ${\ displaystyle j (N)}$

Часто один называет открытое множество, а не J сам, трубчатую окрестность S, предполагается неявно, что гомеоморфизм J отображение N в T существует. ${\ Displaystyle Т = j (N),}$ ${\ Displaystyle Т = j (N),}$

Содержание

1 нормальная трубка
2 Формальное определение
3 Обобщения
4 См. Также
5 ссылки

Обычная трубка

Нормальная трубка к гладкой кривой является многообразием определяется как объединения всех дисков, таких, что

все диски имеют одинаковый фиксированный радиус;
центр каждого диска лежит на кривой; и
каждый диск лежит в плоскости, перпендикулярной кривой, где кривая проходит через центр этого диска.

Формальное определение

Позвольте быть гладкими многообразиями. Трубчатая окрестность точки in - это векторное расслоение вместе с гладким отображением, такое что ${\ Displaystyle S \ substeq M}$ ${\ Displaystyle S \ substeq M}$ ${\ displaystyle S}$ $S$ ${\ displaystyle M}$ $M$ ${\ displaystyle \ pi: E \ to S}$ ${\ displaystyle \ pi: E \ to S}$ ${\ displaystyle J: E \ to M}$ ${\ displaystyle J: E \ to M}$

${\ displaystyle J \ circ 0_ {E} = i}$ ${\ displaystyle J \ circ 0_ {E} = i}$ где - вложение и нулевое сечение ${\ displaystyle i}$ $я$ ${\ Displaystyle S \ hookrightarrow M}$ $S \ hookrightarrow M$ ${\ displaystyle 0_ {E}}$ $0_ {E}$
существует некоторый и некоторый с и такой, что является диффеоморфизмом. ${\ Displaystyle U \ substeq E}$ ${\ Displaystyle U \ substeq E}$ ${\ Displaystyle V \ substeq M}$ $V \ substeq M$ ${\ displaystyle 0_ {E} [S] \ substeq U}$ ${\ displaystyle 0_ {E} [S] \ substeq U}$ ${\ Displaystyle S \ substeq V}$ ${\ Displaystyle S \ substeq V}$ ${\ displaystyle J \ vert _ {U}: от U \ до V}$ ${\ displaystyle J \ vert _ {U}: от U \ до V}$

Нормальное расслоение является трубчатой окрестностью, и из-за условия диффеоморфизма во второй точке все трубчатые окрестности имеют одинаковую размерность, а именно (размерность векторного расслоения, рассматриваемого как многообразие, равна) размерности ${\ displaystyle M.}$ ${\ displaystyle M.}$

Обобщения

Обобщения гладких многообразий дают обобщения трубчатых окрестностей, таких как регулярные окрестности или сферические расслоения для пространств Пуанкаре.

Эти обобщения используются для создания аналогов нормального расслоения или, скорее, стабильного нормального расслоения, которые заменяют касательное расслоение (которое не допускает прямого описания этих пространств).

Смотрите также

Параллельная кривая (также известная как смещенная кривая)
Лемма о трубке

Рекомендации

Рауль Ботт, Лоринг В. Ту (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90613-4.

Моррис В. Хирш (1976). Дифференциальная топология. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.

Вальдир Мунис Олива (2002). Геометрическая механика. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44242-1.