Термин

В математике, термин положительного целого числа n, обозначается n ?, является суммой всех положительных целых чисел, меньших или равных n. Например,

$5?\; =\; 5\; +\; 4\; +\; 3\; +\; 2\; +\; 1\; =\; 15.\; \{\backslash \; displaystyle\; 5?\; =\; 5\; +\; 4\; +\; 3\; +\; 2\; +\; 1\; =\; 15\; \backslash ,.\}$

Значение 0? равно 0 в соответствии с соглашением для пустой суммы.

Термин был придуман Дональдом Э. Кнутом в его Искусство компьютерного программирования. Это аддитивный аналог функции факториала , которая представляет собой произведение целых чисел от 1 до n. Он использовал его, чтобы проиллюстрировать расширение области от положительных целых чисел до действительных чисел.

. Термины положительных целых чисел также известны как треугольные числа. Первые несколько (последовательность A000217 в OEIS ) a

• 1 История
• 2 Определение
  • 2.1 Срок действия нуля
  • 2.2 Срок действия нецелое число
• 3 Приложения
• 4 Термино-подобная сумма и функции
  • 4.1 Двойной член
  • 4.2 Первичный
  • 4.3 Взаимный член
• 5 См. также
• 6 Ссылки

С XVIII века Леонард Эйлер и некоторые другие математики пытались расширить область области функции факториала до действительные числа или даже комплексные числа, и в конечном итоге выдвинули гамма-функцию. В 1997 г. Дональд Э. Кнут ввел термальную функцию n? в его Искусство программирования, как аналог факториала в сложении, чтобы проиллюстрировать значение расширения домена.

Терминная функция определяется суммой

$n?\; Знак\; равно\; 1\; +\; 2\; +\; 3\; +\; \cdots \; +\; (n\; -\; 2)\; +\; (n\; -\; 1)\; +\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; n?\; =\; 1\; +\; 2\; +\; 3\; +\; \backslash \; cdots\; +\; (n-2)\; +\; (n-1)\; +\; n\; \backslash ,,\}$

первоначально для целого числа n ≥ 1. Это может быть записано в записи сигма-суммы как

$n?\; =\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; я.\; \{\backslash \; displaystyle\; n?\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; i.\}$

Из этих формул можно вывести рекуррентное соотношение

$n?\; =\; п\; +\; (п\; -\; 1)?.\; \{\backslash \; displaystyle\; n?\; =\; n\; +\; (n-1)?\; \backslash ,.\}$

Например, у одного есть

$5?\; =\; 5\; +\; 4?\; 6?\; =\; 6\; +\; 5?\; 50?\; =\; 50\; +\; 49?\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; 5?\; =\; 5\; +\; 4?\; \backslash \backslash \; 6?\; =\; 6\; +\; 5?\; \backslash \backslash \; 50?\; =\; 50\; +\; 49?\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и т. д..

Термиальная функция может быть вычислена с использованием формулы суммирования для арифметической последовательности :

$n?\; =\; п\; (п\; +\; 1)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; n?\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; (n\; +\; 1)\}\; \{2\}\}\; \backslash ,.\}$

Например, $100?\; =\; 100\; \times \; 101\; 2\; =\; 5050\; \{\backslash \; displaystyle\; 100?\; =\; \{\backslash \; Frac\; \{100\; \backslash \; times\; 101\}\; \{2\}\}\; =\; 5050\}$.

Член нуля

Для расширения рекуррентного отношения для n = 0 необходимо определить

$0?\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0?\; =\; 0\}$

, так что

$1?\; =\; 1\; +\; 0?\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; 1?\; =\; 1\; +\; 0?\; =\; 1.\}$

Член нецелого числа

Термиальная функция также может быть определена для нецелочисленных значений с помощью формулы $п?\; =\; n\; (n\; +\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n?\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; (n\; +\; 1)\}\; \{2\}\}\}$.

Например, $(1\; 2)?\; =\; 3\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\})?\; =\; \{\backslash \; Frac\; \{3\}\; \{8\}\}\}$.

Термиал реже используется в математике, но тем не менее, он может использоваться в таких областях, как комбинаторика.

• Для набора из n различных элементов количество комбинаций 2- (т. е. количество способов выбрать 2 из них) равно ( п - 1) ?. Это означает, что

$(n\; 2)\; =\; (n\; -\; 1)?.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{n\; \backslash \; choose\; 2\}\; =\; (n-1)?\; \backslash ,.\}$

• В игре четыре четверки, термин может быть полезным инструментом для поиска требуемого выражения, особенно когда правила не допускайте использования десятичной запятой и квадратного корня (поскольку числа 0 и 2 используются незаметно). Например,

$13\; =\; 4?\; +\; 4-4\; ÷\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; 13\; =\; 4?\; +\; 4-4\; \backslash \; div\; 4\}$

$18\; =\; 4!\; +\; 4?\; -\; 4\; \times \; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; 18\; =\; 4!\; +4?\; -4\; \backslash \; times\; 4\}$

Двойной член

Подобно двойному факториалу, Сумма всех нечетных целых чисел до некоторого нечетного положительного целого числа n называется двойным членом числа n и обозначается n ??. То есть

$(2\; k\; -\; 1)?\; ?\; Знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; к\; (2\; я\; -\; 1)\; =\; 1\; +\; 3\; +\; 5\; +\; \cdots \; +\; (2\; к\; -\; 3)\; +\; (2\; к\; -\; 1).\; \{\backslash \; Displaystyle\; (2k-1)\; ??\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; (2i-1)\; =\; 1\; +\; 3\; +\; 5\; +\; \backslash \; cdots\; +\; (2k-3)\; +\; (2k-1)\; \backslash ,.\}$

Например, $9?\; ?\; =\; 1\; +\; 3\; +\; 5\; +\; 7\; +\; 9\; =\; 25\; \{\backslash \; displaystyle\; 9\; ??\; =\; 1\; +\; 3\; +\; 5\; +\; 7\; +\; 9\; =\; 25\}$.

Последовательность двойных членов для n = 1, 3, 5, 7,... это последовательность квадратного числа. Он начинается как

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,... (последовательность A000290 в OEIS )

Primial

Primial может вводится как аналог примориала и обозначается n§. Он определяется как сумма простых чисел, меньших или равных n, т. е.

$n\; \S \; =\; p\; \pi \; (N)\; \S \; =\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; \pi \; (n)\; пи,\; \{\backslash \; Displaystyle\; п\; \backslash \; S\; =\; p\; \_\; \{\backslash \; pi\; (n)\}\; \backslash \; S\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; pi\; (n)\}\; p\_\; \{i\}\; \backslash ,,\}$

где $\pi \; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; (n)\}$- это функция подсчета простых чисел.

Например, $11\; \S \; =\; p\; 5\; \S \; =\; 2\; +\; 3\; +\; 5\; +\; 7\; +\; 11\; =\; 28\; \{\backslash \; displaystyle\; 11\; \backslash \; S\; =\; p\_\; \{5\}\; \backslash \; S\; =\; 2\; +\; 3\; +\; 5\; +\; 7\; +\; 11\; =\; 28\}$.

первые несколько результатов:

0, 2, 5, 10, 17, 28, 41,... (последовательность A007504 в OEIS )

Взаимный элемент

Взаимный элемент определяется как сумма, обратная первым n натуральным числам. Он равен n-му номеру гармоники.

$\sum \; i\; =\; 1\; n\; 1\; i\; =\; 1\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 3\; +\; \cdots \; +\; 1\; п\; =\; ЧАС\; N.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{i\}\}\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; =\; H\_\; \{n\; \}.\}$

Например, $\sum \; i\; =\; 1\; 3\; 1\; i\; =\; 1\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 3\; =\; 11\; 6.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{i\}\}\; =\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{11\}\; \{6\}\}.\}$

• Треугольное число
• Суммирование
• Факториал
• Экспоненциальный факториал