Пространственная дисперсия

В физике из сплошных сред, пространственная дисперсия - это явление, при котором параметры материала, такие как диэлектрическая проницаемость или проводимость, зависят от волнового вектора. Обычно предполагается, что такая зависимость отсутствует для простоты, однако пространственная дисперсия существует в разной степени во всех материалах.

Пространственную дисперсию можно сравнить с временной дисперсией, которую часто называют просто дисперсией. Временная дисперсия представляет собой эффекты памяти в системах, обычно наблюдаемые в оптике и электронике. С другой стороны, пространственная дисперсия представляет собой эффекты распространения и обычно значима только на микроскопических масштабах длины. Пространственная дисперсия вносит относительно небольшие возмущения в оптику, давая слабые эффекты, такие как оптическая активность. Пространственная дисперсия и временная дисперсия могут иметь место в одной и той же системе.

• 1 Происхождение: нелокальный отклик
• 2 Пространственная дисперсия в электромагнетизме
  • 2.1 Кристаллическая оптика
  • 2.2 В изотропных средах
  • 2.3 Затухание Ландау
  • 2.4 Неопределенность диэлектрической проницаемости при ненулевой частоте
• 3 Пространственная дисперсия в акустике
• 4 Ссылки

Происхождение пространственной дисперсии - нелокальный отклик, когда отклик на силовое поле появляется во многих местах и ​​может даже проявляться в местах, где сила равна нулю. Обычно это происходит из-за распространения эффектов за счет скрытых микроскопических степеней свободы.

В качестве примера рассмотрим текущий $J\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; (x,\; t)\}$, которое приводится в действие в ответ на электрическое поле $E\; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (x,\; t)\}$, которое изменяется в пространстве (x) и времени (т). Упрощенные законы, такие как закон Ома, говорят, что они прямо пропорциональны друг другу, $J\; =\; \sigma \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; \backslash \; sigma\; E\}$, но это не работает если в системе есть память (временная дисперсия) или распространение (пространственная дисперсия). Самый общий линейный отклик определяется как:

$J\; (x,\; t)\; =\; \int \; -\; \infty \; -\; \infty \; dx\; \prime \; \int \; -\; \infty \; -\; \infty \; dt\; \prime \; \sigma \; (x,\; x\; \prime ,\; t,\; t\; \prime )\; Е\; (Икс\; \text{'},\; Т\text{'}),\; \{\backslash \; Displaystyle\; J\; (х,\; т)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{-\; \backslash \; infty\}\; dx\; \text{'}\backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{-\; \backslash \; infty\}\; dt\; \text{'}\backslash ,\; \backslash \; sigma\; (x,\; x\text{'},\; t,\; t\; \text{'})\; E\; (x\text{'},\; t\; \text{'}),\}$

где $\sigma \; (x,\; x\; \prime ,\; t,\; t\; \prime )\; dx\; \prime \; dt\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (x,\; x\; \text{'},\; t,\; t\text{'})\; dx\; \text{'}\backslash ,\; dt\text{'}\}$- нелокальная функция проводимости.

Если система инвариантна во времени (симметрия сдвига времени ) и инвариантна в пространстве (симметрия сдвига в пространстве), то мы можем упростить, потому что $\sigma \; (x,\; x\; \prime ,\; t,\; t\; \prime )\; знак\; равно\; \sigma \; sym\; (x\; -\; x\; \prime ,\; t\; -\; t\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (x,\; x\; \text{'},\; t,\; t\text{'})\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{sym\}\}\; (x-x\; \text{'},\; t-t\; \text{'})\}$для некоторого ядра свертки $\sigma \; sym\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{sym\}\}\}$. Мы также можем рассмотреть решения плоской волны для $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$и $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$следующим образом:

$J\; (Икс,\; T)\; знак\; равно\; Re\; \; (J\; 0\; eikx\; -\; я\; \omega \; T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; J\; (x,\; t)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; (J\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{ikx-i\; \backslash \; omega\; t\})\; \}$

$E\; (x,\; t)\; =\; Re\; \; (E\; 0\; eikx\; -\; i\; \omega \; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (x,\; t)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Re\}\; (E\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{ikx-i\; \backslash \; omega\; t\})\}$

, что дает удивительно простую взаимосвязь между комплексными амплитудами двух плоских волн:

$J\; 0\; =\; \sigma \; ~\; (k,\; \omega )\; E\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (k,\; \backslash \; omega)\; E\_\; \{0\}.\}$

где функция $\sigma \; ~\; (k,\; \omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (k,\; \backslash \; omega)\}$задается преобразованием Фурье функции пространственно-временного отклика:

$\sigma \; ~\; (k,\; \omega )\; =\; \int \; -\; \infty \; -\; \infty \; dx\; ″\; \int \; -\; \infty \; -\; \infty \; dt\; ″\; e\; -\; ikx\; ″\; +\; i\; \omega \; t\; ″\; \sigma \; sym\; (x\; ″,\; t\; ″).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; тильда\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (к,\; \backslash \; omega)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{-\; \backslash \; infty\}\; dx\; \text{'}\text{'}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{-\; \backslash \; infty\}\; dt\; \text{'}\text{'}\; \backslash ,\; e\; ^\; \{-\; ikx\; \text{'}\text{'}\; +\; i\; \backslash \; omega\; t\; \text{'}\text{'}\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{sym\}\}\; (x\; \text{'}\text{'},\; t\; \text{'}\text{'}).\}$

Функция проводимости $\sigma \; ~\; (k,\; \omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; sigma\}\}\; (k,\; \backslash \; omega)\}$имеет пространственную дисперсию, если она зависит от волнового вектора k. Это происходит, если пространственная функция $\sigma \; sym\; (x\; -\; x\; \prime ,\; t\; -\; t\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{sym\}\}\; (x-x\; \text{'},\; t-t\text{'})\}$не является точечным (дельта-функция ) ответом в xx '.

В электромагнетизме пространственная дисперсия играет роль в нескольких материальных эффектах, таких как оптическая активность и допплер уширение. Пространственная дисперсия также играет важную роль в понимании электромагнитных метаматериалов. Чаще всего интерес представляет пространственная дисперсия диэлектрической проницаемости ε.

Кристаллическая оптика

Внутри кристаллов может быть комбинация пространственной дисперсии, временной дисперсии и анизотропии. Материальное соотношение для вектора поляризации можно записать как:

$P\; i\; (k\; \to ,\; \omega )\; =\; \sum \; j\; (ϵ\; ij\; (k\; \to ,\; \omega )\; -\; ϵ\; 0\; \delta \; ij)\; E\; J\; (К\; \to ,\; \omega ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\_\; \{i\}\; (\{\backslash \; vec\; \{k\}\},\; \backslash \; omega)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; (\backslash \; epsilon\; \_\; \{ij\}\; (\{\backslash \; vec\; \{\; k\}\},\; \backslash \; omega)\; -\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\})\; E\_\; \{j\}\; (\{\backslash \; vec\; \{k\}\},\; \backslash \; omega),\}$

т.е. диэлектрическая проницаемость является волновым вектором. и частотно-зависимый тензор .

. Рассматривая уравнения Максвелла, внутри таких кристаллов можно найти плоские волны нормальные моды. Это происходит, когда выполняется следующее соотношение для ненулевого вектора электрического поля $E\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{E\}\}\}$:

$\omega \; 2\; \mu \; 0\; ϵ\; (k\; \to ,\; \omega )\; E\; \to \; -\; (k\; \to \; \cdot \; К\; \to )\; E\; \to \; +\; (К\; \to \; \cdot \; E\; \to )\; к\; \to \; знак\; равно\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{0\}\; \backslash \; epsilon\; (\{\backslash \; vec\; \{k\}\},\; \backslash \; omega)\; \{\backslash \; vec\; \{E\}\}\; -\; (\{\backslash \; vec\; \{k\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{k\}\})\; \{\backslash \; vec\; \{E\}\}\; +\; (\{\backslash \; vec\; \{k\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{E\}\})\; \{\backslash \; vec\; \{k\}\}\; =\; 0.\}$

Пространственная дисперсия в $ϵ\; (k\; \to ,\; \omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; (\{\backslash \; vec\; \{k\}\},\; \backslash \; omega)\}$может привести к странным явлениям, таким как существование нескольких мод с одинаковой частотой и направлением волнового вектора, но с разными величинами волнового вектора.

Рядом с кристаллическими поверхностями и границами больше нельзя описывать реакцию системы в терминах волновых векторов. Для полного описания необходимо вернуться к полной нелокальной функции отклика (без трансляционной симметрии), однако конечный эффект иногда может быть описан «дополнительными граничными условиями» (ABC).

В изотропных средах

В материалах, которые не имеют соответствующей кристаллической структуры, пространственная дисперсия может быть важной.

Хотя симметрия требует, чтобы диэлектрическая проницаемость была изотропной для нулевого волнового вектора, это ограничение не применяется для ненулевого волнового вектора. Неизотропная диэлектрическая проницаемость для ненулевого волнового вектора приводит к таким эффектам, как оптическая активность в растворах хиральных молекул. В изотропных материалах без оптической активности тензор диэлектрической проницаемости может быть разбит на поперечные и продольные компоненты, относящиеся к реакции на электрические поля, перпендикулярные или параллельные волновому вектору.

Для частот, близких к линии поглощения (например, an экситон ), пространственная дисперсия может играть важную роль.

Затухание Ландау

В физике плазмы волна может бесстолкновительно затухать частицами в плазме, скорость которых соответствует фазовая скорость волны. Обычно это представлено как пространственно-дисперсионные потери диэлектрической проницаемости плазмы.

Неопределенность диэлектрической проницаемости при ненулевой частоте

На ненулевых частотах можно представить все намагниченности как изменяющиеся во времени поляризации. Кроме того, поскольку электрическое и магнитное поля напрямую связаны соотношением $\nabla \; \times \; E\; =\; -\; \partial \; B\; /\; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; E\; =\; -\; \backslash \; partial\; B\; /\; \backslash \; partial\; t\}$, намагниченность, индуцированная магнитным полем, вместо этого может быть представлена ​​как поляризация, индуцированная электрическим полем, хотя и с сильно дисперсионным соотношением.

Это означает, что на ненулевой частоте любой вклад в проницаемость μ может быть альтернативно представлен вкладом пространственной дисперсии в диэлектрическую проницаемость ε. Значения проницаемости и диэлектрической проницаемости отличаются в этом альтернативном представлении, однако это не приводит к наблюдаемым различиям в реальных величинах, таких как электрическое поле, плотность магнитного потока, магнитные моменты и ток.

В результате на оптических частотах чаще всего устанавливают μ равным проницаемости вакуума μ0и учитывают только дисперсионную диэлектрическую проницаемость ε. Существует некоторое обсуждение того, уместно ли это в метаматериалах, где используются приближения эффективной среды для μ, а также дебаты по поводу реальности «отрицательной проницаемости», наблюдаемой в метаматериалах с отрицательным индексом..

В акустике, особенно в твердых телах, пространственная дисперсия может быть значительной для длин волн, сравнимых с шагом решетки, который обычно возникает на очень высоких частотах (гигагерцы и выше).

В твердых телах различие в распространении поперечных акустических мод и продольных акустических мод звука происходит из-за пространственной дисперсии в тензоре упругости который связывает напряжение и напряжение. Для полярных колебаний (оптических фононов ) различие между продольными и поперечными модами можно рассматривать как пространственную дисперсию восстанавливающих сил от «скрытой» немеханической степени свободы это электромагнитное поле.

Многие эффекты электромагнитных волн от пространственной дисперсии находят аналог в акустических волнах. Например, в хиральных материалах есть акустическая активность - вращение плоскости поляризации поперечных звуковых волн, аналогичная оптической активности.