Группа Шредингера

Группа Шредингера - это группа симметрии свободной частицы уравнение Шредингера. Математически группа SL (2, R) действует на группу Гейзенберга внешними автоморфизмами, а группа Шредингера является соответствующим полупрямым произведением.

• 1 Алгебра Шредингера
• 2 Роль группы Шредингера в математической физике
• 3 Ссылки
• 4 См. Также

Алгебра Шредингера - это Алгебра Ли группы Шредингера. Это не полупростой. В одном пространственном измерении его можно получить как полупрямую сумму алгебры Ли sl (2, R) и алгебры Гейзенберга ; аналогичные конструкции применимы к более высоким пространственным измерениям.

Он содержит алгебру Галилея с центральным расширением.

$[J\; a,\; J\; b]\; =\; я\; ϵ\; abc\; J\; c,\; \{\backslash \; displaystyle\; [J\_\; \{a\},\; J\_\; \{b\}]\; =\; i\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{abc\}\; J\_\; \{c\},\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$[J\; a,\; P\; b]\; =\; я\; ϵ\; abc\; P\; c,\; \{\backslash \; displaystyle\; [J\_\; \{a\},\; P\_\; \{b\}]\; =\; i\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{abc\}\; P\_\; \{c\},\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$[J\; a,\; K\; b]\; =\; я\; ϵ\; abc\; K\; c,\; \{\backslash \; displaystyle\; [J\_\; \{a\},\; K\_\; \{b\}]\; =\; i\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{abc\}\; K\_\; \{c\},\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$[П\; а,\; п\; б]\; знак\; равно\; 0,\; [К\; а,\; К\; б]\; =\; 0,\; [К\; а,\; п\; б]\; =\; я\; \delta \; ab\; M,\; \{\backslash \; displaystyle\; [P\_\; \{a\},\; P\_\; \{b\}]\; =\; 0,\; [K\_\; \{a\},\; K\_\; \{b\}]\; =\; 0,\; [K\_\; \{a\},\; P\_\; \{b\}]\; =\; i\; \backslash \; delta\; \_\; \{ab\}\; M,\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$[H,\; J\; a]\; =\; 0,\; [H,\; P\; a]\; =\; 0,\; [H,\; K\; a]\; =\; i\; P\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; [H,\; J\_\; \{a\}]\; =\; 0,\; [H,\; P\_\; \{a\}]\; =\; 0,\; [H,\; K\_\; \{a\}]\; =\; iP\_\; \{a\}.\; \backslash ,\; \backslash !\}$

где $J\; a,\; P\; a,\; K\; a,\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{a\},\; P\_\; \{a\},\; K\_\; \{a\},\; H\}$- генераторы вращения (оператор углового момента ), пространственные трансляции (оператор импульса ), галилеевы бусты и перевод времени (гамильтониан ) соответственно (Примечания: $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$- мнимая единица, $i\; 2\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; ^\; \{2\}\; =\; -\; 1\}$. Конкретный вид коммутаторов генераторов вращения $J\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{a\}\}$- трехмерное пространство, тогда $a,\; b,\; c\; =\; 1,\dots ,\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; b,\; c\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; 3\}$.). центральное расширение M интерпретируется как нерелятивистская масса и соответствует симметрии уравнения Шредингера при фазовом преобразовании (и сохранению вероятности).

Есть еще два образующих, которые мы обозначим D и C. Они имеют следующие коммутационные соотношения:

$[H,\; C]\; =\; i\; D,\; [C,\; D]\; =\; -\; 2\; i\; C,\; [H,\; D]\; =\; 2\; я\; H,\; \{\backslash \; Displaystyle\; [H,\; C]\; =\; iD,\; [C,\; D]\; =\; -\; 2iC,\; [H,\; D]\; =\; 2iH,\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$[P\; a,\; D]\; =\; я\; P\; a,\; [K\; i,\; D]\; =\; -\; я\; K\; a,\; \{\backslash \; displaystyle\; [P\_\; \{a\},\; D]\; =\; iP\_\; \{a\},\; [K\_\; \{i\},\; D]\; =\; -\; iK\_\; \{a\},\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$[P\; a,\; C]\; =\; -\; я\; K\; a,\; [K\; a,\; C]\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; [P\_\; \{a\},\; C]\; =\; -\; iK\_\; \{a\},\; [K\_\; \{a\},\; C]\; =\; 0,\; \backslash ,\; \backslash !\}$

$[J\; a,\; C]\; =\; [J\; a,\; D]\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; [J\_\; \{a\},\; C]\; =\; [J\_\; \{a\}],\; D]\; =\; 0.\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Образующие H, C и D образуют алгебру sl (2, R).

Более систематическая запись позволяет разделить эти генераторы на четыре (бесконечные) семейства $X\; n,\; Y\; m\; (j),\; M\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{n\},\; Y\_\; \{m\}\; ^\; \{\; (j)\},\; M\_\; \{n\}\}$и $R\; n\; (jk)\; =\; -\; R\; n\; (kj)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{n\}\; ^\; \{(jk)\}\; =\; -\; R\_\; \{n\; \}\; ^\; \{(kj)\}\}$, где n ∈ ℤ - целое число, а m ∈ ℤ + 1/2 - полуцелое число, а j, k = 1,..., d маркируют пространственные направление в d пространственных измерениях. Не обращающиеся в нуль коммутаторы алгебры Шредингера становятся (евклидовой формой)

$[X\; n,\; X\; n\; \prime ]\; =\; (n\; -\; n\; \prime )\; X\; n\; +\; n\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; [X\_\; \{n\},\; X\_\; \{n\; \text{'}\; \}]\; =\; (n-n\; \text{'})\; X\_\; \{n\; +\; n\text{'}\}\}$

$[X\; n,\; Y\; m\; (j)]\; =\; (n\; 2\; -\; m)\; Y\; n\; +\; m\; (j)\; \{\backslash \; displaystyle\; [X\_\; \{\; n\},\; Y\_\; \{m\}\; ^\; \{(j)\}]\; =\; \backslash \; left\; (\{n\; \backslash \; over\; 2\}\; -m\; \backslash \; right)\; Y\_\; \{n\; +\; m\}\; ^\; \{(j)\}\}$

$[X\; n,\; M\; n\; \prime ]\; =\; -\; n\; \prime \; M\; n\; +\; n\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; [X\_\; \{n\},\; M\_\; \{n\; \text{'}\}]\; =\; -\; n\text{'}M\_\; \{n\; +\; n\text{'}\}\}$

$[X\; n,\; R\; n\; \prime \; (\; jk)]\; =\; -\; n\; \prime \; R\; n\; \prime \; (jk)\; \{\backslash \; displaystyle\; [X\_\; \{n\},\; R\_\; \{n\; \text{'}\}\; ^\; \{(jk)\}]\; =\; -\; n\text{'}R\_\; \{n\text{'}\}\; ^\; \{(jk)\}\}$

$[Y\; m\; (j),\; Y\; m\; \prime \; (k)]\; =\; \delta \; j,\; k\; (m\; -\; m\; \prime )\; M\; m\; +\; m\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; [Y\_\; \{m\}\; ^\; \{(j)\},\; Y\_\; \{\; m\; \text{'}\}\; ^\; \{(k)\}]\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{j,\; k\}\; (m-m\text{'})\; M\_\; \{m\; +\; m\; \text{'}\}\}$

$[R\; n\; (ij),\; Y\; m\; (k)]\; =\; \delta \; я,\; К\; Y\; N\; +\; м\; (J)\; -\; \delta \; J,\; К\; Y\; N\; +\; M\; (I)\; \{\backslash \; Displaystyle\; [R\_\; \{n\}\; ^\; \{(ij)\},\; Y\_\; \{m\}\; ^\; \{(k)\}]\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{i,\; k\}\; Y\_\; \{n\; +\; m\}\; ^\; \{(j)\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{j,\; k\}\; Y\_\; \{n\; +\; m\}\; ^\; \{(i)\}\}$

$[R\; n\; (ij),\; R\; n\; \prime \; (kl)]\; =\; \delta \; i,\; k\; R\; n\; +\; n\; \prime \; (jl)\; +\; \delta \; j,\; l\; R\; n\; +\; n\; \prime \; (ik)\; -\; \delta \; i,\; l\; R\; n\; +\; n\; \prime \; (jk)\; -\; \delta \; J,\; К\; р\; N\; +\; N\; \text{'}(il)\; \{\backslash \; displaystyle\; [R\_\; \{n\}\; ^\; \{(ij)\},\; R\_\; \{n\text{'}\}\; ^\; \{(kl)\}]\; =\; \backslash \; del\; ta\; \_\; \{i,\; k\}\; R\_\; \{n\; +\; n\; \text{'}\}\; ^\; \{(jl)\}\; +\; \backslash \; delta\; \_\; \{j,\; l\}\; R\_\; \{n\; +\; n\text{'}\}\; ^\; \{(ik)\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{i,\; l\; \}\; R\_\; \{n\; +\; n\; \text{'}\}\; ^\; \{(jk)\}\; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{j,\; k\}\; R\_\; \{n\; +\; n\text{'}\}\; ^\; \{(il)\}\}$

Алгебра Шредингера конечномерна и содержит образующие $X\; -\; 1,\; 0,\; 1,\; Y\; -\; 1/2,\; 1/2\; (j),\; M\; 0,\; R\; 0\; (jk)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \_\; \{-\; 1,0,1\; \},\; Y\; \_\; \{-\; 1\; /\; 2,1\; /\; 2\}\; ^\; \{(j)\},\; M\_\; \{0\},\; R\_\; \{0\}\; ^\; \{(jk)\}\}$. В частности, три образующих $X\; -\; 1\; =\; H,\; X\; 0\; =\; D,\; X\; 1\; =\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \_\; \{-\; 1\}\; =\; H,\; X\_\; \{0\}\; =\; D,\; X\_\; \{1\}\; =\; C\}$охватывают подалгебру sl (2, R). Пространственные переводы генерируются $Y\; -\; 1/2\; (j)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; \_\; \{-\; 1/2\}\; ^\; \{(j)\}\}$, а преобразования Галилея - $Y\; 1/2\; (j)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{1/2\}\; ^\; \{(j)\}\}$.

В выбранных обозначениях ясно видно, что существует бесконечномерное расширение, которое называется Шредингером– Алгебра Вирасоро . Затем генераторы $X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{n\}\}$с n целыми числами образуют циклическую алгебру Вирасоро. Явное представление в виде пространственно-временных преобразований дается формулой, где n ∈ ℤ и m ∈ ℤ + 1/2

$X\; n\; =\; -\; tn\; +\; 1\; \partial \; t\; -\; n\; +\; 1\; 2\; tnr\; \to \; \cdot \; \partial \; r\; \to \; -\; n\; (\; n\; +\; 1)\; 4\; M\; tn\; -\; 1\; r\; \to \; \cdot \; r\; \to \; -\; x\; 2\; (n\; +\; 1)\; tn\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{n\}\; =\; -\; t\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; -\; \{n\; +\; 1\; \backslash \; over\; 2\}\; t\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; -\; \{n\; (n\; +\; 1)\; \backslash \; over\; 4\}\; \{\backslash \; cal\; \{M\}\}\; t\; ^\; \{\; n-1\}\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; -\; \{x\; \backslash \; over\; 2\}\; (n\; +\; 1)\; t\; ^\; \{n\}\}$

$Y\; m\; (j)\; =\; -\; tm\; +\; 1/2\; \partial \; rj\; -\; (м\; +\; 1\; 2)\; M\; tm\; -\; 1/2\; rj\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{m\}\; ^\; \{(j)\}\; =\; -\; t\; ^\; \{m\; +\; 1/2\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{r\_\; \{j\; \}\}\; -\; \backslash \; left\; (m\; +\; \{1\; \backslash \; over\; 2\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; cal\; \{M\}\}\; t\; ^\; \{m-1/2\}\; r\_\; \{j\}\}$

$M\; n\; =\; -\; tn\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{n\}\; =\; -\; t\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; cal\; \{M\}\}\}$

$R\; n\; (jk)\; =\; -\; tn\; (rj\; \partial \; rk\; -\; rk\; \partial \; rj)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{n\}\; ^\; \{(jk)\; \}\; =\; -\; t\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (r\_\; \{j\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{r\_\; \{k\}\}\; -\; r\_\; \{k\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{r\_\; \{j\}\}\; \backslash \; right)\}$

Это показывает, как центральный Расширение $M\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{0\}\}$непростой и конечномерной алгебры Шредингера становится компонентом бесконечного семейства в алгебре Шредингера – Вирасоро. Кроме того, по аналогии с алгеброй Вирасоро или алгеброй Каца – Муди возможны дальнейшие центральные расширения. Однако результат отличного от нуля существует только для коммутатора $[X\; n,\; X\; n\; \prime ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [X\_\; \{n\},\; X\_\; \{n\; \text{'}\}]\}$, где он должен быть знакомой формы Вирасоро, а именно

$[X\; n,\; X\; n\; \prime ]\; =\; (n\; -\; n\; \prime )\; X\; n\; +\; n\; \prime \; +\; c\; 12\; (n\; 3\; -\; n)\; \delta \; n\; +\; n\; \prime ,\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [\; X\_\; \{n\},\; X\_\; \{n\; \text{'}\}]\; =\; (n-n\text{'})\; X\_\; \{n\; +\; n\; \text{'}\}\; +\; \{c\; \backslash \; over\; 12\}\; (n\; ^\; \{3\}\; -n)\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\; +\; n\text{'},\; 0\}\}$

или для коммутатора между вращениями $R\; n\; (jk)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{n\}\; ^\; \{(jk)\}\}$, где у него должен быть Kac-Moody форма. Любое другое возможное центральное расширение может быть поглощено генераторами алгебры Ли.

Хотя группа Шредингера определяется как группа симметрии свободной частицы уравнение Шредингера, она реализуется в некоторых взаимодействующих не -релятивистские системы (например, холодные атомы при критичности).

Группа Шредингера в d пространственных измерениях может быть встроена в релятивистскую конформную группу в d + 1 измерениях SO (2, d + 2). Это вложение связано с тем, что можно получить уравнение Шредингера из безмассового уравнения Клейна – Гордона через компактификацию Калуцы – Клейна по нулевым измерениям и Лифт Баргмана теории Ньютона – Картана. Это вложение можно также рассматривать как расширение алгебры Шредингера до максимальной параболической подалгебры в SO (2, d + 2).

Симметрия группы Шредингера может придавать экзотические свойства взаимодействующим бозонным и фермионным системам, таким как сверхтекучие в бозонах и ферми-жидкости и не -Ферми жидкости в фермионах. Они находят применение в конденсированных средах и холодных атомах.

Группа Шрёдингера также возникает как динамическая симметрия в приложениях для конденсированных сред: это динамическая симметрия роста кинетической границы раздела. Он также описывает кинетику фазового упорядочения после температурного перехода от неупорядоченной фазы к упорядоченной в магнитных системах.

• C. Р. Хаген, "Масштабные и конформные преобразования в теории галилеевско-ковариантного поля", Phys. Ред. D5, 377–388 (1972)
• U. Нидерер, "Максимальная кинематическая группа инвариантности свободного уравнения Шредингера", Helv. Phys. Acta 45, 802 (1972)
• G. Бурдет, М. Перрин, П. Сорба, "О нерелятивистской структуре конформной алгебры", Comm. Математика. Phys. 34, 85 (1973)
• М. Хенкель, "Шредингеровская инвариантность и сильно анизотропные критические системы", J. Stat. Phys. 75, 1023 (1994)
• М. Хенкель, Дж. Унтербергер, "Шредингеровская инвариантность и пространственно-временные симметрии", Nucl. Phys. B660, 407 (2003)
• A. Рётлейн, Ф. Бауман, М. Плеймлинг, "Симметричное определение функций пространства-времени в процессах неравновесного роста", Phys. Ред. E74, 061604 (2006) - ошибка E76, 019901 (2007)
• D.T. Сын, "К соответствию AdS / холодные атомы: геометрическая реализация симметрии Шредингера", Phys. Ред. D78, 046003 (2008)
• A. Багчи, Р. Гопакумар, «Конформные алгебры Галилея и AdS / CFT», JHEP 0907: 037 (2009)
• М. Хенкель, М. Плеймлинг, Неравновесные фазовые переходы, том 2: старение и динамическое масштабирование вдали от равновесия, (Springer, Heidelberg 2010)
• J. Унтербергер, К. Роджер, Алгебра Шредингера-Вирасоро, (Springer, Heidelberg 2012)

• уравнение Шредингера
• преобразование Галилея
• группа Пуанкаре