Теория Ньютона – Картана

редактировать

Теория Ньютона – Картана (или геометризованная ньютоновская гравитация ) является геометрической переформулировкой, а также обобщением ньютоновской гравитации, впервые введенной Эли Картаном и Куртом Фридрихсом, а затем развитой Дауткуртом., Диксон, Домбровски и Хорнеффер, Элерс, Хавас, Кюнцле, Лоттермозер, Траутман и другие. В этой новой формулировке легко просматривается структурное сходство между теорией Ньютона и общей теорией относительности Альберта Эйнштейна, и она была использована Картаном и Фридрихсом, чтобы дать строгую оценку. формулировка способа, которым ньютоновская гравитация может рассматриваться как конкретный предел общей теории относительности, и Юргеном Элерсом распространить это соответствие на конкретные решения общей теории относительности.

Содержание

1 Классическое пространство-время
2 Геометрическая формулировка уравнения Пуассона
3 Лифт Баргмана
4 Ссылки
5 Библиография

Классическое пространство-время

В Ньютоне – Картане В теории мы начинаем с гладкого четырехмерного многообразия $M {\ displaystyle M}$ $M$ и определяем две (вырожденные) метрики. Временная метрика $tab {\ displaystyle t_ {ab}}$ ${\ displaystyle t_ {ab}}$ с подписью $(1, 0, 0, 0) {\ displaystyle (1,0,0,0)}$ ${\ displaystyle (1,0,0,0)}$ , используется для присвоения временной длины векторам на $M {\ displaystyle M}$ $M$ и пространственной метрике $hab {\ displaystyle h ^ {ab}}$ $h ^ {ab}$ с подписью $(0, 1, 1, 1) {\ displaystyle (0,1,1,1)}$ ${\ displaystyle (0,1,1,1) }$ . Также требуется, чтобы эти две метрики удовлетворяли условию трансверсальности (или «ортогональности»), $h a b t b c = 0 {\ displaystyle h ^ {ab} t_ {bc} = 0}$ ${\ displaystyle h ^ {ab } t_ {bc} = 0}$ . Таким образом, классическое пространство-время определяется как упорядоченная четверка $(M, tab, hab, ∇) {\ displaystyle (M, t_ {ab}, h ^ {ab}, \ nabla)}$ ${\ displaystyle (M, t_ {ab}, h ^ {ab}, \ nabla)}$ , где $tab {\ displaystyle t_ {ab}}$ ${\ displaystyle t_ {ab}}$ и $hab {\ displaystyle h ^ {ab}}$ $h ^ {ab}$ , как описано, $∇ {\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ - оператор ковариантной производной, совместимый с метриками; и метрики удовлетворяют условию ортогональности. Можно сказать, что классическое пространство-время является аналогом релятивистского пространства-времени $(M, gab) {\ displaystyle (M, g_ {ab})}$ $(M, g _ {{ab}})$ , где $gab {\ displaystyle g_ {ab}}$ $g_ {ab}$ - гладкая лоренцева метрика на многообразии $M {\ displaystyle M}$ $M$ .

Геометрическая формулировка уравнения Пуассона

В теории гравитации Ньютона уравнение Пуассона читается как

Δ U = 4 π G ρ {\ displaystyle \ Delta U = 4 \ pi G \ rho \,}

{\ displaystyle \ Delta U = 4 \ pi G \ rho \,}

где $U {\ displaystyle U}$ $U$ - гравитационный потенциал, $G {\ displaystyle G}$ $G$ - гравитационная постоянная и $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ - массовая плотность. Слабый принцип эквивалентности мотивирует геометрическую версию уравнения движения точечной частицы в потенциале $U {\ displaystyle U}$ $U$

mtx → ¨ = - mg ∇ → U {\ displaystyle m_ {t} \, {\ ddot {\ vec {x}}} = - m_ {g} {\ vec {\ nabla}} U}

{\ displaystyle m_ {t} \, {\ ddot {\ vec {x}}} = - m_ {g} {\ vec {\ nabla}} U}

где $mt {\ displaystyle m_ {t}}$ $m_ {t}$ - инерционная масса, а $mg {\ displaystyle m_ {g}}$ $m_{g}$ - гравитационная масса. Поскольку в соответствии с принципом слабой эквивалентности $mt = mg {\ displaystyle m_ {t} = m_ {g}}$ ${\ displaystyle m_ {t} = m_ {g}}$ , соответствующее уравнение движения

x → ¨ = - ∇ → U {\ displaystyle {\ ddot {\ vec {x}}} = - {\ vec {\ nabla}} U}

{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {x}} } = - {\ vec {\ nabla}} U}

больше не содержит ссылки на массу частицы. Следуя идее о том, что решение уравнения в таком случае является свойством кривизны пространства, строится связность так, что уравнение геодезических

d 2 x λ ds 2 + Γ μ ν λ dx μ dsdx ν ds Знак равно 0 {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ lambda}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {ds}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {ds}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ lambda}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {ds}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {ds}} = 0}

представляет уравнение движения точечной частицы в потенциале $U {\ displaystyle U }$ $U$ . В результате получается связь

Γ μ ν λ = γ λ ρ U, ρ Ψ μ Ψ ν {\ displaystyle \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} = \ gamma ^ {\ lambda \ rho} U_ {, \ rho} \ Psi _ {\ mu} \ Psi _ {\ nu}}

{\ displaystyle \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} = \ gamma ^ {\ lambda \ rho} U _ {, \ rho } \ Psi _ {\ mu} \ Psi _ {\ nu}}

с $Ψ μ = δ μ 0 {\ displaystyle \ Psi _ {\ mu} = \ delta _ {\ mu } ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {\ mu} = \ delta _ {\ mu} ^ {0}}$ и $γ μ ν = δ A μ δ B ν δ AB {\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu \ nu} = \ delta _ {A} ^ {\ mu} \ delta _ {B} ^ {\ nu} \ delta ^ {AB}}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu \ nu} = \ delta _ {A} ^ {\ mu} \ delta _ {B} ^ {\ nu} \ delta ^ {AB}}$ ( $A, B = 1, 2, 3 {\ displaystyle A, B = 1,2,3}$ ${\ displaystyle A, B = 1,2,3}$ ). Соединение было построено в одной инерциальной системе, но его можно показать действительным в любой инерциальной системе, продемонстрировав инвариантность $Ψ μ {\ displaystyle \ Psi _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {\ mu}}$ и $γ μ ν {\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu \ nu}}$ при преобразованиях Галилея. Тензор кривизны Римана в координатах инерциальной системы этой связи тогда определяется как

R κ μ ν λ = 2 γ λ σ U, σ [μ Ψ ν] Ψ κ {\ displaystyle R _ {\ kappa \ mu \ nu} ^ {\ lambda} = 2 \ gamma ^ {\ lambda \ sigma} U _ {, \ sigma [\ mu} \ Psi _ {\ nu]} \ Psi _ {\ kappa}}

{\ displaystyle R_ { \ kappa \ mu \ nu} ^ {\ lambda} = 2 \ gamma ^ {\ lambda \ sigma} U _ {, \ sigma [\ mu} \ Psi _ {\ nu]} \ Psi _ {\ kappa}}

где скобки $A [μ ν] = 1 2! [A μ ν - A ν μ] {\ Displaystyle A _ {[\ mu \ nu]} = {\ frac {1} {2!}} [A _ {\ mu \ nu} -A _ {\ nu \ mu}] }$ ${\ displaystyle A _ {[\ mu \ nu ]} = {\ гидроразрыва {1} {2!}} [A _ {\ mu \ nu} -A _ {\ nu \ mu}]}$ означает антисимметричную комбинацию тензора $A μ ν {\ displaystyle A _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle A _ {\ mu \ nu}}$ . тензор Риччи определяется как

R κ ν = Δ U Ψ κ Ψ ν {\ displaystyle R _ {\ kappa \ nu} = \ Delta U \ Psi _ {\ kappa} \ Psi _ { \ nu} \,}

{\ displaystyle R _ {\ kappa \ nu} = \ Delta U \ Psi _ {\ каппа} \ пси _ {\ ню} \,}

что приводит к следующей геометрической формулировке уравнения Пуассона

R μ ν = 4 π G ρ Ψ μ Ψ ν {\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} = 4 \ pi G \ rho \ Psi _ {\ mu} \ Psi _ {\ nu}}

{\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} = 4 \ pi G \ rho \ Psi _ {\ mu} \ Psi _ {\ nu}}

Точнее говоря, если римские индексы i и j изменяются в пространственных координатах 1, 2, 3, то связь задается формулой

Γ 00 i = U, i {\ displaystyle \ Gamma _ {00} ^ {i} = U _ {, i}}

{\ displaystyle \ Gamma _ {00} ^ {i} = U _ {, i}}

тензор кривизны Римана по

R 0 j 0 i = - R 00 ji = U, ij {\ displaystyle R_ {0j0} ^ {i} = - R_ {00j} ^ {i} = U _ {, ij}}

{\ displaystyle R_ {0j0} ^ {i} = - R_ {00j} ^ {i} = U _ {, ij}}

и тензор Риччи и скаляр Риччи на

R = R 00 = Δ U { \ displaystyle R = R_ {00} = \ Delta U}

{\ displaystyle R = R_ {00} = \ Delta U}

, где все не перечисленные компоненты равны нулю.

Обратите внимание, что эта формулировка не требует введения концепции метрики: само соединение дает всю физическую информацию.

Лифт Баргмана

Было показано, что четырехмерная теория гравитации Ньютона – Картана может быть переформулирована как редукция Калуцы – Клейна пятимерной гравитации Эйнштейна вдоль нуля -подобное направление. Этот подъем считается полезным для нерелятивистских голографических моделей.

Ссылки

Библиография

Картан Эли (1923), "Sur les разновидности аффинной связи и теории относительности общего (Première partie) " (PDF), Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 40 : 325, doi : 10.24033 / asens.751
Картан, Эли (1924), "Sur les varétés à connected affine, et la théorie de la relativité généralisée (Première partie) (Suite)" (PDF), Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 41 : 1, doi : 10.24033 / asens.753
Картан, Эли (1955), Œuvres complete, III / 1, Gauthier-Villars, pp. 659, 799
Renn, Jürgen; Schemmel, Matthias, eds. (2007), The Genesis of General Relativity, 4, Springer, pp. 1107–1129 (английский перевод статьи Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. № 40)
Глава 1 в Элерс, Юрген (1973), «Обзор общей теории относительности», в Израиле, Вернер (редактор), Теория относительности, астрофизика и космология, Д. Рейдель, стр. 1–125, ISBN 90-277-0369-8