Теорема Рота

Чтобы узнать о теореме Рота об арифметических прогрессиях, см . Теорему Рота об арифметических прогрессиях. Джозеф Лиувиль Фриман Дайсон в 2005 году Аксель Туэ Карл Сигель в 1975 году

В математике, Roth это теорема является основным результатом в диофантовом приближении к алгебраическим числам. Это качественный тип, утверждающий, что алгебраические числа не могут иметь много «очень хороших» приближений рациональных чисел. За полвека значение слова очень хорошо здесь было уточнено рядом математиков, начиная с Джозефа Лиувилля в 1844 году и продолжая работы Акселя Туэ  ( 1909 ), Карла Людвига Сигеля  ( 1921 ), Фримена Дайсона  ( 1947 ) и Клаус Рот  ( 1955 ).

• 1 Заявление
• 2 Обсуждение
• 3 Методика доказательства
• 4 Обобщения
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 ссылки
• 8 Дальнейшее чтение

Теорема Рота утверждает, что каждое иррациональное алгебраическое число имеет показатель приближения, равный 2. Это означает, что для любого неравенства ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ varepsilongt; 0}$

${\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | lt;{\ frac {1} {q ^ {2+ \ varepsilon}}}}$

может иметь только конечное число решений в взаимно простых целых числах и. Доказательство этого факта Ротом разрешило гипотезу Сигеля. Отсюда следует, что любое иррациональное алгебраическое число α удовлетворяет ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right |gt; {\ frac {C (\ alpha, \ varepsilon)} {q ^ {2+ \ varepsilon}}}}$

с положительным числом, зависящим только от и. ${\ Displaystyle С (\ альфа, \ varepsilon)}$${\ displaystyle \ varepsilongt; 0}$${\ displaystyle \ alpha}$

Первым результатом в этом направлении является теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел, которая дает показатель приближения d для алгебраического числа α степени d  ≥ 2. Этого уже достаточно, чтобы продемонстрировать существование трансцендентных чисел. Туэ понял, что показатель меньше d будет иметь приложения к решению диофантовых уравнений, и в теореме Туэ 1909 года установил показатель степени. Теорема Зигеля улучшает это до показателя порядка 2 √ d, а теорема Дайсона 1947 года имеет показатель порядка √ 2 d. ${\ Displaystyle д / 2 + 1 + \ varepsilon}$

Результат Рота с показателем степени 2 в некотором смысле является наилучшим из возможных, потому что это утверждение не сработает при установке: по теореме Дирихле о диофантовом приближении в этом случае существует бесконечно много решений. Однако есть более сильная гипотеза Сержа Ланга, что ${\ displaystyle \ varepsilon = 0}$

${\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | lt;{\ frac {1} {q ^ {2} \ log (q) ^ {1+ \ varepsilon}}}}$

может иметь только конечное число решений в целых числах p и q. Если позволить α пробегать весь набор действительных чисел, а не только алгебраические действительные числа, то и вывод Рота, и заключение Лэнга справедливы почти для всех. Таким образом, и теорема, и гипотеза утверждают, что определенное счетное множество не соответствует определенному множеству нулевой меры. ${\ displaystyle \ alpha}$

Теорема не является в настоящее время эффективная : то есть, там не связана известно о возможных значениях р, д данного. Давенпорт и Рот (1955) показали, что методы Рота могут быть использованы для получения эффективной оценки числа p / q, удовлетворяющих неравенству, с использованием принципа «разрыва». Тот факт, что мы на самом деле не знаем C (ε), означает, что проект решения уравнения или ограничения размера решений недостижим. ${\ displaystyle \ alpha}$

Техника доказательства включает построение вспомогательного многомерного полинома от сколь угодно большого числа переменных в зависимости от, что приводит к противоречию при наличии слишком большого количества хороших приближений. Более конкретно, можно найти определенное количество рациональных приближений к рассматриваемому иррациональному алгебраическому числу, а затем применить функцию к каждому из них одновременно (т.е. каждое из этих рациональных чисел служит входом для уникальной переменной в выражении, определяющем нашу функцию). По своей природе он был неэффективным (см. Эффективные результаты в теории чисел ); это представляет особый интерес, поскольку основное применение результатов этого типа состоит в ограничении числа решений некоторых диофантовых уравнений. ${\ displaystyle \ varepsilon}$

Существует многомерная версия основного результата - теорема Шмидта о подпространстве. Также существует множество расширений, например, с использованием p-адической метрики, основанной на методе Рота.

Уильям Дж. Левек обобщил результат, показав, что аналогичная оценка верна, когда аппроксимирующие числа берутся из фиксированного поля алгебраических чисел. Определим высоту H (ξ) алгебраического числа ξ как максимум абсолютных значений коэффициентов его минимального многочлена. Зафиксируем κgt; 2. Для заданного алгебраического числа α и поля алгебраических чисел K уравнение

${\ Displaystyle | \ альфа - \ xi | lt;{\ гидроразрыва {1} {H (\ xi) ^ {\ kappa}}}}$

имеет лишь конечное число решений в элементах £ из K.

• Теорема Давенпорта – Шмидта
• Гипотеза Гранвиля – Ланжевена
• Теорема Стёрмера

• Давенпорт, Х. ; Рот, Клаус Фридрих (1955), "Рациональные приближения к алгебраическим числам", Mathematika, 2 : 160–167, DOI : 10.1112 / S0025579300000814, ISSN   0025-5793, MR   0077577, Zbl   0066.29302
• Дайсон, Freeman J. (1947), "Приближение к алгебраических чисел рациональных чисел", Acta Mathematica, 79 : 225-240, DOI : 10.1007 / BF02404697, ISSN   0001-5962, МР   0023854, Zbl   +0030,02101
• Рот, Клаус Фридрих (1955), "Рациональные приближения к алгебраическим числам", Mathematika, 2 : 1–20, 168, DOI : 10.1112 / S0025579300000644, ISSN   0025-5793, MR   0072182, Zbl   0064.28501
• Вольфганг М. Шмидт (1996) [1980]. «Диофантово приближение». Конспект лекций по математике. 785. Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-540-38645-2. Цитировать журнал требует |journal= ( помощь )
• Вольфганг М. Шмидт (1991). «Диофантовы приближения и диофантовы уравнения». Конспект лекций по математике. 1467. Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / BFb0098246. Цитировать журнал требует |journal= ( помощь )
• Siegel, Карл Людвиг (1921), "Приближение algebraischer Zahlen" (PDF), Mathematische Zeitschrift, 10 (3): 173-213, DOI : 10.1007 / BF01211608, ISSN   0025-5874, МР   1544471
• Туэ-, А. (1909), "Убер Annäherungswerte algebraischer Zahlen", Журнал für фильеры Reine унд Angewandte Mathematik, 135 : 284-305, DOI : 10,1515 / crll.1909.135.284, ISSN   0075-4102

• Бейкер, Алан (1975). Теория трансцендентных чисел. Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-20461-5. Zbl   0297.10013.
• Бейкер, Алан ; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия. Новые математические монографии. 9. Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-88268-2. Zbl   1145.11004.
• Бомбьери, Энрико ; Габлер, Вальтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии. Новые математические монографии. 4. Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-71229-3. Zbl   1130.11034.
• Войта, Пол (1987). Диофантовы приближения и теория распределения ценностей. Конспект лекций по математике. 1239. Springer-Verlag. ISBN   3-540-17551-2. Zbl   0609.14011.