Войти
В математике можно объединить несколько колец в одно большое кольцо продукта . Для этого задается декартово произведение семейства колец (возможно бесконечного) покоординатного сложения и умножения. Полученное кольцо называется прямым произведением исходных колец.
Важным примером является кольцо Z/nZиз целые по модулю n. Если n записано как произведение простых степеней (см. фундаментальная теорема арифметики ),
где p i являются различными простыми числами, то Z/nZестественно изоморфно кольцу произведения
Это следует из китайской теоремы об остатках.
Если R = Π i∈I Riявляется произведением колец, то для каждого i в I мы имеем сюръективный гомоморфизм колец pi: R → R i, который проецирует произведение на i-ю координату. Произведение R вместе с проекциями p i обладает следующим универсальным свойством :
Это показывает, что произведение колец является экземпляром произведений в смысле теории категорий.
Когда I конечно, основная аддитивная группа Π i∈I Riсовпадает с прямой суммой аддитивных групп R i. В этом случае некоторые авторы называют R «прямой суммой колец R i » и пишут ⊕ i∈I Ri, но это неверно с точки зрения теории категорий, поскольку обычно это не сопродукт в категории колец: например, когда два или более из R i отличны от нуля, карта включения R i → R не отображает 1 в 1 и, следовательно, не является гомоморфизмом колец.
(Конечное копроизведение в категории коммутативных (ассоциативных) алгебр над коммутативным кольцом - это тензорное произведение алгебр. Копроизведение в категории алгебр - это свободное произведение алгебр.)
Прямые произведения коммутативны и ассоциативны (с точностью до изоморфизма), что означает, что не имеет значения, в каком порядке формируется прямой продукт.
Если A i является идеалом для R i для каждого i в I, то A = Π i∈I Ai- идеал кольца R. Если I конечно, то верно обратное, т. Е. Каждый идеал кольца R имеет этот вид. Однако, если I бесконечно и кольца R i не равны нулю, то обратное неверно: множество элементов со всеми, кроме конечного числа ненулевых координат образует идеал, который не является прямым продуктом идеалов из R и. Идеал A является простым идеалом в R, если все, кроме одного, из A i равны R i, а остальные A i - простой идеал в R i. Однако обратное неверно, когда I бесконечно. Например, прямая сумма R i образует идеал, не содержащийся ни в одном таком A, но аксиома выбора дает, что он содержится в некотором максимальный идеал, который тем более является простым числом.
Элемент x в R является единицей тогда и только тогда, когда все его компоненты являются единицами, т. Е. Тогда и только тогда, когда p i (x) является единицей в R i для каждого i в I. Группа единиц R является произведением групп единиц R i.
Произведение двух или более ненулевых колец всегда имеет ненулевое значение делители нуля : если x является элементом продукта, все координаты которого равны нулю, кроме p i (x), и y является элементом продукта со всеми нулевыми координатами, кроме p j (y) где i ≠ j, то xy = 0 в кольце произведения.
