Точечная операция процесса

редактировать

В вероятность и статистика, точечная операция процесса или точечное преобразование процесса - это тип математической операции, выполняемой над случайным объектом, известным как точечный процесс, которые часто используются как математические модели явлений, которые можно представить в виде точек, случайно расположенных в пространстве. Эти операции могут быть чисто случайными, детерминированными или и тем, и другим, и используются для построения новых точечных процессов, которые затем также могут использоваться в качестве математических моделей. Операции могут включать в себя удаление или прореживание точек из точечного процесса, объединение или наложение множества точечных процессов в один точечный процесс или преобразование основного пространства точечного процесса в другое пространство. Операции точечных процессов и результирующие точечные процессы используются в теории точечных процессов и связанных областях, таких как стохастическая геометрия и пространственная статистика.

Одноточечный процесс, который дает особенно Удобный результат при операциях случайных точечных процессов - это точечный процесс Пуассона. Точечный процесс Пуассона часто демонстрирует тип математического замыкания, так что, когда операция точечного процесса применяется к некоторому точечному процессу Пуассона, затем предоставляются некоторые условия для точечный процесс, результирующий процесс часто будет другой операцией точечного процесса Пуассона, поэтому он часто используется в качестве математической модели.

Операции точечного процесса изучались в математическом пределе как количество примененных операций случайного точечного процесса приближается к бесконечности. Это привело к операциям точечных процессов, которые берут свое начало в новаторской работе Конни Палм в 1940-х, а затем Александра Хинчина в 1950-х и 1960-х, которые оба изучали точечные процессы на реальной линии в контексте изучения поступления телефонных звонков и теории массового обслуживания в целом. При условии, что исходный точечный процесс и операция точечного процесса удовлетворяют определенным математическим условиям, тогда, когда операции точечного процесса применяются к процессу, часто результирующий точечный процесс будет вести себя стохастически больше как точечный процесс Пуассона, если он имеет неслучайное средний показатель, который дает среднее количество точек точечного процесса, расположенных в некоторой области. Другими словами, в пределе, когда количество применяемых операций приближается к бесконечности, точечный процесс сходится по распределению (или слабо) к точечному процессу Пуассона или, если его мера является случайной мерой, к точечному процессу Кокса . Результаты сходимости, такие как теорема Палма-Хинчина для процессов восстановления, затем также используются для обоснования использования точечного процесса Пуассона в качестве математического метода различных явлений.

Содержание

Обозначение 1-точечного процесса
2 Примеры операций
- 2.1 Разбавление
- 2.2 Суперпозиция
  - 2.2.1 Случай точечного процесса Пуассона
- 2.3 Кластеризация
- 2.4 Случайное смещение и перевод
  - 2.4.1 Теорема смещения
- 2.5 Преобразование пространства
  - 2.5.1 Теорема отображения
3 Сходимость операций точечного процесса
4 Ссылки

Обозначение точечного процесса

Точечные процессы - это математические объекты, которые можно использовать для представления наборов точек, случайно разбросанных в некотором нижележащем математическом пространстве. У них есть ряд интерпретаций, что отражено в различных типах нотации точечного процесса. Например, если точка $x {\ displaystyle \ textstyle x}$ $\ textstyle x$ принадлежит или является членом точечного процесса, это обозначается $N {\ displaystyle \ textstyle {N}}$ $\ textstyle {N}$ , то это можно записать как:

x ∈ N, {\ displaystyle \ textstyle x \ in {N},}

\ textstyle x \ in {N},

и представляет точечный процесс как случайный набор. В качестве альтернативы, количество точек $N {\ displaystyle \ textstyle {N}}$ $\ textstyle {N}$ , расположенных в некотором наборе Бореля $B {\ displaystyle \ textstyle B}$ $\ textstyle B$ часто записывается как:

N (B), {\ displaystyle \ textstyle {N} (B),}

\ textstyle {N} (B),

, что отражает интерпретацию случайной меры для точечных процессов.

Точечный процесс должен быть определен в базовом математическом пространстве. Часто это пространство является d-мерным евклидовым пространством, обозначенным здесь $R d {\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$ $\ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}$ , хотя точечные процессы могут быть определены более аннотация математические пространства.

Примеры операций

Для разработки подходящих моделей с точечными процессами в стохастической геометрии, пространственной статистике и связанных областях существует ряд полезных преобразований, которые могут быть выполнены по точечным процессам, включая: прореживание, суперпозицию, отображение (или преобразование пространства), кластеризацию и случайное смещение.

Прореживание

Операция прореживания влечет за собой использование некоторого предопределенного правила для удаления точек из точечного процесса $N {\ displaystyle \ textstyle {N}}$ $\ textstyle {N}$ для формирования нового точечного процесса $N p {\ displaystyle \ textstyle {N} _ {p}}$ $\ textstyle {N} _ {p}$ . Эти правила прореживания могут быть детерминированными, то есть не случайными, как в случае одного из простейших правил, известных как $p {\ displaystyle \ textstyle p}$ $\ textstyle p$ -thinning: каждая точка $N {\ displaystyle \ textstyle {N}}$ $\ textstyle {N}$ независимо удаляется (или сохраняется) с некоторой вероятностью $p {\ displaystyle \ textstyle p}$ $\ textstyle p$ (или $1 - п {\ displaystyle \ textstyle 1-p}$ $\ textstyle 1-p$ ). Это правило можно обобщить, введя неотрицательную функцию $p (x) ≤ 1 {\ displaystyle \ textstyle p (x) \ leq 1}$ $\ textstyle p (x) \ leq 1$ для определения зависимых от местоположения $p (x) {\ displaystyle \ textstyle p (x)}$ $\ textstyle п (х)$ -thinning, где теперь вероятность удаления точки составляет $p (x) {\ displaystyle \ textstyle p (x)}$ $\ textstyle п (х)$ и зависит от того, где расположена точка $N {\ displaystyle \ textstyle {N}}$ $\ textstyle {N}$ в нижележащем пространстве. Дальнейшее обобщение состоит в том, что вероятность прореживания $p {\ displaystyle \ textstyle p}$ $\ textstyle p$ сама случайна.

Все эти три операции представляют собой типы независимого прореживания, что означает, что взаимодействие между точками не влияет на то, где точка удаляется (или сохраняется). Другое обобщение включает зависимое прореживание, когда точки точечного процесса удаляются (или сохраняются) в зависимости от их расположения по отношению к другим точкам точечного процесса. Прореживание можно использовать для создания новых точечных процессов, таких как процессы жесткого ядра, в которых точки не существуют (из-за утонения) в пределах определенного радиуса каждой точки в процессе утонения точек.

Суперпозиция

Операция наложения используется для объединения двух или более точечных процессов вместе в одно лежащее в основе математическое пространство или пространство состояний. Если существует счетный набор или набор точечных процессов $N 1, N 2… {\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$ $\ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots$ со средними показателями $Λ 1, Λ 2,… {\ displaystyle \ textstyle \ Lambda _ {1}, \ Lambda _ {2}, \ dots}$ $\ textstyle \ Lambda _ {1}, \ Lambda _ {2}, \ dots$ , затем их суперпозиция

N = ⋃ i = 1 ∞ N i, {\ displaystyle {N} = \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} {N} _ {i},}

{N} = \ bigcup _ {я = 1} ^ {\ infty} {N} _ {i},

также образует точечный процесс. В этом выражении операция суперпозиции обозначается объединением множеств ), что подразумевает интерпретацию случайных множеств точечных процессов; см. Обозначение точечного процесса для получения дополнительной информации.

Точечный процесс Пуассона

В случае, когда каждый $N i {\ displaystyle \ textstyle {N} _ {i}}$ $\ textstyle {N} _i$ является точечным процессом Пуассона, то результирующий процесс $N {\ displaystyle \ textstyle {N}}$ $\ textstyle {N}$ также является точечным процессом Пуассона со средней интенсивностью

Λ = ∑ i = 1 ∞ Λ i. {\ displaystyle \ Lambda = \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {\ infty} \ Lambda _ {i}.}

\ Lambda = \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {\ infty} \ Lambda _ {i}.

Кластеризация

Точечная операция, известная как кластеризация влечет за собой замену каждой точки $x {\ displaystyle \ textstyle x}$ $\ textstyle x$ в данном процессе точки $N {\ displaystyle \ textstyle {N}}$ $\ textstyle {N}$ кластером точек $N x {\ displaystyle \ textstyle N ^ {x}}$ $\ textstyle N ^ x$ . Каждый кластер - это тоже точечный процесс, но с конечным числом точек. Объединение всех кластеров образует точечный процесс кластера

N c = ⋃ x ∈ N N x. {\ displaystyle {N} _ {c} = \ bigcup _ {x \ in {N}} N ^ {x}.}

{N} _c = \ bigcup_ {x \ in {N}} N ^ x.

Часто предполагается, что кластеры $N x {\ displaystyle \ textstyle N ^ {x}}$ $\ textstyle N ^ x$ - это все наборы конечных точек, каждый из которых независим и одинаково распределен. Кроме того, если исходный точечный процесс $N {\ displaystyle \ textstyle {N}}$ $\ textstyle {N}$ имеет постоянную интенсивность $λ {\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$ $\ textstyle \ lambda$ , тогда интенсивность процесса точки кластера $N c {\ displaystyle \ textstyle {N} _ {c}}$ $\ textstyle {N} _ {c}$ будет

λ c = c λ, {\ displaystyle \ lambda _ {c } = c \ lambda,}

\ lambda_c = c \ lambda,

, где константа $c {\ displaystyle \ textstyle c}$ $\ textstyle c$ - это среднее количество точек в каждом $N x {\ displaystyle \ textstyle N ^ {x}}$ $\ textstyle N ^ x$ .

Случайное смещение и перенос

Математическая модель может потребовать случайного перемещения точек точечного процесса из одних мест в другие места в нижележащем математическом пространстве. Эта операция точечного процесса называется случайным смещением или смещением . Если каждая точка в процессе смещается или транслируется независимо от всех остальных точек в процессе, тогда операция образует независимое смещение или перенос. Обычно предполагается, что все случайные переводы имеют общее распределение вероятностей ; следовательно, смещения образуют набор независимых и одинаково распределенных случайных векторов в лежащем в основе математическом пространстве.

Применение случайных смещений или преобразований к точечным процессам может использоваться в качестве математических моделей мобильности объектов, например, в экологических или беспроводных сетях.

Теорема смещения

Результат известная как теорема смещения эффективно утверждает, что случайное независимое смещение точек точечного процесса Пуассона (в том же нижележащем пространстве) образует другой точечный процесс Пуассона.

Преобразование пространства

Еще одно свойство, которое считается полезным, - это способность отображать точечный процесс из одного базового пространства в другое пространство. Например, точечный процесс, определенный на плоскости R, может быть преобразован из декартовых координат в полярных координат.

Теорема отображения

При условии, что отображение (или преобразование) придерживается некоторых условий, тогда результат, иногда известный как Теорема отображения, гласит, что если исходный процесс является точечным процессом Пуассона с некоторой мерой интенсивности, то результирующий отображенный (или преобразованный) набор точек также образует точечный процесс Пуассона с другой мерой интенсивности.

Конвергенция точечных операций процесса

Точечная операция, выполняемая один раз в некотором точечном процессе, в общем случае может выполняться снова и снова. В теории точечных процессов были получены результаты для изучения поведения результирующего точечного процесса посредством сходимости результатов в пределе, когда количество выполненных операций приближается к бесконечности. Например, если каждая точка в общем точечном процессе многократно смещается определенным случайным и независимым образом, то новый точечный процесс, неформально говоря, будет все больше и больше напоминать точечный процесс Пуассона. Аналогичные результаты сходимости были получены для операций прореживания и наложения (с соответствующим изменением масштаба нижележащего пространства).

Ссылки

^ D. Стоян, В. С. Кендалл, Дж. Меке и Л. Рушендорф. Стохастическая геометрия и ее приложения, том 2. Wiley Chichester, 1995.
^ J. Ф. К. Кингман. Процессы Пуассона, том 3. Oxford University Press, 1992.
^О. Калленберг. Случайные меры. Страницы 173-175, Академический пр., 1983.
^ Д. Дж. Дейли и Д. Вер-Джонс. Введение в теорию точечных процессов. Vol. {II}. Вероятность и ее приложения (Нью-Йорк). Спрингер, Нью-Йорк, второе издание, 2008 г.
^ Ф. Баччелли и Б. Блащишин. Стохастическая геометрия и беспроводные сети, Том II - Приложения, том 4, № 1-2 Основы и тенденции в сетях. NoW Publishers, 2009.
^Моллер, Дж.; Пленге Ваагепетерсен, Р. (2003). Статистический вывод и моделирование процессов пространственных точек. Монографии C H / CRC по статистике и прикладной вероятности. 100 . CiteSeerX 10.1.1.124.1275. doi : 10.1201 / 9780203496930. ISBN 978-1-58488-265-7.
^ F. Баччелли и Б. Блащишин. Стохастическая геометрия и беспроводные сети, Том I - Теория, том 3, № 3-4, Основы и тенденции в сетях. NoW Publishers, 2009.
^А. Баддели, И. Барань и Р. Шнайдер. Процессы пространственных точек и их приложения. Стохастическая геометрия: Лекции, прочитанные на Летней школе CIME, проходившей в Мартина-Франка, Италия, 13–18 сентября 2004 г., страницы 1–75, 2007 г.