Подгруппа Omega и agemo

В математике, или более конкретно теория групп, omega и agemoподгруппы описали так называемую «силовую структуру» конечная p-группа. Они были введены в (Hall 1933), где они использовались для описания класса конечных p-групп, структура которых была достаточно похожа на структуру конечных абелевых p-групп, так что называется, регулярными p-группами. Взаимосвязь между мощностью и коммутаторной структурой образует центральную тему в современном исследовании p-групп, как это проиллюстрировано в работе по равномерно мощным p-группам.

Слово «агемо» просто «омега» пишется наоборот, а подгруппа агемо обозначается перевернутой омегой.

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Свойства
• 4 Приложения
• 5 Ссылки

Подгруппы омега - это серии подгрупп конечного p-группа G, индексированная натуральными числами:

$\Omega \; i\; (G)\; =\; ⟨\{g:\; gpi\; =\; 1\}⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; \_\; \{i\}\; (G)\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; \{g:\; g\; ^\; \{p\; ^\; \{i\}\}\; =\; 1\; \backslash \}\; \backslash \; rangle.\}$

Подгруппы agemo представляют собой серию подгрупп:

$\mho \; i\; (G)\; =\; ⟨\{gpi:\; g\; \in \; G\}⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mho\; ^\; \{i\}\; (G)\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; \{g\; ^\; \{p\; ^\; \{i\}\}:\; g\; \backslash \; in\; G\; \backslash \}\; \backslash \; rangle.\}$

Если i = 1 и p нечетно, тогда i обычно не включается в определение. Когда p четно, пропущенный i может означать либо i = 1, либо i = 2 в зависимости от местного соглашения. В этой статье мы используем соглашение, согласно которому опущенный i всегда означает i = 1.

Группа диэдра порядка 8, G, удовлетворяет: ℧ ( G) = Z (G) = [G, G] = Φ (G) = Soc (G) - единственная нормальная подгруппа порядка 2, обычно реализуемая как подгруппа, содержащая единицу и поворот на 180 °. Однако Ω (G) = G - вся группа, так как G порождается отражениями. Это показывает, что Ω (G) не обязательно должно быть множеством элементов порядка p.

Группа кватернионов порядка 8, H, удовлетворяет Ω (H) = ℧ (H) = Z (H) = [H, H] = Φ (H) = Soc ( H) - единственная подгруппа порядка 2, обычно реализуемая как подгруппа, содержащая только 1 и −1.

Силовская p-подгруппа, P, симметрической группы на p точках является сплетением двух циклических групп. первого порядка. Когда p = 2, это просто группа диэдра порядка 8. Она также удовлетворяет равенству Ω (P) = P. Снова ℧ (P) = Z (P) = Soc (P) является циклической группой порядка p, но [P, P] = Φ (G) - элементарный абелев порядка p.

полупрямое произведение циклической группы порядка 4, действующей нетривиально на циклическую группу порядка 4,

$K\; =\; ⟨a,\; b:\; a\; 4\; =\; b\; 4\; =\; 1,\; ba\; =\; ab\; 3⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; \backslash \; langle\; a,\; b:\; a\; ^\; \{4\}\; =\; b\; ^\; \{4\}\; =\; 1,\; ba\; =\; ab\; ^\; \{3\}\; \backslash \; rangle,\}$

имеет ℧ ( K) элементарный абелев порядка 4, но множество квадратов просто {1, aa, bb}. Здесь элемент aabb из (K) не является квадратом, показывая, что ℧ - это не просто набор квадратов.

В этом разделе пусть G будет конечной p-группой порядка | G | = p и exponent exp (G) = p обладают рядом полезных свойств.

Общие свойства

• И Ω i (G), и ℧ (G) являются характеристическими подгруппами группы G для всех натуральных чисел, т.е.
• подгруппы омега и агемо образуют две нормальные серии :

G = ℧ (G) ≥ ℧ (G) ≥ ℧ (G) ≥... ≥ ℧ (G) ≥ ℧ (G)>℧ (G) = 1

G = Ω k (G) ≥ Ω k − 1 (G) ≥ Ω k − 2 (G) ≥... ≥ Ω 2 (G) ≥ Ω 1 (G)>Ω 0 (G) = 1

, и ряды слабо связаны: Для всех i от 1 до k:

℧ (G) ≤ Ω k − i (G), но

℧ (G) не содержится в Ω k − i (G).

Поведение при частных и подгруппах

Если H ≤ G является подгруппой группы G, а N ⊲ G является нормальной подгруппой G, то:

• ℧ (H) ≤ H ∩ ℧ (G)
• Ωi(H) = H ∩ Ω i (G)
• ℧ (N) ⊲ G
• Ωi(N) ⊲ G
• ℧ (G / N) = ℧ (G) N / N
• Ωi(G / N) ≥ Ω i (G) N / N

Отношение к другим важным подгруппам

• Soc (G) = Ω (Z (G)), подгруппа, состоящая из центральных элементов порядка p, является цоколем, Soc (G) в G
• Φ (G) = ℧ (G) [G, G] подгруппа, порожденная всеми p-ю степенями rs и коммутаторы - это подгруппа Фраттини, Φ (G) группы G.

Отношения в специальных классах групп

• в абелевой p-группе или в более общем смысле в регулярной p-группе:

| ℧ (G) | ⋅ | Ω i (G) | = | G |

[℧ (G): ℧ (G)] = [Ω i (G): Ω i + 1 (G)],

где | H | является порядком H и [H: K] = | H | / | K | обозначает индекс подгрупп K ≤ H.

Первым применением подгрупп omega и agemo было проведение аналогии с обычным p -группы с абелевыми p-группами в (Hall 1933).

Группы, в которых Ω (G) ≤ Z (G), были изучены Джоном Г. Томпсоном и получили несколько более поздних приложений.

Двойственное понятие, группы с [G, G] ≤ ℧ (G) называются мощными p-группами и были введены. Эти группы сыграли решающую роль в доказательстве гипотез кокласса, которые открыли важный способ понимания структуры и классификации конечных p-групп.

• Dixon, J.D.; дю Сотуа, М. П. Ф. ; Mann, A.; Сигал, Д. (1991), Аналитические про-p-группы, Cambridge University Press, ISBN 0-521-39580-1, MR 1152800
• Hall, Филип (1933), «Вклад в теорию групп со степенью простого числа», Труды Лондонского математического общества, 36 : 29–95, doi : 10.1112 / plms / s2-36.1.29
• Лидхэм-Грин, CR ; Маккей, Сьюзен (2002), Структура групп с простым степенным порядком, Монографии Лондонского математического общества. New Series, 27, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853548-5, MR 1918951
• McKay, Susan (2000), Finite p-groups, Queen Mary Maths Notes, 18, Лондонский университет, ISBN 978-0-902480-17-9, MR 1802994