Многомерное преобразование

В математическом анализе и приложениях многомерные преобразования используются для анализа частотного содержания сигналов в области двух или более измерений.

• 1 Многомерное преобразование Фурье
  • 1.1 Свойства преобразования Фурье
    • 1.1.1 Линейность
    • 1.1.2 Сдвиг
    • 1.1.3 Модуляция
    • 1.1.4 Умножение
    • 1.1.5 Дифференциация
    • 1.1.6 Транспонирование
    • 1.1.7 Отражение
    • 1.1.8 Комплексное сопряжение
    • 1.1.9 Теорема Парсеваля (MD)
    • 1.1.10 Разделимость
  • 1.2 МД БПФ
  • 1.3 MD DFT
• 2 Многомерное дискретное косинусное преобразование
• 3 Многомерное преобразование Лапласа
• 4 Многомерное Z-преобразование ^[5]
  • 4.1 Область конвергенции
• 5 приложений
  • 5.1 Обработка изображений
  • 5.2 Спектральный анализ
  • 5.3 Уравнения с частными производными
  • 5.4 Обработка изображений для анализа художественной поверхности с помощью БПФ
  • 5.5 Применение к моделированию слабонелинейных схем ^[13]
• 6 См. Также
• 7 ссылки

Одним из наиболее популярных многомерных преобразований является преобразование Фурье, которое преобразует сигнал из представления во временной / пространственной области в представление частотной области. Многомерное преобразование Фурье (FT) в дискретной области может быть вычислено следующим образом:

${\ Displaystyle F (w_ {1}, w_ {2}, \ dots, w_ {m}) = \ sum _ {n_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {n_ {2} = - \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ sum _ {n_ {m} = - \ infty} ^ {\ infty} f (n_ {1}, n_ {2}, \ dots, n_ {m}) e ^ {- iw_ {1} n_ {1} -iw_ {2} n_ {2} \ cdots -iw_ {m} n_ {m}}}$

где F - многомерное преобразование Фурье, m - многомерное измерение. Определите f как многомерный сигнал в дискретной области. Обратное многомерное преобразование Фурье дается формулой

${\ displaystyle f (n_ {1}, n_ {2}, \ dots, n_ {m}) = \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ right) ^ {m} \ int _ { - \ pi} ^ {\ pi} \ cdots \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} F (w_ {1}, w_ {2}, \ ldots, w_ {m}) e ^ {iw_ {1 } n_ {1} + iw_ {2} n_ {2} + \ cdots + iw_ {m} n_ {m}} \, dw_ {1} \ cdots \, dw_ {m}}$

Многомерное преобразование Фурье для сигналов непрерывной области определяется следующим образом:

${\ Displaystyle F (\ Omega _ {1}, \ Omega _ {2}, \ ldots, \ Omega _ {m}) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t_ {1}, t_ {2}, \ ldots, t_ {m}) e ^ {- i \ Omega _ {1} t_ {1} -i \ Omega _ {2 } t_ {2} \ cdots -i \ Omega _ {m} t_ {m}} \, dt_ {1} \ cdots \, dt_ {m}}$

Свойства преобразования Фурье

Применяются аналогичные свойства одномерного преобразования FT, но вместо входного параметра, представляющего собой единственную запись, это многомерный (MD) массив или вектор. Следовательно, это x (n 1,…, n M) вместо x (n).

Линейность

если, а затем, ${\ displaystyle x_ {1} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X_ {1} (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M})}$${\ displaystyle x_ {2} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X_ {2} (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M})}$

${\ displaystyle ax_ {1} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) + bx_ {2} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm { FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} aX_ {1} (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M}) + bX_ {2} (\ omega _ {1}, \ ldots, \ омега _ {M})}$

Сдвиг

если, то${\ displaystyle x (n_ {1},..., n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ omega _ {1},..., \ omega _ {M})}$ ${\ displaystyle x (n_ {1} -a_ {1},..., n_ {M} -a_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} e ^ {- j (\ omega _ {1} a_ {1} +,..., + \ omega _ {M} a_ {M})} X (\ omega _ {1},..., \ omega _ {M})}$

Модуляция

если, то ${\ displaystyle x (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M})}$

${\ displaystyle e ^ {j (\ theta _ {1} n_ {1} + \ cdots + \ theta _ {M} n_ {M})} x (n_ {1} -a_ {1}, \ ldots, n_ {M} -a_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ omega _ {1} - \ theta _ {1}, \ ldots, \ омега _ {M} - \ theta _ {M})}$

Умножение

если, и${\ displaystyle x_ {1} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X_ {1} (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M})}$${\ displaystyle x_ {2} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X_ {2} (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M})}$

тогда,

${\ displaystyle x_ {1} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) x_ {2} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT }} {}} {\ longleftrightarrow}} {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {M}}} \ int \ limits _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ cdots \ int \ limits _ {- \ pi} ^ {\ pi} X_ {1} (\ omega _ {1} - \ theta _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M} - \ theta _ {M}) X_ {2} (\ theta _ {1}, \ ldots, \ theta _ {M}) \, d \ theta _ {1} \ cdots d \ theta _ {M}}$

( Свертка MD в частотной области)

или же,

${\ displaystyle x_ {1} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) x_ {2} (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT }} {}} {\ longleftrightarrow}} {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {M}}} \ int \ limits _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ cdots \ int \ limits _ {- \ pi} ^ {\ pi} X_ {1} (\ theta _ {1}, \ ldots, \ theta _ {M}) X_ {2} (\ omega _ {1} - \ theta _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M} - \ theta _ {M}) \, d \ theta _ {1} \ cdots d \ theta _ {M}}$

( Свертка MD в частотной области)

Дифференциация

Если, то ${\ displaystyle x (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M})}$

${\ displaystyle -jn_ {1} x (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} {\ frac {\ partial } {(\ partial \ omega _ {1})}} X (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M}),}$

${\ displaystyle -jn_ {2} x (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} {\ frac {\ partial } {(\ partial \ omega _ {2})}} X (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M}),}$

${\ displaystyle (-j) ^ {M} (n_ {1} n_ {2} \ cdots n_ {M}) x (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} {\ frac {(\ partial) ^ {M}} {(\ partial \ omega _ {1} \ partial \ omega _ {2} \ cdots \ partial \ omega _ {M})}} X (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M}),}$

Транспонирование

Если, то ${\ displaystyle x (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M})}$

${\ displaystyle x (n_ {M}, \ ldots, n_ {1}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ omega _ {M}, \ ldots, \ omega _ {1})}$

Отражение

Если, то ${\ displaystyle x (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M})}$

${\ displaystyle x (\ pm n_ {1}, \ ldots, \ pm n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ pm \ omega _ {1}, \ ldots, \ pm \ omega _ {M})}$

Комплексное сопряжение

Если, то ${\ displaystyle x (n_ {1}, \ ldots, n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {M})}$

${\ displaystyle x ^ {*} (\ pm n_ {1}, \ ldots, \ pm n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X ^ { *} (- \ omega _ {1}, \ ldots, - \ omega _ {M})}$

Теорема Парсеваля (MD)

если, а затем, ${\ displaystyle x_ {1} (n_ {1},..., n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X_ {1} (\ omega _ {1},..., \ omega _ {M})}$${\ displaystyle x_ {2} (n_ {1},..., n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X_ {2} (\ omega _ {1},..., \ omega _ {M})}$

${\ displaystyle \ sum _ {n_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty}... \ sum _ {n_ {M} = - \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (n_ {1 },..., n_ {M}) x_ {2} ^ {*} (n_ {1},..., n_ {M}) {=} {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {M}}} \ int \ limits _ {- \ pi} ^ {\ pi}... \ int \ limits _ {- \ pi} ^ {\ pi} X_ {1} (\ omega _ {1},..., \ omega _ {M}) X_ {2} ^ {*} (\ omega _ {1},..., \ omega _ {M}) d \ omega _ {1}... d \ омега _ {M}}$

если, то ${\ displaystyle x_ {1} (n_ {1},..., n_ {M}) {=} x_ {2} (n_ {1},..., n_ {M})}$

${\ displaystyle \ sum _ {n_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty}... \ sum _ {n_ {M} = - \ infty} ^ {\ infty} | x_ {1} (n_ { 1},..., n_ {M}) | ^ {2} {=} {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {M}}} \ int \ limits _ {- \ pi} ^ { \ pi}... \ int \ limits _ {- \ pi} ^ {\ pi} | X_ {1} (\ omega _ {1},..., \ omega _ {M}) | ^ {2} d \ omega _ {1}... d \ omega _ {M}}$

Частный случай теоремы Парсеваля - это когда два многомерных сигнала одинаковы. В этом случае теорема описывает сохранение энергии сигнала, а член суммирования или интеграла представляет собой плотность энергии сигнала.

Отделимость

Одно свойство - это свойство отделимости. Сигнал или система называется разделимой, если она может быть выражена как произведение одномерных функций с различными независимыми переменными. Это явление позволяет вычислить преобразование FT как произведение одномерных FT вместо многомерных FT.

если,,..., и если, то ${\ displaystyle x (n_ {1},..., n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} X (\ omega _ {1},..., \ omega _ {M})}$${\ displaystyle a (n_ {1}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} A (\ omega _ {1})}$${\ displaystyle b (n_ {2}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} B (\ omega _ {2})}$${\ displaystyle y (n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} Y (\ omega _ {M})}$${\ displaystyle x (n_ {1},..., n_ {M}) {=} a (n_ {1}) b (n_ {2})... y (n_ {M})}$

${\ displaystyle X (\ omega _ {1},..., \ omega _ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} x (n_ {1},..., n_ {M}) {=} a (n_ {1}) b (n_ {2})... y (n_ {M}) {\ overset {\ underset {\ mathrm {FT}} {}} {\ longleftrightarrow}} A (\ omega _ {1}) B (\ omega _ {2})... Y (\ omega _ {M})}$, так

${\ displaystyle X (\ omega _ {1},..., \ omega _ {M}) {=} A (\ omega _ {1}) B (\ omega _ {2})... Y (\ омега _ {M})}$

МД БПФ

Быстрое преобразование Фурье (БПФ) представляет собой алгоритм для вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ) и обратный. БПФ вычисляет ДПФ и дает точно такой же результат, что и непосредственная оценка определения ДПФ; единственная разница в том, что БПФ выполняется намного быстрее. (При наличии ошибки округления многие алгоритмы БПФ также намного более точны, чем прямое вычисление определения ДПФ.) Существует множество различных алгоритмов БПФ, включающих широкий диапазон математики, от простой арифметики комплексных чисел до теории групп и чисел. теория. См. Больше в БПФ.

MD DFT

Многомерное дискретное преобразование Фурье (ДПФ) представляет собой дискретную версию преобразования Фурье в дискретной области путем его оценки на равномерно распределенных частотах отсчетов. N 1 × N 2 ×... N м ДПФ определяется по формуле:

${\ displaystyle Fx (K_ {1}, K_ {2}, \ ldots, K_ {m}) = \ sum _ {n_ {1} = 0} ^ {N_ {1} -1} \ cdots \ sum _ { n_ {m} = 0} ^ {N_ {m} -1} fx (n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_ {m}) e ^ {- i {\ frac {2 \ pi} { N_ {1}}} n_ {1} K_ {1} -i {\ frac {2 \ pi} {N_ {2}}} n_ {2} K_ {2} \ cdots -i {\ frac {2 \ pi } {N_ {m}}} n_ {m} K_ {m}}}$

для 0 ≤ K i ≤ N i - 1, i = 1, 2,..., m.

Обратное многомерное уравнение ДПФ имеет вид

${\ displaystyle fx (n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_ {m}) = {\ frac {1} {N_ {1} \ cdots N_ {m}}} \ sum _ {K_ {1 } = 0} ^ {N_ {1} -1} \ cdots \ sum _ {K_ {m} = 0} ^ {N_ {m} -1} Fx (K_ {1}, K_ {2}, \ ldots, K_ {m}) e ^ {i {\ frac {2 \ pi} {N_ {1}}} n_ {1} K_ {1} + i {\ frac {2 \ pi} {N_ {2}}} n_ {2} K_ {2} \ cdots + i {\ frac {2 \ pi} {N_ {m}}} n_ {m} K_ {m}}}$

для 0 ≤ n 1, n 2,..., n m ≤ N (1, 2,..., m) - 1.

Дискретное косинусное преобразование (DCT) используется в широком спектре приложений, таких как сжатие данных, извлечение функций, реконструкция изображения, многокадровое обнаружение и т. Д. Многомерный DCT определяется по формуле:

${\ displaystyle Fx (K_ {1}, K_ {2}, \ ldots, K_ {r}) = \ sum _ {n_ {1} = 0} ^ {N_ {1} -1} \ sum _ {n_ { 2} = 0} ^ {N_ {2} -1} \ cdots \ sum _ {n_ {r} = 0} ^ {N_ {r} -1} fx (n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_ {r}) \ cos {\ frac {\ pi (2n_ {1} +1) K_ {1}} {2N_ {1}}} \ cdots \ cos {\ frac {\ pi (2n_ {r} + 1) К_ {r}} {2N_ {r}}}}$

для k i = 0, 1,..., N i - 1, i = 1, 2,..., r.

Многомерное преобразование Лапласа полезно для решения краевых задач. Краевые задачи с двумя или более переменными, описываемыми уравнениями в частных производных, могут быть решены прямым использованием преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа для M-мерного случая определяется как

${\ Displaystyle F (s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {n}) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cdots \ int _ {0} ^ {\ infty} f ( t_ {1}, t_ {2}, \ ldots, t_ {n}) e ^ {- s_ {n} t_ {n} -s_ {n-1} t_ {n-1} \ cdots \ cdots s_ {1 } t_ {1}} \, dt_ {1} \ cdots \, dt_ {n}}$

где F обозначает представление сигнала f (t) в s-области.

Частный случай (по двум измерениям) многомерного преобразования Лапласа функции f (x, y) определяется как

$${\ Displaystyle F (s_ {1}, s_ {2}) = \ int \ limits _ {0} ^ {\ infty} \ int \ limits _ {0} ^ {\ infty} \ f (x, y) e ^ {- s_ {1} x-s_ {2} y} \, dxdy}$$

${\ Displaystyle F (s_ {1}, s_ {2})}$называется изображением и известен как оригинал. Этот частный случай можно использовать для решения уравнений телеграфа. } ${\ Displaystyle f (х, у)}$${\ Displaystyle f (х, у)}$${\ Displaystyle F (s_ {1}, s_ {2})}$

Многомерное Z-преобразование используется для отображения многомерного сигнала дискретной временной области в Z-область. Это можно использовать для проверки стабильности фильтров. Уравнение многомерного Z-преобразования имеет вид

Рисунок 1.1a

${\ Displaystyle F (z_ {1}, z_ {2}, \ ldots, z_ {m}) = \ sum _ {n_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ sum _ {n_ { m} = - \ infty} ^ {\ infty} f (n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n_ {m}) z_ {1} ^ {- n_ {1}} z_ {2} ^ { -n_ {2}} \ ldots z_ {m} ^ {- n_ {m}}}$

где F обозначает представление сигнала f (n) в z-области.

Частным случаем многомерного Z-преобразования является 2D-Z-преобразование, которое задается как

${\ Displaystyle F (z_ {1}, z_ {2}) = \ sum _ {n_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {n_ {2} = - \ infty} ^ {\ infty} f (n_ {1}, n_ {2}) z_ {1} ^ {- n_ {1}} z_ {2} ^ {- n_ {2}}}$

Преобразование Фурье - это частный случай преобразования Z, вычисляемого по единичной окружности (в 1D) и единичной двуокружности (в 2D). я ем

${\ textstyle z = e ^ {jw}}$ где z и w - векторы.

Область конвергенции

Рисунок 1.1b

Точки ( z 1, z 2) для которых находятся в ОКР. ${\ Displaystyle F (z_ {1}, z_ {2}) = \ sum _ {n_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {n_ {2} = - \ infty} ^ {\ infty} | f (n_ {1}, n_ {2}) || z_ {1} | ^ {- n_ {1}} | z_ {2} | ^ {- n_ {2}}}$ ${\ Displaystyle lt;\ infty}$

Пример:

Если последовательность имеет поддержку, как показано на рисунке 1.1a, то ее ROC показан на рисунке 1.1b. Отсюда следует, что | F ( z 1, z 2) | lt; ∞.

${\ displaystyle (z_ {01}, z_ {02})}$лежит в ROC, то все точки, удовлетворяющие | z1 | ≥ | z01 | и | z2 | ≥ | z02 лежат в ROC. ${\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2})}$

Следовательно, для рисунков 1.1a и 1.1b ROC будет

${\ Displaystyle \ ln | z_ {1} | \ geq \ ln | z_ {01} | {\ text {and}} \ ln | z_ {2} | \ geq L \ ln | z_ {1} | + \ { \ ln | z_ {02} | -L \ ln | z_ {01} | \}}$

где L - наклон.

2D Z-преобразование, похожее на Z-преобразование, используются в многомерной обработке сигнала, чтобы связать двумерный дискретное время сигнала в комплексной частотной области, в которой 2D поверхность в 4D пространстве, что преобразование Фурье лежит на известно как единичная поверхность или единичный бицикл.

DCT и DFT часто используются при обработке сигналов и изображений, а также для эффективного решения уравнений в частных производных спектральными методами. ДПФ также можно использовать для выполнения других операций, таких как свертки или умножение больших целых чисел. DFT и DCT широко используются в большом количестве полей, ниже мы приводим лишь несколько примеров.

Обработка изображений

Двумерные DCT частоты из JPEG DCT

DCT используется для сжатия изображений JPEG, сжатия видео MJPEG, MPEG, DV, Daala и Theora. Здесь вычисляется двумерный DCT-II из N x N блоков, а результаты квантуются и энтропийно кодируются. В этом случае N обычно равно 8, и формула DCT-II применяется к каждой строке и столбцу блока. Результатом является массив коэффициентов преобразования 8x8, в котором элемент: (0,0) (вверху слева) представляет собой компонент DC (нулевой частоты), а записи с увеличивающимися значениями индекса по вертикали и горизонтали представляют более высокие пространственные частоты по вертикали и горизонтали, как показано на картинке справа.

При обработке изображений можно также анализировать и описывать нетрадиционные криптографические методы, основанные на 2D DCT, для вставки невидимых двоичных водяных знаков в плоскость 2D изображения, и в соответствии с различными ориентациями может применяться двумерное направленное гибридное преобразование DCT-DWT. в шумоподавлении ультразвуковых изображений. Трехмерный DCT также может использоваться для преобразования видеоданных или данных трехмерного изображения в схемах внедрения водяных знаков в области преобразования.

Спектральный анализ

Когда ДПФ используется для спектрального анализа, последовательность { x n } обычно представляет собой конечный набор равномерно распределенных временных отсчетов некоторого сигнала x ( t), где t представляет время. Переход от непрерывного времени к образцам ( с дискретным временем) меняет лежащий в основе преобразования Фурье от й ( т) в дискретное время преобразования Фурье (DTFT), который обычно влечет за собой тип искажения называется наложение спектров. Выбор подходящей частоты дискретизации (см. Частота Найквиста ) является ключом к минимизации этого искажения. Точно так же преобразование очень длинной (или бесконечной) последовательности в управляемый размер влечет за собой тип искажения, называемый утечкой, который проявляется в виде потери деталей (или разрешения) в DTFT. Выбор подходящей длины подпоследовательности является основным ключом к минимизации этого эффекта. Когда доступных данных (и времени на их обработку) больше, чем количество, необходимое для достижения желаемого частотного разрешения, стандартным методом является выполнение нескольких ДПФ, например, для создания спектрограммы. Если желаемый результат представляет собой спектр мощности, а в данных присутствует шум или случайность, усреднение составляющих амплитуды нескольких ДПФ является полезной процедурой для уменьшения дисперсии спектра (также называемой периодограммой в этом контексте); два примера таких методов являются метод Велч и метод Бартлетта ; Общий предмет оценки спектра мощности зашумленного сигнала называется спектральной оценкой.

Последним источником искажения (или, возможно, иллюзии) является само ДПФ, потому что это всего лишь дискретная выборка ДВПФ, которая является функцией непрерывной частотной области. Это можно смягчить, увеличив разрешение ДПФ. Эта процедура проиллюстрирована в § Выборка ДВПФ.

• Процедуру иногда называют заполнением нулями, что является конкретной реализацией, используемой в сочетании с алгоритмом быстрого преобразования Фурье (БПФ). Неэффективность умножения и сложения с нулевыми «выборками» более чем компенсируется внутренней эффективностью БПФ.
• Как уже отмечалось, утечка накладывает ограничение на собственное разрешение DTFT. Таким образом, есть практический предел преимуществ, которые можно получить от мелкозернистого ДПФ.

Уравнения с частными производными

Дискретные преобразования Фурье часто используются для решения уравнений в частных производных, где снова ДПФ используется в качестве приближения для ряда Фурье (который восстанавливается в пределе бесконечного N). Преимущество этого подхода состоит в том, что он расширяет сигнал в комплексные экспоненты e ^inx, которые являются собственными функциями дифференцирования: d / dx e ^inx = in e ^inx. Таким образом, в представлении Фурье дифференцировать просто - мы просто умножаем на in. (Обратите внимание, однако, что выбор n не является уникальным из-за наложения имен; для того, чтобы метод был сходимым, следует использовать выбор, аналогичный выбору в разделе тригонометрической интерполяции выше.) Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами преобразуется в легко решаемое алгебраическое уравнение. Затем используется обратное ДПФ, чтобы преобразовать результат обратно в обычное пространственное представление. Такой подход называется спектральным методом.

DCT также широко используются при решении уравнений в частных производных спектральными методами, где различные варианты DCT соответствуют немного разным четным / нечетным граничным условиям на двух концах массива.

Преобразования Лапласа используются для решения уравнений в частных производных. Общая теория получения решений в этой технике развивается на основе теорем о преобразовании Лапласа в n измерениях.

Многомерное Z-преобразование также можно использовать для решения уравнений в частных производных.

Обработка изображений для анализа художественной поверхности методом БПФ

Одним из очень важных факторов является то, что мы должны применять неразрушающий метод для получения этой редкой ценной информации (с точки обзора HVS, сфокусированной на всей колориметрической и пространственной информации) о произведениях искусства и нулевом повреждении на них. Мы можем понять искусство, глядя на изменение цвета или измеряя изменение однородности поверхности. Поскольку все изображение будет очень огромным, мы используем окно с двойным приподнятым косинусом, чтобы обрезать изображение:

${\ displaystyle w (x, y) = {\ frac {1} {4}} \ left (1+ \ cos {\ frac {x \ pi} {N}} \ right) \ left (1+ \ cos { \ frac {y \ pi} {N}} \ right)}$

где N - размер изображения, а x, y - координаты центра изображения в диапазоне от 0 до N / 2. Автор хотел вычислить равное значение для пространственной частоты, например:

${\ displaystyle {\ begin {align} A_ {m} (f) ^ {2} = \ left [\ sum _ {i = -f} ^ {f} \ right. amp; \ operatorname {FFT} (-f, i) ^ {2} + \ sum _ {i = -f} ^ {f} \ operatorname {FFT} (f, i) ^ {2} \\ [5pt] amp; \ left. {} + \ sum _ { i = -f + 1} ^ {f-1} \ operatorname {FFT} (i, -f) ^ {2} + \ sum _ {i = -f + 1} ^ {f-1} \ operatorname {FFT } (я, е) ^ {2} \ right] \ end {выровнено}}}$

где «FFT» обозначает быстрое преобразование Фурье, а f - диапазон пространственной частоты от 0 до N / 2 - 1. Предлагаемый подход к визуализации на основе БПФ является диагностической технологией, обеспечивающей долгую жизнь и устойчивость к культуре искусства. Это простой, дешевый, который можно использовать в музеях, не влияя на их повседневное использование. Но этот метод не позволяет количественно измерить скорость коррозии.

Приложение к моделированию слабонелинейных схем

Пример слабонелинейной схемы

Обратное многомерное преобразование Лапласа может применяться для моделирования нелинейных схем. Это делается путем формулирования схемы как пространства состояний и расширения обратного преобразования Лапласа на основе разложения функции Лагерра.

Метод Лагерра можно использовать для моделирования слабо нелинейной схемы, а метод Лагерра может эффективно и с высокой точностью инвертировать многомерное преобразование Лапласа.

Замечено, что высокая точность и значительное ускорение могут быть достигнуты для моделирования больших нелинейных схем с использованием многомерных преобразований Лапласа.

• Дискретное косинусное преобразование
• Список преобразований, связанных с Фурье
• Список тем анализа Фурье
• Многомерная дискретная свертка
• 2D Z-преобразование
• Разложение многомерных эмпирических мод
• Реконструкция многомерного сигнала