Уравнения телеграфа

редактировать

Уравнения телеграфа (или просто уравнения телеграфа) представляют собой пару связанных линейных дифференциальных уравнений в частных производных, которые описывают напряжение и ток в линии электропередачи с расстоянием и временем. Уравнения взяты у Оливера Хевисайда, который разработал модель линии передачи, начиная с августовской статьи 1876 года « О дополнительном токе». Модель демонстрирует, что электромагнитные волны могут отражаться от провода, и что волновые узоры могут формироваться вдоль линии.

Теория применима к линиям передачи всех частот, включая постоянный ток и высокую частоту. Первоначально разработанная для описания телеграфных проводов, теория может быть также применена к радиочастотным проводникам, звуковой частоте (например, телефонные линии ), низкой частоте (например, линии электропередачи), и импульсам постоянного тока. Его также можно использовать для электрического моделирования проводных радиоантенн в виде усеченных одножильных линий передачи.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Распределенные компоненты
    • 1.1 Роль различных компонентов
    • 1.2 Значения основных параметров телефонного кабеля
    • 1.3 Уравнения
    • 1.4 Общее решение для оконечных линий конечной длины
  • 2 передача без потерь
    • 2.1 Уравнения для линий передачи без потерь
    • 2.2 Синусоидальный установившийся режим
    • 2.3 Случай без потерь, общее решение
  • 3 линия передачи с потерями
  • 4 Примеры сигналов
  • 5 антенн
  • 6 Решения уравнений телеграфа как элементы схемы
  • 7 См. Также
  • 8 Примечания
  • 9 ссылки

Распределенные компоненты

Схематическое изображение элементарных компонентов линии передачи.

Уравнения телеграфа, как и все другие уравнения, описывающие электрические явления, являются результатом уравнений Максвелла. В более практическом подходе предполагается, что проводники состоят из бесконечного ряда двухполюсных элементарных компонентов, каждый из которых представляет собой бесконечно короткий сегмент линии передачи:

  • Распределенное сопротивление проводников представлено последовательным резистором (выраженным в омах на единицу длины). В практических проводниках на более высоких частотах увеличивается примерно пропорционально квадратному корню из частоты из-за скин-эффекта. р {\ displaystyle R} р {\ displaystyle R}
  • Распределенная индуктивность (из-за магнитного поля вокруг проводов, самоиндукции и т. Д.) Представлена ​​последовательным индуктором ( генри на единицу длины). L {\ displaystyle L}
  • Емкости между двумя проводниками представлены шунтирующим конденсатором C ( фарадами на единицу длину). C {\ displaystyle C}
  • Проводимость диэлектрического материала, разделяющего два проводника представлена шунтирующий резистор между проводом сигнала и обратным проводом ( СИМЕНСОМ на единицу длину). Этот резистор в модели имеет сопротивление Ом. учитывает как объемную проводимость диэлектрика, так и диэлектрические потери. Если диэлектрик представляет собой идеальный вакуум, то. грамм {\ displaystyle G} 1 / грамм {\ displaystyle 1 / G} грамм {\ displaystyle G} грамм 0 {\ Displaystyle G \ эквив 0}

Модель состоит из бесконечной серии бесконечно малых элементов, показанных на рисунке, и что значения компонентов указаны на единицу длины, поэтому изображение компонента может вводить в заблуждение. Альтернатива обозначение заключается в использовании,,, и, чтобы подчеркнуть, что значения являются производными по длине, и что единицы измерения правильно совместить. Эти величины могут быть также известны как константы первичных линий отличить от констант вторичных линий, полученных из них, это является характеристикой импеданса, то постоянная распространения, постоянная затухания и фазовая постоянная. Все эти константы постоянны по отношению ко времени, напряжению и току. Они могут быть непостоянными функциями частоты. р {\ displaystyle R '} L {\ displaystyle L '} C {\ displaystyle C '} грамм {\ displaystyle G '}

Роль различных компонентов

Схема, показывающая волну, текущую вправо по линии передачи без потерь. Черные точки представляют электроны, а стрелки показывают электрическое поле.

Роль различных компонентов можно визуализировать на основе анимации справа.

Индуктивность L
Индуктивность делает вид, что у тока есть инерция, то есть с большой индуктивностью трудно увеличить или уменьшить ток в любой заданной точке. Большая индуктивность L заставляет волну двигаться медленнее, так же как волны движутся по тяжелой веревке медленнее, чем по легкой струне. Большая индуктивность также увеличивает импульсное сопротивление линии ( требуется большее напряжение, чтобы протолкнуть тот же переменный ток через линию).
Емкость C
Емкость контролирует, насколько сгруппированные электроны в каждом проводнике отталкивают, притягивают или отклоняют электроны в другом проводнике. При отклонении некоторых из этих сгруппированных электронов скорость волны и ее сила (напряжение) снижаются. Чем больше емкость C, тем меньше отталкивание, потому что другая линия (которая всегда имеет противоположный заряд) частично компенсирует эти силы отталкивания в каждом проводнике. Большая емкость равняется более слабым восстанавливающим силам, что заставляет волну двигаться немного медленнее, а также дает линии передачи меньшее импульсное сопротивление ( меньшее напряжение, необходимое для проталкивания того же переменного тока через линию).
Сопротивление R
Сопротивление соответствует внутреннему сопротивлению двух линий, вместе взятых. Это сопротивление R рассеивает небольшую часть напряжения вдоль линии в виде тепла, выделяемого в проводник, оставляя ток неизменным. Как правило, сопротивление линии очень низкое по сравнению с индуктивным реактивным сопротивлением ωL на радиочастотах, и для простоты оно трактуется как нулевое, с учётом любого рассеяния напряжения или нагрева проволоки как второстепенного, с небольшими поправками к «линии без потерь». «расчет вычитается позже или просто игнорируется.
Проводимость G
Проводимость между линиями показывает, насколько хорошо ток может «протекать» от одной линии к другой, а более высокое значение G рассеивает больше тока в виде тепла, накапливаемого в том, что служит изоляцией между двумя проводниками. Как правило, изоляция проводов (включая воздух) довольно хорошо, и проводимость почти ничего по сравнению с емкостным реактивная Пс, и для простоты рассматривается как если бы она была равна нулю; Предостережение заключается в том, что материалы, которые являются хорошей изоляцией на низких частотах, часто "протекают" на очень высоких частотах.

Все четыре параметра L, C, R и G зависят от материала, из которого изготовлен кабель или подводящая линия. Все четыре меняются с частотой: R и G имеют тенденцию увеличиваться с увеличением частоты, а L и C имеют тенденцию уменьшаться с увеличением частоты. На рисунке справа показана линия передачи без потерь, где R и G равны нулю, что является самой простой и наиболее распространенной формой используемых телеграфных уравнений, но немного нереалистичной (особенно в отношении R).

Значения основных параметров телефонного кабеля

Типичные данные параметров для телефонного кабеля с полиэтиленовой изоляцией (PIC) сечением 24 сечения при 70 ° F (294 K)

Частота р L грамм C
Гц Ω ⁄ км Ω ⁄ 1000  футов мкГн / км мкГн ⁄ 1000 футов мкСм ⁄ км мкСм ⁄ 1000 футов нФ / км нФ ⁄ 1000 футов
1 Гц 172,24 52,50 612,9 186,8 0,000 0,000 51,57 15,72
1 кГц 172,28 52,51 612,5 186,7 0,072 0,022 51,57 15,72
10 кГц 172,70 52,64 609,9 185,9 0,531 0,162 51,57 15,72
100 кГц 191,63 58,41 580,7 177,0 3,327 1,197 51,57 15,72
1 МГц 463,59 141,30 506,2 154,3 29,111 8,873 51,57 15,72
2 МГц 643,14 196,03 486,2 148,2 53,205 16,217 51,57 15,72
5 МГц 999,41 304,62 467,5 142,5 118,074 35,989 51,57 15,72

Более подробные таблицы и таблицы для других размеров проводов, рабочих температур и изоляции доступны в Reeve (1995). Чен (2004) дает те же данные в параметризованной форме, которые, как он сообщает, можно использовать на частотах до 50 МГц.

Изменение и в основном связано с скин-эффектом и эффектом близости.   р   {\ displaystyle ~ R ~}   L   {\ displaystyle ~ L ~}

Постоянство емкости - следствие продуманного и тщательного проектирования.

Изменение G можно вывести из Термана: «Коэффициент мощности... имеет тенденцию быть независимым от частоты, поскольку доля энергии, теряемой во время каждого цикла... по существу не зависит от количества циклов в секунду в широком диапазоне частот.. " Функция формы с близким к 1,0 будет соответствовать заявлению Термана в. Чен дает уравнение аналогичной формы. В то время как G () - это проводимость как функция частоты, и все они являются действительными константами. грамм ( ж ) знак равно грамм 1 ( ж ж 1 ) грамм е {\ Displaystyle G (е) = G_ {1} \ cdot \ left ({\ frac {f} {f_ {1}}} \ right) ^ {g _ {\ mathrm {e}}}}   грамм е   {\ Displaystyle ~ г _ {\ mathrm {e}} ~}   грамм 1 ,   ж 1   , {\ displaystyle ~ G_ {1}, ~ f_ {1} ~,}   грамм е   {\ displaystyle ~ g_ {e} ~}

G () в этой таблице можно хорошо смоделировать с помощью

ж 1 знак равно 1 M ЧАС z {\ displaystyle f_ {1} = 1 \; \ mathrm {MHz}}
грамм 1 знак равно 29,11 μ S / k м знак равно 8,873 μ S / 1000 ж т {\ Displaystyle G_ {1} = 29,11 \; \ mathrm {\ mu S / km} = 8,873 \; \ mathrm {\ mu S / {1000ft}}}
грамм е знак равно 0,87 {\ displaystyle g _ {\ mathrm {e}} = 0,87}

Обычно резистивные потери возрастают пропорционально и диэлектрические потери возрастают пропорционально с таким на достаточно высокой частоте, диэлектрические потери превысят резистивные потери. На практике до достижения этой точки используется линия передачи с лучшим диэлектриком. В жестких коаксиальных кабелях на большие расстояния, чтобы получить очень низкие диэлектрические потери, твердый диэлектрик можно заменить воздухом с пластиковыми прокладками через определенные промежутки времени, чтобы центральный проводник находился на оси.   ж 1 / 2   {\ displaystyle ~ f ^ {1/2} ~}   ж грамм е   {\ Displaystyle ~ е ^ {г _ {\ mathrm {e}}} ~}   грамм е gt; 1 2   {\ Displaystyle ~ г _ {\ mathrm {e}}gt; {\ tfrac {1} {2}} ~}

Уравнения

Уравнения телеграфиста:

  Икс   V ( Икс , т ) знак равно - L     т   я ( Икс , т ) - р   я ( Икс , т )   Икс   я ( Икс , т ) знак равно - C     т V ( Икс , т ) - грамм   V ( Икс , т ) {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ \ partial} {\ partial x}} \ V (x, t) amp; = - L \ {\ frac {\ \ partial} {\ partial t}} \ I (x, t) -R \ I (x, t) \\ [6pt] {\ frac {\ \ partial} {\ partial x}} \ I (x, t) amp; = - C \ {\ frac { \ \ partial} {\ partial t}} V (x, t) -G \ V (x, t) \ end {align}}}

Они могут быть объединены, чтобы получить два уравнения в частных производных, каждый только с одной зависимой переменной, либо или:   V   {\ displaystyle ~ V ~}   я   {\ displaystyle ~ I ~}

    2 Икс 2   V ( Икс , т ) - L C       2   т 2   V ( Икс , т ) знак равно ( р C + грамм L )     т   V ( Икс , т ) + грамм р   V ( Икс , т )     2 Икс 2   я ( Икс , т ) - L C       2 т 2   я ( Икс , т ) знак равно ( р C + грамм L )     т   я ( Икс , т ) + грамм р   я ( Икс , т ) {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ frac {~ \ \ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ V (x, t) -LC \ {\ frac {~ \ \ partial ^ {2}} {\ \ partial t ^ {2}}} \ V (x, t) amp; = (RC + GL) \ {\ frac {\ \ partial} {\ partial t}} \ V (x, t) + GR \ V (x, t) \\ [6pt] {\ frac {~ \ \ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ I (x, t) -LC \ { \ frac {~ \ \ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ I (x, t) amp; = (RC + GL) \ {\ frac {\ \ partial} {\ partial t} } \ I (x, t) + GR \ I (x, t) \ end {выровнены}}}

За исключением зависимой переменной ( или) формулы идентичны.   V   {\ displaystyle ~ V ~}   я   {\ displaystyle ~ I ~}

Общее решение для оконечных линий конечной длины

Позволять

V ^ я п ( ω ) 1 2 π - V я п ( т ) е - j ω т d т {\ displaystyle {\ hat {V}} _ {\ mathsf {in}} (\ omega) \ Equiv {\ frac {1} {\, {\ sqrt {2 \, \ pi \,}} \,}} \, \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} V _ {\ mathsf {in}} (t) \; e ^ {- j \, \ omega \, t} \; \ mathrm {d} t}

- преобразование Фурье входного напряжения, то общие решения для напряжения и тока: V я п ( т ) , {\ Displaystyle \, В _ {\ mathsf {in}} (т) \,,}

V ( Икс , т ) знак равно 1 2 π - ЧАС ( ω , Икс ) V ^ я п ( ω ) е j ω т d ω {\ displaystyle V (x, t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \, \ pi}}} \, \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} H (\ omega, x) \ cdot {\ hat {V}} _ {\ mathsf {in}} (\ omega) \, e ^ {j \, \ omega \, t} \, \ mathrm {d} \ omega}

а также

я ( Икс , т ) знак равно - 1 2 π - 1 Z L ЧАС ( ω , Икс ) Икс я ^ я п ( ω ) е j ω т d ω {\ displaystyle I (x, t) = - {\ frac {1} {\, {\ sqrt {2 \, \ pi \,}} \,}} \, \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\, Z_ {L} '\,}} \; {\ frac {\, \ partial H (\ omega, x) \,} {\ partial x}} \, {\ hat {I}} _ {\ mathsf {in}} (\ omega) \; e ^ {j \, \ omega \, t} \; \ mathrm {d} \ omega}

с является преобразование Фурье входного тока аналогичны и я ^ я п ( ω ) {\ displaystyle \, {\ hat {I}} _ {\ mathsf {in}} (\ omega) \,} я я п ( т ) , {\ Displaystyle \, я _ {\ mathsf {in}} (т) \,,} V ^ я п ( ω ) {\ displaystyle \, {\ hat {V}} _ {\ mathsf {in}} (\ omega) \,}

ЧАС ( ω , Икс ) шиш [ ( - Икс ) Z L / Z C ] + Z L Z C Z Т грех [ ( - Икс ) Z L / Z C ] шиш [ Z L / Z C ] + Z L Z C Z Т грех [ Z L / Z C ] {\ displaystyle H (\ omega, x) \ Equiv {\ frac {\; \ cosh \ left [\, (\ ell -x) \, {\ sqrt {{Z _ {\ mathsf {L}} '} / { Z _ {\ mathsf {C}} '} \,}} \; \ right] + {\ frac {\, {\ sqrt {Z _ {\ mathsf {L}}' \, Z _ {\ mathsf {C}} ' \,}} \,} {Z _ {\ mathsf {T}}}} \, \ sinh \ left [\, (\ ell -x) \, {\ sqrt {{Z _ {\ mathsf {L}} '} / {Z _ {\ mathsf {C}} '} \,}} \; \ right] \;} {\ cosh \ left [\, \ ell \, {\ sqrt {{Z _ {\ mathsf {L}}' } / {Z _ {\ mathsf {C}} '} \,}} \; \ right] + {\ frac {\, {\ sqrt {Z _ {\ mathsf {L}}' \, Z _ {\ mathsf {C }} '\,}} \,} {Z _ {\ mathsf {T}}}} \, \ sinh \ left [\, \ ell \, {\ sqrt {{Z _ {\ mathsf {L}}'} / {Z _ {\ mathsf {C}} '} \,}} \; \ right]}}}

являясь передаточной функцией линии,

Z L р + j ω L {\ Displaystyle Z _ {\ mathsf {L}} '\ Equiv R + J \, \ omega \, L}

последовательное сопротивление на единицу длины, и

Z C 1 грамм + j ω C {\ Displaystyle Z _ {\ mathsf {C}} '\ Equiv {\ frac {1} {\; G + J \, \ omega \, C \;}}}

шунт сопротивление ( величина, обратная шунтирующей проводимости на единицу длины). Параметр представляет общую длину линии и определяет произвольное промежуточное положение вдоль линии. - полное сопротивление электрического заделки.     {\ displaystyle ~ \ ell ~} Икс {\ Displaystyle \, х \,} Z Т {\ Displaystyle \, Z _ {\ mathsf {T}} \,}

Без завершения (пунктирная линия) является бесконечным, и члены исчезают из числителя и знаменателя передаточной функции. Если конец идеально заземлен (закороченная линия), равен нулю и члены исчезают.   Z Т   {\ Displaystyle ~ Z _ {\ mathsf {T}} ~}   грех   {\ Displaystyle ~ \ зп ~}   ЧАС ( ω , Икс )   . {\ Displaystyle ~ ЧАС (\ омега, х) ~.} Z Т {\ Displaystyle \, Z _ {\ mathsf {T}} \,}   шиш   {\ displaystyle ~ \ cosh ~}

Замечания по обозначениям

Как и в других разделах этой статьи, формулы можно сделать несколько компактнее, используя второстепенные параметры

Z о Z L Z C а п d γ Z L / Z C   , {\ Displaystyle Z _ {\ mathsf {o}} \ Equiv {\ sqrt {Z _ {\ mathsf {L}} '\, Z _ {\ mathsf {C}}' \;}} \ qquad {\ mathsf {и}} \ qquad \ gamma \ Equiv {\ sqrt {Z _ {\ mathsf {L}} '/ Z _ {\ mathsf {C}}' \;}} ~,}

заменяя множители квадратного корня продукта и отношения, явно указанные в определении   ЧАС ( ω , Икс )   . {\ Displaystyle ~ ЧАС (\ омега, х) ~.}

Преобразования Фурье, использованные выше, являются симметричными версиями с одинаковым коэффициентом умножения интегралов как прямого, так и обратного преобразований. Это не обязательно; могут использоваться другие версии преобразования Фурье с соответствующим подтасовкой коэффициентов, что гарантирует сохранение их продукта. 1 2 π {\ Displaystyle \, {\ tfrac {1} {\, {\ sqrt {2 \, \ pi \,}} \,}} \,}   1 2 π   . {\ Displaystyle ~ {\ tfrac {1} {\, 2 \, \ pi \,}} ~.}

Передача без потерь

Когда и сопротивлением можно пренебречь, и линия передачи считается идеальной структурой без потерь. В этом случае модель зависит только от элементов L и C. Уравнения телеграфа затем описывают взаимосвязь между напряжением V и током I вдоль линии передачи, каждое из которых является функцией положения x и времени t:   ω L gt;gt; р   {\ displaystyle ~ \ omega L gt;gt; R ~}   ω C gt;gt; грамм   , {\ displaystyle ~ \ omega C gt;gt; G ~,}

V знак равно V ( Икс , т ) {\ Displaystyle V = V (х, t)}
я знак равно я ( Икс , т ) {\ Displaystyle I = I (х, т)}

Уравнения для линий передачи без потерь

Сами уравнения состоят из пары связанных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Первое уравнение показывает, что индуцированное напряжение связано со скоростью изменения тока через индуктивность кабеля во времени, в то время как второе показывает, аналогично, что ток, потребляемый емкостью кабеля, связан со скоростью изменения во времени. изменение напряжения.

V Икс знак равно - L я т {\ Displaystyle {\ frac {\ partial V} {\; \ partial x \;}} = - L {\ frac {\ partial I} {\; \ partial t \;}}}
я Икс знак равно - C V т {\ Displaystyle {\ frac {\ partial I} {\; \ partial x \;}} = - C {\ frac {\ partial V} {\; \ partial t \;}}}

Уравнения телеграфиста разработаны в аналогичной форме в следующих источниках: Kraus (1989), Hayt (1989), Marshall (1987), Sadiku (1989), Harrington (1961), Karakash (1950) и Metzger amp; Vabre (1969).

Эти уравнения можно объединить, чтобы сформировать два точных волновых уравнения, одно для напряжения V, другое для тока I:

  2 V т 2 - ты 2 2 V Икс 2 знак равно 0   {\ displaystyle ~ {\ frac {\ partial ^ {2} V} {{\ partial t} ^ {2}}} - u ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {{\ partial x} ^ {2}}} = 0 ~}
  2 я т 2 - ты 2 2 я Икс 2 знак равно 0   {\ displaystyle ~ {\ frac {\ partial ^ {2} I} {{\ partial t} ^ {2}}} - u ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} I} {{\ partial x} ^ {2}}} = 0 ~}

куда

  ты знак равно 1 L C   {\ Displaystyle ~ и = {\ гидроразрыва {1} {\; {\ sqrt {LC \;}} \;}} ~}

- скорость распространения волн, проходящих по линии передачи. Для линий передачи из параллельных идеальных проводников с вакуумом между ними эта скорость равна скорости света.

Синусоидальный установившийся режим

В случае синусоидального установившегося состояния (т. Е. Когда приложено чистое синусоидальное напряжение и переходные процессы прекратились), напряжение и ток принимают форму однотональных синусоид:

V ( Икс , т )   знак равно   р е { V ( Икс ) е j ω т }   {\ Displaystyle V (x, t) ~ = ~ {\ mathcal {Re}} \; {\ Bigl \ {} \; V (x) \ cdot e ^ {j \ omega t} \; {\ Bigr \} } ~}
я ( Икс , т )   знак равно   р е { я ( Икс ) е j ω т }   , {\ Displaystyle I (x, t) ~ = ~ {\ mathcal {Re}} \; {\ Bigl \ {} \; I (x) \ cdot e ^ {j \ omega t} \; {\ Bigr \} } ~,}

где - угловая частота установившейся волны. В этом случае уравнения телеграфа сводятся к ω {\ displaystyle \ omega}

d V d Икс знак равно - j ω L я знак равно - L d я d т {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} V} {\; \ mathrm {d} x \;}} = - j \ omega LI = -L {\ frac {\ mathrm {d} I} {\; \ mathrm {d} t \;}}}
d я d Икс знак равно - j ω C V знак равно - C d V d т {\ displaystyle {\ frac {\; \ mathrm {d} I \;} {\ mathrm {d} x}} = - j \ omega CV = -C {\ frac {\ mathrm {d} V} {\; \ mathrm {d} t \;}}}

Точно так же волновые уравнения сводятся к

d 2 V d Икс 2 + k 2 V знак равно 0   {\ displaystyle {\ frac {\; \ mathrm {d} ^ {2} V \;} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} + k ^ {2} V = 0 ~}
d 2 я d Икс 2 + k 2 я знак равно 0   {\ displaystyle {\ frac {\; \ mathrm {d} ^ {2} I \;} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} + k ^ {2} I = 0 ~}

где k - волновое число:

  k знак равно ω L C знак равно ω ты   . {\ displaystyle ~ k = \ omega {\ sqrt {LC \;}} = {\ omega \ over u} ~.}

Каждое из этих двух уравнений имеет форму одномерного уравнения Гельмгольца.

В случае без потерь можно показать, что

V ( Икс ) знак равно V 1 е - j k Икс + V 2 е + j k Икс {\ Displaystyle V (x) = V_ {1} e ^ {- jkx} + V_ {2} e ^ {+ jkx}}

а также

я ( Икс ) знак равно V 1 Z 0 е - j k Икс - V 2 Z 0 е + j k Икс {\ displaystyle I (x) = {V_ {1} \ over Z_ {0}} \, e ^ {- jkx} - {V_ {2} \ over Z_ {0}} \, e ^ {+ jkx}}

где - действительная величина, которая может зависеть от частоты, и - характеристический импеданс линии передачи, который для линии без потерь определяется выражением   k   {\ Displaystyle ~ к ~}   Z 0   {\ displaystyle ~ Z_ {0} ~}

  Z 0 знак равно L C   {\ displaystyle ~ Z_ {0} = {\ sqrt {{L \ over C} \;}} ~}

и и произвольные постоянные интегрирования, которые определяются двумя граничными условиями ( по одному на каждом конце линии передачи).   V 1   {\ displaystyle ~ V_ {1} ~}   V 2   {\ displaystyle ~ V_ {2} ~}

Этот импеданс не изменяется по длине линии, поскольку L и C постоянны в любой точке линии, при условии, что геометрия поперечного сечения линии остается постоянной.

Линия без потерь и линия без искажений обсуждаются в Sadiku (1989) и Marshall (1987).

Корпус без потерь, общее решение

В случае без потерь () наиболее общее решение волнового уравнения для напряжения представляет собой сумму прямой бегущей волны и бегущей назад волны:   р знак равно грамм знак равно 0   {\ Displaystyle ~ R = G = 0 ~}

  V ( Икс , т ) знак равно ж 1 ( Икс - ты т ) + ж 2 ( Икс + ты т )   {\ Displaystyle ~ В (х, т) \, = \, е_ {1} (хи \, т) + е_ {2} (х + и \, т) ~}

куда

f 1 представляет профиль амплитуды волны, распространяющейся слева направо в положительном направлении x, тогда как f 2 представляет профиль амплитуды волны, распространяющейся справа налево. Можно видеть, что мгновенное напряжение в любой точке x на линии является суммой напряжений от обеих волн.

Используя соотношения тока I и напряжения V, заданные уравнениями телеграфа, мы можем записать

я ( Икс , т ) знак равно ж 1 ( Икс - ты т ) Z 0 - ж 2 ( Икс + ты т ) Z 0   . {\ displaystyle I (x, t) \, = \, {\ frac {\; f_ {1} (xu \, t) \;} {Z_ {0}}} - {\ frac {\; f_ {2 } (x + u \, t) \;} {Z_ {0}}} ~.}

Линия передачи с потерями

При наличии потерь решение телеграфного уравнения имеет как затухание, так и дисперсию, что заметно по сравнению с решением волнового уравнения без потерь.

Когда элементы потерь и являются слишком субстрационными, чтобы ими можно было пренебречь, дифференциальные уравнения, описывающие элементарный сегмент линии, имеют вид   р   {\ displaystyle ~ R ~}   грамм   {\ displaystyle ~ G ~}

Икс V ( Икс , т )   знак равно   - L т я ( Икс , т ) - р я ( Икс , т )   , Икс я ( Икс , т )   знак равно   - C т V ( Икс , т ) - грамм V ( Икс , т )   . {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial} {\; \ partial x \;}} V (x, t) amp; ~ = ~ -L \, {\ frac {\ partial} {\; \ partial t \;}} I (x, t) -R \, I (x, t) ~, \\ {\ frac {\ partial} {\; \ partial x \;}} I (x, t) amp; ~ = ~ -C \, {\ frac {\ partial} {\; \ partial t \;}} V (x, t) -G \, V (x, t) ~. \\\ конец {выровнено} }}

Дифференцируя оба уравнения по x и некоторую алгебру, мы получаем пару гиперболических уравнений в частных производных, каждое из которых содержит только одно неизвестное:

2 Икс 2 V   знак равно   L C 2 т 2 V + ( р C + грамм L ) т V + грамм р V   , 2 Икс 2 я   знак равно   L C 2 т 2 я + ( р C + грамм L ) т я + грамм р я   . {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\, {\ partial x} ^ {2} \,}} V amp; ~ = ~ L \, C \, {\ frac { \ partial ^ {2}} {\, {\ partial t} ^ {2} \,}} V + \ left (\, R \, C + G \, L \, \ right) \, {\ frac {\ partial} {\, \ partial t \,}} V + G \, R \, V ~, \\ {\ frac {\ partial ^ {2}} {\, {\ partial x} ^ {2} \, }} I amp; ~ = ~ L \, C \, {\ frac {\ partial ^ {2}} {\, {\ partial t} ^ {2} \,}} I + \ left (\, R \, C + G \, L \, \ right) \, {\ frac {\ partial} {\, \ partial t \,}} I + G \, R \, I ~. \\\ конец {выровнено}}}

Эти уравнения напоминают однородное волновое уравнение с дополнительными членами в V и I и их первыми производными. Эти дополнительные члены вызывают затухание сигнала и его распространение со временем и на расстоянии. Если в линии передачи только незначительные потери ( и), мощность сигнала будет уменьшаться с увеличением расстояния, как где   р lt;lt; ω L   {\ displaystyle ~ R lt;lt; \ omega L ~}   грамм lt;lt; ω C   {\ displaystyle ~ G lt;lt; \ omega C ~}   е - α Икс   {\ Displaystyle ~ е ^ {- \ альфа \, x} ~}   α     р 2 Z 0 + грамм Z 0 2   {\ displaystyle ~ \ alpha ~ \ приблизительно ~ {\ frac {R} {\, 2 \, Z_ {0} \,}} + {\ frac {\, G \, Z_ {0} \,} {2} } ~}

Примеры шаблонов сигналов

Изменения распределения уровней сигнала вдоль одномерной среды передачи. В зависимости от параметров телеграфного уравнения это уравнение может воспроизводить все четыре паттерна.

В зависимости от параметров телеграфного уравнения изменения распределения уровней сигнала по длине одномерной передающей среды могут принимать форму простой волны, волны с декрементом или диффузионной модели телеграфного уравнения. Форма диффузионного рисунка обусловлена ​​эффектом шунтирующей емкости.

Антенны

Поскольку уравнения, управляющие потоком тока в проволочных антеннах, идентичны уравнениям телеграфиста, антенные сегменты можно моделировать как двусторонние одножильные линии передачи. Антенны разбивается на несколько сегментов линии, причем каждый сегмент имеет примерно постоянные параметры основной линии, R, L, С и G. Физически реалистичное уменьшение или увеличение напряжения из-за передачи или приема обычно вставляется постфактум, после решений линии передачи, хотя при желании его можно смоделировать как небольшое значение R в обмен на беспокойство по работе с комплексными числами.

На кончике антенны импеданс линии передачи по существу бесконечен (эквивалентно, адмитанс почти равен нулю), и после короткого "скопления" электронов (или электронных дырок ) на кончике, когда некуда деваться, высокое накопленное напряжение отталкивает волну (почти) равной амплитуды от наконечника после очень небольшой задержки, и обращенная волна с равным напряжением, но с измененным знаком током течет обратно к точке питания. Эффект удобно моделируется как небольшое виртуальное продолжение провода на короткое расстояние в пустое пространство того же порядка величины, что и диаметр провода, возле его конца.

Следствием отраженной волны является то, что антенный провод переносит волны от точки питания к наконечнику, а затем от наконечника обратно к точке питания с нулевым чистым током на наконечнике. Комбинация перекрывающихся противоположно направленных волн с гарантированным узлом тока на вершине формирует знакомые стоячие волны, которые наиболее часто используются для практического построения антенн. Кроме того, частичные отражения возникают внутри антенны там, где существует несовпадающий импеданс на стыке двух или более элементов, и эти отраженные волны также вносят вклад в стоячие волны по длине провода (проводов).

Решения уравнений телеграфа как элементы схемы

Эквивалентная схема несимметричной линии передачи (например, коаксиального кабеля), где: 2 / Z o = пропускная способность VCCS (источника тока, управляемого напряжением), x ≡ длина линии передачи, Z ( s) ≡ Z o ( s) ≡ характеристический импеданс, T ( s) функция распространения, γ ( s) ≡ «постоянная» распространения, s ≡ j ω, j 2 ≡ −1. Эквивалентная схема симметричной линии передачи (например, двухпроводной), где: 2 / Z o = пропускная способность VCCS (источника тока, управляемого напряжением), x ≡ длина линии передачи, Z ( s) ≡ Z o ( s) ≡ характеристическое сопротивление, T ( s) ≡ функции распространения, amp; gamma ( ы) ≡ распространения "константа", ˙s ≡ J ω, J 2 ≡ -1.

Решения телеграфных уравнений могут быть вставлены непосредственно в схему как компоненты. Схема на верхнем рисунке реализует решения уравнений телеграфиста.

Нижняя схема получается из верхней схемы преобразованием источника. Он также реализует решения уравнений телеграфа.

Решение уравнений телеграфа может быть выражено в виде двухпортовой сети типа ABCD со следующими определяющими уравнениями

V 1 знак равно V 2 шиш ( γ Икс ) + я 2 Z о грех ( γ Икс )   , я 1 знак равно V 2 1 Z о грех ( γ Икс ) + я 2 шиш ( γ Икс )   . {\ displaystyle {\ begin {align} V_ {1} amp; = V_ {2} \ cosh (\ gamma x) + I_ {2} Z _ {\ mathsf {o}} \ sinh (\ gamma x) ~, \\ I_ {1} amp; = V_ {2} {\ frac {1} {Z _ {\ mathsf {o}}}} \ sinh (\ gamma x) + I_ {2} \ ch (\ gamma x) ~. \\ \ конец {выровнено}}}

куда

Z Z о р ω + j ω L ω грамм ω + j ω C ω , {\ Displaystyle Z \ Equiv Z _ {\ mathsf {o}} \ Equiv {\ sqrt {{\ frac {\; R _ {\ omega} + j \, \ omega \, L _ {\ omega} \;} {G_ { \ omega} + j \, \ omega \, C _ {\ omega}}} \;}} \ ;,}

а также

γ ( р ω + j ω L ω ) ( грамм ω + j ω C ω ) , {\ Displaystyle \ гамма \ эквив {\ sqrt {\ left (\, R _ {\ omega} + j \, \ omega \, L _ {\ omega} \, \ right) \ left (\, G _ {\ omega} + j \, \ omega \, C _ {\ omega} \, \ right) \;}} \ ;,}

так же, как в предыдущих разделах. Параметры линии R ω, L ω, G ω и C ω помечены индексом ω, чтобы подчеркнуть, что они могут быть функциями частоты.

Двухпортовый тип ABCD дает и как функции от и Соотношения напряжения и тока симметричны: оба уравнения, показанные выше, при решении для и как функции от и дают точно такие же соотношения, только с индексами «1» и «2». "перевернуты, а знаки терминов станут отрицательными (направление" 1 "→" 2 "меняется на обратное" 1 "←" 2 ", следовательно, знак меняется). V 1 {\ Displaystyle \, V_ {1} \,} я 1 {\ displaystyle \, I_ {1} \,} V 2 {\ Displaystyle \, V_ {2} \,} я 2 . {\ displaystyle \, I_ {2} \ ;.} V 1 {\ Displaystyle \, V_ {1} \,} я 1 {\ displaystyle \, I_ {1} \,} V 2 {\ Displaystyle \, V_ {2} \,} я 2 {\ displaystyle \, I_ {2} \,} грех {\ Displaystyle \, \ зп \,}

В нижней схеме все напряжения, за исключением напряжений портов, относятся к земле, и дифференциальные усилители имеют соединения с землей, которые не показаны. Примером линии передачи, моделируемой этой схемой, может быть сбалансированная линия передачи, такая как телефонная линия. Импеданс Z o ( s), источники тока, зависящие от напряжения (VDCS) и разностные усилители (треугольник с цифрой «1») учитывают взаимодействие линии передачи с внешней цепью. В Т ( ы) блоки составляют задержки, затухание, дисперсия и все, что происходит с сигналом в пути. Один из блоков, помеченных " T ( s)", несет прямую волну, а другой - обратную волну. Изображенная схема полностью симметрична, хотя она не нарисована таким образом. Схема изображена эквивалентна линии передачи, связанной с, чтобы в том смысле, что,, и было бы то же самое, была ли эта схема подключена или фактической линии передачи между и Там не подразумевается, что есть на самом деле усилители внутри линии передачи. V 1 {\ Displaystyle \, V_ {1} \,} V 2 {\ Displaystyle \, V_ {2} \,} V 1 {\ Displaystyle \, V_ {1} \,} V 2 {\ Displaystyle \, V_ {2} \,} я 1 {\ displaystyle \, I_ {1} \,} я 2 {\ displaystyle \, I_ {2} \,} V 1 {\ Displaystyle \, V_ {1} \,} V 2 . {\ Displaystyle \, V_ {2} \ ;.}

Каждая двухпроводная или симметричная линия передачи имеет неявный (или в некоторых случаях явный) третий провод, который называется экраном, оболочкой, общим, заземлением. Таким образом, каждая двухпроводная симметричная линия передачи имеет два режима, которые условно называются дифференциальным и синфазным. Схема, показанная на нижней диаграмме, может моделировать только дифференциальный режим.

В верхней цепи удвоители напряжения, разностные усилители и импедансы Z o ( s) учитывают взаимодействие линии передачи с внешней цепью. Эта схема, как изображено, также полностью симметрична и тоже не нарисована таким образом. Эта схема является полезным эквивалентом несимметричной линии передачи, такой как коаксиальный кабель или микрополосковая линия.

Они не уникальны: возможны другие эквивалентные схемы.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Последняя правка сделана 2023-04-05 06:16:14
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте