Оценка спектральной плотности

редактировать

В статистической обработке сигналов цель оценки спектральной плотности (SDE ) для оценки спектральной плотности (также известной как спектральная плотность мощности ) случайного сигнала из последовательность временных отсчетов сигнала. Интуитивно говоря, спектральная плотность характеризует содержание сигнала частота. Одной из целей оценки спектральной плотности является обнаружение любых периодичностей в данных путем наблюдения пиков на частотах, соответствующих этим периодичностям.

Некоторые методы SDE предполагают, что сигнал состоит из ограниченного (обычно небольшого) количества генерируемых частот плюс шум, и стремятся найти местоположение и интенсивность генерируемых частот. Другие не делают предположений о количестве компонентов и стремятся оценить весь спектр генерации.

Содержание

1 Обзор
2 Методы
- 2.1 Параметрическая оценка
3 Оценка частоты
- 3.1 Один тон
- 3.2 Несколько сигналов
4 Пример расчета
5 См. Также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература

Обзор

Пример голосового сигнала и его частотного спектра

Периодический сигнал (треугольный сигнал ) и его частотный спектр, показывающий " основная "частота 220 Гц, за которой следуют кратные (гармоники) 220 Гц.

Спектральная плотность мощности музыкального сегмента оценивается двумя разными методами для сравнения.

Спектральный анализ, также упоминается анализ в частотной области или оценка спектральной плотности - это технический процесс разложения сложного сигнала на более простые части. Как описано выше, многие физические процессы лучше всего описать как сумму многих индивидуальных частотных компонентов. Любой процесс, который измеряет различные величины (например, амплитуды, мощности, интенсивности) в зависимости от частоты (или фаза ), может называться анализом спектра .

Анализ спектра может выполняться для всего сигнала. В качестве альтернативы сигнал может быть разбит на короткие сегменты (иногда называемые кадрами), и к этим отдельным сегментам может применяться анализ спектра. Периодические функции (такие как $sin ⁡ (t) {\ displaystyle \ sin (t)}$ $\ sin (t)$ ) особенно хорошо подходят для этого подразделения. Общие математические методы анализа непериодических функций относятся к категории анализа Фурье.

. Преобразование Фурье функции создает частотный спектр, который содержит всю информацию об исходном сигнале, но в другой форме. Это означает, что исходная функция может быть полностью восстановлена (синтезирована) с помощью обратного преобразования Фурье. Для точного восстановления анализатор спектра должен сохранять как амплитуду, так и фазу каждой частотной составляющей. Эти две части информации могут быть представлены как двумерный вектор, как комплексное число или как величина (амплитуда) и фаза в полярных координатах (т. Е. Как фазор ). Распространенным методом обработки сигналов является рассмотрение квадрата амплитуды или мощности ; в этом случае результирующий график называется спектром мощности.

Из-за обратимости преобразование Фурье называется представлением функции в терминах частоты, а не времени; таким образом, это представление частотной области. У линейных операций, которые могут выполняться во временной области, есть аналоги, которые часто легче выполнять в частотной области. Частотный анализ также упрощает понимание и интерпретацию эффектов различных операций во временной области, как линейных, так и нелинейных. Например, только операции нелинейные или зависящие от времени могут создавать новые частоты в частотном спектре.

На практике почти все программное обеспечение и электронные устройства, которые генерируют частотные спектры, используют дискретное преобразование Фурье (ДПФ), которое работает с выборками сигнала, и которое обеспечивает математическое приближение к полному интегральному решению. ДПФ почти всегда реализуется с помощью эффективного алгоритма, называемого быстрым преобразованием Фурье (БПФ). Компоненты квадратичной величины ДПФ представляют собой тип спектра мощности, называемый периодограммой, который широко используется для исследования частотных характеристик бесшумных функций, таких как импульсные характеристики фильтра и оконные функции. Но периодограмма не дает выигрыша в обработке при применении к шумоподобным сигналам или даже синусоидам при низких отношениях сигнал / шум. Другими словами, дисперсия его спектральной оценки на данной частоте не уменьшается по мере увеличения количества выборок, используемых в вычислениях. Это можно смягчить путем усреднения по времени (метод Уэлча ) или по частоте (сглаживание ). Метод Велча широко используется для оценки спектральной плотности (SDE). Однако методы, основанные на периодограммах, вносят небольшие отклонения, которые недопустимы в некоторых приложениях. Итак, другие альтернативы представлены в следующем разделе.

Методы

Многие другие методы спектральной оценки были разработаны для смягчения недостатков базовой периодограммы. Эти методы обычно можно разделить на непараметрические и параметрические методы. Непараметрические подходы явно оценивают ковариацию или спектр процесса, не предполагая, что процесс имеет какую-либо конкретную структуру. Некоторые из наиболее распространенных оценщиков, используемых для базовых приложений (например, метод Уэлча ), являются непараметрическими оценщиками, тесно связанными с периодограммой. Напротив, параметрические подходы предполагают, что лежащий в основе стационарный случайный процесс имеет определенную структуру, которая может быть описана с помощью небольшого количества параметров (например, с использованием модели авторегрессии или скользящего среднего ). В этих подходах задача состоит в оценке параметров модели, описывающей случайный процесс.

Ниже приводится частичный список методов непараметрической оценки спектральной плотности:

Периодограмма, квадрат модуля дискретного преобразования Фурье
метод Бартлетта представляет собой среднее значение периодограммы, снятые из нескольких сегментов сигнала для уменьшения дисперсии оценки спектральной плотности
метод Уэлча оконная версия метода Бартлетта, в котором используются перекрывающиеся сегменты
Multitaper - это метод на основе периодограмм, сужения или окна для формирования независимых оценок спектральной плотности для уменьшения дисперсии оценки спектральной плотности
Спектральный анализ методом наименьших квадратов, основанный на аппроксимации методом наименьших квадратов известных частот
Неравномерное дискретное преобразование Фурье используется, когда выборки сигнала неравномерно распределены во времени
Анализ сингулярного спектра - это непараметрический метод, который использует разложение по сингулярным значениям ковариационная матрица для оценки спектрального плотность
Кратковременное преобразование Фурье
Критический фильтр - это непараметрический метод, основанный на теории информационного поля, который может работать с шумом, неполными данными и функциями отклика прибора

. неполный список параметрических методов:

оценка модели авторегрессии (AR), которая предполагает, что n-я выборка коррелирует с предыдущими p выборками.
оценка модели скользящего среднего (MA), которая предполагает, что n-я выборка коррелирует с шумами в предыдущих p выборках.
Оценка авторегрессионного скользящего среднего (ARMA), которая обобщает модели AR и MA.
Многократная классификация сигналов (MUSIC) - популярный метод сверхразрешения.
Спектральная оценка максимальной энтропии - это многополюсный метод, полезный для SDE, когда ожидаются сингулярные спектральные особенности, такие как острые пики.

Параметрическая оценка

При параметрической спектральной оценке предполагается, что сигнал моделируется с помощью стационарного сигнала. ocess, который имеет функцию спектральной плотности (SDF) $S (f; a 1,…, ap) {\ displaystyle S (f; a_ {1}, \ ldots, a_ {p})}$ ${\ displaystyle S (f; a_ {1}, \ ldots, a_ {p})}$ , которая является функцией частоты $f {\ displaystyle f}$ $f$ и $p {\ displaystyle p}$ $p$ параметры $a 1,…, ap {\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {p}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {p}}$ . Тогда задача оценки сводится к оценке этих параметров.

Наиболее распространенная форма параметрической оценки SDF использует в качестве модели модель авторегрессии $AR (p) {\ displaystyle {\ text {AR}} (p)}$ ${\ displaystyle {\ text {AR}} (p)}$ порядка $p {\ displaystyle p}$ $p$ . Последовательность сигналов ${Y t} {\ displaystyle \ {Y_ {t} \}}$ $\ {Y_ {t} \}$ , подчиняющаяся нулевому среднему $AR (p) {\ displaystyle {\ text {AR}} ( p)}$ ${\ displaystyle {\ text {AR}} (p)}$ процесс удовлетворяет уравнению

Y t = ϕ 1 Y t - 1 + ϕ 2 Y t - 2 + ⋯ + ϕ p Y t - p + ϵ t, {\ displaystyle Y_ { t} = \ phi _ {1} Y_ {t-1} + \ phi _ {2} Y_ {t-2} + \ cdots + \ phi _ {p} Y_ {tp} + \ epsilon _ {t}, }

Y_ {t} = \ phi _ {1} Y _ {{t-1}} + \ phi _ {2} Y_ { {t-2}} + \ cdots + \ phi _ {p} Y _ {{tp}} + \ epsilon _ {t},

где $ϕ 1,…, ϕ p {\ displaystyle \ phi _ {1}, \ ldots, \ phi _ {p}}$ $\ phi _ {1}, \ ldots, \ phi _ {p}$ - фиксированные коэффициенты, а $ϵ t {\ displaystyle \ epsilon _ {t}}$ $\ epsilon _ {t}$ - это процесс белого шума с нулевым средним и инновационной дисперсией $σ p 2 {\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2}}$ $\ sigma _ {p} ^ {2 }$ . SDF для этого процесса:

S (f; ϕ 1,…, ϕ p, σ p 2) = σ p 2 ∆ t | 1 - ∑ k = 1 p ϕ k e - 2 i π f k Δ t | 2 | f | < f N, {\displaystyle S(f;\phi _{1},\ldots,\phi _{p},\sigma _{p}^{2})={\frac {\sigma _{p}^{2}\Delta t}{\left|1-\sum _{k=1}^{p}\phi _{k}e^{-2i\pi fk\Delta t}\right|^{2}}}\qquad |f|

{\ displaystyle S (е; \ phi _ {1}, \ ldots, \ phi _ {p}, \ sigma _ {p} ^ {2}) = {\ frac {\ sigma _ {p} ^ {2} \ Delta t} {\ left | 1- \ sum _ {k = 1} ^ {p} \ phi _ {k} e ^ {- 2i \ pi fk \ Delta t} \ right | ^ {2}}} \ qquad | f | <f_ {N},}

с $Δ t {\ displaystyle \ Delta t}$ $\ Delta t$ интервалом времени выборки и $f N {\ displaystyle f_ {N}}$ $f_ {N}$ Частота Найквиста.

Существует несколько подходов к оценке параметров $ϕ 1,…, ϕ p, σ p 2 {\ displaystyle \ phi _ {1}, \ ldots, \ phi _ {p}, \ sigma _ {p} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {1}, \ ldots, \ phi _ {p}, \ sigma _ {p} ^ {2}}$ процесса $AR (p) {\ displaystyle {\ text {AR}} (p)}$ ${\ displaystyle {\ text {AR}} (p)}$ и, следовательно, спектральный плотность:

Оценки Юла-Уокера находятся путем рекурсивного решения уравнений Юла-Уокера для $AR (p) {\ displaystyle {\ text {AR}} (p)}$ ${\ displaystyle {\ text {AR}} (p)}$ процесс
Оценки Бурга находятся, рассматривая уравнения Юла-Уокера как форму обычной задачи наименьших квадратов. Оценки Бурга обычно считаются более совершенными, чем оценки Юла-Уокера. Бург связал их с спектральной оценкой максимальной энтропии.
Оценщики методом наименьших квадратов вперед-назад обрабатывают $AR (p) {\ displaystyle {\ text {AR}} (p)}$ ${\ displaystyle {\ text {AR}} (p)}$ процесс как проблема регрессии и решает эту проблему с помощью метода вперед-назад. Они конкурируют с оценщиками Бурга.
Оценщики максимального правдоподобия оценивают параметры с использованием метода максимального правдоподобия. Это включает в себя нелинейную оптимизацию и является более сложным, чем первые три.

Альтернативные параметрические методы включают подгонку к модели скользящего среднего (MA) и к полной модели авторегрессионного скользящего среднего (ARMA).

Оценка частоты

Оценка частоты - это процесс оценки комплексных частотных компонентов сигнала при наличии шум с учетом предположений о количестве компонентов. Это контрастирует с общими методами, описанными выше, которые не делают предварительных предположений о компонентах.

Одиночный тон

Если кто-то хочет оценить только одну самую громкую частоту, можно использовать алгоритм определения основного тона. Если доминирующая частота изменяется со временем, тогда проблема сводится к оценке мгновенной частоты, как определено в частотно-временном представлении. Методы мгновенной оценки частоты включают методы, основанные на распределении Вигнера-Вилля и функциях неоднозначности более высокого порядка .

Если кто-то хочет знать все (возможно комплексные) частотные компоненты принятого сигнала (включая передаваемый сигнал и шум) используется многотональный подход.

Несколько тонов

Типичная модель сигнала $x (n) {\ displaystyle x (n)}$ $x (n)$ состоит из суммы $p {\ displaystyle p}$ $p$ комплексные экспоненты в присутствии белого шума, $w (n) {\ displaystyle w (n)}$ $w (n)$

x (n) = ∑ я знак равно 1 п A iejn ω я + вес (п) {\ Displaystyle х (п) = \ сумма _ {я = 1} ^ {p} A_ {я} е ^ {jn \ omega _ {я}} + ш (n)}

x (n) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {p} A_ {i} e ^ {{jn \ omega _ {i}}} + w (n)

Спектральная плотность мощности $x (n) {\ displaystyle x (n)}$ $x (n)$ состоит из $p {\ displaystyle p}$ $p$ импульсных функций в дополнение к функции спектральной плотности из-за шума.

Наиболее распространенные методы оценки частоты включают идентификацию шумового подпространства для выделения этих компонентов. Эти методы основаны на собственном разложении автокорреляционной матрицы на подпространство сигнала и подпространство шума. После того, как эти подпространства идентифицированы, функция оценки частоты используется для нахождения компонентных частот из подпространства шума. Наиболее популярными методами оценки частоты на основе подпространства шума являются метод Писаренко, метод классификации множественных сигналов (MUSIC), метод собственных векторов и метод минимальной нормы.

Метод Писаренко: $P ^ PHD (e j ω) = 1 | e H v min | 2 {\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\ text {PHD}} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {e} ^ { H} \ mathbf {v} _ {\ text {min}} \ right | ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\ text {PHD }} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {e} ^ {H} \ mathbf {v} _ {\ text {min}} \ right | ^ {2}}}}$
МУЗЫКА: $P ^ MU (ej ω) = 1 ∑ i = p + 1 M | e H v i | 2 {\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\ text {MU}} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = {\ frac {1} {\ sum _ {i = p + 1} ^ {M} \ left | \ mathbf {e} ^ {H} \ mathbf {v} _ {i} \ right | ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle { \ hat {P}} _ {\ text {MU}} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = {\ frac {1} {\ sum _ {i = p + 1} ^ {M} \ слева | \ mathbf {e} ^ {H} \ mathbf {v} _ {i} \ right | ^ {2}}}}$ ,
Метод собственных векторов: $P ^ EV (ej ω) = 1 ∑ i = p + 1 M 1 λ i | e H v i | 2 {\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\ text {EV}} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = {\ frac {1} {\ sum _ {i = p + 1} ^ {M} {\ frac {1} {\ lambda _ {i}}} \ left | \ mathbf {e} ^ {H} \ mathbf {v} _ {i} \ right | ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\ text {EV}} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = {\ frac {1} {\ sum _ {i = p + 1} ^ {M} {\ frac {1} {\ lambda _ { i}}} \ left | \ mathbf {e} ^ {H} \ mathbf {v} _ {i} \ right | ^ {2}}}}$
Метод минимальной нормы: $P ^ MN (ej ω) = 1 | e H a | 2; a = λ п ню 1 {\ Displaystyle {\ шляпа {P}} _ {\ текст {MN}} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {e} ^ {H} \ mathbf {a} \ right | ^ {2}}}; \ \ mathbf {a} = \ lambda \ mathbf {P} _ {n} \ mathbf {u} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\ text {MN}} \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {e} ^ {H} \ mathbf {a} \ right | ^ {2}} }; \ \ mathbf {a} = \ lambda \ mathbf {P} _ {n} \ mathbf {u} _ {1}}$

Пример вычисления

Предположим, что $xn {\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ , из $n = 0 {\ displaystyle n = 0}$ $n = 0$ по $N - 1 {\ displaystyle N-1}$ $N-1$ - временной ряд (дискретное время) с нулевым средним. Предположим, что это сумма конечного числа периодических компонент (все частоты положительны):

xn = ∑ k A k sin ⁡ (2 π ν kn + ϕ k) = ∑ k A k (sin ⁡ (ϕ k) cos ⁡ (2 π ν kn) + cos ⁡ (ϕ k) sin ⁡ (2 π ν kn)) = ∑ k (ak ⏞ A k sin ⁡ (ϕ k) cos ⁡ (2 π ν kn) + bk ⏞ A К соз ⁡ (ϕ k) грех ⁡ (2 π ν kn)) {\ displaystyle {\ begin {align} x_ {n} = \ sum _ {k} A_ {k} \ sin (2 \ pi \ nu _ {k} n + \ phi _ {k}) \\ = \ sum _ {k} A_ {k} \ left (\ sin (\ phi _ {k}) \ cos (2 \ pi \ nu _ { k} n) + \ cos (\ phi _ {k}) \ sin (2 \ pi \ nu _ {k} n) \ right) \\ = \ sum _ {k} \ left (\ overbrace {a_ { k}} ^ {A_ {k} \ sin (\ phi _ {k})} \ cos (2 \ pi \ nu _ {k} n) + \ overbrace {b_ {k}} ^ {A_ {k} \ cos (\ phi _ {k})} \ sin (2 \ pi \ nu _ {k} n) \ right) \ end {align}}}

{\ dis стиль игры {\ begin {выровнен} x_ {n} = \ sum _ {k} A_ {k} \ sin (2 \ pi \ nu _ {k} n + \ phi _ {k}) \\ = \ sum _ {k} A_ {k} \ left (\ sin (\ phi _ {k}) \ cos (2 \ pi \ nu _ {k} n) + \ cos (\ phi _ {k}) \ sin (2 \ pi \ nu _ {k} n) \ right) \\ = \ sum _ {k} \ left (\ overbrace {a_ {k}} ^ {A_ {k} \ sin (\ phi _ {k})} \ cos (2 \ pi \ nu _ {k} n) + \ overbrace {b_ {k}} ^ {A_ {k} \ cos (\ phi _ {k})} \ sin (2 \ pi \ nu _ { к} п) \ справа) \ конец {выровнено}}}

Дисперсия $xn {\ displaystyle x_ {n }}$ $x_ {n}$ для функции с нулевым средним, как указано выше, задается как

1 N ∑ n = 0 N - 1 xn 2. {\ displaystyle {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} x_ {n} ^ {2}.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} x_ {n} ^ {2}.}

Если бы эти данные были выборками, взятыми из электрического сигнала, это будет его средняя мощность (мощность - это энергия в единицу времени, поэтому она аналогична дисперсии, если энергия аналогична квадрату амплитуды).

Теперь, для простоты, предположим, что сигнал распространяется бесконечно во времени, поэтому мы переходим к пределу при $N → ∞. {\ displaystyle N \ to \ infty.}$ ${\ displaystyle N \ to \ infty.}$ Если средняя мощность ограничена, что почти всегда имеет место в действительности, то существует следующий предел и является дисперсией данных.

lim N → ∞ 1 N ∑ n знак равно 0 N - 1 x n 2. {\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} x_ {n} ^ {2}.}

{\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {N }} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} x_ {n} ^ {2}.}

Опять же, для простоты, мы перейдем к непрерывному времени и предположим, что сигнал распространяется бесконечно во времени в обоих направлениях. Тогда эти две формулы становятся

x (t) = ∑ k A k sin ⁡ (2 π ν kt + ϕ k) {\ displaystyle x (t) = \ sum _ {k} A_ {k} \ sin (2 \ pi \ nu _ {k} t + \ phi _ {k})}

{\ displaystyle x (t) = \ sum _ {k} A_ {k} \ грех (2 \ пи \ ню _ {к} т + \ фи _ {к})}

lim T → ∞ 1 2 T ∫ - TT x (t) 2 dt. {\ displaystyle \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} x (t) ^ {2} dt.}

{\ displaystyle \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T } ^ {T} x (t) ^ {2} dt.}

Корень средний квадрат $sin {\ displaystyle \ sin}$ $\ sin$ равен $1/2 {\ displaystyle 1 / {\ sqrt {2}}}$ $1 / {\ sqrt {2}}$ , поэтому дисперсия $A k грех ⁡ (2 π ν kt + ϕ k) {\ displaystyle A_ {k} \ sin (2 \ pi \ nu _ {k} t + \ phi _ {k})}$ ${\ displaystyle A_ {k} \ sin (2 \ pi \ nu _ {k} t + \ phi _ {k})}$ равно $1 2 A k 2. {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} A_ {k} ^ {2}.}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} A_ {k} ^ {2}.}$ Следовательно, вклад в среднюю степень $x (t) {\ displaystyle x ( t)}$ $x (t)$ , исходящий от компонента с частотой $ν k {\ displaystyle \ nu _ {k}}$ $\ nu _ {k}$ , составляет $1 2 A k 2. {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} A_ {k} ^ {2}.}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} A_ {k} ^ {2}.}$ Сумма всех этих вкладов составляет среднюю степень $x (t). {\ displaystyle x (t).}$ ${\ displaystyle x (t).}$

Тогда мощность как функция частоты равна $1 2 A k 2, {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} A_ {k} ^ {2 },}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} A_ {k} ^ {2},}$ и его статистическая кумулятивная функция распределения $S (ν) {\ displaystyle S (\ nu)}$ $S (\ nu)$ будет

S ( ν) = ∑ k: ν k < ν 1 2 A k 2. {\displaystyle S(\nu)=\sum _{k:\nu _{k}<\nu }{\frac {1}{2}}A_{k}^{2}.}

{\ displaystyle S (\ nu) = \ sum _ {k: \ nu _ {k} <\ nu} {\ frac {1} {2}} A_ {k} ^ { 2}.}

$S {\ displaystyle S}$ $S$ - это ступенчатая функция, монотонно неубывающая. Его скачки происходят на частотах периодических компонентов $x {\ displaystyle x}$ $x$ , и значение каждого скачка представляет собой мощность или дисперсию этого компонента.

Дисперсия - это ковариация данных с самими собой. Если мы теперь рассмотрим те же данные, но с запаздыванием $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ , мы можем взять ковариацию из $x (t) {\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ с $x (t + τ) {\ displaystyle x (t + \ tau)}$ ${\ displaystyle x (t + \ tau)}$ , и определите это как функцию автокорреляции $c {\ displaystyle c}$ $c$ сигнала (или данных) $x {\ displaystyle x}$ $x$ :

c (τ) = lim T → ∞ 1 2 T ∫ - ТТ x (t) x (t + τ) dt. {\ Displaystyle с (\ tau) = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} x (t) x (t + \ tau) dt.}

{\ displaystyle c (\ tau) = \ lim _ {T \ to \ infty } {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} x (t) x (t + \ tau) dt.}

Если он существует, это четная функция от $τ. {\ displaystyle \ tau.}$ $\ tau.$ Если средняя мощность ограничена, то $c {\ displaystyle c}$ $c$ существует везде, конечно и ограничено $c (0), {\ displaystyle c (0),}$ ${\ displaystyle c (0), }$ - средняя мощность или дисперсия данных.

Можно показать, что $c {\ displaystyle c}$ $c$ можно разложить на периодические компоненты с теми же периодами, что и $x {\ displaystyle x}$ $x$ :

c (τ) = ∑ k 1 2 A k 2 cos ⁡ (2 π ν k τ). {\ displaystyle c (\ tau) = \ sum _ {k} {\ frac {1} {2}} A_ {k} ^ {2} \ cos (2 \ pi \ nu _ {k} \ tau).}

{\ displaystyle c (\ tau) = \ sum _ {k } {\ frac {1} {2}} A_ {k} ^ {2} \ cos (2 \ pi \ nu _ {k} \ tau).}

На самом деле это спектральное разложение $c {\ displaystyle c}$ $c$ по разным частотам, и оно связано с распределением мощности $x {\ displaystyle x}$ $x$ по частотам: амплитуда частотной составляющей $c {\ displaystyle c}$ $c$ является ее вкладом в среднюю мощность сигнала.

Спектр мощности в этом примере не является непрерывным и поэтому не имеет производной, и, следовательно, этот сигнал не имеет функции спектральной плотности мощности. В общем, спектр мощности обычно представляет собой сумму двух частей: линейчатого спектра, такого как в этом примере, который не является непрерывным и не имеет функции плотности, и остатка, который является абсолютно непрерывным и имеет функцию плотности..

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Порат, Б. (1994). Цифровая обработка случайных сигналов: теория и методы. Прентис Холл. ISBN 978-0-13-063751-2.
Пристли, М. (1991). Спектральный анализ и временные ряды. Академическая пресса. ISBN 978-0-12-564922-3.

Stoica, P.; Моисей, Р. (2005). Спектральный анализ сигналов. Прентис Холл. ISBN 978-0-13-113956-5.

Томсон, Д. Дж. (1982). «Спектральная оценка и гармонический анализ». Труды IEEE. 70 (9): 1055–1096. CiteSeerX 10.1.1.471.1278. doi :10.1109/PROC.1982.12433.