Минимальная поверхность вращения

редактировать

Растягивание мыльной пленки между двумя параллельные круговые проволочные петли создают катеноидальную минимальную поверхность вращения

В математике, минимальная поверхность вращения или минимальная поверхность вращения - поверхность вращения, определяемая двумя точками в полуплоскости, граница которой является осью вращения поверхности. Он создается кривой кривой, которая лежит в полуплоскости и соединяет две точки; среди всех поверхностей, которые могут быть созданы таким образом, именно та, которая минимизирует площадь поверхности. Основная проблема в вариационном исчислении - найти кривую между двумя точками, которая дает эту минимальную поверхность вращения.

Содержание

1 Отношение к минимальным поверхностям
2 Решение катеноидов
3 Решение Гольдшмидта
4 Ссылки

Отношение к минимальным поверхностям

Минимальная поверхность вращения - это подтип минимальной поверхности. Минимальная поверхность определяется не как поверхность минимальной площади, а как поверхность со средней кривизной , равной 0. Поскольку средняя кривизна 0 является необходимым условием поверхности из минимальная площадь, все минимальные поверхности вращения являются минимальными поверхностями, но не все минимальные поверхности являются минимальными поверхностями вращения. Поскольку точка образует круг, когда вращается вокруг оси, нахождение минимальной поверхности вращения эквивалентно нахождению минимальной поверхности, проходящей через два круговых каркаса. Физическая реализация минимальной поверхности вращения представляет собой мыльную пленку, натянутую между двумя параллельными круглыми проволоками : мыльная пленка естественным образом принимает форму с наименьшей площадью поверхности.

Решение катеноида

A катеноид

Если полуплоскость, содержащая две точки и ось вращения, задана декартовыми координатами, превращая ось вращения в ось x системы координат, тогда кривую, соединяющую точки, можно интерпретировать как график функции. Если декартовы координаты двух заданных точек равны $(x 1, y 1) {\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ $(x_ {1}, y_ {1})$ , $(x 2, y 2) {\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$ $(x_ {2}, y_ {2})$ , тогда площадь поверхности, созданная неотрицательной дифференцируемой функцией $f {\ displaystyle f}$ $f$ математически может быть выражено как

2 π ∫ x 1 x 2 f (x) 1 + f '(x) 2 dx {\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} f (x) {\ sqrt {1 + f '(x) ^ {2}}} dx}

2\pi \int _{{x_{1}}}^{{x_{2}}}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx

, и задача поиска минимальной поверхности вращения превращается в задачу поиска функции, которая минимизирует этот интеграл, с учетом граничные условия, что $f (x 1) = y 1 {\ displaystyle f (x_ {1}) = y_ {1}}$ $f (x_ {1}) = y_ {1}$ и $f (x 2) = Y 2 {\ Displaystyle F (x_ {2}) = y_ {2}}$ $f(x_{2})=y_{2}$ . В этом случае оптимальной кривой обязательно будет цепь цепи. Ось вращения является направляющей цепной линии, и минимальная поверхность вращения, таким образом, будет катеноидом.

решением Гольдшмидта

Также могут быть определены решения, основанные на прерывистых функциях. В частности, для некоторых размещений двух точек оптимальное решение порождается разрывной функцией, которая не равна нулю в двух точках и нулю везде. Эта функция приводит к поверхности вращения, состоящей из двух круговых дисков, по одному для каждой точки, соединенных вырожденным отрезком линии вдоль оси вращения. Это решение известно как решение Гольдшмидта в честь немецкого математика Карла Вольфганга Бенджамина Гольдшмидта, который объявил о своем открытии в своей статье 1831 года «Determinatio superficiei minimae rote curvae data duo puncta jungentis circa datum axem ortae "(" Определение кривой минимального вращения поверхности по двум соединенным точкам вокруг заданной оси происхождения ").

Чтобы продолжить физическую аналогию мыльной пленки, приведенную выше, эти Гольдшмидты решения могут быть визуализированы как случаи, когда мыльная пленка разрывается, когда круговые проволоки растягиваются. Однако в физической мыльной пленке сегмент соединительной линии не будет. Кроме того, если мыльная пленка растягивается таким образом, существует диапазон расстояний, в пределах которых раствор катеноидов все еще применим, но имеет большую площадь, чем раствор Гольдшмидта, поэтому мыльная пленка может растягиваться в конфигурацию, в которой площадь является локальный минимум, но не глобальный минимум. Для расстояний, превышающих этот диапазон, цепь, определяющая катеноид, пересекает ось x и ведет к самопересекающейся поверхности, поэтому возможно только решение Гольдшмидта.

Ссылки