Матричная функция

В математике матричная функция - это функция , которая отображает матрицу на другую матрицу.

• 1 Расширение скалярной функции до матричных функций
  • 1.1 Степенный ряд
  • 1.2 Диагонализуемые матрицы
  • 1.3 Разложение Жордана
    • 1.3.1 Эрмитовы матрицы
  • 1.4 Интеграл Коши
  • 1.5 Матричные возмущения
  • 1.6 Произвольная функция матрицы 2 × 2
  • 1.7 Примеры
• 2 Классы матричных функций
  • 2.1 Оператор монотонный
  • 2.2 Оператор вогнутый / выпуклый
  • 2.3 Примеры
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 Ссылки

Существует несколько методов поднятия вещественной функции до функции квадратной матрицы, что интересно свойства поддерживаются. Все следующие методы дают одну и ту же матричную функцию, но области, в которых она определена, могут отличаться.

Степенный ряд

Если действительная функция f имеет разложение Тейлора

$f\; (x)\; =\; f\; (0)\; +\; f\; \prime \; (0)\; \cdot \; x\; +\; f\; ″\; (\; 0)\; \cdot \; x\; 2\; 2!\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; f\; (0)\; +\; f\; \text{'}(0)\; \backslash \; cdot\; x\; +\; f\text{'}\; \text{'}(0)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{2!\}\}\; +\; \backslash \; Cdots\; \}$

тогда матричная функция может быть определена путем замены x матрицей: степени становятся степенями матрицы, сложения становятся матричными суммами, а умножения становятся операциями масштабирования. Если действительный ряд сходится для , то соответствующий матричный ряд будет сходиться для аргумента матрицы A, если для некоторой нормы матрицы $\Vert \; \cdot \; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; \backslash \; cdot\; \backslash \; |\; \}$, который удовлетворяет $\Vert \; AB\; \Vert \; \le \; \Vert \; A\; \Vert \; \cdot \; \Vert \; B\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; AB\; \backslash \; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; |\; A\; \backslash \; |\; \backslash \; cdot\; \backslash \; |\; B\; \backslash \; |\}$.

Диагонализуемость матрицы

Если матрица A диагонализуема, проблема может быть сведена к массиву функции по каждому собственному значению. Это означает, что мы можем найти матрицу P и диагональную матрицу D такие, что $A\; =\; PDP\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; P\; ~\; D\; ~\; P\; ^\; \{-\; 1\}\}$. Применяя определение степенного ряда к этому разложению, мы находим, что f (A) определяется следующим образом:

$f\; (A)\; =\; P\; [f\; (d\; 1)\dots \; 0\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; 0\dots \; f\; (dn)]\; P\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A)\; =\; P\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; f\; (d\_\; \{1\})\; \backslash \; dots\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; dots\; f\; (d\_\; \{n\})\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; P\; ^\; \{-\; 1\}\; ~,\}$

где $d\; 1,\dots ,\; dn\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; d\_\; \{n\}\}$обозначают диагональные элементы D.

Например, предположим, что кто-то ищет A! = Γ (A + 1) для

$A\; =\; [1\; 3\; 2\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 3\; \backslash \backslash \; 2\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; ~.\}$

Один имеет

$A\; =\; P\; [1\; -\; 6\; 0\; 0\; 1\; +\; 6]\; P\; -\; 1,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; A\; =\; P\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; P\; ^\; \{-\; 1\}\; ~,\}$

для

$P\; =\; [1/2\; 1/2\; -\; 1\; 6\; 1\; 6].\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1/2\; и\; 1/2\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\}\; и\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; ~.\}$

Тогда применение формулы просто дает

$A!\; =\; [1/2\; 1/2\; -\; 1\; 6\; 1\; 6]\; \cdot \; [\Gamma \; (2\; -\; 6)\; 0\; 0\; \Gamma \; (2\; +\; 6)]\; \cdot \; [1\; -\; 6/2\; 1\; 6/2]\; \approx \; [3,6274\; 8,8423\; 5,8949\; 3,6274].\; \{\backslash \; displaystyle\; A!\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1/2\; и\; 1/2\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; Gamma\; (2\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\})\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; Gamma\; (2\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\})\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; /\; 2\; \backslash \backslash \; 1\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; /\; 2\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 3.6274\; и\; 8.8423\; \backslash \backslash \; 5.8949\; и\; 3.6274\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; ~.\}$

Аналогично,

$A\; 4\; =\; [1/2\; 1/2\; -\; 1\; 6\; 1\; 6]\; \cdot \; [(1\; -\; 6)\; 4\; 0\; 0\; (1\; +\; 6)\; 4]\; \cdot \; [1\; -\; 6/2\; 1\; 6/2]\; =\; [73\; 84\; 56\; 73].\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{4\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1/2\; и\; 1/2\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\}\; и\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\; \}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; (1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\})\; ^\; \{4\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\})\; ^\; \{4\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; /\; 2\; \backslash \backslash \; 1\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; /\; 2\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 73\; 84\; \backslash \backslash \; 56\; 73\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; ~.\}$

Разложение Жордана

Все комплексные матрицы, независимо от того, диагонализуемы они или нет, имеют нормальную форму Жордана $=\; PJP\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; P\; \backslash ,\; J\; \backslash ,\; P\; ^\; \{-\; 1\}\}$, где матрица J состоит из блоков Джордана. Рассмотрим эти блоки отдельно и применим степенной ряд к жордановой блоке:

$f\; ([\lambda \; 1\; 0\dots \; 0\; 0\; \lambda \; 1\; ⋮\; ⋮\; 0\; 0\; \ddots \; \ddots \; ⋮\dots \; \ddots \; \lambda \; 1\; 0\dots \dots \; 0\; \lambda ])\; =\; [f\; (\lambda )\; 0!\; f\; \prime \; (\lambda )\; 1!\; f\; ″\; (\lambda )\; 2!\; \dots \; F\; (n)\; (\lambda )\; n!\; 0\; f\; (\lambda )\; 0!\; f\; \prime \; (\lambda )\; 1!\; ⋮\; е\; (п\; -\; 1)\; (\lambda )\; (п\; -\; 1)!\; 0\; 0\; \ddots \; \ddots \; ⋮\; ⋮\dots \; \ddots \; f\; (\lambda )\; 0!\; f\; \prime \; (\lambda )\; 1!\; 0\dots \dots \; 0\; f\; (\lambda )\; 0!\; ].\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; lambda\; 1\; 0\; \backslash \; ldots\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; lambda\; 1\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; ddots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; ldots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; lambda\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; ldots\; \backslash \; ldots\; 0\; \backslash \; lambda\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; lambda)\}\; \{0!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(\backslash \; lambda)\}\; \{1!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\text{'}\; \text{'}(\backslash \; lambda)\}\; \{2!\}\}\; \backslash \; ldots\; \{\backslash \; frac\; \{f\; ^\; \{(n)\}\; (\backslash \; lambda)\}\; \{n!\}\}\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; lambda)\}\; \{0!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(\backslash \; lambda)\}\; \{1!\}\}\; \backslash \; vdots\; \{\backslash \; frac\; \{\; f\; ^\; \{(n-1)\}\; (\backslash \; lambda)\}\; \{(n-1)!\}\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; ddots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; ldots\; \backslash \; ddots\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; lambda)\}\; \{0!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(\backslash \; lambda)\}\; \{1!\}\}\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; ldots\; \backslash \; ldots\; 0\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; lambda)\}\; \{0!\}\; \}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Это определение может быть использовано для расширения области определения матричной функции за пределы набора матриц со спектральным радиусом, меньшим, чем радиус сходимости степенного ряда. Обратите внимание, что существует также связь с разделенными разностями.

Связанным понятием является разложение Джордана – Шевалле, которое выражает матрицу как сумму диагонализуемой и нильпотентной частей.

Эрмитовы матрицы

A Эрмитова матрица имеет все действительные собственные значения и всегда может быть диагонализована с помощью унитарной матрицы P согласно спектральной теореме. В этом случае определение Жордана естественно. Более того, это определение позволяет расширить стандартные неравенства для реальных функций:

Если $f\; (a)\; \le \; g\; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (a)\; \backslash \; leq\; g\; (a)\}$для всех собственных значений $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, затем $f\; (A)\; ⪯\; g\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A)\; \backslash \; prevq\; g\; (A)\}$. (По соглашению $X\; ⪯\; Y\; \iff \; Y\; -\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; Preq\; Y\; \backslash \; Leftrightarrow\; YX\}$является положительно-полуопределенной матрицей.) Доказательство следует непосредственно из определения.

Интеграл Коши

Интегральная формула Коши из комплексного анализа также может использоваться для обобщения скалярных функций на матричные функции. Интегральная формула Коши утверждает, что для любой аналитической функции f, определенной на множестве D ⊂ ℂ, выполняется

$f\; (x)\; =\; 1\; 2\; \pi \; i\; \oint \; C\; f\; (z)\; z\; -\; xdz,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; C\}\; \backslash !\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (z)\}\; \{zx\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; z\; ~,\}$

где C - замкнутая простая кривая внутри области D, охватывающая x.

Теперь заменим x матрицей A и рассмотрим путь C внутри D, который включает все собственные значения A. Один из способов добиться этого - позволить C быть кругом вокруг origin с радиусом больше, чем ‖A‖ для произвольной нормы матрицы ‖ • ‖. Тогда f (A) определимо следующим образом:

$f\; (A)\; =\; 1\; 2\; \pi \; i\; \oint \; C\; f\; (z)\; (z\; I\; -\; A)\; -\; 1\; d\; z.\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; (A)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; C\}\; \backslash !\; \{f\; (z)\; (zI-A)\; ^\; \{-1\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; z\; ~.\}$

Этот интеграл можно легко вычислить численно, используя правило трапеции, которое сходится экспоненциально в этом случае. Это означает, что точность результата удваивается, когда количество узлов удваивается. В обычных случаях это обходится формулой Сильвестра.

. Эта идея, примененная к ограниченным линейным операторам в банаховом пространстве, которое можно рассматривать как бесконечные матрицы, приводит к голоморфное функциональное исчисление.

Матричные возмущения

Приведенный выше степенной ряд Тейлора позволяет заменить скаляр $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$матрицей. В целом это неверно при расширении в терминах $A\; (\eta )\; =\; A\; +\; \eta \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (\backslash \; eta)\; =\; A\; +\; \backslash \; eta\; B\}$примерно $\eta \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; =\; 0\}$, если $[A,\; B]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [A,\; B]\; =\; 0\}$. Контрпример: $f\; (x)\; =\; x\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{3\}\}$, который имеет ряд Тейлора конечной длины. Мы вычисляем это двумя способами:

• Закон распределения:

$f\; (A\; +\; \eta \; B)\; =\; (A\; +\; \eta \; B)\; 3\; =\; A\; 3\; +\; \eta \; (A\; 2\; B\; +\; ABA\; +\; BA\; 2)\; +\; \eta \; 2\; (\; AB\; 2\; +\; BAB\; +\; B\; 2\; A)\; +\; \eta \; 3\; B\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A\; +\; \backslash \; eta\; B)\; =\; (A\; +\; \backslash \; eta\; B)\; ^\; \{3\}\; =\; A\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; eta\; (A\; ^\; \{2\}\; B\; +\; ABA\; +\; BA\; ^\; \{2\})\; +\; \backslash \; eta\; ^\; \{2\}\; (AB\; ^\; \{2\}\; +\; BAB\; +\; B\; ^\; \{2\}\; A)\; +\; \backslash \; eta\; ^\; \{3\}\; B\; ^\; \{3\}\}$

• Использование скалярное разложение Тейлора для $f\; (a\; +\; \eta \; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (a\; +\; \backslash \; eta\; b)\}$и замена скаляров матрицами в конце:

$f\; (a\; +\; \eta \; b)\; знак\; равно\; f\; (а)\; +\; f\; \prime \; (а)\; \eta \; Ь\; 1!\; +\; f\; ″\; (a)\; (\eta \; b)\; 2\; 2!\; +\; е\; ‴\; (а)\; (\eta \; б)\; 3\; 3!\; =\; a\; 3\; +\; 3\; a\; 2\; (\eta \; b)\; +\; 3\; a\; (\eta \; b)\; 2\; +\; (\eta \; b)\; 3\; \to \; A\; 3\; +\; 3\; A\; 2\; (\eta \; B)\; +\; 3\; A\; (\eta \; B)\; 2\; +\; (\eta \; B)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rcl\}\; f\; (a\; +\; \backslash \; eta\; b)\; =\; f\; (a)\; +\; f\; \text{'}(a)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; eta\; b\}\; \{1!\}\}\; +\; f\text{'}\; \text{'}(a)\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; eta\; b)\; ^\; \{2\}\}\; \{2!\}\}\; +\; f\; \text{'}\text{'}\; \text{'}(a)\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; eta\; b)\; ^\; \{3\}\}\; \{3!\}\}\; \backslash \backslash \; [.5em]\; =\; a\; ^\; \{3\}\; +\; 3a\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; eta\; b)\; +\; 3a\; (\backslash \; eta\; b)\; ^\; \{2\}\; +\; (\backslash \; eta\; b)\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; [.\; 5em]\; \backslash \; to\; A\; ^\; \{3\}\; +\; 3A\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; eta\; B)\; +\; 3A\; (\backslash \; eta\; B)\; ^\; \{2\}\; +\; (\backslash \; eta\; B)\; ^\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

Скаляр выражение предполагает коммутативность, а матричное выражение - нет, и поэтому они не могут быть приравнены напрямую, если $[A,\; B]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [A,\; B]\; =\; 0\}$. Для некоторого f (x) с этим можно справиться, используя тот же метод, что и для скалярных рядов Тейлора. Например, $f\; (x)\; =\; 1\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\}$. Если $A\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{-\; 1\}\}$существует, то $f\; (A\; +\; \eta \; B)\; =\; f\; (I\; +\; \eta \; A\; -\; 1\; B)\; f\; (A)\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; (A\; +\; \backslash \; eta\; B)\; =\; f\; (\backslash \; mathbb\; \{I\}\; +\; \backslash \; eta\; A\; ^\; \{-\; 1\}\; B)\; f\; (A)\}$. Тогда разложение первого члена следует степенному ряду, указанному выше,

$f\; (I\; +\; \eta \; A\; -\; 1\; B)\; =\; I\; -\; \eta \; A\; -\; 1\; B\; +\; (-\; \eta \; A\; -\; 1\; B)\; 2\; +\dots \; =\; \sum \; n\; Знак\; равно\; 0\; \infty \; (-\; \eta \; A\; -\; 1\; В)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; mathbb\; \{I\}\; +\; \backslash \; eta\; A\; ^\; \{-\; 1\}\; B)\; =\; \backslash \; mathbb\; \{I\}\; -\; \backslash \; eta\; A\; ^\; \{-\; 1\}\; B\; +\; (\; -\; \backslash \; eta\; A\; ^\; \{-\; 1\}\; B)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; ldots\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; \backslash \; eta\; A\; ^\; \{-\; 1\}\; B)\; ^\; \{n\}\}$

Затем применяются критерии сходимости степенного ряда, требующие, чтобы $\Vert \; \eta \; A\; -\; 1\; B\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Vert\; \backslash \; eta\; A\; ^\; \{-\; 1\}\; B\; \backslash \; Vert\}$был достаточно малым при соответствующей матричной норме. Для более общих задач, которые нельзя переписать таким образом, что две матрицы коммутируют, необходимо отслеживать упорядочение матричных продуктов, полученных путем повторного применения правила Лейбница.

Произвольная функция матрицы 2 × 2

Произвольная функция f (A) матрицы A 2 × 2 имеет свою формулу Сильвестра, упрощенную до

$f\; (A)\; =\; f\; (\lambda \; +)\; +\; f\; (\lambda \; -)\; 2\; I\; +\; A\; -\; (tr\; (A)\; 2)\; I\; (tr\; (A)\; 2)\; 2\; -\; |\; А\; |\; е\; (\lambda \; +)\; -\; е\; (\lambda \; -)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (A)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{+\})\; +\; f\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{-\})\}\; \{2\}\}\; I\; +\; \{\backslash \; frac\; \{A-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{tr\; (A)\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; I\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{tr\; (A)\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; |\; A\; |\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{+\})\; -\; f\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{-\})\}\; \{2\}\}\; ~,\}$

где $\lambda \; \pm \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; pm\}\}$- собственные значения его характеристического уравнения, | A-λI | = 0, и задаются как

$\lambda \; \pm \; =\; tr\; (A)\; 2\; \pm \; (tr\; (A)\; 2)\; 2\; -\; |\; А\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; pm\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{tr\; (A)\}\; \{2\}\}\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{tr\; (A)\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; |\; A\; |\}\}.\}$

Примеры

• Алгебраическое уравнение Риккати
• Матричный полином
• Матричный корень
• Матричный логарифм
• Матричный экспоненциальный

Использование полуопределенного порядка ($X\; ⪯\; Y\; \iff \; Y\; -\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; Preq\; Y\; \backslash \; Leftrightarrow\; YX\}$равно положительно-полуопределенное и $X\; \prec \; Y\; \iff \; Y\; -\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; prec\; Y\; \backslash \; Leftrightarrow\; YX\}$is положительно определенный ), некоторые из классов скалярных функций могут быть расширены до матричных функций Эрмитовы матрицы.

Операторная монотонная

Функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$называется операторно-монотонной тогда и только тогда, когда $0\; \prec \; A\; ⪯\; H\; \Rightarrow \; f\; (A)\; ⪯\; е\; (H)\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; prec\; A\; \backslash \; prevq\; H\; \backslash \; Rightarrow\; f\; (A)\; \backslash \; prevq\; f\; (H)\}$для всех самосопряженных матриц $A,\; H\; \{\; \backslash \; displaystyle\; A,\; H\}$со спектрами в области f. Это аналогично монотонной функции в скалярном случае.

Оператор вогнутой / выпуклой формы

Функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$называется операторной вогнутой, если и только если

$\tau \; f\; (A)\; +\; (1\; -\; \tau )\; е\; (ЧАС)\; ⪯\; е\; (\tau \; A\; +\; (1\; -\; \tau )\; H)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; tau\; f\; (A)\; +\; (1-\; \backslash \; tau)\; f\; (H)\; \backslash \; prevq\; f\; \backslash \; left\; (\backslash \; tau\; A\; +\; (1-\; \backslash \; tau)\; H\; \backslash \; right)\}$

для всех самосопряженных матриц $A,\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; A,\; H\}$со спектрами в области f и $\tau \; \in \; [0,\; 1]\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; тау\; \backslash \; в\; [0,1]\}$. Это определение аналогично вогнутой скалярной функции. Выпуклая функция оператора может быть определена переключением $⪯\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prevq\}$на $⪰\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; successq\}$в приведенном выше определении.

Примеры

Журнал матрицы и оператор монотонный, и оператор вогнутый. Матричный квадрат операторно выпуклый. Матричная экспонента не является ни одним из них. Теорема Лёвнера утверждает, что функция на открытом интервале является операторно-монотонной тогда и только тогда, когда она имеет аналитическое расширение на верхнюю и нижнюю комплексные полуплоскости, так что верхняя полуплоскость отображается сама на себя.

• Формула Сильвестра
• Матричное исчисление
• Неравенства трассировки
• Тригонометрические функции матриц

• Higham, Nicholas J. (2008). Функции теории и вычисления матриц. Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 9780898717778.