Введение в энтропию

Энтропия - важное понятие в области физики, известной как термодинамика. Это переменная, которая описывает состояние системы, состоящей из более мелких компонентов. Энтропия часто используется для описания объема материи, состоящего из множества молекул (например, газа или жидкости), но ее также можно применить к цифровому сообщению, состоящему из бит, или даже к крупному рогатому скоту на ранчо. или комната, полная людей.

Энтропию можно описать как количество возможных конфигураций компонентов системы, которые согласуются с состоянием системы в целом. Представьте себе бильярдный стол с 15 шарами. Если мы в целом заметим, что все шары выстроены в линию вдоль одного края стола, существует определенное конечное число комбинаций положений отдельных шаров, которые согласовывались бы с этим общим наблюдением за шарами, выстроенными таким образом.. Однако, если мы в общих чертах наблюдаем, что шары разбросаны по столу (возможно, в кажущемся случайным порядке), тогда существует гораздо большее количество комбинаций положений отдельных шаров, что согласуется с общим наблюдением, что шары разложены. Мы говорим, что распределенная структура имеет высокую энтропию по сравнению с низкой энтропией выстроенной схемы.

Идея «необратимости » является центральной для понимания энтропии. Если мы посмотрим фильм, в котором движутся бильярдные шары, можно будет легко отличить фильм, бегущий вперед, от движения назад. Если мы увидим, что шары начинаются выстроенными в линию и движутся к разложению, это интуитивно похоже на события, которые мы наблюдаем в повседневной жизни: клуб дыма, переходящий от высокой концентрации к распространению в воздух, или автомобильная авария. и распадаясь на множество частей, разбросанных по дороге. Однако, если мы видим, что шары начинаются в случайном порядке, а затем движутся к выравниванию по одному краю, что-то выглядит неправильно. Мы знаем, что фильм должен идти в обратном направлении, потому что, как дым, выходящий из воздуха и концентрирующийся, или куски металла, соединяющиеся, чтобы сформировать работающую машину, крайне маловероятно, что разложенные бильярдные шары спонтанно выстроятся в одну линию. край стола. Таким образом, движение шаров (или частиц дыма, или частей автомобиля) от низкоэнтропийной конфигурации к высокоэнтропийной описывается как необратимый процесс.

Все реальные физические процессы с участием систем в повседневной жизни, состоящие из множества атомов или молекул, необратимы. Для необратимого процесса в изолированной системе (системе, не подверженной внешнему влиянию) переменная, известная как энтропия, никогда не уменьшается. Утверждение, что энтропия изолированной системы никогда не уменьшается, известно как второй закон термодинамики.

Классическая термодинамика - это физическая теория, которая описывает «систему» ​​в терминах термодинамических переменных система или ее части. Некоторые термодинамические переменные известны: температура, давление, объем. Энтропия - это менее известная термодинамическая переменная, которую не так легко понять. «Система» - это любая область пространства, содержащая материю и энергию: чашка кофе, стакан ледяной воды, автомобиль, яйцо. Термодинамические переменные не дают «полной» картины системы. Термодинамика не делает никаких предположений о микроскопической природе системы, не описывает и не принимает во внимание положения и скорости отдельных атомов и молекул, составляющих систему. Термодинамика имеет дело с материей в макроскопическом смысле; это было бы справедливо, даже если бы атомная теория материи ошибалась. Это важное качество, потому что оно означает, что рассуждения, основанные на термодинамике, вряд ли потребуют изменений по мере обнаружения новых фактов об атомной структуре и атомных взаимодействиях. Сущность термодинамики воплощена в четырех законах термодинамики.

К сожалению, термодинамика не дает понимания того, что происходит на микроскопическом уровне. Статистическая механика - это физическая теория, объясняющая термодинамику в микроскопических терминах. Это объясняет термодинамику с точки зрения возможных подробных микроскопических ситуаций, в которых может находиться система, когда термодинамические переменные системы известны. Они известны как «микросостояния », тогда как описание системы в термодинамических терминах определяет «макросостояние» системы. Многие разные микросостояния могут давать одно и то же макросостояние. Важно понимать, что статистическая механика не определяет температуру, давление, энтропию и т. Д. Они уже определены термодинамикой. Статистическая механика служит для объяснения термодинамики с точки зрения микроскопического поведения атомов и молекул в системе.

В статистической механике энтропия системы описывается как мера того, сколько существует различных микросостояний, которые могут дать возрастают до макросостояния, в котором находится система. Энтропия системы определяется знаменитым уравнением Людвига Больцмана :

$S\; =\; k\; B\; ln\; \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; k\_\; \{B\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; Omega\}$

где $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$- энтропия макросостояния, $k\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{B\}\}$- постоянная Больцмана, а $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$- это общее количество возможных микросостояний, которые могут привести к макросостоянию. Концепция необратимости проистекает из идеи, что если у вас есть система в «маловероятном» макросостоянии ($ln\; \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; Omega\}$относительно мало), она скоро перейдет к «наиболее вероятное» макросостояние (с большим $ln\; \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; Omega\}$) и энтропия S увеличится. Стакан теплой воды с кубиком льда вряд ли может произойти просто так, он, должно быть, был создан недавно, и система перейдет в более вероятное макросостояние, в котором кубик льда частично или полностью растает, а вода охлаждается. Статистическая механика показывает, что количество микросостояний, которые дают лед и теплую воду, намного меньше, чем количество микросостояний, которые дают уменьшенную массу льда и более холодную воду.

• 1 Пояснение
• 2 Пример увеличения энтропии
• 3 Происхождение и использование
• 4 Тепло и энтропия
  • 4.1 Классический расчет энтропии
• 5 Вводное описание энтропии
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Дополнительная литература

Концепция термодинамической энтропии возникает из второго закона термодинамики. Этот закон увеличения энтропии количественно определяет снижение способности системы к изменениям или определяет, может ли происходить термодинамический процесс. Например, тепло всегда течет из области с более высокой температурой в область с более низкой температурой, пока температура не станет однородной.

Энтропия рассчитывается двумя способами. Первое, которое применяется там, где только тепловые изменения вызывают изменение энтропии, - это изменение энтропии ($\Delta \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; S\}$) для системы, содержащей подсистема, которая передает тепло своему окружению (внутри интересующей системы). Он основан на макроскопическом соотношении между тепловым потоком в подсистему и температурой, при которой он возникает, суммированными на границе этой подсистемы. Второй вычисляет абсолютную энтропию (S) системы на основе микроскопического поведения ее отдельных частиц. Это основано на натуральном логарифме количества микросостояний, возможных в конкретном макросостоянии ($\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$) называется термодинамической вероятностью. Грубо говоря, это дает вероятность того, что система находится в таком состоянии. В этом смысле он эффективно определяет энтропию независимо от ее эффектов из-за изменений, которые могут включать тепловую, механическую, электрическую, химическую энергию и т. Д., Но также включают логические состояния, такие как информация.

Следуя формализму Клаузиуса, первое вычисление может быть математически сформулировано как:

$\delta \; S\; =\; \delta \; q\; T.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; rm\; \{\backslash \; delta\}\}\; S\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; rm\; \{\backslash \; delta\}\}\; q\}\; \{T\}\}.\}$

Где $\delta \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; S\}$- увеличение или уменьшение энтропии, $\delta \; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; q\}$- тепло, добавляемое к системе или вычитаемое из нее, и $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$- температура. Знак равенства указывает на то, что изменение обратимо, поскольку Клаузиус показывает пропорциональную взаимосвязь между энтропией и потоком энергии, в системе тепловая энергия может быть преобразована в работу, а работа может быть преобразована в тепло посредством циклического процесса. Если температура может изменяться, уравнение должно быть интегрировано по температурному пути. Этот расчет изменения энтропии не позволяет определить абсолютное значение, только разницу. В этом контексте второй закон термодинамики может быть заявлен, что для тепла, передаваемого по любому действующему процессу для любой системы, изолированной или нет,

$\delta \; S\; \ge \; \delta \; q\; T.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\{\backslash \; rm\; \{\backslash \; delta\}\}\; S\}\; \backslash \; geq\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; rm\; \{\backslash \; delta\}\}\; q\}\; \{T\}\}.\}$

Согласно первому закону термодинамики, который касается сохранения энергии, потеря $\delta \; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; q\}$тепла приведет к уменьшению внутреннего энергия термодинамической системы . Термодинамическая энтропия обеспечивает сравнительную меру уменьшения внутренней энергии и соответствующего увеличения внутренней энергии окружающей среды при данной температуре. Простая и более конкретная визуализация второго закона состоит в том, что энергия всех типов изменяется от локализованной до рассеянной или распространяющейся, если ей не препятствовать в этом. Изменение энтропии - это количественная мера такого спонтанного процесса: сколько энергии утекло или насколько широко она распространилась при определенной температуре.

Второй расчет определяет энтропию в абсолютном выражении и исходит из статистической механики. Энтропия конкретного макросостояния определяется как константа Больцмана, умноженная на натуральный логарифм числа микросостояний, соответствующих этому макросостоянию, или математически

$S\; =\; k\; B\; ln\; \; \Omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; k\_\; \{B\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; Omega,\; \backslash !\}$

где переменные определены, как и раньше.

Макросостояние системы - это то, что мы знаем о системе, например, температура, давление и объем газа в коробка. Для каждого набора значений температуры, давления и объема существует множество комбинаций молекул, которые приводят к этим значениям. Количество расположений молекул, которые могут привести к одинаковым значениям температуры, давления и объема, - это количество микросостояний.

Понятие энтропии было разработано для описания любого из нескольких явлений в зависимости от области и контекста, в котором оно используется. Информационная энтропия переносит математические концепции статистической термодинамики в области теории вероятностей, не связанные с теплотой и энергией.

Таяние льда представляет собой пример увеличения энтропии

Таяние льда представляет собой пример, в котором энтропия увеличивается в небольшой системе, термодинамической системе, состоящей из окружающей среды (теплая комната) и объект из стеклянного контейнера, льда и воды, которому позволили достичь термодинамического равновесия при температуре плавления льда. В этой системе часть тепла (δQ) из более теплого окружения при температуре 298 K (25 ° C; 77 ° F) передается в более холодную систему льда и воды при ее постоянной температуре (T) 273 K. (0 ° C; 32 ° F), температура плавления льда. Энтропия системы, равная δQ / T, увеличивается на δQ / 273 К. Теплота δQ для этого процесса представляет собой энергию, необходимую для перевода воды из твердого состояния в жидкое, и называется энтальпией fusion, т.е. ΔH для плавления льда.

Важно понимать, что энтропия окружающей комнаты уменьшается меньше, чем энтропия льда, а вода увеличивается: комнатная температура 298 K больше 273 K и, следовательно, соотношение (изменение энтропии) δQ / 298 K для окружающей среды меньше, чем отношение (изменение энтропии) δQ / 273 K для системы льда и воды. Это всегда верно для спонтанных событий в термодинамической системе, и это показывает предсказательную важность энтропии: конечная чистая энтропия после такого события всегда больше, чем была начальная энтропия.

По мере того, как температура холодной воды повышается до температуры в комнате, и комната далее незаметно охлаждается, сумма δQ / T в непрерывном диапазоне, «с множеством шагов», от первоначального охлаждения до окончательного теплую воду можно найти по камню. Вся миниатюрная «вселенная», то есть эта термодинамическая система, увеличила энтропию. Энергия спонтанно стала более рассредоточенной и распространившейся в этой «вселенной», чем когда был введен стакан льда и воды и стал «системой» внутри нее.

Первоначально энтропия была названа для описания «отходящего тепла» или, точнее, потери энергии тепловыми двигателями и другими механическими устройствами, которые никогда не могли работать со 100% -ным КПД. в преобразовании энергии в работу. Позже этот термин получил несколько дополнительных описаний, поскольку больше понималось поведение молекул на микроскопическом уровне. В конце 19 века слово «беспорядок» использовалось Людвигом Больцманом при разработке статистических представлений об энтропии с использованием теории вероятностей для описания увеличивающегося движения молекул на микроскопический уровень. Это было до того, как Вернер Гейзенберг и его последователи стали лучше понимать квантовое поведение. Описание термодинамической (тепловой) энтропии на микроскопическом уровне можно найти в статистической термодинамике и статистической механике.

На протяжении большей части 20-го века в учебниках энтропия описывалась как «беспорядок», следуя ранней концептуализации Больцмана «двигательная» (т.е. кинетическая) энергия молекул. Совсем недавно в учебниках химии и физики появилась тенденция описывать энтропию как рассредоточение энергии. Энтропия также может включать в себя рассеивание частиц, которые сами по себе обладают энергией. Таким образом, бывают случаи, когда и частицы, и энергия рассеиваются с разной скоростью при смешивании веществ.

Математика, разработанная в статистической термодинамике, оказалась применимой в других дисциплинах. В частности, информационные науки разработали концепцию информационной энтропии, в которой отсутствует постоянная Больцмана, присущая термодинамической энтропии.

На микроскопическом уровне кинетическая энергия молекул отвечает за температуру вещества или системы. «Тепло» - это кинетическая энергия передаваемых молекул: когда энергия движения передается от более горячей среды к более холодной системе, более быстро движущиеся молекулы в окружающей среде сталкиваются со стенками системы, которая передает часть своих энергия к молекулам системы и заставляет их двигаться быстрее.

• Молекулы в газе, таком как азот, при комнатной температуре в любой момент движутся со средней скоростью почти 500 миль в час (210 м / с ), постоянно сталкиваясь и, следовательно, обмениваясь энергией, так что их индивидуальные скорости всегда меняются. Предполагая модель идеального газа , средняя кинетическая энергия увеличивается линейно с абсолютной температурой, поэтому средняя скорость увеличивается как квадратный корень из температуры.
  • Таким образом, движущаяся молекулярная энергия («тепловая энергия») от более горячего окружения, например, быстро движущиеся молекулы в пламени или сильно колеблющиеся атомы железа в горячей пластине, будет плавить или кипятить вещество. (система) при температуре ее плавления или кипения. Это количество энергии движения из окружающей среды, которое требуется для плавления или кипения, называется энергией фазового перехода, а именно энтальпией плавления или испарения соответственно. Эта энергия фазового перехода разрывает связи между молекулами в системе (не химические связи внутри молекул, которые удерживают атомы вместе) вместо того, чтобы вносить вклад в энергию движения и заставлять молекулы двигаться быстрее - так что это не повышает температуру, а вместо этого позволяет молекулам высвободиться, чтобы двигаться как жидкость или как пар.
  • С точки зрения энергии, когда твердое тело становится жидкостью или паром, энергия движения, исходящая из окружающей среды, изменяется на «потенциальную энергию». 'в веществе (энергия фазового перехода, которая возвращается в окружающую среду, когда температура окружающей среды становится ниже температуры кипения или плавления вещества, соответственно). Энергия фазового перехода увеличивает энтропию вещества или системы, потому что это энергия, которая должна распространяться в системе из окружающей среды, чтобы вещество могло существовать в виде жидкости или пара при температуре выше его точки плавления или кипения. Когда этот процесс происходит во `` вселенной '', состоящей из окружающей среды и системы, общая энергия `` вселенной '' становится более рассредоточенной или распределяемой, поскольку часть большей энергии, которая была только в более горячем окружении, переносится, так что некоторая часть энергии в системе охлаждения. Это рассредоточение энергии увеличивает энтропию «вселенной».

Важный общий принцип состоит в том, что «энергия всех типов меняется от локализованной к рассредоточенной или рассредоточенной, если этому не препятствуют. Энтропия (или, лучше сказать, изменение энтропии) является количественной мерой такого рода спонтанного процесса: сколько энергии было передано / T или насколько широко она распространилась при определенной температуре ».

Классический расчет энтропии

Когда энтропия была впервые определена и использована в 1865 году, само существование атомов все еще оставалось спорным, и не существовало концепции, что температура является результатом энергии движения молекул или что «тепло» на самом деле является переносом энергия движения молекулы из одного места в другое. Изменение энтропии, $\Delta \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; S\}$, было описано в макроскопических терминах, которые можно было измерить напрямую, например, объем, температура или давление. Однако сегодня классическое уравнение энтропии, $\Delta \; S\; =\; qrev\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; S\; =\; \{\backslash \; frac\; \{q\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{rev\}\}\}\; \{T\}\}\}$можно частично объяснить в современных терминах, описывающих, как молекулы несут ответственность за происходящее:

• $\Delta \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; S\}$- это изменение энтропии системы (некоторой представляющей интерес физической субстанции) после того, как некоторая энергия движения («тепло») была передана ей быстро движущимися молекулами. Итак, $\Delta \; S\; =\; S\; final\; -\; S\; initial\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; S\; =\; S\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{final\}\}\; -S\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{initial\}\}\}$.
• Затем $\Delta \; S\; =\; S\; final\; -\; S\; initial\; =\; qrev\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; S\; =\; S\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{final\}\}\; -S\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{initial\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{q\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{rev\}\}\}\; \{T\}\}\}$, отношение энергии движения («тепла») q, которая передается «обратимо» (об.) В систему из окружающей среды (или из другой системы, находящейся в контакте с первой системой), деленное на T, абсолютная температура, при которой происходит перенос.
  • «Реверсивный» или «обратимый» (rev) просто означает, что T, температура системы, должна оставаться (почти) точно такой же, пока любая энергия передается в нее или из нее. Это просто в случае фазовых переходов, когда система абсолютно должна оставаться в твердой или жидкой форме, пока ей не будет передано достаточно энергии, чтобы разорвать связи между молекулами, прежде чем она сможет превратиться в жидкость или газ. Например, при таянии льда при 273,15 K, независимо от температуры окружающей среды - от 273,20 K до 500 K или даже выше, температура льда будет оставаться на уровне 273,15 K, пока последние молекулы льда не изменятся на жидкая вода, т.е. до тех пор, пока все водородные связи между молекулами воды во льду не будут разорваны и не образуются новые, менее точно фиксированные водородные связи между молекулами жидкой воды. Это количество энергии, необходимое для таяния льда на моль, составляет 6008 джоулей при 273 К. Следовательно, изменение энтропии на моль составляет $qrev\; T\; =\; 6008\; Дж\; 273\; К\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{q\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{rev\}\}\}\; \{T\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{6008\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{J\}\}\; \{273\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{K\}\}\}\}$, или 22 Дж / К.
  • Когда температура не соответствует температуре плавления или кипения вещества, разрыв межмолекулярных связей невозможен, и поэтому любая движущаяся молекулярная энергия («тепло») из окружающей среды, передаваемая системе, повышает ее температуру, заставляя его молекулы движутся все быстрее и быстрее. Поскольку температура постоянно повышается, больше не существует определенного значения «Т», при котором передается энергия. Однако «обратимую» передачу энергии можно измерить при очень небольшом повышении температуры, а совокупный итог можно найти, добавив каждый из множества небольших температурных интервалов или приращений. Например, чтобы найти изменение энтропии $qrev\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{q\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{rev\}\}\}\; \{T\}\}\}$с 300 K до 310 K, измерьте величину энергии, передаваемой с десятками или сотнями температурных приращений, скажем, от 300,00 K до 300,01 K, а затем от 300,01 до 300,02 и так далее, разделив q на каждый T и, наконец, сложив их все.
  • Можно использовать исчисление чтобы упростить этот расчет, если эффект ввода энергии в систему линейно зависит от изменения температуры, как при простом нагреве системы при умеренных или относительно высоких температурах. Таким образом, энергия, передаваемая «за постепенное изменение температуры» (теплоемкость, $C\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{p\}\}$), умноженная на интеграл от $d\; TT\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dT\}\; \{T\}\}\}$от $T\; initial\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{initial\}\}\}$до $T\; final\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{final\}\}\}$, непосредственно определяется выражением $\Delta \; S\; =\; C\; p\; ln\; \; T\; final\; T\; initial\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; S\; =\; C\_\; \{p\}\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{T\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{final\}\}\}\; \{T\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{initial\}\}\}\}\}$.

• как меры беспорядка : Традиционно, Учебники 20-го века представили энтропию как порядок и беспорядок, так что она обеспечивает «измерение беспорядка или случайности системы». Утверждалось, что двусмысленность в используемых терминах (таких как «беспорядок» и «хаос») способствует широко распространенной путанице и может затруднить понимание энтропии для большинства студентов. С другой стороны, «беспорядок» может быть очень четко определен как энтропия Шеннона распределения вероятностей микросостояний при конкретном макросостоянии, и в этом случае связь «беспорядка» с термодинамической энтропией проста, но не очевидна для тех, кто не знаком с теорией информации.
• Распределение энергии : более поздняя формулировка, связанная с Фрэнком Л. Ламбертом, описывает энтропию как рассеивание энергии. Как и в случае с «беспорядком», значение термина «рассредоточение» следует понимать в очень специфическом смысле, который сильно отличается от мирского значения «рассредоточения». Хотя увеличение энтропии часто связано с пространственным уменьшением концентрации плотности энергии, и никогда с увеличением, существуют контрпримеры, которые иллюстрируют, что концепция «рассредоточения» не сразу очевидна. Большинство контрпримеров могут быть включены в концепцию «рассредоточения», когда «пространство», в котором происходит рассредоточение, включает пространство квантовых уровней энергии в зависимости от численности населения, но это снижает эффективность концепции распространения как введения в концепцию энтропии..
• Как мера энергии, недоступной для работы: Это часто повторяемая фраза, которая требует значительного пояснения, чтобы ее можно было понять. Это неверно, за исключением циклических обратимых процессов, и в этом смысле вводит в заблуждение. Учитывая емкость с газом, ВСЯ его внутренняя энергия может быть преобразована в работу. (Точнее, количество работы, которую можно преобразовать, можно сделать сколь угодно близкой к полной внутренней энергии.) Точнее, для изолированной системы, состоящей из двух замкнутых систем при разных температурах, в процессе достижения равновесия количество потерянной энтропии на горячую систему, умноженную на термодинамическую температуру горячей системы, является мерой количества энергии, недоступной для работы. Описание фундаментальной природы энтропии может вводить в заблуждение в этом смысле.

• Энтропия (распределение энергии)
• Второй закон термодинамики
• Статистическая механика
• Термодинамика
• Список учебников по термодинамике и статистической механике

• Goldstein, Martin and Inge F. (1993). Холодильник и Вселенная: понимание законов энергии. Harvard Univ. Нажмите. ISBN 9780674753259.Главы 4–12 касаются энтропии.