Группарациональных точек на единичной окружности

редактировать

комплексных чисел с единичной нормой и действительной и мнимой частями рациональных чисел

тройка Пифагора (4,3,5) связано с рациональной точкой (4 / 5,3 / 5) на единичной окружности.

В математике рациональные точки на единичном круге - это те точки (x, y), что и x, и y являются рациональными числами («дроби») и удовлетворяют x + y = 1. Множество таких точек оказывается тесно связанным с примитивными пифагоровыми тройками. Рассмотрим примитивный прямоугольный треугольник , то есть с целыми длинами сторон a, b, c, с гипотенузой c, такой, что у сторон нет общего множителя больше 1. Тогда на единичной окружности существует рациональная точка (a / c, b / c), которая в комплексной плоскости равна просто a / c + ib / c, где i - мнимая единица. И наоборот, если (x, y) - рациональная точка на единичной окружности в 1-м квадранте системы координат (т.е. x>0, y>0), то существует примитивный прямоугольный треугольник со сторонами xc, yc, c, где c является наименьшим общим кратным знаменателей x и y. Существует соответствие между точками (a, b) в плоскости x-y и точками a + ib в комплексной плоскости, которое используется ниже.

Содержание

1 Групповая операция
- 1.1 Пример
- 1.2 Другие способы описания группы
2 Структура группы
- 2.1 Пример
3 Группа рациональных точек единичной гиперболы
- 3.1 Копии внутри большой группы
4 См. Также
5 Ссылки

Групповая операция

Набор рациональных точек на единичной окружности, сокращенно G в этой статье, образует бесконечную абелева группа при вращениях. Элементом идентичности является точка (1, 0) = 1 + i0 = 1. Групповая операция, или «произведение», есть (x, y) * (t, u) = (xt - uy, xu + yt). Это произведение является сложением углов, поскольку x = cos (A) и y = sin (A), где A - угол, который вектор (x, y) образует с вектором ( 1,0), измеренный против часовой стрелки. Таким образом, если (x, y) и (t, u) образуют углы A и B с (1, 0) соответственно, их произведение (xt - uy, xu + yt) является просто рациональной точкой на единичной окружности, образующей угол A + B с (1, 0). Групповую операцию проще выразить с помощью комплексных чисел: идентифицируя точки (x, y) и (t, u) с помощью x + iy и t + iu соответственно, групповое произведение выше - это просто обычное умножение комплексных чисел (x + iy) (t + iu) = xt - yu + i (xu + yt), что соответствует точке (xt - uy, xu + yt), как указано выше.

Пример

3/5 + 4 / 5i и 5/13 + 12 / 13i (которые соответствуют двум наиболее известным троек Пифагора (3,4,5) и (5,12, 13)) являются рациональными точками на единичной окружности комплексной плоскости и, следовательно, являются элементами группы G. Их групповое произведение равно −33/65 + 56 / 65i, что соответствует тройке Пифагора (33,56,65). Сумма квадратов числителей 33 и 56 равна 1089 + 3136 = 4225, что является квадратом знаменателя 65.

Другие способы описания группы

G ≅ SO (2, Q). {\ displaystyle G \ cong \ mathrm {SO} (2, \ mathbb {Q}).}

{ \ Displaystyle G \ cong \ mathrm {SO} (2, \ mathbb {Q}).}

Множество всех матриц вращения 2 × 2 с рациональными элементами совпадает с G. Это следует из тот факт, что круговая группа $S 1 {\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ изоморфна $SO (2, R) {\ displaystyle \ mathrm { SO} (2, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (2, \ mathbb {R})}$ и тот факт, что их рациональные точки совпадают.

Структура группы

Структура G представляет собой бесконечную сумму циклических групп. Пусть G 2 обозначает подгруппу группы G, порожденную точкой 0 + 1i. G 2 является циклической подгруппой порядка 4. Для простого числа p формы 4k + 1 пусть G p обозначает подгруппу элементов со знаминателем p, где n - неотрицательное целое число. G p является бесконечной циклической группой, а точка (a - b) / p + (2ab / p) i является образующей G p. Кроме того, факторизуя знаменатели элемента G, можно показать, что G является прямой суммой G 2 и G p. То есть:

G ≅ G 2 ⊕ ⨁ p ≡ 1 (mod 4) G p. {\ displaystyle G \ cong G_ {2} \ oplus \ bigoplus _ {p \, \ Equiv \, 1 \, ({\ text {mod}} 4)} G_ {p}.}

{\ displaystyle G \ cong G_ {2} \ oplus \ bigoplus _ {p \, \ Equiv \, 1 \, ({\ text {mod}} 4) } G_ {p}.}

Поскольку это прямая сумма, а не прямое произведение, только конечное число значений в G p не равны нулю.

Пример

Рассматривая G как бесконечную прямую сумму, рассмотрим элемент ({0}; 2, 0, 1, 0, 0,..., 0,...), где первая координата 0 находится в C4, а другие координаты дают степени (a - b) / p (r) + i2ab / p (r), где p (r) - r-е простое число формы 4k + 1 Тогда это соответствует в G рациональной точке (3/5 + i4 / 5) · (8/17 + i15 / 17) = −416/425 + i87 / 425. Знаменатель 425 является произведением знаменателя 5 дважды и знаменателя 17 один раз, и, как и в предыдущем примере, квадрат числителя -416 плюс квадрат числителя 87 равен квадрату знаменателя 425. Это также следует отметить, как связь, помогающую сохранить понимание, что знаменатель 5 = p (1) является первым простым числом формы 4k + 1, а знаменатель 17 = p (3) является третьим простым числом формы 4k + 1..

Группа рациональных точек единичной гиперболы

Существует тесная связь между этой группой на единичной гиперболе и группой, рассмотренной выше. Если $a + ibc {\ displaystyle {\ frac {a + ib} {c}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a + ib} {c}}}$ - рациональная точка на единичной окружности, где a / c и b / c равны приведенные дроби, тогда (c / a, b / a) - рациональная точка на единичной гиперболе, поскольку $(c / a) 2 - (b / a) 2 = 1, {\ displaystyle (c / a) ^ {2} - (b / a) ^ {2} = 1,}$ ${\ displaystyle (c / a) ^ {2} - (b / a) ^ {2} = 1,}$ , удовлетворяющее уравнению для единичной гиперболы. Групповая операция здесь: $(x, y) × (u, v) = (xu + yv, xv + yu), {\ displaystyle (x, y) \ times (u, v) = (xu + yv, xv + yu),}$ ${\ displaystyle (x, y) \ times (u, v) = (xu + yv, xv + yu),}$ и идентичность группы - та же точка (1, 0), что и выше. В этой группе существует тесная связь с гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом, которые параллельны связи с косинусом и синусом в группа единичного круга выше.

Копии внутри большей группы

Имеются изоморфные копии обеих групп как подгруппы (и как геометрические объекты) группы рациональных точек на абелевом многообразии в четырехмерном пространстве, заданном уравнением $w 2 + x 2 - y 2 + z 2 = 0. {\ displaystyle w ^ {2} + x ^ {2} -y ^ {2} + z ^ { 2} = 0.}$ ${\ displaystyle w ^ {2} + x ^ {2} -y ^ {2} + z ^ {2} = 0.}$ Обратите внимание, что это разнообразие представляет собой набор точек с метрикой Минковского относительно начала координат, равной 0. Идентификатор в этой большей группе равен (1, 0, 1, 0), а групповая операция имеет вид $(a, b, c, d) × (w, x, y, z) = (aw - bx, ax + bw, cy + dz, cz + dy). {\ displaystyle (a, b, c, d) \ times (w, x, y, z) = (aw-bx, ax + bw, cy + dz, cz + dy).}$ ${\ displaystyle (a, b, c, d) \ times (w, x, y, z) знак равно (aw-bx, ax + bw, cy + dz, cz + dy).}$

Для группы на единичный круг, соответствующая подгруппа - это подгруппа точек вида (w, x, 1, 0), где $w 2 + x 2 = 1, {\ displaystyle w ^ {2} + x ^ {2 } = 1,}$ ${\ displaystyle w ^ {2} + x ^ {2} = 1,}$ и его элемент идентичности (1, 0, 1, 0). Группа единичной гиперболы соответствует точкам формы (1, 0, y, z), где $y 2 - z 2 = 1, {\ displaystyle y ^ {2} -z ^ {2} = 1,}$ ${\ displaystyle y ^ {2} -z ^ {2} = 1,}$ , и идентичность снова (1, 0, 1, 0). (Конечно, поскольку они являются подгруппами большей группы, они обе должны иметь один и тот же элемент идентичности.)

См. Также

Портал математики

Круглая группа

Ссылки

Группа рациональных точек на единичной окружности [1], Lin Tan, Mathematics Magazine Vol. 69, No. 3 (июнь, 1996), pp. 163–171
Группа примитивных треугольников Пифагора [2], Эрнест Дж. Эккерт, Mathematics Magazine Vol 57 No. 1 (Январь 1984 г.), стр. 22–26
«Рациональные точки на эллиптических кривых» Джозеф Сильверман