Уравнение Гросса – Питаевского

Уравнение Гросса – Питаевского (GPE, названо в честь Евгений П. Гросс и Лев Петрович Питаевский ) описывает основное состояние квантовой системы идентичных бозонов с использованием приближения Хартри – Фока и модель псевдопотенциального взаимодействия.

A Конденсат Бозе – Эйнштейна (BEC) представляет собой газ из бозонов, которые находятся в одном и том же квантовом состоянии и, следовательно, могут быть описаны одной и той же волновой функцией . Свободная квантовая частица описывается одночастичным уравнением Шредингера. Взаимодействие между частицами в реальном газе учитывается подходящим многочастичным уравнением Шредингера. В приближении Хартри – Фока общая волновая функция $\Psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\}$системы $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$бозоны взяты как произведение одночастичных функций $\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\}$,

$\Psi \; (r\; 1,\; r\; 2,\dots ,\; r\; N)\; =\; \psi \; (r\; 1)\; \psi \; (r\; 2\; (\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{1\})\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{2\})\; \backslash \; dots\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{N\})\}$

где $ri\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\}$- координата $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$-го бозона. Если среднее расстояние между частицами в газе больше, чем длина рассеяния (то есть в так называемом пределе разбавления), то истинный потенциал взаимодействия, который присутствует в этом уравнении, можно аппроксимировать величиной псевдопотенциал. При достаточно низкой температуре, когда длина волны де Бройля намного больше, чем диапазон бозон-бозонного взаимодействия, процесс рассеяния может быть хорошо аппроксимирован s-волновым рассеянием (т.е. $\ell \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; =\; 0\}$только в термине парциального волнового анализа, также известного как твердая сфера потенциал). В этом случае гамильтониан псевдопотенциальной модели системы может быть записан как:

где $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$- масса бозона, $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$- внешний потенциал, $как\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{s\}\}$- длина рассеяния s-волны бозона и бозона, а $\delta \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$- Дельта-функция Дирака.

вариационный метод показывает, что если одночастичная волновая функция удовлетворяет следующему уравнению Гросса – Питаевского:

$(-\; \hslash \; 2\; 2\; m\; \partial \; 2\; \partial \; r\; 2\; +\; V\; (\; r)\; +\; 4\; \pi \; \hslash \; 2\; asm\; |\; \psi \; (r)\; |\; 2)\; \psi \; (r)\; =\; \mu \; \psi \; (r),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; \{\; \backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; ^\; \{2\}\}\; +\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; +\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; a\_\; \{s\}\; \backslash \; over\; m\}\; \backslash \; vert\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; vert\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \backslash \; mu\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}),\}$

полная волновая функция минимизирует математическое ожидание модельного гамильтониана при условии нормировки $\int \; d\; V\; |\; \Psi \; |\; 2\; =\; N.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; dV\; |\; \backslash \; Psi\; |\; ^\; \{2\}\; =\; N.\}$Следовательно, такая одночастичная волновая функция описывает основное состояние системы.

GPE - это модельное уравнение для одночастичной волновой функции основного состояния в конденсате Бозе – Эйнштейна. Оно похоже по форме на уравнение Гинзбурга – Ландау и иногда упоминается как «нелинейное уравнение Шредингера ».

Нелинейность уравнения Гросса – Питаевского происходит от взаимодействия между частицами: при установке константы взаимодействия взаимодействия в уравнении Гросса – Питаевского равной нулю (см. Следующий раздел): таким образом, восстанавливается одночастичное уравнение Шредингера, описывающее частицу внутри ловушечного потенциала.

• 1 Форма уравнения
• 2 Решения
  • 2.1 Точные решения
    • 2.1.1 Свободная частица
    • 2.1.2 Солитон
  • 2.2 Длина заживления
  • 2.3 Варианты решения
  • 2.4 Численные решения
  • 2.5 Приближение Томаса – Ферми
  • 2.6 Приближение Боголюбова
  • 2.7 Сверхтекучая среда во вращающемся спиральном потенциале
• 3 Ссылки
• 4 Дополнительная литература
• 5 Внешние ссылки

Уравнение имеет форму уравнения Шредингера с добавлением члена взаимодействия. Константа связи $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$пропорциональна длине рассеяния s-волны $как\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{s\}\}$двух взаимодействующих бозонов:

$g\; =\; 4\; \pi \; \hslash \; 2\; asm\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; a\_\; \{s\}\}\; \{m\}\}\}$,

где $\hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\}$- это приведенная постоянная Планка, а $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$- масса бозона. Плотность энергии равна

$E\; =\; \hslash \; 2\; 2\; m\; |\; \nabla \; \Psi \; (г)\; |\; 2\; +\; V\; (r)\; |\; \Psi \; (г)\; |\; 2\; +\; 1\; 2\; г\; |\; \Psi \; (г)\; |\; 4,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; vert\; \backslash \; nabla\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; vert\; ^\; \{2\}\; +\; V\; (\; \backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; vert\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; vert\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; g\; \backslash \; vert\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; vert\; ^\; \{\; 4\},\}$

где $\Psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\}$- волновая функция или параметр порядка, а $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$- внешний потенциал (например, ловушка гармоник). Не зависящее от времени уравнение Гросса – Питаевского для сохраняющегося числа частиц имеет вид

$\mu \; \Psi \; (r)\; =\; (-\; \hslash \; 2\; 2\; m\; \nabla \; 2\; +\; V\; (r)\; +\; g\; |\; \Psi \; (r)\; |\; 2)\; \Psi \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; +\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{r\; \})\; +\; g\; \backslash \; vert\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; vert\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$

где $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- химический потенциал. химический потенциал находится из условия, что количество частиц связано с волновой функцией соотношением

$N\; =\; \int \; |\; \Psi \; (г)\; |\; 2\; д\; 3\; р.\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; vert\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; vert\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; d\; ^\; \{3\}\; r.\}$

Из не зависящего от времени уравнения Гросса – Питаевского мы можем найти структура конденсата Бозе – Эйнштейна в различных внешних потенциалах (например, гармоническая ловушка).

Зависящее от времени уравнение Гросса – Питаевского:

$i\; \hslash \; \partial \; \Psi \; (r,\; t)\; \partial \; t\; =\; (-\; \hslash \; 2\; 2\; m\; \nabla \; 2\; +\; V\; (r)\; +\; g\; |\; \Psi \; (r,\; t)\; |\; 2)\; \Psi \; (r,\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; +\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; +\; g\; \backslash \; vert\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\; \backslash \; vert\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t).\}$

Из нестационарного уравнения Гросса – Питаевского мы можем посмотреть на динамику конденсата Бозе – Эйнштейна. Он используется для поиска коллективных режимов захваченного газа.

Поскольку уравнение Гросса – Питаевского является нелинейным уравнением в частных производных, трудно найти точные решения. В результате решения должны быть аппроксимированы множеством методов.

Точные решения

Свободная частица

Простейшим точным решением является решение для свободной частицы, где $V\; (r)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (\backslash \; mathbf\; \{\; r\})\; =\; 0\}$,

$\Psi \; (r)\; =\; NV\; eik\; \cdot \; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{N\}\; \{V\}\}\}\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}.\}$

Это решение часто называют решением Хартри. Хотя он удовлетворяет уравнению Гросса – Питаевского, он оставляет зазор в энергетическом спектре из-за взаимодействия:

$E\; (k)\; =\; N\; [\hslash \; 2\; k\; 2\; 2\; m\; +\; g\; N\; 2\; V].\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (\backslash \; mathbf\; \{k\})\; =\; N\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; k\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; g\; \{\backslash \; frac\; \{N\}\; \{2V\}\}\; \backslash \; right\; ].\}$

Согласно, взаимодействующий бозе-газ не имеет энергетической щели (в случае отталкивающих взаимодействий).

Солитон

Одномерный солитон может образовываться в конденсате Бозе – Эйнштейна, и в зависимости от того, является ли взаимодействие притягивающим или отталкивающим, возникает либо яркий, либо темный солитон. Оба солитона являются локальными возмущениями в конденсате с однородной фоновой плотностью.

Если BEC отталкивает, так что $g>0\; \{\backslash \; displaystyle\; g>0\}$, то возможное решение уравнения Гросса – Питаевского:

$\psi \; (x)\; =\; \psi \; 0\; tanh\; (Икс\; 2\; \xi )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; psi\; (x)\; =\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; \backslash \; tanh\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \; xi\}\}\; \backslash \; right)\}$,

где $\psi \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\}$- значение волновой функции конденсата в $\infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; infty\}$и $\xi \; =\; \hslash \; /\; 2\; мин\; 0\; г\; =\; 1/8\; \pi \; asn\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; =\; \backslash \; hbar\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{2mn\_\; \{0\}\; g\}\}\; =\; 1\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{8\; \backslash \; pi\; a\_\; \{s\}\; n\_\; \{0\}\}\}\}$- длина когерентности (также известная как длина восстановления, см. ниже). Это решение представляет темный солитон, поскольку дефицит конденсата в пространстве ненулевой плотности. Темный солитон также является разновидностью топологического дефекта, поскольку $\psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\}$переворачивает ставку положительные и отрицательные значения в начале координат соответствуют фазовому сдвигу $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$.

Для

$\psi \; (x,\; t)\; =\; \psi \; (0)\; e\; -\; i\; \mu \; t\; /\; \hslash \; 1\; ch\; \; [2\; m\; |\; \mu \; |\; /\; \hslash \; 2\; Икс],\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; psi\; (x,\; t)\; =\; \backslash \; psi\; (0)\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; mu\; t\; /\; \backslash \; hbar\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; cosh\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; sqrt\; \{\; 2m\; \backslash \; vert\; \backslash \; mu\; \backslash \; vert\; /\; \backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\}\; x\; \backslash \; right]\}\},\}$

где химический потенциал равен $\mu \; =\; g\; |\; \psi \; (0)\; |\; 2/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; g\; \backslash \; vert\; \backslash \; psi\; (0)\; \backslash \; vert\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}$. Это решение представляет собой яркий солитон, поскольку в пространстве с нулевой плотностью имеется концентрация конденсата.

Длина заживления

Продолжительность заживления можно понимать как масштаб длины, где кинетическая энергия бозона равна химическому потенциалу:

$\hslash \; 2\; 2\; м\; \xi \; 2\; =\; \mu \; =\; gn\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\; \backslash \; xi\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \backslash \; mu\; =\; gn\_\; \{0\}\; \backslash ,.\}$

Длина заживления дает кратчайшее расстояние, на котором волновая функция может меняться; Он должен быть намного меньше любого масштаба длины в решении одночастичной волновой функции. Длина заживления также определяет размер вихрей, которые могут образовываться в сверхтекучей жидкости; Это расстояние, на котором волновая функция восстанавливается от нуля в центре вихря до значения в толще сверхтекучей жидкости (отсюда и название «исцеляющая» длина).

Вариационные решения

В системах, где точное аналитическое решение может быть невозможно, можно сделать вариационное приближение. Основная идея состоит в том, чтобы сделать вариационный анзац для волновой функции со свободными параметрами, подставить его в свободную энергию и минимизировать энергию по отношению к свободным параметрам.

Численные решения

Для решения GPE использовались несколько численных методов, например, метод расщепления Кранка – Николсона и спектральный Фурье.. Существуют также различные программы Fortran и C для решения контактного взаимодействия и дальнодействующих.

Приближение Томаса – Ферми

Если количество частиц в газе очень велико, межатомное взаимодействие становится большим, так что членом кинетической энергии можно пренебречь в уравнении Гросса – Питаевского. Это называется приближение Томаса – Ферми.

$\psi \; (x,\; t)\; =\; \mu \; -\; V\; (x)\; N\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (x,\; t)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; -\; V\; (x)\}\; \{Ng\}\}\}\}$

В гармонической ловушке (где потенциальная энергия квадратична по отношению к смещению от центра), это дает профиль плотности, обычно называемый Профиль плотности "обращенная парабола".

Приближение Боголюбова

Обработка Боголюбовым уравнения Гросса – Питаевского - это метод, который находит элементарные возбуждения конденсата Бозе – Эйнштейна. С этой целью волновая функция конденсата аппроксимируется суммой равновесной волновой функции $\psi \; 0\; =\; ne\; -\; i\; \mu \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; mu\; t\}\}$и небольшое возмущение $\delta \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; psi\}$,

$\psi \; =\; \psi \; 0\; +\; \delta \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; =\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; +\; \backslash \; delta\; \backslash \; psi\}$.

Затем эта форма вставляется в зависящее от времени уравнение Гросса – Питаевского и его комплексно сопряженное уравнение и линеаризуется до первого порядка в $\delta \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; psi\}$

$i\; \hslash \; \partial \; \delta \; \psi \; \partial \; T\; знак\; равно\; -\; \hslash \; 2\; 2\; м\; \nabla \; 2\; \delta \; \psi \; +\; V\; \delta \; \psi \; +\; g\; (2\; |\; \psi \; 0\; |\; 2\; \delta \; \psi \; +\; \psi \; 0\; 2\; \delta \; \psi \; \ast )\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; delta\; \backslash \; psi\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; psi\; +\; V\; \backslash \; delta\; \backslash \; psi\; +\; g\; (2\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; psi\; +\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; psi\; ^\; \{*\})\}$

$-\; i\; \hslash \; \partial \; \delta \; \psi \; \ast \; \partial \; t\; =\; -\; \hslash \; 2\; 2\; м\; \nabla \; 2\; \delta \; \psi \; \ast \; +\; V\; \delta \; \psi \; \ast \; +\; g\; (2\; |\; \psi \; 0\; |\; 2\; \delta \; \psi \; \ast \; +\; (\psi \; 0\; \ast )\; 2\; \delta \; \psi )\; \{\backslash \; displaystyle\; -i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; delta\; \backslash \; psi\; ^\; \{*\}\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; psi\; ^\; \{*\}\; +\; V\; \backslash \; delta\; \backslash \; ps\; i\; ^\; \{*\}\; +\; g\; (2\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; psi\; ^\; \{*\}\; +\; (\backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; ^\; \{*\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; psi)\}$

Если для $\delta \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; psi\}$

$\delta \; \psi \; =\; e\; -\; i\; \mu \; t\; (u\; (r)\; e\; -\; i\; \omega \; t\; -\; v\; \ast \; (r)\; ei\; \omega \; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; psi\; =\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; mu\; t\}\; (u\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; omega\; t\}\; -v\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; omega\; t\})\}$

можно найти следующие связанные дифференциальные уравнения для $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$и $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \}$, взяв части $e\; \pm \; i\; \omega \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; pm\; i\; \backslash \; omega\; t\}\}$как независимые компоненты

$(-\; \hslash \; 2\; 2\; м\; \nabla \; 2\; +\; V\; +\; 2\; gn\; -\; \hslash \; \mu \; -\; \hslash \; \omega )\; U\; -\; GNV\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; +\; V\; +\; 2gn-\; \backslash \; hbar\; \backslash \; mu\; -\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; \backslash \; right)\; u-gnv\; =\; 0\}$

$(-\; \hslash \; 2\; 2\; m\; \nabla \; 2\; +\; V\; +\; 2\; gn\; -\; \hslash \; \mu \; +\; \hslash \; \omega )\; v\; -\; gnu\; =\; 0\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; +\; V\; +\; 2gn-\; \backslash \; hbar\; \backslash \; mu\; +\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; \backslash \; right)\; v-gnu\; =\; 0\}$

Для однородной системы, т.е. для $V\; (r)\; =\; const.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; =\; const.\}$, можно получить $V\; =\; \hslash \; \mu \; -\; gn\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \backslash \; hbar\; \backslash \; mu\; -gn\}$из уравнения нулевого порядка. Затем мы предполагаем, что $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$и $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$являются плоскими волнами импульса $q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\}$, что приводит к энергетическому спектру

$\hslash \; \omega \; =\; ϵ\; q\; =\; \hslash \; 2\; |\; q\; |\; 2\; 2\; м\; (\hslash \; 2\; |\; q\; |\; 2\; 2\; м\; +\; 2\; gn)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; =\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\; |\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; |\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\; |\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; 2gn\; \backslash \; right)\}\}\}$

Для больших $q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\}$соотношение дисперсии квадратично по $q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; q\}\}\}$, как и следовало ожидать для обычных невзаимодействующих одночастичных возбуждений. Для малых $q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\}$соотношение дисперсии является линейным

$ϵ\; q\; =\; s\; \hslash \; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\; \}\; =\; s\; \backslash \; hbar\; q\}$

, где $s\; =\; ng\; /\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{ng\; /\; m\}\}\}\;$- скорость звука в конденсате, также известный как второй звук. Тот факт, что $ϵ\; q\; /\; (\hslash \; q)>s\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\; /\; (\backslash \; hbar\; q)>s\}$показывает, согласно критерию Ландау, что конденсат представляет собой сверхтекучесть что если объект перемещается в конденсате со скоростью, меньшей s, то возникновение возбуждений будет энергетически невыгодным, и объект будет двигаться без диссипации, что является характеристикой сверхтекучей жидкости . сделано, чтобы доказать эту сверхтекучесть конденсата, с использованием сильно сфокусированного лазера с отстройкой от синего. Такое же дисперсионное соотношение найдено, когда конденсат описывается с помощью микроскопического подхода с использованием формализма второго квантования.

Сверхтекучая жидкость во вращающемся спиральном потенциале

Оптическая потенциальная яма $V\; твист\; (r,\; t)\; =\; V\; твист\; (z,\; r,\; \theta ,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{t\; wist\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\; =\; V\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{twist\}\}\; (z,\; r,\; \backslash \; theta,\; t)\}$может быть образовано двумя встречно распространяющимися оптическими вихрями с длинами волн $\lambda \; \pm \; =\; 2\; \pi \; c\; /\; \omega \; \pm \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; pm\}\; =\; 2\; \backslash \; pi\; c\; /\; \backslash \; omega\; \_\; \{\backslash \; pm\}\}$, эффективная ширина $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$и топологический заряд $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$:

$E\; \pm \; (r,\; t)\; \sim \; exp\; \; (-\; r\; 2\; 2\; D\; 2)\; r\; |\; \ell \; |\; ехр\; \; (-\; я\; \omega \; \pm \; T\; \pm \; ik\; \pm \; Z\; +\; я\; \ell \; \theta ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{E\; \_\; \{\backslash \; pm\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\; \backslash \; sim\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{2D\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; r\; ^\; \{|\; \backslash \; ell\; |\}\; \backslash \; exp\; (-i\; \backslash \; omega\; \_\; \{\backslash \; pm\}\; t\; \backslash \; pm\; ik\; \_\; \{\backslash \; pm\}\; z\; +\; i\; \backslash \; ell\; \backslash \; тета),\}$

где $\delta \; \omega \; =\; (\omega \; +\; -\; \omega \; -)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; omega\; =\; (\backslash \; omega\; \_\; \{+\}\; -\; \backslash \; omega\; \_\; \{-\})\}$. В цилиндрической системе координат $(z,\; r,\; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; (z,\; r,\; \backslash \; theta)\}$потенциальная яма имеет замечательную геометрию двойной спирали:

$V\; twist\; (\; r,\; t)\; \sim \; V\; 0\; exp\; \; (-\; r\; 2\; D\; 2)\; r\; 2\; |\; \ell \; |\; (1\; +\; соз\; \; [\delta \; \omega \; T\; +\; (к\; +\; +\; к\; -)\; z\; +\; 2\; \ell \; \theta ]),\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{twist\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\; \backslash \; sim\; V\_\; \{0\; \}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{D\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; r\; ^\; \{2\; |\; \backslash \; ell\; |\}\; \backslash \; left\; (1+\; \backslash \; cos\; [\backslash \; delta\; \backslash \; omega\; t\; +\; (k\; \_\; \{+\}\; +\; k\; \_\; \{-\})\; z\; +\; 2\; \backslash \; ell\; \backslash \; theta]\; \backslash \; right),\}$

В системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью $\Omega \; =\; \delta \; \omega \; /\; 2\; \ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; =\; \backslash \; delta\; \backslash \; omega\; /\; 2\; \backslash \; ell\}$, зависящее от времени уравнение Гросса – Питаевского со спиральным потенциалом имеет следующий вид:

$i\; \hslash \; \partial \; \Psi \; (r,\; t)\; \partial \; t\; =\; (-\; \hslash \; 2\; 2\; м\; \nabla \; 2\; +\; V\; твист\; (r)\; +\; g\; |\; \Psi \; (r,\; t)\; |\; 2\; -\; \Omega \; L\; ^)\; \Psi \; (r,\; t),\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; HBAR\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; =\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; +\; V\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{twist\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; +\; g\; \backslash \; vert\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\; \backslash \; vert\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; Omega\; \{\backslash \; hat\; \{L\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t),\}$

где $L\; ^\; =\; -\; я\; \hslash \; \partial \; \partial \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{L\}\}\; =\; -\; i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\}$- оператор углового момента. Решение для волновой функции конденсата $\Psi \; (r,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\}$представляет собой суперпозицию двух фазово-сопряженных вихрей материи-волны:

$\Psi \; (r,\; t)\; \sim \; exp\; \; (-\; r\; 2\; 2\; D\; 2)\; r\; |\; \ell \; |\; \times \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; t)\; \backslash \; sim\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{2D\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; r\; ^\; \{|\; \backslash \; ell\; |\}\; \backslash \; times\}$

$(exp\; \; (-\; i\; \omega \; +\; t\; +\; ik\; +\; z\; +\; i\; \ell \; \theta )\; +\; exp\; \; (-\; i\; \omega \; -\; t\; -\; ik\; -\; z\; -\; i\; \ell \; \theta )).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; ехр\; (-i\; \backslash \; omega\; \_\; \{+\}\; t\; +\; ik\; \_\; \{+\}\; z\; +\; i\; \backslash \; ell\; \backslash \; theta)\; +\; \backslash \; exp\; (-i\; \backslash \; omega\; \_\; \{-\}\; t-ik\; \_\; \{-\}\; zi\; \backslash \; ell\; \backslash \; theta)\; \backslash \; right).\}$

Макроскопически наблюдаемый импульс конденсата:

$⟨\Psi \; |\; P\; ^\; |\; \Psi ⟩\; знак\; равно\; N\; при\; \hslash \; (к\; +\; -\; к\; -),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; Psi\; \backslash \; vert\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\; \backslash \; vert\; \backslash \; Psi\; \backslash \; rangle\; =\; N\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{at\}\}\; \backslash \; hbar\; (k\_\; \{\; +\}\; -\; k\; \_\; \{-\}),\}$

где $N\; at\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{at\}\}\}$- количество атомов в конденсате. Это означает, что атомный ансамбль движется когерентно вдоль оси $z\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; z-\}$с групповой скоростью, направление которой определяется знаками топологического заряда $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$и угловая скорость $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$:

$V\; z\; =\; 2\; \Omega \; \ell \; (k\; +\; +\; k\; -)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{z\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; Omega\; \backslash \; ell\; \}\; \{(k\; \_\; \{+\}\; +\; k\; \_\; \{-\})\}\}\}$

Угловой момент спирально захваченного конденсата равен нулю:

$⟨\Psi \; |\; L\; ^\; |\; \Psi ⟩\; знак\; равно\; N\; при\; [\ell \; \hslash \; -\; \ell \; \hslash ]\; =\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; Psi\; \backslash \; vert\; \{\backslash \; hat\; \{L\}\}\; \backslash \; vert\; \backslash \; Psi\; \backslash \; rangle\; =\; N\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{at\}\}\; [\backslash \; ell\; \backslash \; hbar\; -\; \backslash \; ell\; \backslash \; hbar]\; =\; 0.\}$

Численное моделирование ансамбля холодных атомов в спиральном потенциале показало ограничение индивидуальных траекторий атомов внутри спиральной потенциальной ямы.

Вихревая дипольная ловушка с топологическим зарядом $\ell \; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; =\; 2\}$загружено ультрахолодным ансамблем.

• Pethick, CJ Smith, H. (2002). Конденсация Бозе – Эйнштейна в разбавленных газах. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66580-3..
• Питаевский, Л. П., Стрингари С. (2003). Конденсация Бозе – Эйнштейна. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850719-2..

• Trotter-Suzuki-MPI Trotter-Suzuki-MPI - это библиотека для крупномасштабного моделирования на основе разложение Троттера-Судзуки, которое также может обращаться к уравнению Гросса-Питаевского