Длина рассеяния

редактировать

длина рассеяния в квантовой механике описывает низкоэнергетическое рассеяние. Для потенциалов, которые затухают быстрее, чем $1 / r 3 {\ displaystyle 1 / r ^ {3}}$ $1 / r ^ {3}$ as $r → ∞ {\ displaystyle r \ to \ infty}$ $r \ to \ infty$ , он определяется как следующий предел низкой энергии :

lim k → 0 k детская кроватка ⁡ δ (k) = - 1 a, {\ displaystyle \ lim _ {k \ to 0} k \ cot \ delta (k) = - {\ frac {1} {a}} \ ;,}

\ lim _ {{k \ to 0}} k \ cot \ delta (k) = - {\ frac {1} {a}} \ ;,

где $a {\ displaystyle a}$ $a$ - длина рассеяния, $k { \ displaystyle k}$ $k$ - волновое число , а $δ (k) {\ displaystyle \ delta (k)}$ $\ delta (k)$ - фаза сдвиг уходящей сферической волны. Упругое сечение , $σ e {\ displaystyle \ sigma _ {e}}$ $\ sigma _ {e}$ при низких энергиях определяется исключительно длиной рассеяния:

lim k → 0 σ e = 4 π a 2. {\ displaystyle \ lim _ {k \ to 0} \ sigma _ {e} = 4 \ pi a ^ {2} \ ;.}

\ lim _ {{k \ to 0}} \ sigma _ {e} = 4 \ pi a ^ {2} \ ;.

Содержание

1 Общая концепция
2 Пример
3 См. Также
4 Ссылки

Общая концепция

Когда медленная частица рассеивается от рассеивателя малого радиуса действия (например, примеси в твердом теле или тяжелой частице), она не может разрешить структуру объекта, поскольку его Длина волны де Бройля очень длинная. Идея состоит в том, что тогда не должно быть важно, какой именно потенциал $V (r) {\ displaystyle V (r)}$ $V(r)$ рассеивается, а только то, как выглядит потенциал. у длинных чешуек. Формальный способ решения этой проблемы - выполнить частичное волновое разложение (в некоторой степени аналогично мультипольному разложению в классической электродинамике ), где один разлагается в угловой момент составляющая уходящей волны. При очень низкой энергии падающая частица не видит никакой структуры, поэтому в низшем порядке у нее есть только выходящая сферическая волна, называемая s-волной по аналогии с атомной орбиталью с квантовым числом углового момента l = 0.. При более высоких энергиях также необходимо учитывать рассеяние p- и d-волн (l = 1,2) и так далее.

Идея описания низкоэнергетических свойств в терминах нескольких параметров и симметрий очень сильна, а также лежит в основе концепции перенормировки..

Концепция длины рассеяния также может быть расширена на потенциалы, которые затухают медленнее, чем $1 / r 3 {\ displaystyle 1 / r ^ {3}}$ $1 / r ^ {3}$ as $r → ∞ {\ displaystyle r \ to \ infty}$ $r \ to \ infty$ . Известный пример, имеющий отношение к протон-протонному рассеянию, - это длина рассеяния, модифицированная кулонами.

Пример

В качестве примера вычисления длины рассеяния s-волны (т. Е. Углового момента $l = 0 {\ displaystyle l = 0}$ $l = 0$ ) для данного потенциала мы смотрим на бесконечно отталкивающую сферическую потенциальную яму радиуса $r 0 {\ displaystyle r_ {0}}$ $r_ {0}$ в трех измерениях. Радиальное уравнение Шредингера ( $l = 0 {\ displaystyle l = 0}$ $l = 0$ ) за пределами колодца точно такое же, как для свободной частицы:

- ℏ 2 2 mu ″ (r) = E u (r), {\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} u '' (r) = Eu (r),}

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}u''(r)=Eu(r),

где потенциал твердого ядра требует, чтобы волновая функция $u (r) {\ displaystyle u (r)}$ $u (r)$ обращалась в нуль при $r = r 0 {\ displaystyle r = r_ {0}}$ $r = r_ {0}$ , $u (r 0) = 0 {\ displaystyle u (r_ {0}) = 0}$ $u (r_ {0}) = 0$ . Решение легко найти:

u (r) = A sin ⁡ (kr + δ s) {\ displaystyle u (r) = A \ sin (kr + \ delta _ {s})}

u (r) = A \ sin (kr + \ delta _ {s})

Здесь $к = 2 м E / ℏ {\ displaystyle k = {\ sqrt {2mE}} / \ hbar}$ $k = {\ sqrt { 2mE}} / \ hbar$ и $δ s = - k ⋅ r 0 {\ displaystyle \ delta _ {s } = - k \ cdot r_ {0}}$ $\ delta _ {s} = - k \ cdot r_ {0}$ - s-волна сдвиг фазы (разность фаз между входящей и исходящей волной), который фиксируется граничным условием $u (r 0) = 0 {\ displaystyle u (r_ {0}) = 0}$ $u (r_ {0}) = 0$ ; $A {\ displaystyle A}$ $A$ - произвольная константа нормализации.

Можно показать, что в целом $δ s (k) ≈ - k ⋅ as + O (k 2) {\ displaystyle \ delta _ {s} (k) \ приблизительно -k \ cdot a_ {s} + O (k ^ {2})}$ $\ delta _ {s} (k) \ приблизительно -k \ cdot a_ {s} + O (k ^ {2})$ для малых $k {\ displaystyle k}$ $k$ (т. е. низкоэнергетического рассеяния). Параметр $a s {\ displaystyle a_ {s}}$ $a_ {s}$ размерной длины определяется как длина рассеяния . Поэтому для нашего потенциала мы имеем $a = r 0 {\ displaystyle a = r_ {0}}$ $a = r_ {0}$ , другими словами, длина рассеяния для твердой сферы - это просто радиус. (В качестве альтернативы можно сказать, что произвольный потенциал с длиной рассеяния s-волны $как {\ displaystyle a_ {s}}$ $a_ {s}$ имеет те же свойства низкоэнергетического рассеяния, что и твердая сфера радиуса $как {\ displaystyle a_ {s}}$ $a_ {s}$ .) Чтобы связать длину рассеяния с физическими наблюдаемыми, которые могут быть измерены в эксперименте по рассеянию, нам нужно вычислить сечение $σ { \ Displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ . В теории рассеяния асимптотическая волновая функция записывается как (мы предполагаем, что в начале координат имеется рассеиватель конечного диапазона, а вдоль $z {\ displaystyle z}$ $z$ -ось):

ψ (r, θ) = eikz + f (θ) eikrr {\ displaystyle \ psi (r, \ theta) = e ^ {ikz} + f (\ theta) {\ frac {e ^ {ikr}} {r}}}

\ psi (r, \ theta) = e ^ {{ikz}} + f (\ theta) {\ frac {e ^ {{ikr}}} {r}}

где $f {\ displaystyle f}$ $f$ - амплитуда рассеяния. Согласно вероятностной интерпретации квантовой механики дифференциальное сечение задается как $d σ / d Ω = | f (θ) | 2 {\ displaystyle d \ sigma / d \ Omega = | f (\ theta) | ^ {2}}$ $d \ sigma / d \ Omega = | f (\ theta) | ^ {2}$ (вероятность за единицу времени рассеяться в направлении $k {\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf {k}$ ). Если рассматривать только s-волновое рассеяние, то дифференциальное сечение не зависит от угла $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , а общее сечение рассеяния равно $σ = 4 π | f | 2 {\ displaystyle \ sigma = 4 \ pi | f | ^ {2}}$ $\ sigma = 4 \ pi | f | ^ {2}$ . S-волновая часть волновой функции $ψ (r, θ) {\ displaystyle \ psi (r, \ theta)}$ $\ psi (r, \ theta)$ проецируется с помощью стандартного разложения плоской волны в терминах сферические волны и полиномы Лежандра $P l (cos ⁡ θ) {\ displaystyle P_ {l} (\ cos \ theta)}$ $P_ {l} (\ cos \ theta)$ :

eikz ≈ 1 2 ikr ∑ l = 0 ∞ (2 l + 1) п l (соз ⁡ θ) [(- 1) l + 1 e - ikr + eikr] {\ displaystyle e ^ {ikz} \ приблизительно {\ frac {1} {2ikr}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} (2l + 1) P_ {l} (\ cos \ theta) \ left [(- 1) ^ {l + 1} e ^ {- ikr} + e ^ {ikr} \ right ]}

e ^ {{ikz}} \ приблизительно {\ frac {1} {2ikr}} \ sum _ {{l = 0}} ^ {{\ infty}} (2l + 1) P_ {l} (\ cos \ theta) \ left [(- 1) ^ {{l + 1}} e ^ {{- ikr}} + e ^ {{ikr}} \ right]

Путем сопоставления $l = 0 {\ displaystyle l = 0}$ $l = 0$ компонента $ψ (r, θ) {\ displaystyle \ psi (r, \ theta)}$ $\ psi (r, \ theta)$ к решению s-волны $ψ (r) = A sin ⁡ (kr + δ s) / r {\ displaystyle \ psi (r) = A \ sin (kr + \ delta _ {s) }) / r}$ $\ psi (r) = A \ sin (kr + \ delta _ {s}) / r$ (где мы нормализуем $A {\ displaystyle A}$ $A$ так, чтобы входящая волна $eikz {\ displaystyle e ^ {ikz}}$ $e ^ {{ikz}}$ имеет префактор единицы):

f = 1 2 ik (e 2 i δ s - 1) ≈ δ s / k ≈ - as {\ displaystyle f = {\ frac {1} {2ik}} (e ^ {2i \ delta _ {s}} - 1) \ приблизительно \ delta _ {s} / k \ приблизительно -a_ {s}}

f = {\ frac {1} {2ik}} (e ^ {{2i \ delta _ {s}}} - 1) \ приблизительно \ delta _ {s} / k \ приблизительно - a_ {s}

Это дает:

$σ = 4 π К 2 грех 2 ⁡ δ s = 4 π as 2 {\ displaystyle \ sigma = {\ frac {4 \ pi} {k ^ {2}}} \ sin ^ {2} \ delta _ { s} = 4 \ pi a_ {s} ^ {2}}$ $\ sigma = {\ frac {4 \ pi} {k ^ {2}}} \ sin ^ {2} \ delta _ {s} = 4 \ pi a_ {s} ^ {2}$

См. также

Литература

Ландау, LD; Лифшиц, Э. М. (2003). Квантовая механика: нерелятивистская теория. Амстердам: Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-3539-8.