Граничный член Гиббонса - Хокинга - Йорка

В общей теории относительности граничный термин Гиббонса - Хокинга - Йорка - это термин, который необходимо добавить к Эйнштейна - Гильберта, когда лежащее в основе пространство-время многообразие имеет границу.

Действие Эйнштейна - Гильберта является используемым элементарного вариационного принципа, из которого могут быть использованы уравнения поля общей теории относительности. Однако использование действия Эйнштейна-Гильберта уместно только тогда, когда лежащее в основе пространственно-временное многообразие $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$закрыто, т. Е. многообразие, компактное одновременно и не имеет границ. Если у разнообразия есть граница $\partial \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$, действие должно быть дополнено граничным членом, чтобы вариационный принцип работал -определенный.

Необходимость такого граничного терминального терминала впервые осознана Йорком, а затем уточнена в незначительной степени Гиббонсом и Хокингом.

Для разнообразия, который не закрыт, соответствующее действие :

$SEH\; +\; SGHY\; =\; 1\; 16\; \pi \; \int \; M\; d\; 4\; x\; -\; g\; R\; +\; 1\; 8\; \pi \; \int \; \partial \; M\; d\; 3\; y\; ϵ\; час\; K,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{EH\}\; \}\; +\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{GHY\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{16\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{4\}\; x\; \backslash ,\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; R\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{3\}\; y\; \backslash ,\; \backslash \; epsilon\; \{\backslash \; sqrt\; \{h\}\}\; K,\}$

где $SEH\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{EH\}\}\}$- действие Эйнштейна - Гильберта, $SGHY\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{S\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{GHY\}\}\}$- граничный член Гиббонса - Хокинга - Йорка, $hab\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{ab\}\; \}$- индуцированная метрика (определения см. Ниже) на границе, $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$его определитель, $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$- это след s Вторая основная форма, $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$равна $+\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; +1\}$, где нормаль к $\partial \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$пространственноподобен, а $-\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; -1\; \}$, где нормаль к $\partial \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$- времяподобное, а $да\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{a\; \}\}$- координаты на границе. Изменение действия относительно метрики $g\; \alpha \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\}$при условии

$\delta \; g\; \alpha \; \beta \; |\; \partial \; M\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \{\backslash \; big\; |\}\; \_\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; =\; 0,\}$

дает уравнения Эйнштейна ; добавление граничного члена означает, что при выполнении вариации геометрия границы, закодированная в поперечной метрике $h\; a\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{ab\}\}$, фиксируется (см. раздел ниже). В действии используется неоднозначность до произвольного функционала индуцированной метрики $hab\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{ab\}\}$.

То, что граничный член необходим в гравитационном случае, потому что $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, гравитационная плотность лагранжиана, содержит вторые производные метрического тензора. Это нетипичная особенность полей, которые обычно формулируются в терминах лагранжианов, которые включают только первые производные поля, которые нужно отличать.

Термин GHY желателен, поскольку он обладает рядом других функций. При переходе к гамильтонову формализму необходимо включить член GHY, чтобы воспроизвести правильную энергию Арновитта - Дезера - Миснера (энергия ADM ). Этот член необходим, чтобы устойчивость, что интеграл по путям (а-ля Хокинг) для квантовой гравитации имеет правильные композиционные свойства. При вычислении энтропии черной дыры с использованием евклидова полуклассического подхода весь вкладит член GHY. Этот термин более недавнее применение в петлевой квантовой гравитации при вычислении амплитуды переходов и амплитуды рассеяния, не зависящих от фона.

Чтобы определить конечное значение действия, можно использовать вычесть поверхностный член для плоского пространства-времени:

$SEH\; +\; SGHY,\; 0\; =\; 1\; 16\; \pi \; \int \; M\; d\; 4\; x\; -\; g\; R\; +\; 1\; 8\; \pi \; \int \; \partial \; M\; d\; 3\; Y\; ϵ\; час\; К\; -\; 1\; 8\; \pi \; \int \; \partial \; M\; d\; 3\; y\; ϵ\; час\; K\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{EH\}\; +\; S\_\; \{GHY,\; 0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{16\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{4\}\; x\; \backslash ,\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; R\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; partial\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{3\}\; y\; \backslash ,\; \backslash \; epsilon\; \{\backslash \; sqrt\; \{h\}\}\; K-\; \{1\; \backslash \; over\; 8\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\; \}\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{3\}\; y\; \backslash ,\; \backslash \; epsilon\; \{\backslash \; sqrt\; \{h\}\}\; K\_\; \{0\},\}$

где $K\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{0\}\}$- внешняя кривизна границы, вложенной в плоское пространство-время. <Время156>h {\ displaystyle {\ sqrt {h}}}инвариантно относительно вариантов $g\; \alpha \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\}$, этот дополнительный член не влияет на уравнение поля; как таковой, это называется нединамическим термином.

• 1 Введение в гиперповерхности
  • 1.1 Определение гиперповерхностей
  • 1.2 Гиперповерхностные ортогональные поля
  • 1.3 Индуцированная и поперечная метрика
• 2 О доказательстве основного результата
  • 2.1 Вариация члена Эйнштейна - Гильберта
  • 2.2 Вариация граничного члена
  • 2.3 Нединамический член
  • 2.4 Вариация модифицированных гравитации
• 3 Интегральный подход к квантовой гравитации
• 4 Расчет энтропии черной дыры с использованием евклидова полуклассического подхода
• 5 Применение в петлевой квантовой гравитации
  • 5.1 Амплитуды переходов и главная функция Гамильтона
  • 5.2 Амплитуды рассеяния, не зависящие от фона
• 6 Примечания
• 7 Ссылки

Определение гиперповерхностей

В четырехмерном пространственно-временном множестве гиперповерхность - это трехмерное подмногообразие, которое может быть времяподобным, пространственноподобным или нулевым м.

Конкретная гиперповерхность $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$может быть выбрана либо путем наложения ограничения на координаты

$f\; (x\; \alpha )\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; ^\; \{\backslash \; alpha\})\; =\; 0,\}$

или задавая параметрические уравнения,

$x\; \alpha \; =\; x\; \alpha \; (ya),\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; x\; ^\; \{\backslash \; альфа\}\; (y\; ^\; \{\; a\}),\}$

где $ya\; (a\; =\; 1,\; 2,\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{a\}\; (a\; =\; 1,2,3)\}$- координаты, присущие гиперповерхности.

Например, двумерная сфера в трехмерном евклидовом пространстве может быть описана как

$f\; (x\; \alpha )\; =\; x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; z\; 2\; -\; r\; 2\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; ^\; \{\backslash \; альфа\})\; =\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; -r\; ^\; \{2\}\; =\; 0,\}$

где $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- радиус сферы, или

$x\; =\; r\; sin\; \; \theta \; cos\; \; \varphi ,\; y\; =\; r\; sin\; \; \theta \; sin\; \; \varphi ,\; z\; =\; r\; cos\; \; \theta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; р\; \backslash \; грех\; \backslash \; тета\; \backslash \; соз\; \backslash \; фи,\; \backslash \; четырехугольник\; у\; =\; г\; \backslash \; грех\; \backslash \; тета\; \backslash \; грех\; \backslash \; фи,\; \backslash \; четырехъядерный\; г\; =\; г\; \backslash \; соз\; \backslash \; тета,\}$

где $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$и $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$являются внутренними координатами.

Гиперповерхностные ортогональные условия поля

Мы принимаем метрическое соглашение (-, +,..., +). Мы начинаем с семейства гиперповерхностей, заданного формулой

$f\; (x\; \alpha )\; =\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; ^\; \{\backslash \; alpha\})\; =\; C\}$

, где разные члены семейства соответствуют разным значениям константа $C\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; C\}$. Рассмотрим две соседние точки $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$и $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$с координатами $x\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \}\}$и $x\; \alpha \; +\; dx\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; +\; dx\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$, соответственно, лежащие на одной гиперповерхности. Мы затем должны сначала установить

$C\; =\; f\; (x\; \alpha \; +\; d\; x\; \alpha )\; =\; f\; (x\; \alpha )\; +\; \partial \; f\; \partial \; x\; \alpha \; d\; x\; \alpha .\; \{\backslash \; Displaystyle\; С\; =\; е\; (х\; ^\; \{\backslash \; альфа\}\; +\; dx\; ^\; \{\backslash \; альфа\})\; =\; е\; (х\; ^\; \{\backslash \; альфа\})\; +\; \{\backslash \; partial\; f\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\; dx\; ^\; \{\; \backslash \; alpha\}.\}$

Вычитание из этого уравнения $C\; =\; f\; (x\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; f\; (x\; ^\; \{\backslash \; alpha\})\}$дает

$\partial \; f\; \partial \; Икс\; \alpha \; dx\; \alpha \; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; partial\; f\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\; dx\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; 0\}$

в $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$. Это означает, что $f,\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{,\; \backslash \; alpha\}\}$нормально к гиперповерхности. Единичная нормаль $n\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}$может быть введена в случае, когда гиперповерхность не равна нулю. Это определяется как

$n\; \alpha \; n\; \alpha \; \equiv \; ϵ\; =\; \{-\; 1,\; если\; \Sigma \; пространственноподобен\; +\; 1,\; если\; \Sigma \; времениподобен\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; n\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; epsilon\; =\; \{\backslash \; begin\; \{\; case\}\; -1\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; \backslash \; Sigma\; \{\backslash \; text\; \{is\; spacelike\}\}\; \backslash \backslash \; +\; 1\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; \backslash \; Sigma\; \{\backslash \; text\; \{is\; timelike\}\}\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\; \}$

и мы будем, чтобы $n\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$указывал в направлении увеличения $f:\; n\; \alpha \; f,\; \alpha >0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; :\; n\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; f\; \_\; \{,\; \backslash \; alpha\}>0\}$. Затем можно легко проверить, что $n\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}$задается

$n\; \alpha \; знак\; равно\; ϵ\; е,\; \alpha \; |\; г\; \alpha \; \beta \; е,\; \alpha \; е,\; \beta \; |\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; \{\backslash \; epsilon\; f\; \_\; \{,\; \backslash \; alpha\}\; \backslash \; over\; |\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; f\_\; \{,\; \backslash \; alpha\}\; f\; \_\; \{,\; \backslash \; beta\}\; |\; ^\; \{1\; \backslash \; over\; 2\}\}\}$

если гиперповерхность либо пространственноподобная, ли бо времениподобная.

Индуцированная и поперечная метрика1

Три сети

$ea\; \alpha \; =\; (\partial \; x\; \alpha \; \partial \; ya)\; \partial \; M\; a\; =\; 1,,\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{a\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\; ^\; \{a\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \backslash \; quad\; a\; =\; 1,2,3\}$

касаются гиперповерхности.

Индуцированная метрика - это трех-тензорный $h\; a\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{ab\}\}$, особый как

$h\; a\; b\; =\; g\; \alpha \; \beta \; e\; a\; \alpha \; e\; b\; \beta .\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{ab\}\; =\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; e\_\; \{a\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; e\_\; \{b\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}.\}$

Это действует как метрический тензор на гиперповерхности в координатах $Я\; \{\backslash \; Displaystyle\; у\; ^\; \{а\}\}$. Для смещений, ограниченных гиперповерхностью (так что $x\; \alpha \; =\; x\; \alpha \; (ya)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; (y\; ^\; \{a\})\}$)

$ds\; 2\; знак\; равно\; г\; \alpha \; \beta \; dx\; \alpha \; dx\; \beta \; знак\; равно\; г\; \alpha \; \beta \; (\partial \; x\; \alpha \; \partial \; yadya)\; (\partial \; x\; \beta \; \partial \; ybdyb)\; =\; (g\; \alpha \; \beta \; ea\; \alpha \; eb\; \beta )\; dyadyb\; =\; habdyadyb\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; ds\; ^\; \{\; 2\}\; =\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; dx\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; dx\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \backslash \; =\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \}\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{a\}\}\}\; dy\; ^\; \{a\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{b\}\}\}\; dy\; ^\; \{b\; \}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; e\_\; \{a\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; e\_\; \{b\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \; right)\; dy\; ^\; \{a\}\; dy\; ^\; \{b\}\; \backslash \; \backslash \; =\; h\_\; \{ab\}\; dy\; ^\; \{a\}\; dy\; ^\; \{b\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Потому что три инструмента $e\; 1\; \alpha ,\; e\; 2\; \alpha ,\; e\; 3\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\},\; e\_\; \{2\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\},\; e\_\; \{3\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$касаются гиперповерхности,

$n\; \alpha \; ea\; \alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; e\_\; \{a\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; 0\}$

где $n\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}$- единичный вектор ($n\; \alpha \; n\; \alpha \; =\; \pm \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; n\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; \backslash \; pm\; 1\}$) norma l на гиперповерхность.

Мы вводим так называемую поперечную метрику

$h\; \alpha \; \beta \; =\; g\; \alpha \; \beta \; -\; ϵ\; n\; \alpha \; n\; \beta .\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; -\; \backslash \; epsilon\; n\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; n\; \_\; \{\backslash \; beta\}.\}$

Он изолирует часть метрики, которая поперечна нормальному $n\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$.

Легко видеть, что этот четырехтензорный

$h\; \alpha \; \beta \; =\; \delta \; \alpha \; \beta \; -\; ϵ\; n\; \alpha \; n\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{h\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; =\; \{\backslash \; delta\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; -\; \backslash \; epsilon\; n\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; n\; \_\; \{\backslash \; beta\}\}$

проецирует часть четырехвекторально нормали $n\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$as

$h\; \alpha \; \beta \; n\; \beta \; =\; (\delta \; \alpha \; \beta \; -\; ϵ\; n\; \alpha \; n\; \beta )\; n\; \beta \; =\; (n\; \alpha \; -\; ϵ\; 2\; n\; \alpha )\; =\; 0\; и\; если\; w\; \alpha \; n\; \alpha \; =\; 0,\; то\; h\; \alpha \; \beta \; w\; \beta \; =\; w\; \alpha .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{h\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; n\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; =\; (\{\backslash \; delta\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; -\; \backslash \; epsilon\; n\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; n\; \_\; \{\; \backslash \; beta\})\; n\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; =\; (n\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; -\; \backslash \; epsilon\; ^\; \{2\}\; n\; ^\; \{\backslash \; alpha\})\; =\; 0\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash ;\; \backslash \; mathrm\; \{if\}\; \backslash \; quad\; w\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; n\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; 0\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathrm\; \{then\}\; \backslash \; quad\; \{h\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; w\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; =\; ш\; ^\; \{\backslash \; альфа\}.\; \}$

Имеем

$hab\; =\; h\; \alpha \; \beta \; ea\; \alpha \; eb\; \beta .\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{ab\}\; =\; h\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; e\_\; \{a\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; e\_\; \{b\}\; ^\; \{\backslash \; beta\},\; если.\}$

мы определим $hab\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{ab\}\}$быть инверсией $hab\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{ab\}\}$, легко проверить

$h\; \alpha \; \beta \; =\; habea\; \alpha \; eb\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; h\; ^\; \{ab\}\; e\_\; \{a\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; e\_\; \{b\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}\}$

где

$h\; \alpha \; \beta \; =\; g\; \alpha \; \beta \; -\; ϵ\; n\; \alpha \; n\; \beta .\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; -\; \backslash \; epsilon\; n\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; n\; ^\; \{\backslash \; beta\}.\}$

Обратите внимание, что изменение зависит от условий

$\delta \; g\; \alpha \; \beta \; |\; \partial \; M\; знак\; равно\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \{\backslash \; big\; |\}\; \_\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; =\; 0,\}$

означает, что $hab\; =\; g\; \alpha \; \beta \; ea\; \alpha \; eb\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{ab\}\; =\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; e\_\; \{a\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; e\_\; \{b\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}\}$, индуцированная метрика на $\partial \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$, фиксируется во время изменения.

О доказательстве основного результата

В следующих подразделах мы сначала вычислим вариацию члена Эйнштейна-Гильберта, а вариацию граничного члена, и покажем, что их сумма дает

$\delta \; STOTAL\; =\; \delta \; SEH\; +\; \delta \; SGHY\; знак\; равно\; 1\; 16\; \pi \; \int \; MG\; \alpha \; \beta \; \delta \; g\; \alpha \; \beta \; -\; gd\; 4\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; S\_\; \{TOTAL\}\; =\; \backslash \; delta\; S\_\; \{EH\}\; +\; \backslash \; delta\; S\_\; \{GHY\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{16\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; G\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; delta\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; d\; ^\; \{4\}\; x\}$

где $G\; \alpha \; \beta \; знак\; равно\; R\; \alpha \; \beta \; -\; 1\; 2\; g\; \alpha \; \beta \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; R\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; -\; \{1\; \backslash \; over\; 2\}\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; R\}$- это тензор Эйнштейна, который дает правильную левую часть уравнения поля Эйнштейна, без космологический член, который, однако, тривиально включить, заменив $SEH\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{EH\}\}$на

$1\; 16\; \pi \; \int \; M\; (R\; -\; 2\; \Lambda )\; -\; gd\; 4\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{1\; \backslash \; более\; 16\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; (R-2\; \backslash \; Lambda)\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; d\; ^\; \{4\}\; x\}$

где $\Lambda \; \{\backslash \; disp\; laystyle\; \backslash \; Lambda\}$- это космологическая постоянная.

В третьем подразделе мы подробно рассмотрим значение нединамического терминала.

Вариация члена Эйнштейна - Гильберта

Мы будем использовать тождество

$\delta \; -\; g\; \equiv \; -\; 1\; 2\; -\; gg\; \alpha \; \beta \; \delta \; g\; \alpha \; \beta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; g\}\}\; \backslash \; Equiv\; -\; \{1\; \backslash \; over\; 2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; delta\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\},\}$

и Палатини идентичности :

$\delta \; р\; \alpha \; \beta \; \equiv \; \nabla \; \mu \; (\delta \; \Gamma \; \alpha \; \beta \; \mu )\; -\; \nabla \; \beta \; (\delta \; \Gamma \; \alpha \; \mu \; \mu ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; R\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; (\; \backslash \; delta\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; ^\; \{\backslash \; mu\})\; -\; \backslash \; nabla\; \_\; \{\backslash \; beta\}\; (\backslash \; delta\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; mu\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}),\}$

которые оба получены в статье Действие Эйнштейна - Гильберта.

Мы рассматриваем вариант члена Эйнштейна - Гильберта:

$(16\; \pi )\; \delta \; SEH\; =\; \int \; M\; \delta \; (g\; \alpha \; \beta \; R\; \alpha \; \beta \; -\; g)\; d\; 4\; x\; =\; \int \; M\; (R\; \alpha \; \beta \; -\; g\; \delta \; g\; \alpha \; \beta \; +\; g\; \alpha \; \beta \; R\; \alpha \; \beta \; \delta \; -\; g\; +\; -\; gg\; \alpha \; \beta \; \delta \; R\; \alpha \; \beta )\; d\; 4\; x\; =\; \int \; M\; (R\; \alpha \; \beta \; -\; 1\; 2\; g\; \alpha \; \beta \; R)\; \delta \; g\; \alpha \; \beta \; -\; gd\; 4\; x\; +\; \int \; M\; g\; \alpha \; \beta \; \delta \; R\; \alpha \; \beta \; -\; gd\; 4\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; (16\; \backslash \; pi)\; \backslash \; delta\; S\_\; \{EH\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; left\; (g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; R\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; \backslash \; right)\; d\; ^\; \{4\}\; x\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; \backslash \; left\; (R\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; g\}\}\; \backslash \; delta\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; +\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; R\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; delta\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; delta\; R\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; right)\; d\; ^\; \{4\}\; x\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; \backslash \; left\; (R\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\; \}\; -\; \{1\; \backslash \; более\; 2\}\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; R\; \backslash \; right)\; \backslash \; delta\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; d\; ^\; \{4\}\; x\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; delta\; R\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; d\; ^\; \{4\}\; x.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Первый член дает нам то, что нам нужно для левая часть поля поля Эйнштейна. Мы должны учитывать второй срок.

По тождественности Палатини

$g\; \alpha \; \beta \; \delta \; R\; \alpha \; \beta \; =\; \delta \; V\; \mu ;\; \mu ,\; \delta \; V\; \mu \; =\; g\; \alpha \; \beta \; \delta \; \Gamma \; \alpha \; \beta \; \mu \; -\; g\; \alpha \; \mu \; \delta \; \Gamma \; \alpha \; \beta \; \beta .\; \{\backslash \; Displaystyle\; г\; ^\; \{\backslash \; альфа\; \backslash \; бета\}\; \backslash \; дельта\; R\; \_\; \{\backslash \; альфа\; \backslash \; бета\}\; =\; \backslash \; дельта\; \{V\; ^\; \{\backslash \; му\}\}\; \_\; \{;\; \backslash \; mu\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; delta\; V\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; -g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; mu\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}.\}$

Нам понадобится теорема Стокса в виде:

$\int \; MA\; \mu ;\; \mu \; -\; g\; d\; 4\; x\; =\; \int \; M\; (-\; g\; A\; \mu ),\; \mu \; d\; 4\; x\; =\; \oint \; \partial \; M\; A\; \mu \; d\; \Sigma \; \mu \; =\; \oint \; \partial \; M\; ϵ\; A\; \mu \; n\; \mu \; |\; ч\; |\; д\; 3\; у\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; \{A\; ^\; \{\backslash \; mu\}\}\; \_\; \{;\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; d\; ^\; \{4\}\; x\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; A\; ^\; \{\backslash \; mu\})\; \_\; \{,\; \backslash \; mu\; \}\; d\; ^\; \{4\}\; x\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; A\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; d\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \backslash \; epsilon\; A\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; n\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; h\; |\}\}\; d\; ^\; \{3\}\; y\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $n\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$- это нормальная единица к $\partial \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$и $ϵ\; \equiv \; n\; \mu \; n\; \mu \; =\; \pm \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; Equiv\; n\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; n\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; =\; \backslash \; pm\; 1\}$и $ya\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{a\}\}$- координаты на границе. И $d\; \Sigma \; \mu \; =\; ϵ\; N\; \mu \; d\; \Sigma \; \{\backslash \; Displaystyle\; d\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; =\; \backslash \; epsilon\; n\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; d\; \backslash \; Sigma\}$где $d\; \Sigma \; =\; |\; ч\; |\; 1\; 2\; d\; 3\; Y\; \{\backslash \; Displaystyle\; d\; \backslash \; Sigma\; =\; |\; ч\; |\; ^\; \{1\; \backslash \; более\; 2\}\; d\; ^\; \{3\}\; y\}$где $h\; =\; det\; [hab]\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; =\; \backslash \; det\; [h\_\; \{ab\}]\}$, является неизменным трехмерного объема гиперповерхности. В нашем конкретном случае мы берем $A\; \mu \; =\; \delta \; V\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; \backslash \; delta\; V\; ^\; \{\backslash \; mu\}\}$.

Теперь оценим $\delta \; V\; \mu \; n\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; V\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; n\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$на границе $\partial \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$, сохраняя имея в виду, что на $\partial \; M,\; \delta \; g\; \alpha \; \beta \; знак\; равно\; 0\; =\; \delta \; g\; \alpha \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\},\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; 0\; =\; \backslash \; delta\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\}$. С учетом этого

$\delta \; \Gamma \; \alpha \; \beta \; \mu \; |\; \partial \; M\; =\; 1\; 2\; g\; \mu \; \nu \; (\delta \; g\; \nu \; \alpha ,\; \beta \; +\; \delta \; g\; \nu \; \beta ,\; \alpha \; -\; \delta \; g\; \alpha \; \beta ,\; \nu ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; big\; |\}\; \_\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; g\; ^\; \{\; \backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; (\backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\}\; +\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; beta,\; \backslash \; alpha\}\; -\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta,\; \backslash \; nu\}).\}$

Полезно отметить, что

$g\; \alpha \; \mu \; \delta \; \Gamma \; \alpha \; \beta \; \beta \; |\; \partial \; M\; =\; 1\; 2\; g\; \alpha \; \mu \; g\; \beta \; \nu \; (\delta \; g\; \nu \; \alpha ,\; \beta \; +\; \delta \; g\; \nu \; \beta ,\; \alpha \; -\; \delta \; g\; \alpha \; \beta ,\; \nu )\; =\; 1\; 2\; g\; \mu \; \nu \; g\; \alpha \; \beta \; (\delta \; g\; \nu \; \alpha ,\; \beta \; +\; \delta \; г\; \alpha \; \beta ,\; \nu \; -\; \delta \; г\; \nu \; \beta ,\; \alpha )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; mu\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; \{\backslash \; big\; |\}\; \_\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; =\; \{1\; \backslash \; over\; 2\}\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; mu\}\; g\; ^\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; nu\}\; (\backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\}\; +\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; beta,\; \backslash \; alpha\}\; -\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta,\; \backslash \; nu\})\; \backslash \backslash \; =\; \{1\; \backslash \; over\; 2\}\; g\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; g\; ^\; \{\backslash \; альфа\; \backslash \; бета\}\; (\backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\}\; +\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta,\; \backslash \; nu\}\; -\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; beta,\; \backslash \; alpha\})\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}$

где во второй строке мы поменяли местами $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$и $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$и использовали метрика симметрична. Тогда нетрудно вычислить $\delta \; В\; \mu \; =\; г\; \mu \; \nu \; g\; \alpha \; \beta \; (\delta \; g\; \nu \; \beta ,\; \alpha \; -\; \delta \; g\; \alpha \; \beta ,\; \nu )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; V\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; g\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\; \}\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; (\backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; beta,\; \backslash \; alpha\}\; -\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta,\; \backslash \; nu\})\}$.

Итак, теперь

$\delta \; V\; \mu \; n\; \mu \; |\; \partial \; M\; =\; n\; \mu \; g\; \alpha \; \beta \; (\delta \; g\; \mu \; \beta ,\; \alpha \; -\; \delta \; g\; \alpha \; \beta ,\; \mu )\; =\; n\; \mu \; (ϵ\; n\; \alpha \; n\; \beta \; +\; h\; \alpha \; \beta )\; (\delta \; g\; \mu \; \beta ,\; \alpha \; -\; \delta \; g\; \alpha \; \beta ,\; \mu )\; знак\; равно\; N\; \mu \; час\; \alpha \; \beta \; (\delta \; г\; \mu \; \beta ,\; \alpha \; -\; \delta \; г\; \alpha \; \beta ,\; \mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; delta\; V\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; n\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; big\; |\}\; \_\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; =\; n\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; (\backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; beta,\; \backslash \; alpha\}\; -\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\; \backslash \; alpha\; \backslash \; beta,\backslash \; mu\})\; \backslash \backslash \; =\; n\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; (\backslash \; epsilon\; n\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; n\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; +\; h\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\})\; (\backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; beta,\; \backslash \; alpha\}\; -\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta,\; \backslash \; mu\})\; \backslash \backslash \; =\; n\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; h\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; (\backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; beta,\; \backslash \; alpha\}\; -\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta,\; \backslash \; mu\})\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где во второй строке мы использовали тождество $g\; \alpha \; \beta \; =\; ϵ\; n\; \alpha \; n\; \beta \; +\; час\; \alpha \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; \backslash \; epsilon\; n\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; n\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; +\; h\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\}$, в третьей строке мы использовали анти -симметрия в $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$и $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$. <Времени156>δ g α β {\ displaystyle \ delta g _ {\ alpha \ beta}}исчезает везде на границе $\partial \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$, его тангенциальные производные также должны равняться нулю: $\delta \; g\; \alpha \; \beta ,\; \gamma \; ec\; \gamma \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta,\; \backslash \; gamma\}\; e\_\; \{c\}\; ^\; \{\backslash \; гамма\}\; =\; 0\}$. Отсюда следует, что $h\; \alpha \; \beta \; \delta \; g\; \mu \; \beta ,\; \alpha \; =\; habea\; \alpha \; eb\; \beta \; \delta \; g\; \mu \; \beta ,\; \alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; beta,\; \backslash \; alpha\}\; =\; h\; ^\; \{ab\}\; e\_\; \{a\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; e\_\; \{b\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; beta,\; \backslash \; alpha\}\; =\; 0\}$. Итак, наконец, мы имеем

$n\; \mu \; \delta \; V\; \mu \; |\; \partial \; M\; =\; -\; h\; \alpha \; \beta \; \delta \; g\; \alpha \; \beta ,\; \mu \; n\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; delta\; V\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; big\; |\}\; \_\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; =\; -\; h\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta,\; \backslash \; mu\}\; n\; ^\; \{\backslash \; mu\}.\}$

Собирая результаты, получаем

$(16\; \pi )\; \delta \; SEH\; =\; \int \; MG\; \alpha \; \beta \; \delta \; g\; \alpha \; \beta \; -\; gd\; 4\; x\; -\; \oint \; \partial \; M\; ϵ\; h\; \alpha \; \beta \; \delta \; г\; \alpha \; \beta ,\; \mu \; N\; \mu \; HD\; 3\; YEQ\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; (16\; \backslash \; pi)\; \backslash \; delta\; S\_\; \{EH\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; G\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; delta\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; d\; ^\; \{4\}\; x-\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \backslash \; epsilon\; h\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; delta\; g\_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta,\; \backslash \; mu\}\; n\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{h\}\}\; d\; ^\; \{3\}\; y\; \backslash \; quad\; Eq1.\}$

Далее мы покажем, что выше граничный член будет отменен вариации $SGHY\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{GHY\}\}$.

Вариант граничного члена

Теперь обратимся к варианту $SGHY\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{GHY\}\}$срок. Индуцированная метрика зафиксирована на $\partial \; M,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\},\}$, единственная величина, которую можно изменить, - это $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$- это след внешней кривизны.

. Имеем

$K\; =\; n\; \alpha ;\; \alpha \; =\; g\; \alpha \; \beta \; n\; \alpha ;\; \beta \; =\; (ϵ\; n\; \alpha \; n\; \beta \; +\; h\; \alpha \; \beta )\; n\; \alpha ;\; \beta \; =\; h\; \alpha \; \beta \; n\; \alpha ;\; \beta \; знак\; равно\; час\; \alpha \; \beta \; (N\; \alpha ,\; \beta \; -\; \Gamma \; \alpha \; \beta \; \gamma \; N\; \gamma )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; K\; =\; \{n\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \_\; \{;\; \backslash \; alpha\}\; \backslash \backslash \; =\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; n\; \_\; \{\backslash \; alpha;\; \backslash \; beta\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; epsilon\; n\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; n\; ^\; \{\backslash \; beta\}\; +\; h\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; right)\; n\; \_\; \{\backslash \; alpha;\; \backslash \; beta\}\; \backslash \backslash \; =\; h\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; n\; \_\; \{\backslash \; alpha;\; \backslash \; beta\}\; \backslash \backslash \; =\; h\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; (n\; \_\; \{\backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\}\; -\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; ^\; \{\backslash \; gamma\}\; n\; \_\; \{\backslash \; gamma\})\; \backslash \; end\; \{\; align\}\}\}$

где мы использовали это $0\; =\; (n\; \alpha \; n\; \alpha );\; \beta \; \{\backslash \; Displaystyle\; 0\; =\; (п\; ^\; \{\backslash \; альфа\}\; п\; \_\; \{\backslash \; альфа\})\; \_\; \{;\; \backslash \; beta\}\}$подразумевает $n\; \alpha \; n\; \alpha ;\; \beta \; знак\; равно\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; п\; ^\; \{\backslash \; альфа\}\; п\; \_\; \{\backslash \; альфа;\; \backslash \; beta\}\; =\; 0.\}$Итак, вариант $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$равно

$\delta \; K\; =\; -\; h\; \alpha \; \beta \; \delta \; \Gamma \; \alpha \; \beta \; \gamma \; n\; \gamma \; =\; -\; h\; \alpha \; \beta \; n\; \gamma \; 1\; 2\; g\; \gamma \; \sigma \; (\delta \; g\; \sigma \; \alpha ,\; \beta \; +\; \delta \; g\; \sigma \; \beta ,\; \alpha \; -\; \delta \; g\; \alpha \; \beta ,\; \sigma )\; знак\; равно\; -\; 1\; 2\; час\; \alpha \; \beta \; (\delta \; г\; \mu \; \alpha ,\; \beta \; +\; \delta \; г\; \mu \; \beta ,\; \alpha \; -\; \delta \; г\; \alpha \; \beta ,\; \mu )\; n\; \mu \; =\; 1\; 2\; часа\; \alpha \; \beta \; \delta \; г\; \alpha \; \beta ,\; \mu \; n\; \mu \; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; delta\; K\; =\; -\; h\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; delta\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; ^\; \{\backslash \; gamma\}\; n\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash \backslash \; =\; -\; h\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; n\; \_\; \{\backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 2\}\}\; g\; ^\; \{\backslash \; gamma\; \backslash \; sigma\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\}\; +\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; beta,\; \backslash \; alpha\}\; -\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta,\; \backslash \; sigma\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; -\; \{1\; \backslash \; over\; 2\}\; h\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\}\; +\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; beta,\; \backslash \; alpha\}\; -\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta,\; \backslash \; mu\}\; \backslash \; right)\; n\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; h\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta,\; \backslash \; mu\}\; n\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где мы использовали тот факт, что тангенциальные производные $\delta \; g\; \alpha \; \beta \; \{\backslash \; disp\; la\; ystyle\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\}$исчезает на $\partial \; M.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}.\}$Мы получили

$(16\; \pi )\; \delta \; SGHY\; знак\; равно\; \oint \; \partial \; M\; ϵ\; час\; \alpha \; \beta \; \delta \; g\; \alpha \; \beta ,\; \mu \; n\; \mu \; hd\; 3\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; (16\; \backslash \; pi)\; \backslash \; delta\; S\_\; \{GHY\}\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \backslash \; epsilon\; h\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; delta\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta,\; \backslash \; mu\}\; n\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{h\}\}\; d\; ^\; \{3\}\; y\}$

который отменяет второй интеграл в правой части уравнения. 1. Общее изменение гравитационного воздействия составляет:

$\delta \; S\; T\; O\; T\; A\; L\; =\; 1\; 16\; \pi \; \int \; M\; G\; \alpha \; \beta \; \delta \; g\; \alpha \; \beta \; -\; g\; d\; 4\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; S\_\; \{TOTAL\}\; =\; \{1\; \backslash \; более\; 16\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; G\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \backslash \; delta\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; -\; g\}\}\; d\; ^\; \{4\}\; x.\}$

Это дает правильную левую часть уравнений Эйнштейна. Это доказывает основной результат.

Этот результат был обобщен на теории гравитации порядка на разных уровнях с границами в 1983 году и опубликован в 1985 году.

Нединамический термин

Мы уточняем роль

$S\; 0\; =\; 1\; 8\; \pi \; \oint \; \partial \; M\; ϵ\; K\; 0\; |\; ч\; |\; 1\; 2\; d\; 3\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{0\}\; =\; \{1\; \backslash \; over\; 8\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \backslash \; epsilon\; K\_\; \{0\}\; |\; ч\; |\; ^\; \{1\; \backslash \; over\; 2\}\; d\; ^\; \{3\}\; y\}$

в гравитационном действии. Как уже упоминалось выше, поскольку этот термин зависит только от $hab\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{ab\}\}$, его изменение относительно $g\; \alpha \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; \}$дает ноль и поэтому не влияет на уравнения поля, его цель - изменить числовое значение действия. Поэтому мы будем называть его нединамичным термином.

Предположим, что $g\; \alpha \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\}$является решением этого уравнения вакуумного поля, и в случае скаляр Риччи $R\; \{\; \backslash \; displaystyle\; R\}$исчезает. Тогда численное значение гравитационного воздействия будет

$S\; =\; 1\; 8\; \pi \; \oint \; \partial \; M\; ϵ\; K\; |\; ч\; |\; 1\; 2\; d\; 3\; y,\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \{1\; \backslash \; over\; 8\; \backslash \; pi\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \backslash \; epsilon\; K\; |\; ч\; |\; ^\; \{1\; \backslash \; over\; 2\}\; d\; ^\; \{3\}\; y,\}$

где мы пока игнорируем нединамический член. Давайте оценим это для плоского пространства-времени. Выберите границу $\partial \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$, чтобы она состоялась из двух гиперповерхностей с постоянным значением времени $t\; =\; t\; 1,\; t\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; t\_\; \{1\},\; t\_\; \{2\}\}$и большой трехцилиндровый в $r\; =\; r\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; r\_\; \{0\}\}$(то есть конечного интервала и трех сфер радиуса $r\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{0\}\}$). У нас есть $K\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; 0\}$на гиперповерхностях постоянного времени. На трех цилиндрах в координатах, присущих гиперповерхности, линейный элемент имеет вид

$ds\; 2\; =\; -\; dt\; 2\; +\; r\; 0\; 2\; d\; \Omega \; 2\; =\; -\; dt\; 2\; +\; r\; 0\; 2\; (d\; \theta \; 2\; +\; sin\; 2\; \; \theta \; d\; \varphi \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; -\; dt\; ^\; \{2\}\; +\; r\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; d\; \backslash \; Omega\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; =\; -\; dt\; ^\; \{2\}\; +\; r\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; (d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; d\; \backslash \; phi\; ^\; \{2\})\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

означает индуцированный метрика:

$hab\; =\; [-\; 1\; 0\; 0\; 0\; r\; 0\; 2\; 0\; 0\; 0\; r\; 0\; 2\; sin\; 2\; \; \theta ].\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{ab\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; -1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; r\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; r\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

так что $|\; ч\; |\; 1\; 2\; знак\; равно\; р\; 0\; 2\; грех\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; |\; ч\; |\; ^\; \{1\; \backslash \; более\; 2\}\; =\; r\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\}$. Нормаль единицы равна $n\; \alpha \; =\; \partial \; \alpha \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; r\}$, поэтому $K\; =\; n\; \alpha ;\; \alpha \; знак\; равно\; 2\; /\; р\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; К\; =\; \{п\; ^\; \{\backslash \; альфа\}\}\; \_\; \{;\; \backslash \; alpha\}\; =\; 2\; /\; r\_\; \{0\}\}$. Тогда

$\oint \; \partial \; M\; ϵ\; K\; |\; ч\; |\; 1\; 2\; d\; 3\; y\; =\; \int \; t\; 1\; t\; 2\; dt\; \int \; 0\; 2\; \pi \; d\; \phi \; \int \; 0\; \pi \; d\; \theta \; (2\; r\; 0)\; (r\; 0\; 2\; sin\; \; \theta )\; =\; 8\; \pi \; r\; 0\; (t\; 2\; -\; t\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}\; \backslash \; epsilon\; K\; |\; ч\; |\; ^\; \{1\; \backslash \; более\; 2\}\; d\; ^\; \{3\}\; y\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; dt\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; d\; \backslash \; varphi\; \backslash \; int\; \_\; \{\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; d\; \backslash \; theta\; \backslash \; left\; (\{2\; \backslash \; over\; r\_\; \{0\}\}\; \backslash \; right)\; (r\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; =\; 8\; \backslash \; pi\; r\_\; \{0\}\; (t\_\; \{\; 2\}\; -t\_\; \{1\})\}$

и расходуется как $r\; 0\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{0\}\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}$, то есть, когда пространственная граница смещена до бесконечности, даже когда $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$ограничен двумя гиперповерхностями постоянного времени. Можно было бы ожидать такие проблемы для искривленных пространств-времени, которые асимптотически плоские (нет проблем, если пространство-время компактно). Эта проблема решается нединамичным термином. Разница $SGHY\; -\; S\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{GHY\}\; -S\_\; \{0\}\}$будет четко определена в пределах $r\; 0\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{0\}\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\; \}$.

Вариация модифицированных терминов гравитация

Есть много теорий, которые используют общую теорию относительности разными способами, например, f (R) гравитация заменяет R, Риччи скаляр в действии Эйнштейна-Гильберта с функция f (R). Guarnizo et al. нашел граничный член для общей теории f (R). Они представили, что «модифицированное действие в метрической формелизме гравитации f (R) плюс граничный член типа Гиббонса-Йорка-Хокинга должны быть записаны как:

$S\; mod\; =\; 1\; 2\; \kappa \; \int \; V\; d\; 4\; x\; -\; gf\; (R)\; +\; 2\; \int \; \partial \; V\; d\; 3\; Y\; ϵ\; |\; час\; |\; е\; \text{'}(р)\; К\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{mod\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; kappa\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{V\}\; d\; ^\; \{4\}\; x\; \{\backslash \; sqrt\; \{-g\}\}\; f\; (R)\; +2\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; partial\; V\}\; d\; ^\; \{3\}\; y\; \backslash \; epsilon\; |\; ч\; |\; f\; \text{'}(R)\; K\}$

где $f\text{'}\; (R)\; \equiv \; df\; (R)\; d\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(R)\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{df\; (R)\}\; \{dR\}\}\}$.

Используя разложение ADM и вводя дополнительные вспомогательные поля, в 2009 г. Деруэль и др. Определить метод определения граничного члена для «гравитации Римана». Этот метод можно использовать для нахождения границ условий GHY для Бесконечная производная гравитации.

Как указано в начале, член GHY требуется для интеграла по путям (а-ля Хокинг и др.) для квантовая гравитация имеет правильные композиционные свойства.

Этот старый подход к интегральной по траектории квантовой гравитации имел ряд трудностей и нерешенных проблем. Отправной точкой в ​​этом подходе является идея Фейнмана о том, что можно представить амплитуду

$⟨g\; 2,\; \varphi \; 2,\; \Sigma \; 2\; |\; g\; 1,\; \varphi \; 1,\; \Sigma \; 1⟩\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; g\_\; \{2\},\; \backslash \; phi\; \_\; \{2\},\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{2\}\; |\; g\_\; \{1\},\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\},\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; rangle\}$

для перехода из состояния с метрикой $g\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{1\}\}$полями материи $\varphi \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\}\}$на поверхности $\Sigma \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{1\}\}$в состоянии с метрикой $g\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{2\}\}$и поля материи $\varphi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{2\}\}$на поверхности $\Sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{2\}\}$, как сумма по всем конфигурациям полей $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$и $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$, которые принимают граничные значения поля на поверхностях $\Sigma \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{1\}\}$и $\Sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{2\}\}$. Мы пишем

$⟨g\; 2,\; \varphi \; 2,\; \Sigma \; 2\; |\; г\; 1,\; \varphi \; 1,\; \Sigma \; 1⟩\; знак\; равно\; \int \; D\; [g,\; \varphi ]\; ехр\; \; (я\; S\; [g,\; \varphi ])\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; g\_\; \{2\},\; \backslash \; phi\; \_\; \{2\},\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{\; 2\}\; |\; g\_\; \{1\},\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\},\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\; [g,\; \backslash \; phi]\; \backslash \; exp\; (iS\; [g,\; \backslash \; phi])\}$

где $D\; [g,\; \varphi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\; [g,\; \backslash \; phi]\}$- мера в пространстве всех конфигураций полей $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$и $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$, $S\; [g,\; \varphi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; [g,\; \backslash \; phi]\}$- это действие полей, и интеграл берется по всем полям, которые имеют заданные значения на $\Sigma \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{1\}\}$и $\Sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{2\}\}$.

Утверждается, что нужно только указать трехмерную индуцированную метрику $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$на границе.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда выполняется переход от метрики $h\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{1\}\}$на поверхности $\Sigma \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{1\}\; \}$в метрику $h\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{2\}\}$на поверхности $\Sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{2\}\}$, а затем к метрике $h\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{3\}\}$на более поздней поверхности $\Sigma \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{3\}\}$

Можно было бы хотелось бы иметь обычное правило композиции

$h\; 3,\; \Sigma \; 3\; |\; h\; 1,\; \Sigma \; 1⟩\; =\; \sum \; h\; 2\; ⟨h\; 3,\; \Sigma \; 3\; |\; h\; 2,\; \Sigma \; 2⟩\; ⟨h\; 2,\; \Sigma \; 2\; |\; час\; 1,\; \Sigma \; 1⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; h\_\; \{3\},\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{3\}\; |\; h\_\; \{1\},\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{h\_\; \{2\}\}\; \backslash \; langle\; h\_\; \{\; 3\},\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{3\}\; |\; h\_\; \{2\},\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{2\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; h\_\; \{2\},\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{2\}\; |\; h\_\; \{1\},\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; rangle\; \}$

выражающий, что амплитуда перехода от начального к конечному состоянию должна быть получена суммированием по всем состояниям на промежуточной поверхности $\Sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{2\}\}$.

Пусть $g\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{1\}\}$- метрика между $\Sigma \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{1\}\}$и $\Sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{2\}\}$и $g\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{2\}\}$- метрика между $\Sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{2\; \}\}$и $\Sigma \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{3\}\}$. Хотя индуцированная метрика $g\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{1\}\}$и $g\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{2\}\}$согласуется с $\Sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{2\}\}$, нормальная производная от $g\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{1\}\}$в $\Sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{2\}\}$в общем случае не будет равняться таковому для $g\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{2\}\}$в $\Sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{2\}\}$. Принимая во внимание последствия этого, можно затем показать, что правило композиции будет выполняться тогда и только тогда, когда мы включим граничный член GHY.

В следующем разделе показано, как этот интеграл по путям подходит к квантовой гравитация приводит к концепции температуры черной дыры и внутренней квантово-механической энтропии.

Амплитуды переходов и главная функция Гамильтона

В В квантовой теории объектом, который соответствует главной функции Гамильтона, является амплитуда перехода . Рассмотрим гравитацию, заданную в компактной области пространства-времени с топологией четырехмерного шара. Граница этой области представляет собой трехмерное пространство с топологией трех сфер, которое мы называем $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$. В чистой гравитации без космологической постоянной, поскольку скаляр Риччи обращается в нуль на решениях уравнений Эйнштейна, объемное действие исчезает, и главная функция Гамильтона полностью задается в терминах граничного члена,

$S\; [q]\; =\; \int \; \Sigma \; K\; ab\; [\; q]\; qabqd\; 3\; \sigma \; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; [q]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Sigma\}\; K\; ^\; \{ab\}\; [q]\; q\_\; \{ab\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{q\}\}\; \backslash ;\; d\; ^\; \{3\}\; \backslash \; sigma\}$

где $K\; ab\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; ^\; \{ab\}\}$- внешняя кривизна границы, $qab\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{ab\}\}$- трехметрическая величина, индуцированная на Граница, а $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$- координаты на границе.

Функционал $S\; [q]\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; [q]\}$является весьма нетривиальным для вычислений функционалом; это потому, что внешняя кривизна $K\; a\; b\; [q]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; ^\; \{ab\}\; [q]\}$определенным объемным решением, выделенным внутренней геометрией границы. Таким образом, $K\; a\; b\; [q]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; ^\; \{ab\}\; [q]\}$нелокально. Знание общей зависимости $K\; ab\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; ^\; \{ab\}\}$от $qab\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{ab\}\}$эквивалентно знанию общего решения уравнений Эйнштейна.

Независимые от фона амплитуды рассеяния

Петлевая квантовая гравитация сформулирована на независимом языке от фона языка. Никакое пространство-время не принято априори, а скорее построено на теоретических положениях, однако амплитуды рассеяния вывод из $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-точечных функций (Корреляционная функция (квантовая теория поля) ), и они сформулированные формулы в традиционной квантовой области, функции точек фонового пространства-времени. Связь между формойлизмом, не зависящим от фона, и традиционной формой квантовой теории поля для данного пространства-времени далеко не очевидно, как восстановить низкоэнергетические величины из полной независимой от фона теории. Хотелось бы вывести $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-точечные функции теории из независимого фона формализма, чтобы сравнить их со стандартным пертурбативным разением квантовой общей теории относительности и, следовательно, проверить, что петлевая квантовая гравитация дает правильный предел низких энергий.

Предложена стратегия решения этой проблемы; идея состоит в том, чтобы изучить граничную амплитуду или амплитуду перехода компактной области пространства-времени, а именно интеграл по путям в конечной области пространства-времени, рассматриваемый как функция граничного значения поля. Традиционная квантовой теории поля th - граничная амплитуда хорошо определена и кодирует физическую информацию теории; это происходит и в квантовой гравитации, но полностью независимым от фона образом. В общем ковариантное определение функций точек $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$может быть основано на идее, что расстояние между физическими точками - аргументы аргумента $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-точечная функция определяется наличием гравитационного поля на границе рассматриваемой области пространства-времени.

Основное наблюдение в том, что в условиях гравитации граничные данные включают гравитационное поле, следовательно, границу, следовательно, все относительные расстояния и временные интервалы. Другими словами, граничная формулировка очень элегантно реализует в квантовом контексте полное отождествление геометрии пространства-времени и динамических полей.

• York, J. W. (1972). «Роль конформной трех геометрии в динамике гравитации». Письма о проверках. 28(16): 1082. Bibcode : 1972PhRvL..28.1082Y. doi : 10.1103 / PhysRevLett.28.1082.
• Гиббонс, Г. У. ; Хокинг, С.В. (1977). «Интегралы действия и статистические суммы в квантовой гравитации». Physical Review D. 15(10): 2752. Bibcode : 1977PhRvD..15.2752G. doi : 10.1103 / PhysRevD.15.2752.
• Хокинг, ЮВ; Горовиц, Гэри Т. (1996-06-01). «Гравитационный гамильтониан, действие, энтропия и поверхностные термины». Классическая и квантовая гравитация. IOP Publishing. 13 (6): 1487–1498. arXiv : gr-qc / 9501014. DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 13/6/017. ISSN 0264-9381.
• Браун, Дж. Дэвид; Йорк, Джеймс У. (1993-02-15). «Микроканонический функциональный интеграл для гравитационного поля». Физическое обозрение Д. Американское физическое общество (APS). 47 (4): 1420–1431. arXiv : gr-qc / 9209014. DOI : 10.1103 / Physrevd.47.1420. ISSN 0556-2821.