`f`(`R`) гравитация - f(R) gravity

редактировать

Теория гравитации

f(R)- это тип модифицированной теории гравитации, которая обобщает теорию Эйнштейна общая теория относительности. f(R) гравитация на самом деле представляет собой семейство теорий, каждая из которых определяется отдельной функцией, f, от скаляра Риччи, R. В простейшем случае функция просто равна скаляру; это общая теория относительности. Вследствие введения произвольной функции может появиться свобода объяснения ускоренного расширения и формирования структуры Вселенной без добавления неизвестных форм темной энергии или темная материя. Некоторые функциональные формы могут быть вдохновлены поправками, вытекающими из квантовой теории гравитации. f(R). Гравитация была впервые предложена в 1970 году Гансом Адольфом Бухдалом (хотя ϕиспользовался скорее чем fдля имени произвольной функции). Это стало активной областью исследований после работы Старобинского по космической инфляции. Из этой теории можно получить широкий спектр явлений, принимая различные функции; однако многие функциональные формы теперь можно исключить на основании наблюдений или из-за патологических теоретических проблем.

Содержание

1 Введение
2 Метрическая f (R) гравитация
- 2.1 Вывод уравнений поля
- 2.2 Обобщенные уравнения Фридмана
- 2.3 Модифицированная постоянная Ньютона
- 2.4 Массивные гравитационные волны
3 Эквивалентный формализм
4 Палатини f (R) гравитация
5 Метрически-аффинная f (R) гравитация
6 Наблюдательные тесты
7 Старобинская гравитация
8 Тензорное обобщение
9 См. также
10 Ссылки
11 Дополнительная литература
12 Внешние ссылки

Введение

В f(R) гравитации пытаются обобщить лагранжиан действие Эйнштейна – Гильберта :

S [g] = ∫ 1 2 κ R - gd 4 x {\ displaystyle S [g] = \ int {1 \ over 2 \ kappa} R {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x} от

S [г] = \ int {1 \ более 2 \ каппа} R {\ sqrt {-g}} \, {\ mathrm {d}} ^ {4} x

до

S [g] = ∫ 1 2 κ f (R) - gd 4 x {\ displaystyle S [g] = \ int {1 \ над 2 \ kappa} f (R) {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

S [g] = \ int {1 \ более 2 \ каппа} е (R) {\ sqrt {-g}} \, {\ mathrm {d}} ^ {4} x

где $κ = 8 π G c 4, g = det g μ ν {\ displaystyle \ kappa = {\ tfrac {8 \ pi G} {c ^ {4}}}, g = \ det g _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle \ kappa = {\ tfrac {8 \ pi G} {c ^ {4}}}, g = \ det g _ {\ mu \ nu}}$ - определитель метрический тензор и $f (R) {\ displaystyle f (R)}$ $f (R)$ - некоторая функция скаляра Риччи.

Метрическая f(R) гравитации

Вывод уравнений поля

В метрике f(R) гравитации каждый приходит к уравнениям поля, варьируя по отношению к метрике и не рассматривая связь независимо. Для полноты картины кратко упомянем основные этапы вариации действия. Основные шаги такие же, как и в случае вариации действия Эйнштейна – Гильберта (подробнее см. В статье), но есть и некоторые важные отличия.

Изменение определителя, как всегда:

δ - g = - 1 2 - gg μ ν δ g μ ν {\ displaystyle \ delta {\ sqrt {-g}} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu}}

\ delta {\ sqrt {-g}} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} g _ {{\ mu \ nu}} \ delta g ^ {{\ mu \ nu}}

Скаляр Риччи определяется как

R = g μ ν R μ ν. {\ displaystyle R = g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu}.}

{\ displaystyle R = g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu}. }

Следовательно, его вариация относительно обратной метрики $g μ ν {\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu}}$ $g ^ {\ mu \ nu}$ определяется как

δ R = R μ ν δ g μ ν + g μ ν δ R μ ν = R μ ν δ g μ ν + g μ ν (∇ ρ δ Γ ν μ ρ - ∇ ν δ Γ ρ μ ρ) {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g ^ {\ mu \ nu } \ delta R _ {\ mu \ nu} \\ = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g ^ {\ mu \ nu} \ left (\ nabla _ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ mu} ^ {\ rho} - \ nabla _ {\ nu} \ delta \ Gamma _ {\ rho \ mu} ^ {\ rho} \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g ^ {\ mu \ nu} \ delta R _ {\ mu \ nu} \\ = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g ^ {\ m u \ nu} \ left (\ nabla _ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ mu} ^ {\ rho} - \ nabla _ {\ nu} \ delta \ Gamma _ {\ rho \ mu} ^ {\ rho} \ справа) \ конец {выровнено}}}

Для второго шага см. Статью о действии Эйнштейна – Гильберта. Поскольку $δ Γ μ ν λ {\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda}}$ - это разность двух связей, она должна преобразовываться как тензор. Следовательно, его можно записать как

δ Γ μ ν λ = 1 2 g λ a (∇ μ δ g a ν + ∇ ν δ g a μ - ∇ a δ g μ ν). {\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} = {\ frac {1} {2}} g ^ {\ lambda a} \ left (\ nabla _ {\ mu} \ delta g_ {a \ nu} + \ nabla _ {\ nu} \ delta g_ {a \ mu} - \ nabla _ {a} \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right).}

\ delta \ Gamma _ {{\ mu \ nu}} ^ {\ lambda} = {\ frac {1} {2}} g ^ {{\ lambda a}} \ left (\ nabla _ {\ mu} \ delta g_ {{a \ nu}} + \ nabla _ {\ nu} \ delta g _ {{a \ mu}} - \ nabla _ {a} \ delta g _ {{\ mu \ nu}} \ right).

Подстановка в уравнение выше :

δ R = R μ ν δ g μ ν + g μ ν ◻ δ g μ ν - ∇ μ ∇ ν δ g μ ν {\ displaystyle \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g _ {\ mu \ nu} \ Box \ delta g ^ {\ mu \ nu} - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu }}

\ delta R = R _ {{\ mu \ nu }} \ delta g ^ {{\ mu \ nu}} + g _ {{\ mu \ nu}} \ Box \ delta g ^ {{\ mu \ nu}} - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ { \ nu} \ delta g ^ {{\ mu \ nu}}

где $∇ μ {\ displaystyle \ nabla _ {\ mu}}$ $\ nabla _ {\ mu}$ - ковариантная производная и $◻ = g μ ν ∇ μ ∇ ν {\ displaystyle \ square = g ^ {\ mu \ nu} \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ квадрат = г ^ {\ му \ ну} \ набла _ {\ му} \ набла _ {\ ню}}$ - это оператор Даламбера.

, обозначающий $F (R) = dfd R {\ displaystyle F (R) = {\ frac {df} {dR}}}$ ${\ displaystyle F (R) = {\ frac {df} {dR}}}$ , изменение действия гласит:

δ S [g] = ∫ 1 2 κ (δ f (R) - g + f (R) δ - g) d 4 x = ∫ 1 2 κ (F (R) δ R - g - 1 2 - gg μ ν δ g μ ν f (R)) d 4 x = ∫ 1 2 κ - g (F (R) (R μ ν δ g μ ν + g μ ν ◻ δ g μ ν - ∇ μ ∇ ν δ g μ ν) - 1 2г μ ν δ г μ ν е (R)) d 4 Икс {\ Displaystyle {\ begin {align} \ delta S [g] = \ int {\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left (\ дельта f (R) {\ sqrt {-g}} + f (R) \ delta {\ sqrt {-g}} \ right) \, \ mathrm {d} ^ {4} x \\ = \ int { \ frac {1} {2 \ kappa}} \ left (F (R) \ delta R {\ sqrt {-g}} - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} g_ { \ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} f (R) \ right) \, \ mathrm {d} ^ {4} x \\ = \ int {\ frac {1} {2 \ kappa }} {\ sqrt {-g}} \ left (F (R) (R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g _ {\ mu \ nu} \ Box \ delta g ^ { \ mu \ nu} - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu}) - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} f (R) \ right) \, \ mathrm {d} ^ {4} x \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ delta S [g] = \ int {\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left (\ delta f (R) {\ sqrt {-g}} + f (R) \ delta {\ sqrt {-g}} \ right) \, \ mathrm {d} ^ {4} x \\ = \ int {\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left (F (R) \ delta R {\ sqrt {-g}} - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} f (R) \ right) \, \ mathrm {d} ^ {4} x \\ = \ int {\ frac {1} {2 \ kappa}} {\ sqrt {-g}} \ left (F (R) (R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ п u} + g _ {\ mu \ nu} \ Box \ delta g ^ {\ mu \ nu} - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu}) - { \ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} f (R) \ right) \, \ mathrm {d} ^ {4} x \ end {выровнено} }}

Выполнение интегрирования по частям на втором и третьем членах (и без учета граничных вкладов), получаем:

δ S [g] = ∫ 1 2 κ - g δ g μ ν (F (R) R μ ν - 1 2 g μ ν f (R) + [g μ ν ◻ - ∇ μ ∇ ν] F (R)) d 4 x. {\ displaystyle \ delta S [g] = \ int {\ frac {1} {2 \ kappa}} {\ sqrt {-g}} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ left (F (R) R_ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} f (R) + [g _ {\ mu \ nu} \ Box - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu}] F (R) \ right) \, \ mathrm {d} ^ {4} x.}

{\ displaystyle \ delta S [g] = \ int {\ frac {1} {2 \ kappa}} {\ sqrt {-g}} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ left (F (R) R _ {\ mu \ nu} - {\ frac { 1} {2}} g _ {\ mu \ nu} f (R) + [g _ {\ mu \ nu} \ Box - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu}] F (R) \ right) \, \ mathrm {d} ^ {4} x.}

Требуя, чтобы действие оставалось инвариантным относительно вариаций метрики, $δ S δ g μ ν = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ delta S} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ delta S} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = 0}$ , получаем уравнения поля:

F (R) Р μ ν - 1 2 f (R) г μ ν + [г μ ν ◻ - ∇ μ ∇ ν] F (R) = κ T μ ν, {\ Displaystyle F (R) R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} f (R) g _ {\ mu \ nu} + \ left [g _ {\ mu \ nu} \ Box - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ справа] F (R) = \ каппа T _ {\ mu \ nu},}

{\ Displaystyle F (R) R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} f (R) g _ {\ mu \ nu} + \ left [g _ {\ mu \ nu} \ Box - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ right] F (R) = \ kappa T _ {\ mu \ nu},}

где $T μ ν {\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}}$ $T _ {\ mu \ nu}$ - это тензор энергии-импульса определяется как

T μ ν = - 2 - g δ (- g L m) δ g μ ν, {\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} = - {\ frac {2} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {m}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}},}

{\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} = - {\ frac {2} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ d elta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {m}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}},}

где $L m {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {m}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {m}}$ - это лагранжиан материи.

Обобщенные уравнения Фридмана

Предполагая метрику Робертсона – Уокера с масштабным коэффициентом $a (t) {\ displaystyle a (t)}$ $a (t)$ мы можем найти обобщенные уравнения Фридмана как (в единицах, где $κ = 1 {\ displaystyle \ kappa = 1}$ $\ kappa = 1$ ):

3 FH 2 = ρ м + ρ рад + 1 2 (FR - f) - 3 HF ˙ {\ displaystyle 3FH ^ {2} = \ rho _ {\ rm {m}} + \ rho _ {\ rm {rad}} + {\ гидроразрыв {1} {2}} (FR-f) -3H {\ dot {F}}}

{\ displaystyle 3FH ^ {2} = \ rho _ {\ rm {m}} + \ rho _ {\ rm {rad}} + {\ frac {1 } {2}} (FR-f) -3H {\ dot {F}}}

- 2 FH ˙ = ρ m + 4 3 ρ rad + F ¨ - HF ˙, {\ displaystyle -2F {\ dot {H}} = \ rho _ {\ rm {m}} + {\ frac {4} {3}} \ rho _ {\ rm {rad}} + {\ ddot {F}} - H { \ dot {F}},}

-2F {\ dot {H}} = \ rho _ {{{{\ rm {m}}}}} + {\ frac {4} {3}} \ rho _ {{{{\ rm {rad}}}}}} + { \ ddot {F}} - H {\ dot {F}},

где

H = a ˙ a, {\ displaystyle H = {\ frac {\ dot {a}} {a}},}

H = {\ frac {{\ dot {a}}} {a}},

точка - производная относительно космического времени t, а члены ρmи ρrad представляют плотности вещества и излучения соответственно; они удовлетворяют уравнениям неразрывности:

ρ ˙ m + 3 H ρ m = 0; {\ displaystyle {\ dot {\ rho}} _ {\ rm {m}} + 3H \ rho _ {\ rm {m}} = 0;}

{\ dot {\ rho}} _ {{{{\ rm {m}}}}} + 3H \ rho _ {{{{\ rm {m}}}}} = 0;

ρ ˙ рад + 4 H ρ рад = 0. { \ displaystyle {\ dot {\ rho}} _ {\ rm {rad}} + 4H \ rho _ {\ rm {rad}} = 0.}

{\ dot { \ rho}} _ {{{{\ rm {rad}}}}} + 4H \ rho _ {{{{\ rm {rad}}}}} = 0.

Модифицированная константа Ньютона

Интересная особенность Эти теории заключаются в том, что гравитационная постоянная зависит от времени и масштаба. Чтобы убедиться в этом, добавьте к метрике небольшое скалярное возмущение (в ньютоновской калибровке ):

ds 2 = - (1 + 2 Φ) dt 2 + α 2 (1-2) δ ijdxidxj {\ Displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - (1 + 2 \ Phi) \ mathrm {d} t ^ {2} + \ alpha ^ {2} (1-2 \ Psi) \ delta _ {ij} \ mathrm {d} x ^ {i} \ mathrm {d} x ^ {j}}

{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - (1 + 2 \ Phi) \ mathrm {d} t ^ {2} + \ альфа ^ {2} (1-2 \ Psi) \ delta _ {ij} \ mathrm {d} x ^ {i} \ math rm {d} x ^ {j}}

где Φи Ψ- ньютоновские потенциалы и используют уравнения поля в первом порядке. После некоторых длительных вычислений можно определить уравнение Пуассона в пространстве Фурье и связать дополнительные члены, появляющиеся справа, с эффективной гравитационной постоянной Geff. Таким образом, мы получаем гравитационный потенциал (действителен для субгоризонтных масштабов k≫ aH):

Φ = - 4 π G effa 2 k 2 δ ρ m {\ displaystyle \ Phi = -4 \ pi G _ {\ mathrm {eff}} {\ frac {a ^ {2}} {k ^ {2}}} \ delta \ rho _ {\ mathrm {m}}}

{\ displaystyle \ Phi = -4 \ pi G _ {\ mathrm {eff}} {\ frac {a ^ {2}} {k ^ {2}}} \ delta \ rho _ {\ mathrm {m}}}

где δρm- возмущение плотности вещества, k- масштаб Фурье, а Geff -:

G eff = 1 8 π F 1 + 4 k 2 a 2 R m 1 + 3 k 2 a 2 R m, {\ displaystyle G _ {\ mathrm {eff}} = {\ frac {1} {8 \ pi F}} {\ frac {1 + 4 {\ frac {k ^ {2}} {a ^ {2} R} } m} {1 + 3 {\ frac {k ^ {2}} {a ^ {2} R}} m}},}

G _ {{\ mathrm {eff}}} = {\ frac {1} {8 \ pi F}} {\ frac {1 + 4 {\ frac {k ^ {2}} {a ^ {2} R}} m} {1 + 3 {\ frac {k ^ {2}} {a ^ {2} R}} m}},

m ≡ RF, RF. {\ displaystyle m \ Equiv {\ frac {RF _ {, R}} {F}}.}

m \ Equiv {\ frac {RF _ {{, R} }} {F}}.

Массивные гравитационные волны

Этот класс теорий при линеаризации демонстрирует три поляризационных режима для гравитационного волны, из которых две соответствуют безмассовому гравитону (спиральности ± 2), а третья (скалярная) возникает из-за того, что с учетом конформного преобразования теория четвертого порядка f(R) становится общей теорией относительности плюс скалярное поле. Чтобы увидеть это, отождествите

Φ → f ′ (R) и d V d Φ → 2 f (R) - R f ′ (R) 3, {\ displaystyle \ Phi \ to f '(R) \ quad { \ textrm {and}} \ quad {\ frac {dV} {d \ Phi}} \ to {\ frac {2f (R) -Rf '(R)} {3}},}

\Phi \to f'(R)\quad {\textrm {and}}\quad {\frac {dV}{d\Phi }}\to {\frac {2f(R)-Rf'(R)}{3}},

и используйте поле из приведенных выше уравнений получаем

◻ Φ = d V d Φ {\ displaystyle \ Box \ Phi = {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} \ Phi}}}

\ Box \ Phi = {\ frac {{\ mathrm {d}} V} {{\ mathrm {d}} \ Phi}}

Работаем сначала порядок теории возмущений:

g μ ν = η μ ν + h μ ν {\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + h _ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + h _ {\ mu \ nu}}

Φ = Φ 0 + δ Φ {\ displaystyle \ Phi = \ Phi _ {0} + \ delta \ Phi}

{\ displaystyle \ Phi = \ Phi _ {0} + \ delta \ Phi}

и после утомительной алгебры можно найти возмущение метрики, которое соответствует гравитационным волнам. Конкретная частотная составляющая для волны, распространяющейся в направлении z, может быть записана как

h μ ν (t, z; ω) = A + (ω) exp ⁡ (- i ω (T - Z)) е μ ν + + A × (ω) ехр ⁡ (- я ω (t - z)) e μ ν × + hf (vgt - z; ω) η μ ν {\ Displaystyle h _ {\ mu \ nu} (t, z; \ omega) = A ^ {+} (\ omega) \ exp (-i \ omega (tz)) e _ {\ mu \ nu} ^ {+} + A ^ {\ раз } (\ omega) \ exp (-i \ omega (tz)) e _ {\ mu \ nu} ^ {\ times} + h_ {f} (v _ {\ mathrm {g}} tz; \ omega) \ eta _ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} (t, z; \ omega) = A ^ {+ } (\ omega) \ exp (-i \ omega (tz)) e _ {\ mu \ nu} ^ {+} + A ^ {\ times} (\ omega) \ exp (-i \ omega (tz)) e_ {\ mu \ nu} ^ {\ times} + h_ {f} (v _ {\ mathrm {g}} tz; \ omega) \ eta _ {\ mu \ nu}}

где

hf ≡ δ Φ Φ 0, {\ displaystyle h_ {f} \ Equiv {\ frac {\ delta \ Phi} {\ Phi _ {0}}},}

h_ {f} \ Equiv {\ frac {\ delta \ Phi} {\ Phi _ {0}}},

и vg(ω) = d ω/dk- это групповая скорость волнового пакета hfс центром на волновом векторе k. Первые два члена соответствуют обычным поперечным поляризациям из общей теории относительности, а третий соответствует новой массивной поляризационной моде f(R) теорий. Поперечные моды распространяются со скоростью света, но скалярная мода движется со скоростью vG< 1 (in units where c= 1), эта мода является дисперсионной.

Эквивалентный формализм

При определенных дополнительных условиях мы можем упростить анализ f(R) теорий, введя вспомогательное поле Φ. Предполагая, что $f ″ (R) ≠ 0 {\ displaystyle f '' (R) \ neq 0}$ $f''(R)\neq 0$ для всех R, пусть V(Φ) будет Преобразование Лежандра из f(R) так, чтобы $Φ = f ′ (R) {\ displaystyle \ Phi = f '(R)}$ $\Phi =f'(R)$ и $R = V ′ (Φ) {\ Displaystyle R = V '(\ Phi)}$ $R=V'(\Phi)$ . Тогда получается действие О'Хэнлона (1972):

S = ∫ d 4 x - g [1 2 κ (Φ R - V (Φ)) + L m]. {\ Displaystyle S = \ int d ^ {4} х {\ sqrt {-g}} \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left (\ Phi RV (\ Phi) \ right) + {\ mathcal {L}} _ {\ text {m}} \ right].}

S = \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left (\ Phi RV (\ Phi) \ right) + {\ mathcal {L}} _ {{{\ text {m}}}} \ right].

У нас есть уравнения Эйлера – Лагранжа

V '(Φ) = R {\ displaystyle V' (\ Phi) = R}

V'(\Phi)=R

Φ (R μ ν - 1 2 г μ ν R) + (г μ ν ◻ - ∇ μ ∇ ν) Φ + 1 2 г μ ν V (Φ) = κ T μ ν {\ displaystyle \ Phi \ left (R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} R \ right) + \ left (g _ {\ mu \ nu} \ Box - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ right) \ Phi + {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} V (\ Phi) = \ kappa T _ {\ mu \ nu}}

\ Phi \ left (R _ {{\ mu \ nu}} - {\ frac {1} {2}} g _ {{\ mu \ nu}} R \ right) + \ left (g _ {{\ mu \ nu}} \ Box - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ right) \ Phi + { \ гидроразрыва {1} {2}} g _ {{\ mu \ nu}} V (\ Phi) = \ kappa T _ {{\ mu \ nu}}

Исключая Φ, мы получаем точно такие же уравнения, как и раньше. Однако уравнения имеют только второй порядок по производным, а не четвертый.

В настоящее время мы работаем с рамкой Jordan. Выполнив конформное изменение масштаба

g ~ μ ν = Φ g μ ν, {\ displaystyle {\ tilde {g}} _ {\ mu \ nu} = \ Phi g _ {\ mu \ nu},}

{\ tilde {g}} _ {{\ mu \ nu}} = \ Phi g _ {{\ mu \ nu}},

мы преобразуем в фрейм Эйнштейна :

R = Φ [R ~ + 3 ◻ ~ Φ Φ - 9 2 (∇ ~ Φ Φ) 2] {\ displaystyle R = \ Phi \ left [{\ tilde {R }} + {\ frac {3 {\ tilde {\ Box}} \ Phi} {\ Phi}} - {\ frac {9} {2}} \ left ({\ frac {{\ tilde {\ nabla}}) \ Phi} {\ Phi}} \ right) ^ {2} \ right]}

{\ displaystyle R = \ Phi \ left [{\ tilde {R}} + {\ frac {3 {\ tilde {\ Box}} \ Phi} {\ Phi}} - {\ frac {9} {2}} \ left ({\ frac {{\ тильда {\ nabla}} \ Phi} {\ Phi}} \ right) ^ {2} \ right]}

S = ∫ d 4 x - g ~ 1 2 κ [R ~ - 3 2 (∇ ~ Φ Φ) 2 - V ( Φ) Φ 2] {\ displaystyle S = \ int d ^ {4} x {\ sqrt {- {\ tilde {g}}}} {\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left [{\ tilde {R}} - {\ frac {3} {2}} \ left ({\ frac {{\ tilde {\ nabla}} \ Phi} {\ Phi}} \ right) ^ {2} - {\ frac { V (\ Phi)} {\ Phi ^ {2}}} \ right]}

S = \ int d ^ {4} x {\ sqrt {- { \ tilde {g}}}} {\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left [{\ tilde {R}} - {\ frac {3} {2}} \ left ({\ frac {{\ тильда {\ nabla}} \ Phi} {\ Phi}} \ right) ^ {2} - {\ frac {V (\ Phi)} {\ Phi ^ {2}}} \ right]

после интегрирования по частям.

Определение $Φ ~ = 3 ln ⁡ Φ {\ displaystyle {\ tilde {\ Phi}} = {\ sqrt {3}} \ ln {\ Phi}}$ ${\ tilde {\ Phi}} = {\ sqrt {3}} \ ln {\ Phi}$ , и заменяя

S = ∫ d 4 x - g ~ 1 2 κ [R ~ - 1 2 (∇ ~ Φ ~) 2 - V ~ (Φ ~)] {\ displaystyle S = \ int \ mathrm {d} ^ {4} x {\ sqrt {- {\ tilde {g}}}} {\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left [{\ tilde {R}} - {\ frac {1} {2 }} \ left ({\ tilde {\ nabla}} {\ tilde {\ Phi}} \ right) ^ {2} - {\ tilde {V}} ({\ tilde {\ Phi}}) \ right]}

S = \ int {\ mathrm {d}} ^ {4} x {\ sqrt {- {\ tilde {g}}}} {\ frac { 1} {2 \ kappa}} \ left [{\ tilde {R}} - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ tilde {\ nabla}} {\ tilde {\ Phi}} \ right) ^ {2} - {\ тильда {V}} ({\ тильда {\ Phi}}) \ right]

V ~ (Φ ~) = e - 2 3 Φ ~ V (e Φ ~ / 3). {\ displaystyle {\ tilde {V}} ({\ tilde {\ Phi}}) = e ^ {- {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} {\ tilde {\ Phi}}} V \ left (e ^ {{\ tilde {\ Phi}} / {\ sqrt {3}}} \ right).}

{\ displaystyle {\ tilde {V}} ({\ tilde {\ Phi}}) = e ^ {- {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} {\ tilde {\ Phi}}} V \ left (e ^ {{\ tilde {\ Phi}} / {\ sqrt {3 }}} \ right).}

Это общая теория относительности в сочетании с реальным скалярным полем: использование f(R) теории для описания ускоряющаяся вселенная практически эквивалентна использованию квинтэссенции. (По крайней мере, эквивалентно оговорке о том, что мы еще не указали связи материи, поэтому (например) f(R) гравитация, в которой материя минимально связана с метрикой (то есть в системе Жордана), эквивалентна теории квинтэссенции в котором скалярное поле связывает пятую силу с силой гравитации.)

Палатини f(R) гравитация

В Палатини f(R) гравитация рассматривается как метрическая и соединение независимо и изменяет действие по отношению к каждому из них в отдельности. Предполагается, что лагранжиан материи не зависит от связи. Было показано, что эти теории эквивалентны теории Бранса – Дикке с ω= - ⁄ 2. Однако из-за структуры теории теории Палатини f(R) кажутся противоречащими Стандартной модели, могут нарушать эксперименты с Солнечной системой и создавать нежелательные сингулярности.

Метрически-аффинные f(R) гравитация

В метрическо-аффинной f(R) гравитации можно обобщить вещи еще дальше, рассматривая как метрику, так и связь независимо и предполагая, что лагранжиан материи также зависит от связи.

Наблюдательные тесты

Поскольку существует много потенциальных форм f(R) гравитации, трудно найти общие тесты. Кроме того, поскольку в некоторых случаях отклонения от общей теории относительности могут быть сколь угодно малыми, невозможно окончательно исключить некоторые модификации. Некоторого прогресса можно добиться, не принимая конкретную форму для функции f(R), Тейлор расширив

f (R) = a 0 + a 1 R + a 2 R 2 + ⋯ {\ displaystyle f ( R) = a_ {0} + a_ {1} R + a_ {2} R ^ {2} + \ cdots}

{\ displaystyle f (R) = a_ {0} + a_ {1} R + a_ {2} R ^ {2} + \ cdots}

Первый член подобен космологической постоянной и должен быть небольшим. Следующий коэффициент a1можно установить равным единице, как в ОТО. Для метрической f(R) гравитации (в отличие от гравитации Палатини или метрически-аффинной f(R) силы тяжести) квадратичный член лучше всего ограничивается измерениями пятой силы, поскольку он приводит к Юкава поправка к гравитационному потенциалу. Наилучшие текущие границы: | a2| < 4×10 m or equivalently |a2| < 2.3×10 GeV.

Параметризованный постньютоновский формализм разработан, чтобы иметь возможность ограничивать общие модифицированные теории гравитации. Однако f(R) гравитация имеет многие из тех же значений, что и общая теория относительности, и поэтому ее нельзя различить с помощью этих тестов. В частности, отклонение света не изменилось, поэтому f(R) гравитация, как и общая теория относительности, полностью согласуется с границами из слежения за Кассини.

гравитация Старобинского

гравитация Старобинского имеет следующий вид

е (R) = R + R 2 6 M 2 {\ displaystyle f (R) = R + {\ frac {R ^ {2}} {6M ^ {2}}}}

{\ displaystyle f (R) = R + {\ frac {R ^ {2}} {6M ^ {2}}}}

где $M {\ displaystyle M}$ $M$ имеет размеры массы.

Тензорное обобщение

f(R) гравитация, представленная в предыдущих разделах, является скалярной модификацией общей теории относительности. В более общем смысле, мы можем иметь

∫ d D x - gf (R, R μ ν R μ ν, R μ ν ρ σ R μ ν ρ σ) {\ displaystyle \ int \ mathrm {d} ^ {D } x {\ sqrt {-g}} \, f (R, R ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu}, R ^ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} R _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma})}

\ int {\ mathrm {d}} ^ {D} x {\ sqrt { -g}} \, f (R, R ^ {{\ mu \ nu}} R _ {{\ mu \ nu}}, R ^ {{\ mu \ nu \ rho \ sigma}} R _ {{\ mu \ nu \ rho \ sigma}})

связь с использованием инвариантов тензора Риччи и тензора Вейля. Особые случаи: f(R) гравитация, конформная гравитация, гравитация Гаусса – Бонне и гравитация Лавлока. Обратите внимание, что при любой нетривиальной тензорной зависимости у нас обычно есть дополнительные массивные степени свободы со спином 2 в дополнение к безмассовому гравитону и массивному скаляру. Исключением является гравитация Гаусса – Бонне, где члены четвертого порядка для компонентов со спином 2 сокращаются.

См. Также

Ссылки

^Бухдал, Х.А. (1970). «Нелинейные лагранжианы и космологическая теория». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества. 150 : 1–8. Bibcode : 1970MNRAS.150.... 1B. doi : 10.1093 / mnras / 150.1.1.
^Старобинский, А.А. (1980). «Новый тип изотропных космологических моделей без сингулярности». Physics Letters B. 91: 99–102. Bibcode : 1980PhLB... 91... 99S. doi : 10.1016 / 0370-2693 (80) 90670-X.
^Цудзикава, Синдзи (2007). «Возмущения плотности материи и эффективная гравитационная постоянная в модифицированных гравитационных моделях темной энергии». Физический обзор D. 76. arXiv : 0705.1032. Bibcode : 2007PhRvD..76b3514T. doi : 10.1103 / PhysRevD.76.023514.
^Де Феличе, Антонио; Цудзикава, Синдзи (2010). «Теории f (R)». Живые обзоры в теории относительности. 13. arXiv : 1002.4928. Bibcode : 2010LRR.... 13.... 3D. doi : 10.12942 / lrr-2010-3.
^ Фланаган, Э. Э. (2004). «Свобода конформной рамки в теориях гравитации». Классическая и квантовая гравитация. 21(15): 3817. arXiv : gr-qc / 0403063. Bibcode : 2004CQGra..21.3817F. doi : 10.1088 / 0264-9381 / 21/15 / N02.
^ Олмо, Г. Дж. (2005). "Гравитационный лагранжиан согласно экспериментам Солнечной системы". Письма с обзором физических данных. 95(26): 261102. arXiv : gr-qc / 0505101. Bibcode : 2005PhRvL..95z1102O. doi : 10.1103 / PhysRevLett.95.261102. PMID 16486333.
^Иглесиас, А.; Kaloper, N.; Padilla, A.; Парк, М. (2007). «Как (не) использовать формулировку Палатини скалярно-тензорной гравитации». Physical Review D. 76(10): 104001. arXiv : 0708.1163. Bibcode : 2007PhRvD..76j4001I. doi : 10.1103 / PhysRevD.76.104001.
^Barausse, E.; Sotiriou, T. P.; Миллер, Дж. К. (2008). «Запретная теорема для политропных сфер в Палатини f (R) гравитации». Классическая и квантовая гравитация. 25(6): 062001. arXiv : gr-qc / 0703132. Bibcode : 2008CQGra..25f2001B. doi : 10.1088 / 0264-9381 / 25/6/062001.
^ Berry, C.P.L.; Гейр, Дж. Р. (2011). «Линеаризованная гравитация f (R): Гравитационное излучение и испытания Солнечной системы». Physical Review D. 83(10): 104022. arXiv : 1104.0819. Bibcode : 2011PhRvD..83j4022B. doi : 10.1103 / PhysRevD.83.104022.
^Чембранос, Дж. А. Р. (2009). «Темная материя из R Gravity». Письма о физических проверках. 102 (14): 141301. arXiv : 0809.1653. Bibcode : 2009PhRvL.102n1301C. doi : 10.1103 / PhysRevLett.102.141301. PMID 19392422.
^Клифтон, Т. (2008). «Параметризованный постньютоновский предел теорий гравитации четвертого порядка». Physical Review D. 77(2): 024041. arXiv : 0801.0983. Bibcode : 2008PhRvD..77b4041C. doi : 10.1103 / PhysRevD.77.024041.
^Старобинский, А.А. (1980). «Новый тип изотропных космологических моделей без сингулярности». Physics Letters B. 91 : 99–102. Bibcode : 1980PhLB... 91... 99S. doi : 10.1016 / 0370-2693 (80) 90670-X.

Дополнительная литература

См. Главу 29 в учебнике «Частицы и квантовые поля» Kleinert, H. (2016), World Scientific (Сингапур, 2016) (также доступно в Интернете )
Сотириу, Т.П.; Фараони, В. (2010). "F (R) Теории Гравитация ». Обзоры современной физики. 82: 451–497. arXiv : 0805.1726. Bibcode : 2010RvMP... 82..451S. doi : 10.1103 / RevModPhys.82.451.
Сотириу, Т.П. (2009). «6 + 1 уроков из f (R) гравитации». Журнал по физике: Серия конференций. 189 (9): 012039. arXiv : 0810.5594. Bibcode : 2009JPhCS.189a2039S. doi : 10.1088 / 1742-6596 / 189/1/012039.
Capozziello, S.; De Laurentis, M. (2011). "Extended Theories of Gravity. Physics Reports. 509 (4–5): 167–321. arXiv : 1108.6266. Bibcode : 2011PhR... 509..167C. doi : 10.1016 / j.physrep.2011.09.003.

Внешние ссылки

f(R) гравитация - f(R) gravity

Вывод уравнений поля

Обобщенные уравнения Фридмана

Модифицированная константа Ньютона

Массивные гравитационные волны

`f`(`R`) гравитация - f(R) gravity