Формула Фейнмана – Каца

редактировать

Формула, связывающая случайные процессы с уравнениями в частных производных

Формула Фейнмана – Каца названа в честь Ричарда Фейнмана и Марк Кац, устанавливает связь между параболическими уравнениями в частных производных (PDE) и случайными процессами. В 1947 году, когда Кац и Фейнман оба были на факультете Корнелла, Кац присутствовал на презентации Фейнмана и заметил, что они двое работали над одним и тем же с разных сторон. Приведена формула Фейнмана – Каца, которая строго доказывает реальный случай интегралов по траекториям Фейнмана. Сложный случай, который имеет место, когда включается спин частицы, все еще не доказан.

Он предлагает метод решения некоторых уравнений в частных производных путем моделирования случайных траекторий случайного процесса. И наоборот, важный класс ожиданий случайных процессов можно вычислить детерминированными методами.

Содержание

1 Теорема
2 Доказательство
3 Примечания
4 Приложения
5 См. Также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература

Теорема

Рассмотрим уравнение в частных производных

∂ u ∂ t (x, t) + μ (x, t) ∂ u ∂ x (x, t) + 1 2 σ 2 (x, t) ∂ 2 u ∂ x 2 (Икс, T) - В (Икс, T) U (Икс, T) + е (Икс, Т) = 0, {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ partial u} {\ partial t}} (х, т) + \ mu (x, t) {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} (x, t) + {\ tfrac {1} {2}} \ sigma ^ {2} (x, t) { \ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} (x, t) -V (x, t) u (x, t) + f (x, t) = 0,}

{\ frac {\ частичное u} {\ partial t}} (x, t) + \ mu (x, t) {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} (x, t) + {\ tfrac {1} {2 }} \ sigma ^ {2} (x, t) {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} (x, t) -V (x, t) u (x, т) + е (Икс, T) знак равно 0,

определен для всех $x ∈ R {\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ $x \ in \ mathbb {R}$ и $t ∈ [0, T] {\ displaystyle t \ in [0, T]}$ $t \ in [0, T]$ с учетом конечного условия

u (x, T) = ψ (x), {\ displaystyle u (x, T) = \ psi (x),}

u (x, T) = \ psi (x),

где μ, σ, ψ, V, f - известные функции, T - параметр и $u: R × [0, T] → R {\ displaystyle u: \ mathbb {R} \ times [0, T] \ to \ mathbb {R}}$ $u: \ mathbb {R} \ times [ 0, T] \ to \ mathbb {R}$ - неизвестно. Тогда формула Фейнмана – Каца говорит нам, что решение может быть записано как условное ожидание

u (x, t) = EQ [∫ t T e - ∫ tr V (X τ, τ) d τ f (X r, r) dr + e - ∫ t TV (X τ, τ) d τ ψ (XT) | Икс T = Икс] {\ Displaystyle и (х, т) = E ^ {Q} \ left [\ int _ {t} ^ {T} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r} V (X_ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f (X_ {r}, r) dr + e ^ {- \ int _ {t} ^ {T} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ psi (X_ {T}) {\ Bigg |} X_ {t} = x \ right]}

u (x, t) = E ^ {Q} \ left [\ int _ {t} ^ {T} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f (X_ {r}, r) dr + e ^ {- \ int _ {t} ^ {T} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ psi (X_ {T}) {\ Bigg |} X_ {t} = x \ right]

при вероятностной мере Q такой, что X является Процесс Itô, управляемый уравнением

d X = μ (X, t) dt + σ (X, t) d WQ, {\ displaystyle dX = \ mu (X, t) \, dt + \ sigma (X, t) \, dW ^ {Q},}

dX = \ mu (X, t) \, dt + \ sigma (X, t) \, dW ^ {Q},

с W (t) - это винеровский процесс (также называемый броуновским движением ) при Q, и начальное условием для X (t) является X (t) = x.

Доказательство

Доказательство того, что приведенная выше формула является решением дифференциального уравнения, длинное, сложное и здесь не представлено. Однако достаточно просто показать, что если решение существует, оно должно иметь указанную выше форму. Доказательство этого меньшего результата следующее.

Пусть u (x, t) будет решением вышеуказанного уравнения в частных производных. Применение правила продукта для процессов Ито к процессу

Y (s) = e - ∫ ts V (X τ, τ) d τ u (X s, s) + ∫ tse - ∫ tr В (Икс τ, τ) d τ е (Икс р, г) dr {\ Displaystyle Y (s) = е ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} u (X_ {s}, s) + \ int _ {t} ^ {s} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f (X_ {r}, r) \, dr}

Y (s) = e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} u (X_ {s }, s) + \ int _ {t} ^ {s} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f (X_ { r}, r) \, dr

получаем

d Y = d (e - ∫ ts V (X τ, τ) d τ) u (X s, s) + e - ∫ ts V (X τ, τ) d τ du (X s, s) + d (e - ∫ ts V (X τ, τ) d τ) du (X s, s) + d (∫ цсе - ∫ тр В (Икс τ, τ) d τ е (Икс р, г) др) {\ displaystyle {\ begin {align} dY = {} d \ left (e ^ {- \ int _ { t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ right) u (X_ {s}, s) + e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \, du (X_ {s}, s) \\ [6pt] {} + d \ left (e ^ {- \ int _ {t } ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ right) du (X_ {s}, s) + d \ left (\ int _ {t} ^ {s} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f (X_ {r}, r) \, dr \ right) \ end {выровнено} }}

{\ begin {align} dY = {} d \ left (e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ right) u (X_ {s}, s) + e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \, du (X_ {s}, s) \\ [6pt] {} + d \ left (e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ right) du (X_ {s}, s) + d \ left (\ int _ {t} ^ {s} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f (X_ {r}, r) \, dr \ right) \ end {align}}

Поскольку

d (e - ∫ ts V (X τ, τ) d τ) = - V (X s, s) e - ∫ ts V (X τ, τ) d τ ds, {\ displaystyle d \ left (е ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ right) = - V (X_ {s}, s) e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \, ds,}

d \ left (e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ right) = - V (X_ {s}, s) e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \, ds,

третий член $O (dtdu) {\ displaystyle O (dt \, du)}$ $O (dt \, du)$ и может быть удален. Также имеем, что

d (∫ tse - ∫ tr V (X τ, τ) d τ f (X r, r) dr) = e - ∫ ts V (X τ, τ) d τ f (X s, s) ds. {\ displaystyle d \ left (\ int _ {t} ^ {s} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f ( X_ {r}, r) dr \ right) = e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f (X_ {s}, s) ds.}

{ \ displaystyle d \ left (\ int _ {t} ^ {s} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f (X_ {r}, r) dr \ right) = e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f (X_ {s}, s) ds.}

Применяя лемму Ито к $du (X s, s) {\ displaystyle du (X_ {s}, s)}$ $du (X_ {s}, s)$ , следует, что

d Y = e - ∫ ts V (X τ, τ) d τ (- V (X s, s) u (X s, s) + f (X s, s) + μ (X s, s) ∂ u ∂ X + ∂ u ∂ s + 1 2 σ 2 (X s, s) ∂ 2 u ∂ X 2) ds + e - ts V (X τ, τ) d τ σ (X, s) ∂ u ∂ X d W. {\ displaystyle {\ begin {align} dY = {} e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \, \ left (- V (X_ {s}, s) u (X_ {s}, s) + f (X_ {s}, s) + \ mu (X_ {s}, s) {\ frac {\ partial u} {\ partial X}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial s}} + {\ tfrac {1} {2}} \ sigma ^ {2} (X_ {s}, s) {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial X ^ {2}}} \ right) \, ds \\ [6pt] {} + e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau }, \ tau) \, d \ tau} \ sigma (X, s) {\ frac {\ partial u} {\ partial X}} \, dW. \ end {align}}}

{\ begin {align} dY = {} e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \, \ left (-V (X_ {s}, s) u (X_ {s}, s) + f (X_ {s}, s) + \ mu (X_ {s}, s) {\ frac {\ partial u} {\ partial X}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial s}} + {\ tfrac {1} {2}} \ sigma ^ {2} (X_ {s }, s) {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial X ^ {2}}} \ right) \, ds \\ [6pt] {} + e ^ {- \ int _ {t } ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ sigma (X, s) {\ frac {\ partial u} {\ partial X}} \, dW. \ end { выровнено}}

Первый член содержит, в скобках указанное выше уравнение в частных производных и, следовательно, равно нулю. Остается

d Y = e - t s V (X τ, τ) d τ σ (X, s) ∂ u ∂ X d W. {\ Displaystyle dY = е ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ sigma (X, s) {\ frac {\ partial u } {\ partial X}} \, dW.}

dY = e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X_ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ sigma (X, s) {\ frac {\ partial u} {\ partial X}} \, dW.

Интегрируя это уравнение от t до T, заключаем, что

Y (T) - Y (t) = ∫ t T e - ∫ ts V (X τ, τ) d τ σ (X, s) ∂ u ∂ X d W. {\ Displaystyle Y (T) -Y (t) = \ int _ {t} ^ {T} e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ sigma (X, s) {\ frac {\ partial u} {\ partial X}} \, dW.}

Y (T) -Y (t) = \ int _ {t} ^ {T} e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ sigma (X, s) {\ frac {\ partial u} {\ partial X}} \, dW.

Принимая ожидания, при условии X t = x, и заметив, что правая часть представляет собой интеграл Ито с нулевым математическим ожиданием, следует, что

E [Y (T) ∣ X t = x] = E [Y (t) ∣ X t = х] = и (х, t). {\ displaystyle E [Y (T) \ mid X_ {t} = x] = E [Y (t) \ mid X_ {t} = x] = u (x, t).}

E [Y (T) \ mid X_ {t} = x] = E [Y (t) \ mid X_ {t} = x] = u (x, t).

Желаемый результат полученный, наблюдая, что

E [Y (T) ∣ X t = x] = E [e - ∫ t TV (X τ, τ) d τ u (XT, T) + ∫ t T e - tr V (X τ, τ) d τ f (X r, r) dr | Икс T = Икс] {\ Displaystyle E [Y (T) \ mid X_ {t} = x] = E \ left [e ^ {- \ int _ {t} ^ {T} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} u (X_ {T}, T) + \ int _ {t} ^ {T} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f (X_ {r}, r) \, dr \, {\ Bigg |} \, X_ {t} = x \ right]}

E [Y (T) \ mid X_ {t} = x] = E \ слева [e ^ {- \ int _ {t} ^ {T} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} u (X_ {T}, T) + \ int _ {t} ^ {T} e ^ {- \ int _ {t} ^ {r } V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f (X_ {r}, r) \, dr \, {\ Bigg |} \, X_ {t} = x \ right]

и, наконец,

u (x, t) = E [e - ∫ t TV (X τ, τ) d τ ψ (XT) + ∫ t T e - ∫ ts V (X τ, τ) d τ f (X s, s) ds | Икс T знак равно Икс] {\ Displaystyle и (х, т) = Е \ влево [е ^ {- \ int _ {т} ^ {T} V (X _ {\ тау}, \ тау) \, д \ тау} \ psi (X_ {T}) + \ int _ {t} ^ {T} e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f (X_ {s}, s) \, ds \, {\ Bigg |} \, X_ {t} = x \ right]}

u (x, t) = E \ left [e ^ {- \ int _ {t} ^ {T} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} \ psi (X_ {T}) + \ int _ {t} ^ {T} e ^ {- \ int _ {t} ^ {s} V (X _ {\ tau}, \ tau) \, d \ tau} f (X_ {s}, s) \, ds \, {\ Bigg |} \, X_ {t} = x \ right]

Замечания

Вышеприведенное доказательство того, что решение должно иметь заданный вид: по сути, с изменениями для учета $f (x, t) {\ displaystyle f (x, t)}$ $f (x, t)$ .
Формула ожидания, приведенная выше, также действительна для N-мерных диффузий Ито. Соответствующее уравнение в частных производных для $u: RN × [0, T] → R {\ displaystyle u: \ mathbb {R} ^ {N} \ times [0, T] \ to \ mathbb {R}}$ $u: \ mathbb {R} ^ {N} \ times [0, T] \ to \ mathbb {R}$ становится:

∂ u ∂ t + ∑ i = 1 N μ i (x, t) ∂ u ∂ xi + 1 2 ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N γ ij (x, t) ∂ 2 u ∂ xi ∂ xj - r (x, t) u = f (x, t), {\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mu _ {i} (x, t) {\ frac {\ partial u} {\ partial x_ {i}}} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1 } ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ gamma _ {ij} (x, t) {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} - r (x, t) \, u = f (x, t),}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mu _ {i} (x, t) {\ frac {\ partial u} {\ partial x_ {i}}} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ gamma _ {ij} (x, t) {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} -r (x, t) \, u = f (x, t),}

где,

γ ij (x, t) = ∑ k = 1 N σ ik (x, т) σ JK (Икс, Т), {\ Displaystyle \ гамма _ {ij} (х, т) = \ сумма _ {к = 1} ^ {N} \ sigma _ {ik} (х, т) \ сигма _ {jk} (x, t),}

\ gamma _ {ij} (x, t) = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ сигма _ {ik} (x, t) \ sigma _ {jk} (x, t),

т.е.

γ = σ σ T {\ displaystyle \ gamma = \ sigma \ sigma ^ {\ mathrm {T}}}

{\ displaystyle \ gamma = \ sigma \ sigma ^ {\ mathrm {T}}}

, где

σ T {\ displaystyle \ sigma ^ {\ mathrm { T}}}

{\ displaystyle \ sigma ^ {\ mathrm {T}}}

обозначает транспонирование из

σ {\ displaystyle \ sigma}

\ sigma

Это ожидание может быть затем аппроксимировано с помощью Монте-Карло или методы квази-Монте-Карло.
Изначально опубликованная Кацем в 1949 году, формула Фейнмана – Каца была представлена как формула для определения распределения некоторых функционалов Винера. Предположим, мы хотим найти математическое ожидание функции

e - ∫ 0 t V (x (τ)) d τ {\ displaystyle e ^ {- \ int _ {0} ^ {t} V (x (\ tau)) \, d \ tau}}

e ^ {- \ int _ {0} ^ {t} V (x (\ tau)) \, d \ tau}

в случае, когда x (τ) - некоторая реализация процесса диффузии, начинающаяся с x (0) = 0. Формула Фейнмана – Каца говорит, что это ожидание эквивалентно интеграл от решения уравнения диффузии. В частности, при условиях, что