Толстый объект (геометрия)

В геометрии толстый объект представляет собой объект, состоящий из двух или двух частей. больше размеров, длина которых в разных размерах одинакова. Например, квадрат квадрат толстый, потому что его длина и ширина идентичны. Прямоугольник 2 на 1 тоньше квадрата, но он толстый по сравнению с прямоугольником 10 на 1. Точно так же круг толще, чем эллипс размером 1 на 10 , а равносторонний треугольник толще, чем очень тупой треугольник.

Толстый объекты особенно важны в вычислительной геометрии. Многие алгоритмы вычислительной геометрии могут работать намного лучше, если их входные данные состоят только из толстых объектов; см. раздел приложения ниже.

• 1 Общая упитанность
  • 1.1 Окружающая жирность по сравнению с закрытой упитанностью
  • 1.2 Шарики против кубиков
• 2 Локальная упитанность
  • 2.1 Глобальные и местные определения
• 3 Примеры
• 4 Толщина треугольника
  • 4.1 Тонкость закрытого шара
  • 4.2 Тонкость замыкающего шара
  • 4.3 Тонкость двух мячей
• 5 Толстость окружностей, эллипсов и их частей
• 6 Толстость выпуклый многоугольник
• 7 Подсчет жирных объектов
• 8 Обобщения
• 9 Приложения
• 10 Ссылки

При постоянном R≥1 объект o называется R- жир, если его «фактор стройности» не больше R. «Фактор стройности» имеет разные определения в разных статьях. Общее определение:

$сторона\; наименьшего\; куба,\; охватывающая\; o,\; сторона\; наибольшего\; куба,\; заключенная\; в\; o\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{сторона\; наименьшего\; куба,\; заключающая\}\}\; \backslash \; o\}\; \{\{\backslash \; text\; \{сторона\; наибольшего\; куб\; заключенный\; в\}\}\; \backslash \; o\}\}\}$

, где o и кубы являются d-мерными. Двумерный куб - это квадрат, поэтому коэффициент тонкости квадрата равен 1 (так как его наименьший охватывающий квадрат равен его наибольшему закрытому диску). Коэффициент тонкости прямоугольника 10 на 1 равен 10. Коэффициент тонкости круга равен √2. Следовательно, по этому определению квадрат 1-толстый, но диск и прямоугольник 10 × 1 не 1-толстый. Квадрат тоже 2-толстый (так как его коэффициент стройности меньше 2), 3-толстый и т. Д. Диск тоже 2-толстый (а также 3-толстый и т.д.), но прямоугольник 10 × 1 не равен 2. -жир. Каждая фигура ∞-толстая, поскольку по определению коэффициент стройности всегда не больше ∞.

Вышеупомянутое определение можно назвать двухкубической жирностью, поскольку оно основано на соотношении сторон двух кубиков. Точно так же можно определить два шара упитанности, в которых вместо этого используется d-мерный шар. Двумерный шар - это диск. Согласно этому альтернативному определению, диск 1-толстый, но квадрат не 1-толстый, поскольку его тонкость в два шара равна √2.

Альтернативное определение, которое можно назвать охватывающим шаром жирностью (также называемой «толщиной»), основано на следующем коэффициенте тонкости:

$(объем\; наименьшего\; шара,\; охватывающий\; объем\; о)\; 1\; /\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{объем\; наименьшего\; шара,\; охватывающего\}\}\; \backslash \; o\}\; \{\{\backslash \; text\; \{объем\}\}\; \backslash \; o\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1\; /\; d\}\}$

Показатель степени 1 / d делает это определение соотношением двух длин, так что оно сравнимо с жирностью двух мячей.

Здесь тоже можно использовать куб вместо шара.

Аналогичным образом можно определить замкнутый шар упитанность на основе следующего коэффициента тонкости:

$(объем\; o\; объема\; самого\; большого\; шара,\; заключенного\; в\; o)\; 1\; /\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{volume\; of\}\}\; \backslash \; o\}\; \{\{\backslash \; text\; \{объем\; самого\; большого\; шара,\; заключенного\; в\}\}\; \backslash \; o\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1\; /\; d\}\}$

Заключение -жирность против закрытой-жирности

Тонкость охватывающего шара / куба может сильно отличаться от тонкости закрытого шара / куба.

Например, рассмотрим леденец с конфетой в форме квадрата 1 × 1 и палкой в ​​форме прямоугольника ab × (1 / b) (с b>1>(1 / b)). При увеличении b площадь окружающего куба (≈b) увеличивается, но площадь замкнутого куба остается постоянной (= 1), а общая площадь формы также остается постоянной (= 2). Таким образом, тонкость окружающего куба может увеличиваться произвольно, в то время как тонкость заключенного куба остается постоянной (= √2). См. Эту страницу GeoGebra для демонстрации.

С другой стороны, рассмотрим прямолинейную «змейку» шириной 1 / b и длиной b, которая полностью сложена внутри квадрата со стороной 1. По мере увеличения b площадь замкнутого куба (≈ 1 / b) уменьшается, но общие площади змеи и вмещающего куба остаются постоянными (= 1). Таким образом, тонкость замкнутого куба может увеличиваться произвольно, в то время как тонкость окружающего куба остается постоянной (= 1).

И для леденцов, и для змейки, два куба-стройность возрастают произвольно, так как в целом:

-стройность-шар-стройность-замкнутый-шар-стройность-два-шарика

enclosing-cube-slimness ⋅ enclosed-cube-slimness = two-cubes-slimness

Так как все коэффициенты стройности равны по крайней мере 1, из этого следует, что если объект o является R-жирным согласно определению двух шариков / кубиков, это также R-жир согласно определениям охватывающий шар / куб и закрытый шар / куб (но обратное неверно, как проиллюстрировано выше).

Шары против кубов

объем d-мерного шара радиуса r равен : $V\; d\; \cdot \; rd\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{d\}\; \backslash \; cdot\; r\; ^\; \{d\}\}$, где V d - константа, зависящая от размера:

$V\; d\; =\; \pi \; d\; /\; 2\; \Gamma \; (d\; 2\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{d\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{d\; /\; 2\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{2\}\}\; +\; 1)\}\}\}$

d-мерный куб с длиной стороны 2а имеет объем (2а). Он заключен в d-мерный шар радиуса a√d, объем которого равен V d (a√d). Следовательно, для каждого d-мерного объекта:

тонкость охватывающего шара ≤ тонкость охватывающего куба ⋅ $V\; d\; 1\; /\; d\; \cdot \; d\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{V\_\; \{d\}\}\; ^\; \{1\; /\; d\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; sqrt\; \{d\}\}\; /\; 2\}$.

Для четных размеров (d = 2k) коэффициент упрощается до: $0,5\; \pi \; k\; /\; (k!)\; 1/2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{0,5\; \backslash \; pi\; k\}\}\; /\; \{\{(k!)\}\; ^\; \{1\; /\; 2k\}\}\}$. В частности, для двумерных форм V 2 = π, а коэффициент равен: √ (0,5 π) ≈1,25, поэтому:

тонкость охватывающего диска ≤ тонкость охватывающего квадрата ⋅ 1,25

Из аналогичных соображений:

тонкость закрытого куба ≤ тонкость закрытого шара ⋅ $V\; d\; 1\; /\; d\; \cdot \; d\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{V\_\; \{d\}\}\; ^\; \{1\; /\; d\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; sqrt\; \{d\}\}\; /\; 2\}$

тонкость закрытого квадрата ≤ тонкость закрытого диска ⋅ 1,25

d-мерный шар с радиусом a заключен в d-мерный куб со стороной 2a. Следовательно, для каждого d-мерного объекта:

тонкость заключающего куба ≤ тонкость охватывающего шара ⋅ $2\; /\; V\; d\; 1\; /\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; /\; \{V\_\; \{d\}\}\; ^\; \{1\; /\; d\}\; \}$

Для четных размеров (d = 2k) коэффициент упрощается до: $2\; /\; (k!)\; 1/2\; k\; /\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; /\; \{(k!)\}\; ^\; \{1\; /\; 2k\}\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}$. В частности, для двумерных форм коэффициент равен: 2 / √π≈1,13, так что:

тонкость охватывающего квадрата ≤ тонкость охватывающего диска ⋅ 1,13

Из аналогичных соображений:

закрытый шар -тонкость ≤ закрытый-куб-тонкий ⋅ $2\; /\; V\; d\; 1\; /\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; /\; \{V\_\; \{d\}\}\; ^\; \{1\; /\; d\}\}$

закрытый-тонкий-дисковый ≤ закрытый-квадрат- стройность ⋅ 1,13

Умножение приведенных выше соотношений дает следующие простые соотношения:

стройность два шара ≤ стройность два куба ⋅ √d

стройность два кубика ≤ стройность два шара ⋅ √d

Таким образом, R-толстый объект согласно определению двух шаров или двух кубов является не более R√d-жирным согласно альтернативному определению.

Все приведенные выше определения являются глобальными в том смысле, что они не заботятся о небольших тонких областях, которые являются частью большого толстого объекта.

Например, рассмотрим леденец с конфетой в форме квадрата 1 × 1 и палочкой в ​​форме прямоугольника 1 × (1 / b) (с b>1>(1 / b)). При увеличении b площадь окружающего куба (= 4) и площадь замкнутого куба (= 1) остаются постоянными, а общая площадь формы изменяется незначительно (= 1 + 1 / b). Таким образом, все три фактора тонкости ограничены: тонкость заключенного куба≤2, тонкость заключенного куба≤2, стройность двух кубов = 2. Таким образом, по всем определениям леденец на палочке 2-толстый. Однако часть леденца-палочка явно становится все тоньше и тоньше.

В некоторых приложениях такие тонкие детали неприемлемы, поэтому местная упитанность, основанная на локальном коэффициенте тонкости, может быть более подходящей. Для каждого глобального коэффициента тонкости можно определить локальную версию. Например, для тонкости охватывающего шара можно определить коэффициент тонкости local-enclosing-ball объекта o, рассматривая множество B всех шаров, центр которых находится внутри o и граница пересекает границу o (т.е. не полностью содержит o). Коэффициент тонкости локального охватывающего шара определяется как:

$1\; 2\; \cdot \; sup\; b\; \in \; B\; (объем\; B\; объема\; B\; \cap \; o)\; 1\; /\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sup\; \_\; \{b\; \backslash \; in\; B\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{volume\; of\}\}\; \backslash \; B\}\; \{\{\backslash \; text\; \{volume\; of\}\}\; \backslash \; B\; \backslash \; cap\; o\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1\; /\; d\}\}$

1/2 - это нормализационный коэффициент, который делает тонкость локального охватывающего шарика шара равной 1. Тонкость локального охватывающего шарика формы леденца на палочке, описанной выше, преобладает палку 1 × (1 / b), и она переходит в ∞ с ростом b. Таким образом, согласно локальному определению, вышеуказанный леденец не является двухжирным.

Глобальные и локальные определения

Локальная жирность подразумевает глобальную жирность. Вот пример доказательства упитанности, основанный на закрывающих шарах. По определению, объем наименьшего охватывающего шара меньше объема любого другого охватывающего шара. В частности, это ≤ объема любого охватывающего шара, центр которого находится внутри o, а граница касается границы o. Но каждый такой охватывающий шар находится в множестве B, рассматриваемом по определению тонкости локально охватывающего шара. Следовательно:

тонкость охватывающего шара =

= объем (наименьший охватывающий шарик) / объем (o)

≤ объем (охватывающий шарик-b-in-B) / объем (o)

= объем (охватывающий-шарик-b-в-B) / объем (b o)

≤ (2-местный-охватывающий-шарик-тонкость)

Следовательно:

стройность-охватывающего шара ≤ 2⋅-тонкость-ограничивающего-шара

Для выпуклого тела верно и обратное: локальная-упитанность подразумевает глобальную-упитанность. Доказательство основано на следующей лемме. Пусть o - выпуклый объект. Пусть P точка в o. Пусть b и B - два шара с центром в P такие, что b меньше B. Тогда o пересекает большую часть b, чем B, то есть:

$volume\; (b\; \cap \; o)\; volume\; (b)\; \ge \; volume\; (B\; \cap \; о)\; объем\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{volume\}\}\; \backslash \; (b\; \backslash \; cap\; o)\}\; \{\{\backslash \; text\; \{volume\}\}\; \backslash \; (b)\}\}\; \backslash \; geq\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{volume\}\}\; \backslash \; (B\; \backslash \; cap\; o)\}\; \{\{\backslash \; text\; \{volume\}\}\; \backslash \; (B)\}\}\}$

Контрольный набросок: стоя в точке P, мы можем смотреть под разными углами θ и измерять расстояние до границы о. Поскольку o выпукло, это расстояние является функцией, скажем, r (θ). Мы можем вычислить левую часть неравенства, интегрировав следующую функцию (умноженную на некоторую детерминантную функцию) по всем углам:

$f\; (\theta )\; =\; min\; (r\; (\theta )\; radius\; (b),\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; theta)\; =\; \backslash \; min\; \{(\{\backslash \; frac\; \{r\; (\backslash \; theta)\}\; \{\{\backslash \; text\; \{radius\}\}\; \backslash \; (b)\}\},\; 1)\}\}$

Аналогичным образом мы можем вычислить правый стороны неравенства путем интегрирования следующей функции:

$F\; (\theta )\; =\; min\; (r\; (\theta )\; radius\; (B),\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (\backslash \; theta)\; =\; \backslash \; min\; \{(\{\backslash \; frac\; \{r\; (\backslash \; theta)\}\; \{\{\backslash \; text\; \{radius\}\}\; \backslash \; (B)\}\},\; 1)\}\}$

Проверяя все 3 возможных случая, можно показать, что всегда $f\; (\theta )\; \ge \; F\; (\theta )\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; GEQ\; F\; (\backslash \; theta)\}$. Таким образом, интеграл от f является по крайней мере интегралом от F, и лемма следует.

Определение тонкости локального охватывающего шара рассматривает все шары, которые центрированы в точке в o и пересекают границу точки o. Однако, когда o выпукло, приведенная выше лемма позволяет нам рассматривать для каждой точки из o только шары максимального размера, то есть только шары, которые полностью содержат o (и чья граница пересекает границу o). Для каждого такого шара b:

$объем\; (b)\; \le \; C\; d\; \cdot \; диаметр\; (o)\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{volume\}\}\; \backslash \; (b)\; \backslash \; leq\; C\_\; \{d\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; text\; \{диаметр\}\; \}\; \backslash \; (o)\; ^\; \{d\}\}$

где $C\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{d\}\}$- некоторая константа, зависящая от размера.

Диаметр o не превышает диаметра наименьшего шара, охватывающего o, а объем этого шара составляет: $C\; d\; \cdot \; (диаметр\; (наименьший\; шар,\; охватывающий\; o)\; /\; 2)\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{d\}\; \backslash \; cdot\; (\{\backslash \; text\; \{диаметр\; (наименьший\; охват\; шарика\}\}\; \backslash \; o)\; /\; 2)\; ^\; \{d\}\}$. Объединение всех неравенств дает, что для каждого выпуклого объекта:

тонкость локального охватывающего шара ≤ тонкость охватывающего шарика

Для невыпуклых объектов это неравенство, конечно, не выполняется, как показано на примере леденца на палочке выше.

В следующей таблице показан коэффициент тонкости различных форм на основе различных определений. Два столбца локальных определений заполняются знаком «*», когда форма выпуклая (в этом случае значение локальной тонкости равно значению соответствующей глобальной тонкости):

Тонкость не зависит от масштаба, поэтому коэффициент тонкости треугольника ( как и любой другой многоугольник) можно представить только как функцию его углов. Три фактора тонкости на основе шара могут быть рассчитаны с использованием хорошо известных тригонометрических тождеств.

Тонкость замкнутого шара

Наибольшая окружность, содержащаяся в треугольнике, называется его вписанной окружностью. известно, что:

$\Delta \; =\; r\; 2\; \cdot \; (детская\; кроватка\; \; \angle \; A\; 2\; +\; детская\; кроватка\; \; \angle \; B\; 2\; +\; детская\; кроватка\; \; \angle \; C\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; angle\; A\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; angle\; B\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; angle\; C\}\; \{2\}\})\}$

где Δ - площадь треугольника, а r - радиус вписанной окружности. Следовательно, тонкость закрытого шара треугольника равна:

$детская\; кроватка\; \; \angle \; A\; 2\; +\; детская\; кроватка\; \; \angle \; B\; 2\; +\; детская\; кроватка\; \; \angle \; C\; 2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; angle\; A\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; angle\; B\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; cot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; angle\; C\}\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; pi\}\}\}\}$

.

Ограждающий- тонкость мяча

Наименьшей окружностью для острого треугольника является его описанная окружность, а для тупого треугольника это круг, имеющий самая длинная сторона как диаметр.

Известно, что:

$\Delta \; =\; R\; 2\; \cdot \; 2\; sin\; \; A\; sin\; \; B\; sin\; \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; R\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash \; cdot\; 2\; \backslash \; sin\; A\; \backslash \; sin\; B\; \backslash \; sin\; C\}$

где снова Δ - это площадь треугольника, а R - радиус описанной окружности. Следовательно, для острого треугольника коэффициент тонкости ограничивающего шара равен:

$\pi \; 2\; sin\; \; A\; sin\; \; B\; sin\; \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\; \backslash \; sin\; A\; \backslash \; sin\; B\; \backslash \; sin\; C\}\}\}\}$

Также известно, что:

$\Delta \; =\; c\; 2\; 2\; (cot\; \; \angle \; A\; +\; cot\; \; \angle \; B)\; =\; c\; 2\; (sin\; \; \angle \; A)\; (грех\; \; \angle \; B)\; 2\; грех\; \; (\angle \; A\; +\; \angle \; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; (\backslash \; cot\; \backslash \; angle\; \{A\}\; +\; \backslash \; cot\; \backslash \; angle\; \{B\}))\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; angle\; \{A\})\; (\backslash \; sin\; \backslash \; angle\; \{B\})\}\; \{2\; \backslash \; sin\; (\backslash \; angle\; \{A\}\; +\; \backslash \; angle\; \{B\})\}\; \}\}$

где c - любая сторона треугольника, а A, B - прилегающие углы. Следовательно, для тупого треугольника с острыми углами A и B (и самой длинной стороной c) коэффициент тонкости охватывающего шара равен:

$\pi \; \cdot \; (cot\; \; \angle \; A\; +\; cot\; \; \angle \; B)\; 2\; =\; \pi \; \cdot \; sin\; \; (\; \angle \; A\; +\; \angle \; B)\; 2\; (грех\; \; \angle \; A)\; (грех\; \; \angle \; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; cot\; \backslash \; angle\; \{A\}\; +\; \backslash \; cot\; \backslash \; angle\; \{B\})\; \}\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sin\; (\backslash \; angle\; \{A\}\; +\; \backslash \; angle\; \{B\})\}\; \{2\; (\backslash \; sin\; \backslash \; angle\; \{A\})\; (\backslash \; sin\; \backslash \; angle\; \{B\})\}\}\}\}$

Обратите внимание, что в прямоугольном треугольнике $sin\; \; \angle \; C\; =\; sin\; \; \angle \; A\; +\; \angle \; B\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; angle\; \{\; C\}\}\; =\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; angle\; \{A\}\; +\; \backslash \; angle\; \{B\}\}\; =\; 1\}$, поэтому два выражения совпадают.

Тонкость двух шаров

Внутренний радиус r и окружной радиус R связаны с помощью пары формул, которые обеспечивают два альтернативных выражения для двухшариковой тонкости острого треугольника:

$R\; р\; знак\; равно\; 1\; 4\; грех\; \; (\angle \; A\; 2)\; грех\; \; (\angle \; B\; 2)\; грех\; \; (\angle \; C\; 2)\; =\; 1\; соз\; \; \angle \; A\; +\; соз\; \; \angle \; B\; +\; соз\; \; \angle \; C\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; R\}\; \{r\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; angle\; \{A\}\}\; \{2\}\})\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; angle\; \{B\}\}\; \{2\}\})\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; angle\; \{C\}\}\; \{2\}\})\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; angle\; \{A\}\; +\; \backslash \; cos\; \backslash \; angle\; \{B\}\; +\; \backslash \; cos\; \backslash \; angle\; \{\; C\}\; -1\}\}\}$

Для тупого треугольника следует использовать c / 2 вместо R. По Закону синусов :

$c\; 2\; =\; R\; sin\; \; \angle \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{2\}\}\; =\; R\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; angle\; \{C\}\}\}$

Следовательно, коэффициент тонкости тупого треугольника с тупым углом C равен:

$c\; /\; 2\; r\; =\; sin\; \; \angle \; C\; 4\; sin\; \; (\angle \; A\; 2)\; грех\; \; (\angle \; B\; 2)\; грех\; \; (\angle \; C\; 2)\; =\; грех\; \; \angle \; C\; соз\; \; \angle \; A\; +\; соз\; \; \angle \; B\; +\; соз\; \; \angle \; C\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{c\; /\; 2\}\; \{r\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \{\backslash \; angle\; \{C\}\}\}\; \{4\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; angle\; \{A\}\}\; \{2\}\})\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; angle\; \{B\}\}\; \{2\}\})\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; a\; ngle\; \{C\}\}\; \{2\}\})\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \{\backslash \; angle\; \{C\}\}\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; angle\; \{A\}\; +\; \backslash \; cos\; \backslash \; angle\; \{B\}\; +\; \backslash \; cos\; \backslash \; angle\; \{C\; \}\; -1\}\}\}$

Обратите внимание, что в прямоугольном треугольнике $sin\; \; \angle \; C\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; angle\; \{C\}\}\; =\; 1\}$, поэтому два выражения совпадают.

Эти два выражения можно объединить следующим образом, чтобы получить единое выражение для тонкости двух шаров любого треугольника с меньшими углами A и B:

$sin\; \; max\; (\angle \; A,\; \angle \; B,\; \angle \; C,\; \pi \; /\; 2)\; 4\; sin\; \; (\angle \; A\; 2)\; sin\; \; (\angle \; B\; 2)\; sin\; \; (\pi \; -\; \angle \; A\; -\; \angle \; B\; 2)\; =\; sin\; \; max\; (\angle \; A,\; \angle \; B,\; \angle \; C,\; \pi \; /\; 2)\; соз\; \; \angle \; A\; +\; соз\; \; \angle \; В\; -\; соз\; \; (\angle \; A\; +\; \angle \; B)\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \{\backslash \; max\; (\backslash \; angle\; \{A\},\; \backslash \; angle\; \{B\},\; \backslash \; angle\; \{C\},\; \backslash \; pi\; /\; 2)\}\}\; \{4\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; angle\; \{A\}\}\; \{2\}\})\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; angle\; \{B\}\}\; \{2\}\})\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; -\; \backslash \; angle\; \{A\}\; -\; \backslash \; angle\; \{B\}\}\; \{2\}\})\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \{\backslash \; max\; (\backslash \; angle\; \{A\},\; \backslash \; angle\; \{B\}),\; \backslash \; angle\; \{C\},\; \backslash \; pi\; /\; 2)\}\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; angle\; \{A\}\; +\; \backslash \; cos\; \backslash \; angle\; \{B\}\; -\; \backslash \; cos\; (\backslash \; angle\; \{A\}\; +\; \backslash \; angle\; \{B\})\; -\; 1\}\}\; \}$

Чтобы получить представление о скорости изменения упитанности, рассмотрим, что дает эта формула для равнобедренного треугольника с углом головы θ при малом θ :

$sin\; \; max\; (\theta ,\; \pi \; /\; 2)\; 4\; грех\; 2\; \; (\pi \; -\; \theta \; 4)\; грех\; \; (\theta \; 2)\; \approx \; 1\; 4\; 1/2\; 2\; \theta \; /\; 2\; =\; 1\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \{\backslash \; max\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; pi\; /\; 2)\}\}\; \{4\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; -\; \backslash \; th\; eta\}\; \{4\}\})\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\})\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \{\backslash \; sqrt\; \{1/2\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; /\; 2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; theta\}\}\}$

. Следующие графики показывают коэффициент тонкости треугольника с двумя шарами:

• Тонкость общего треугольника при одном угле (a) является постоянным параметром, в то время как другой угол (x) изменяется.
• Тонкость равнобедренного треугольника как функция его угла головы (x).

Тонкость круга по шарику, конечно же, равна 1 - наименьшее возможное значение.

Для кругового сегмента с центральным углом θ диаметр описанной окружности - это длина хорды, а диаметр вписанной окружности - это высота сегмента, поэтому тонкость двух шариков (и ее приближение когда θ мало ):

$длина\; хорды\; высота\; сегмента\; =\; 2\; R\; sin\; \; \theta \; 2\; R\; (1\; -\; cos\; \; \theta \; 2)\; =\; 2\; sin\; \; \theta \; 2\; (1\; -\; cos\; \; \theta \; 2)\; \approx \; \theta \; \theta \; 2/8\; =\; 8\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; text\; \{длина\; хорды\}\}\; \{\backslash \; text\; \{высота\; сегмента\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2R\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{\; 2\}\}\}\; \{R\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\}\; \{\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{\backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; /\; 8\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{8\}\; \{\backslash \; theta\}\}\}$

Для кругового сектора с центральным углом θ (когда θ мало) диаметр описанной окружности - это радиус окружности, а диаметр вписанной окружности - это длина хорды, поэтому тонкость двух шаров составляет:

$радиус\; окружности\; длина\; хорды\; =\; R\; 2\; R\; sin\; \; \theta \; 2\; =\; 1\; 2\; sin\; \; \theta \; 2\; \approx \; 1\; 2\; \theta \; /\; 2\; =\; 1\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; text\; \{radiu\; s\; круга\}\}\; \{\backslash \; text\; \{длина\; хорды\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\}\; \{2R\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; theta\; /\; 2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; theta\}\}\}$

Для эллипса коэффициенты тонкости в разных местах различаются. Например, рассмотрим эллипс с короткой осью a и длинной осью b. длина хорды находится в диапазоне от $2\; a\; sin\; \; \theta \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2a\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\}$на узкой стороне эллипса до $2\; b\; sin\; \; \theta \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2b\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\}$на его широкой стороне; аналогично, высота сегмента находится в диапазоне $b\; (1\; -\; cos\; \; \theta \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$на узкой стороне и $a\; (1\; -\; cos\; \; \theta \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$на широкой стороне. Таким образом, толщина двух шаров составляет:

$2\; a\; sin\; \; \theta \; 2\; b\; (1\; -\; cos\; \; \theta \; 2)\; \approx \; 8\; ab\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2a\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\; \}\}\}\; \{b\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{8a\}\; \{b\; \backslash \; theta\}\}\}$

и:

$2\; б\; грех\; \; \theta \; 2\; a\; (1\; -\; соз\; \; \theta \; 2)\; \approx \; 8\; ba\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2b\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\}\; \{a\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; cos\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{8b\}\; \{a\; \backslash \; theta\}\}\}$

В общем, когда секущая начинается под углом, коэффициент тонкости может быть приблизительно:

$2\; грех\; \; \theta \; 2\; (1\; -\; соз\; \; \theta \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; left\; (1-\; \backslash \; cos\; \{\; \backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\}\}$$(ba\; cos\; 2\; \; (\Theta \; +\; \theta \; 2)\; +\; ab\; sin\; 2\; \; (\Theta \; +\; \theta \; 2))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{a\}\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; Theta\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\})\; +\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; Theta\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{2\}\})\; \backslash \; right)\}$

Выпуклый многоугольник называется разделенным на r, если угол между ними пара ребер (не обязательно смежных) не меньше r.

Лемма: тонкость охватывающего шара выпуклого многоугольника, разделенного r, не превосходит $O\; (1\; /\; r)\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; (1\; /\; r)\}$.

Выпуклый многоугольник называется k, разделенный r if:

1. Он не имеет параллельных кромок, за исключением, возможно, двух горизонтальных и двух вертикальных.
2. Каждое непараллельное по оси ребро составляет угол в как минимум r с любым другим ребром, а также с осями x и y.
3. Если есть два горизонтальных ребра, то диаметр / высота не больше k.
4. Если есть два вертикальных ребра, тогда диаметр / ширина не превосходит k.

Лемма: тонкость охватывающего шара выпуклого многоугольника, разделенного k, r, не превосходит $O\; (max\; (k,\; 1\; /\; r))\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; (\; \backslash \; max\; (k,\; 1\; /\; r))\}$. улучшить верхнюю границу до $O\; (d)\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; (d)\}$.

Если объект o имеет диаметр 2a, то каждый шар, охватывающий o, должен иметь радиус не менее a и объемом не менее V d a. Следовательно, по определению толщины охватывающего шара объем объекта с R-жиром диаметром 2a должен быть не менее: V d a / R. Следовательно:

Лемма 1 : Пусть R≥1 и C≥0 - две константы. Рассмотрим набор неперекрывающихся d-мерных объектов, которые в глобальном масштабе являются R-толстыми (т.е. с тонкостью охватывающего шара ≤ R). Количество таких объектов диаметром не менее 2a, содержащихся в шаре радиуса C⋅a, не превосходит:

$V\; d\; \cdot \; (C\; a)\; d\; /\; (V\; d\; \cdot \; ad\; /\; R\; d)\; =\; (RC)\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{d\}\; \backslash \; cdot\; (Ca)\; ^\; \{d\}\; /\; (V\_\; \{d\}\; \backslash \; cdot\; a\; ^\; \{d\}\; /\; R\; ^\; \{d\})\; =\; (RC)\; ^\; \{d\}\}$

Для пример (принимая d = 2, R = 1 и C = 3): количество неперекрывающихся дисков с радиусом не менее 1, содержащихся в окружности радиуса 3, не превышает 3 = 9. (На самом деле это максимум 7).

Если мы рассматриваем локальную жирность вместо глобальной, мы можем получить более сильную лемму:

Лемма 2 : Пусть R≥1 и C≥0 - две константы. Рассмотрим набор неперекрывающихся d-мерных объектов, которые все являются локально R-толстыми (то есть с локальной тонкостью охватывающего шара ≤ R). Пусть o будет единственным объектом в этой коллекции с диаметром 2a. Тогда количество объектов в коллекции диаметром больше 2a, находящихся на расстоянии 2C⋅a от объекта o, не превышает:

$(4\; R\; \cdot \; (C\; +\; 1))\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; (4R\; \backslash \; cdot\; (C\; +1))\; ^\; \{d\}\}$

Например (принимая d = 2, R = 1 и C = 0): количество неперекрывающихся дисков с радиусом больше 1, которые касаются данного единичного диска, не превышает 4 = 16 (это не точная оценка, поскольку в этом случае легко доказать верхнюю оценку 5).

Следующие обобщения полноты были изучены для двумерных объектов.

Треугольник ∆ - это (β, δ) -треугольник плоского объекта o (0 <β≤π/3, 0<δ< 1), if ∆ ⊆ o, each of the angles of ∆ is at least β, and the length of each of its edges is at least δ·diameter(o). An object o in the plane is (β, δ) -крытый, если для каждой точки P ∈ o существует (β, δ) -треугольник ∆ точки o, содержащий P.

Для выпуклых объектов два определения эквивалентны в том смысле, что если o является α-толстым, для некоторой константы α, то он также является (β, δ) -покрытым для соответствующих констант β и δ, и наоборот. Однако для невыпуклых объектов определение быть толстым является более общим, чем определение (β, δ) -крытого.

Толстые объекты используются в различных задачах, например:

• Планирование движения - планирование пути для робота, движущегося среди препятствий, становится проще, когда препятствия толстые
• Честная резка торта - разделение торта становится более трудным, когда куски должны быть толстыми. Это требование является обычным, например, когда «торт», который нужно разделить, является земельным участком.
• Дополнительные приложения можно найти в ссылках ниже.