Вписанная и вневписанная окружности треугольника

Окружности, касательные ко всем трем сторонам треугольника Треугольник с вписанной окружностью, Inventor ($I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$), вневписанные круги, эксцентры ($JA\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{A\}\}$, $JB\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{\; B\}\}$, $JC\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{C\}\}$), внутренняя биссектриса угла и биссектриса внешнего угла. зеленый треугольник - это эксцентральный треугольник.

В геометрии, вписанная окружность или вписанная окружность в треугольник является самый большой круг, содержащийся в треугольнике; он касается (является касательной к) трех сторон. Центр вписанной окружности - это центр треугольника, называемый центром.

треугольника. вневписанная окружность или вписанная окружность треугольника - это окружность, лежащая вне треугольник, касающийся одной из его сторон и касающийся продолжения двух других. В каждом треугольнике есть три отдельных вневписанных окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника.

Центр вписанной окружности, называемый центром, может быть найден как пересечение из трех биссектрис внутренних углов. Центр вневписанной окружности - это пересечение внутренней биссектрисы одного угла (например, в вершине $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$) и внешней биссектрисы другого угла. два. Центр этой вневписанной окружности называется выходом относительно вершины $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$или выходом из $A\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; A\}$. Поскольку внутренняя биссектриса угла перпендикулярна его внешней биссектрисе, отсюда следует, что центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют ортоцентрическую систему.

Все правильные многоугольники имеют касательные к вписанной окружности. во все стороны, но не все полигоны; те, которые есть, являются касательными многоугольниками. См. Также Касательные к окружностям.

• 1 Вписанная окружность и инцентр
  • 1.1 Incenter
    • 1.1.1 Трилинейные координаты
    • 1.1.2 Барицентрические координаты
    • 1.1.3 Декартовы координаты
    • 1.1.4 Радиус
    • 1.1.5 Расстояния до вершин
    • 1.1.6 Другие свойства
  • 1.2 Свойства вписанной окружности и его радиуса
    • 1.2.1 Расстояния между вершиной и ближайшими точками касания
    • 1.2. 2 Другие свойства
    • 1.2.3 Отношение к площади треугольника
  • 1.3 Треугольник Жергонна и точка
• 2 Окружности и эксцентрики
  • 2.1 Трилинейные координаты эксцентров
  • 2.2 Exradii
    • 2.2.1 Вывод формулы exradii
    • 2.2.2 Другие свойства
  • 2.3 Другие свойства вневписанной окружности
  • 2.4 Треугольник Нагеля и точка Нагеля
• 3 Связанные конструкции
  • 3.1 Девятиточная окружность и точка Фейербаха
  • 3.2 Внутренняя и эксцентральные треугольники
• 4 Уравнения для четырех окружностей
• 5 Теорема Эйлера
• 6 Обобщение на другие многоугольники
• 7 См. также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки
  • 10.1 Int eractive

Предположим, что $△\; ABC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ABC\}$имеет вписанную окружность с радиусом $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$и по центру $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$. Пусть $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$будет длиной $BC\; \{\backslash \; displaystyle\; BC\}$, $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$длиной $AC\; \{\backslash \; displaystyle\; AC\}$и $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$длина $AB\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\}$. Также пусть $TA\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{A\}\}$, $TB\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{B\}\}$и $TC\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{C\}\}$- точки касания, в которых вписанная окружность касается $BC\; \{\backslash \; displaystyle\; BC\}$, $AC\; \{\backslash \; displaystyle\; AC\}$и $AB\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\}$.

Incenter

Центр центра - это точка, в которой внутренние биссектрисы угла отрезков $\angle \; ABC,\; \angle \; BCA\; и\; \angle \; BAC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; angle\; ABC,\; \backslash \; angle\; BCA,\; \{\backslash \; text\; \{и\}\; \}\; \backslash \; angle\; BAC\}$встретить.

Расстояние от вершины $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$до внутреннего центра $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$составляет:

$d\; (\; A,\; I)\; =\; c\; sin\; \; (B\; 2)\; cos\; \; (C\; 2)\; =\; b\; sin\; \; (C\; 2)\; cos\; \; (B\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (A,\; I)\; =\; c\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{C\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; =\; b\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{C\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\; \}.\}$

Трилинейные координаты

Трилинейные координаты для точки в треугольнике - это отношение всех расстояний к сторонам треугольника. Поскольку центр центра находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника, трилинейные координаты центра центра равны

$1:\; 1:\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; 1:\; 1:\; 1.\}$

Барицентрические координаты

барицентрические координаты для точки в треугольнике дают такие веса, что точка является средневзвешенным значением положений вершин треугольника. Барицентрические координаты центра центрирования задаются следующим образом:

$a:\; b:\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; a:\; b:\; c\}$

, где $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$и $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$- длины сторон треугольника, или, что эквивалентно (с использованием закона синусов ) по

$грех\; \; (A):\; грех\; \; (B):\; грех\; \; (C)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (A):\; \backslash \; sin\; (B):\; \backslash \; sin\; (C)\}$

где $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \}$, $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$и $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$- углы в трех вершинах.

Декартовы координаты

Декартовы координаты центра центра представляют собой средневзвешенное значение координат трех вершин с использованием длин сторон треугольника относительно периметра (что является, используя приведенные выше барицентрические координаты, нормированные до суммы на единицу) в качестве весов. Веса положительны, так что центр находится внутри треугольника, как указано выше. Если три вершины расположены в $(xa,\; ya)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{a\},\; y\_\; \{a\})\}$, $(xb,\; yb)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{b\},\; y\_\; \{b)\; \})\}$и $(xc,\; yc)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{c\},\; y\_\; \{c\})\}$, и стороны, противоположные этим вершинам, имеют соответствующие длины $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$и $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$, тогда центр курка находится на

$(axa\; +\; bxb\; +\; cxca\; +\; b\; +\; c,\; aya\; +\; byb\; +\; cyca\; +\; b\; +\; c)\; =\; a\; (xa,\; ya)\; +\; b\; (xb,\; yb)\; +\; c\; (xc,\; yc)\; a\; +\; b\; +\; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{ax\_\; \{a\}\; +\; bx\_\; \{b\}\; +\; cx\_\; \{c\}\}\; \{a\; +\; b\; +\; c\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{ay\_\; \{a\}\; +\; by\_\; \{b\}\; +\; cy\_\; \{\; c\}\}\; \{a\; +\; b\; +\; c\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; \backslash \; left\; (x\_\; \{a\},\; y\_\; \{a\}\; \backslash \; right)\; +\; b\; \backslash \; left\; (x\_\; \{b\},\; y\_\; \{b\}\; \backslash \; right)\; +\; c\; \backslash \; left\; (x\_\; \{c\},\; y\_\; \{c\}\; \backslash \; right)\}\; \{a\; +\; b\; +\; c\}\}.\}$

Радиус

Внутренний радиус $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \}$вписанной окружности в треугольник со сторонами длиной $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$, $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$дается выражением

$r\; =\; (s\; -\; a)\; (s\; -\; b)\; (s\; -\; c)\; s,\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{(sa)\; (sb)\; (sc)\}\; \{s\}\; \}\},\}$где $s\; =\; (a\; +\; b\; +\; c)\; /\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; (a\; +\; b\; +\; c)\; /\; 2.\}$

См. Heron's формула.

Расстояния до вершин

Обозначение центра $△\; ABC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ABC\}$как $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$, расстояния от центра до вершин в сочетании с длинами сторон треугольника подчиняются уравнению

$IA\; \cdot \; IACA\; \cdot \; AB\; +\; IB\; \cdot \; IBAB\; \cdot \; BC\; +\; IC\; \cdot \; ICBC\; \cdot \; CA\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{IA\; \backslash \; cdot\; IA\}\; \{\; CA\; \backslash \; cdot\; AB\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{IB\; \backslash \; cdot\; IB\}\; \{AB\; \backslash \; cdot\; BC\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{IC\; \backslash \; cdot\; IC\}\; \{BC\; \backslash \; cdot\; CA\}\}\; =\; 1.\}$

Кроме того,

$IA\; \cdot \; IB\; \cdot \; IC\; =\; 4\; R\; r\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; IA\; \backslash \; cdot\; IB\; \backslash \; cdot\; IC\; =\; 4Rr\; ^\; \{2\},\}$

где $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$и $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- это радиус описанной окружности и радиус треугольника соответственно.

Другие свойства

Совокупность центров треугольников может иметь структуру группы при покоординатном умножении трилинейных координат; в этой группе центр центра образует элемент идентичности .

Incircle и его свойства радиуса

Расстояния между вершиной и ближайшими точками касания

Расстояния от вершины до двух ближайших точек касания равны равный; например:

$d\; (A,\; T\; B)\; =\; d\; (A,\; T\; C)\; =\; 1\; 2\; (b\; +\; c\; -\; a).\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; left\; (A,\; T\_\; \{B\}\; \backslash \; right)\; =\; d\; \backslash \; left\; (A,\; T\_\; \{C\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (b\; +\; ca).\}$

Другие свойства

Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на длины $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$, $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$и $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$и $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$и $x\; \{\backslash \; Displaystyle\; x\}$. Тогда вписанная окружность имеет радиус

$r\; =\; xyzx\; +\; y\; +\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{xyz\}\; \{x\; +\; y\; +\; z\}\}\}\}$

, а площадь треугольника равна

$\Delta \; =\; xyz\; (x\; +\; y\; +\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{xyz\; (x\; +\; y\; +\; z)\}\}.\}$

Если высота от сторон длины $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$и $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$равны $ha\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{a\}\}$, $hb\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{b\}\}$и $hc\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{c\}\}$, тогда inradius $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$равен одна треть от среднего гармонического этих высот; то есть

$r\; =\; 1\; 1\; h\; a\; +\; 1\; h\; b\; +\; 1\; h\; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{a\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{b\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\_\; \{c)\; \}\}\}\}\}.\}$

Произведение радиуса вписанной окружности $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$и описанной окружности радиуса $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$треугольника со сторонами $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$и $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$is

$r\; R\; =\; abc\; 2\; (a\; +\; b\; +\; c).\; \{\backslash \; displaystyle\; rR\; =\; \{\backslash \; frac\; \{abc\}\; \{2\; (a\; +\; b\; +\; c)\}\}.\}$

Некоторые соотношения между сторонами, радиусом вписанной и описанной окружности:

$ab\; +\; bc\; +\; ca\; =\; s\; 2\; +\; (4\; R\; +\; r)\; r,\; a\; 2\; +\; b\; 2\; +\; c\; 2\; =\; 2\; s\; 2\; -\; 2\; (4\; R\; +\; r)\; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; ab\; +\; bc\; +\; ca\; =\; s\; ^\; \{2\}\; +\; (4R\; +\; r)\; r,\; \backslash \backslash \; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\}\; =\; 2s\; ^\; \{2\}\; -2\; (4R\; +\; r)\; r.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Любая линия, проходящая через треугольник, которая разделяет площадь треугольника и его периметр пополам, проходит через центр треугольника (центр вписанной окружности). Для любого данного треугольника их может быть один, два или три.

Обозначение центра вписанной окружности $△\; ABC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ABC\}$как $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$, у нас есть

$IA\; \cdot \; IACA\; \cdot \; AB\; +\; IB\; \cdot \; IBAB\; \cdot \; BC\; +\; IC\; \cdot \; ICBC\; \cdot \; CA\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{IA\; \backslash \; cdot\; IA\}\; \{CA\; \backslash \; cdot\; AB\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{IB\; \backslash \; cdot\; IB\}\; \{AB\; \backslash \; cdot\; BC\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{IC\; \backslash \; cdot\; IC\}\; \{BC\; \backslash \; cdot\; CA\}\}\; =\; 1\}$

и

$IA\; \cdot \; IB\; \cdot \; IC\; =\; 4\; R\; r\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; IA\; \backslash \; cdot\; IB\; \backslash \; cdot\; IC\; =\; 4Rr\; ^\; \{2\}.\}$

Радиус вписанной окружности не превышает одной девятой суммы высот.

Квадрат расстояния от центра $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$до центра описанной окружности $O\; \{\backslash \; displaystyle\; O\}$определяется как

$OI\; 2\; =\; R\; (R\; -\; 2\; r)\; \{\backslash \; displaystyle\; OI\; ^\; \{2\}\; =\; R\; (R-2r)\}$,

и расстояние от центра до центра $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$окружности из девяти точек is

Центр находится в среднем треугольнике (вершины которого являются серединами сторон).

Отношение к площади треугольник

Радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника. Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно $\pi \; 3\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{3\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\}\}$, равенство сохраняется только для равносторонних треугольников.

Предположим, что $△\; ABC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ABC\}$имеет вписанную окружность с радиусом $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \}$и по центру $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$. Пусть $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$будет длиной $BC\; \{\backslash \; displaystyle\; BC\}$, $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$длиной $AC\; \{\backslash \; displaystyle\; AC\}$и $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$длина $AB\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\}$. Теперь вписанная окружность касается $AB\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\}$в некоторой точке $C\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \text{'}\}$, и поэтому $\angle \; ATCI\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; angle\; AT\_\; \{C\}\; I\}$правильно. Таким образом, радиус $TCI\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{C\}\; I\}$- это высота из $△\; IAB\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; IAB\}$. Следовательно, $△\; IAB\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; IAB\}$имеет базовую длину $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$и высоту $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, а также область $1\; 2\; cr\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; cr\}$. Аналогично, $△\; IAC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; IAC\}$имеет область $1\; 2\; br\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; br\}$и $△\; IBC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; IBC\}$имеет площадь $1\; 2\; ar\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; ar\}$. Поскольку эти три треугольника разлагаются на $△\; ABC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ABC\}$, мы видим, что область $\Delta \; △\; ABC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \{\backslash \; text\; \{of\}\}\; \backslash \; треугольник\; ABC\}$:

$\Delta \; =\; 1\; 2\; (a\; +\; b\; +\; c)\; r\; =\; sr,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (a\; +\; b\; +\; c)\; r\; =\; sr,\}$и $r\; =\; \Delta \; s,\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\}\; \{s\}\},\}$

где $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$- это площадь $△\; ABC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ABC\}$и $s\; =\; 1\; 2\; (a\; +\; b\; +\; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (a\; +\; b\; +\; c)\}$- его полупериметр.

В качестве альтернативной формулы рассмотрим $△\; ITCA\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; IT\_\; \{C\}\; A\}$. Это прямоугольный треугольник, одна сторона которого равна $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, а другая сторона равна $r\; cot\; \; (A\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; cot\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$. То же самое верно для $△\; I\; B\; \prime \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; IB\text{'}A\}$. Большой треугольник состоит из шести таких треугольников, и его общая площадь составляет:

$\Delta \; =\; r\; 2\; (детская\; кроватка\; \; (A\; 2)\; +\; детская\; кроватка\; \; (B\; 2)\; +\; детская\; кроватка\; \; (C\; 2)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; cot\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; cot\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right))\; +\; \backslash \; cot\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{C\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right).\}$

Треугольник Жергонна и точка

Треугольник, $△\; ABC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ABC\}$, с вписанной окружностью, внутренним центром ($I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$), контактным треугольником ($△\; TATBTC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; T\_\; \{A\}\; T\_\; \{B\}\; T\_\; \{C\}\}$) и точка Жергонна ($G\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{e\}\}$)

Треугольник Жергонна (из $△\; ABC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ABC\}$) определяется тремя точками касания вписанной окружности с трех сторон. Точка касания напротив $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$обозначается $TA\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{A\}\}$и т. Д.

Этот треугольник Гергонна, $△\; TATBTC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; T\_\; \{A\}\; T\_\; \{B\}\; T\_\; \{C\}\}$, также известен как контактный треугольник или контактный треугольник из $△\; ABC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ABC\}$. Это площадь s равна

$KT\; =\; K\; 2\; r\; 2\; sabc\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{T\}\; =\; K\; \{\backslash \; frac\; \{2r\; ^\; \{2\}\; s\}\; \{abc\}\}\}$

где $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \}$, $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$и $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$- площадь, радиус вписанной окружности и полупериметр. исходного треугольника, а $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$и $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$- сторона длины исходного треугольника. Это та же область, что и у треугольника extouch.

Три линии $ATA\; \{\backslash \; displaystyle\; AT\_\; \{A\}\}$, $BTB\; \{\backslash \; displaystyle\; BT\_\; \{B\}\}$и $CTC\; \{\backslash \; displaystyle\; CT\_\; \{C\}\}$пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергонна, обозначенной как $G\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{e\}\}$(или центр треугольника X7). Точка Жергонна лежит в открытом ортоцентроидном диске, проколотом в его собственном центре, и может быть любой точкой в ​​нем.

Точка Жергонна треугольника имеет ряд свойств, в том числе то, что она симедианная точка треугольника Жергонна.

Трилинейные координаты для вершин треугольника касания задаются как

• $вершина\; TA\; =\; 0:\; sec\; 2\; \; (B\; 2):\; sec\; 2\; \; (C\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{vertex\}\}\; \backslash ,\; T\_\; \{A\}\; =\; 0:\; \backslash \; sec\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right):\; \backslash \; sec\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{C\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$
• $вершина\; TB\; =\; sec\; 2\; \; (A\; 2):\; 0:\; sec\; 2\; \; (C\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{\; вершина\}\}\; \backslash ,\; T\_\; \{B\}\; =\; \backslash \; sec\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right):\; 0:\; \backslash \; sec\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{C\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$
• $вершина\; TC\; =\; sec\; 2\; \; (A\; 2):\; sec\; 2\; \; (B\; 2):\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{vertex\}\}\; \backslash ,\; T\_\; \{C\}\; =\; \backslash \; sec\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right):\; \backslash \; sec\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right):\; 0.\}$

Трилинейные координаты точки Жергонна равны

$sec\; 2\; sec\; (A\; 2):\; sec\; 2\; \; (B\; 2):\; sec\; 2\; \; (C\; 2),\; \{\backslash \; display\; tyle\; \backslash \; sec\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right):\; \backslash \; sec\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right):\; \backslash \; sec\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{C\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right),\}$

или, что то же самое, по Закону синусов,

$bcb\; +\; c\; -\; a:\; cac\; +\; a\; -\; b\; :\; aba\; +\; b\; -\; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{bc\}\; \{b\; +\; ca\}\}:\; \{\backslash \; frac\; \{ca\}\; \{c\; +\; ab\}\}:\; \{\backslash \; frac\; \{ab\}\; \{a\; +\; bc\}\}.\}$

A треугольник с вписанной окружностью, центром $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$), вневписанной окружностью, эксцентриситетом ($JA\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{A\; \}\}$, $JB\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{B\}\}$, $JC\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{C\}\}$), внутренний биссектрисы угла и биссектрисы внешнего угла. зеленый треугольник - это эксцентральный треугольник.

вневписанная окружность или вписанная окружность треугольника - это окружность, лежащая вне треугольника, касательная к одной из его сторон и касательная к расширениям двух других. В каждом треугольнике есть три отдельных вневписанных окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника.

Центр вневписанной окружности - это пересечение внутренней биссектрисы одного угла (в вершине $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, например) и внешние биссектрисы двух других. Центр этой вневписанной окружности называется выходом относительно вершины $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$или выходом из $A\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; A\}$. Поскольку внутренняя биссектриса угла перпендикулярна его внешней биссектрисе, из этого следует, что центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанной окружности образуют ортоцентрическую систему.

Трилинейные координаты эксцентров

В то время как Inter из $△\; ABC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ABC\}$имеет трилинейные координаты $1:\; 1:\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1:\; 1:\; 1\}$, эксцентры имеют трилинейные линии $-\; 1:\; 1:\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; -1:\; 1:\; 1\}$, $1:\; -\; 1:\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1:\; -1:\; 1\; \}$и $1:\; 1:\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1:\; 1:\; -1\}$.

Exradii

Радиусы вневписанных окружностей называются exradii. .

Экзрадиус вневписанной окружности напротив $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$(касаясь $BC\; \{\backslash \; displaystyle\; BC\}$с центром в $JA\; \{\; \backslash \; displaystyle\; J\_\; \{A\}\}$) равно

$ra\; =\; rss\; -\; a\; =\; s\; (s\; -\; b)\; (s\; -\; c)\; s\; -\; a,\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{rs\}\; \{sa\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{s\; (sb)\; (sc)\}\; \{sa\}\}\},\}$где $s\; =\; 1\; 2\; (a\; +\; b\; +\; c).\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (a\; +\; b\; +\; c).\}$

См. Формула Херона.

Вывод формулы exradii

Нажмите "Показать", чтобы просмотреть содержание этого раздела

Пусть вневписанная окружность на стороне $AB\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\}$касается стороны $AC\; \{\backslash \; displaystyle\; AC\}$расширенной на $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, и пусть радиус этой вневписанной окружности будет $rc\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{c\}\}$, а его центр будет $J\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{\; c\}\}$.

Тогда $J\; c\; G\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{c\}\; G\}$- это высота $△\; ACJ\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ACJ\_\; \{c\}\}$, поэтому $△\; ACJ\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ACJ\_\; \{c\}\}$имеет площадь $1\; 2\; brc\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; br\_\; \{c\}\}$. По аналогичному аргументу $△\; BCJ\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; BCJ\_\; \{c\}\}$имеет площадь $1\; 2\; arc\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; ar\_\; \{\; c\}\}$и $△\; ABJ\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ABJ\_\; \{c\}\}$имеет площадь $1\; 2\; crc\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{\; 2\}\}\; cr\_\; \{c\}\}$. Таким образом, площадь $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$треугольника $△\; ABC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ABC\}$равна

$\Delta \; =\; 1\; 2\; (a\; +\; б\; -\; с)\; rc\; =\; (s\; -\; c)\; rc\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (a\; +\; bc)\; r\_\; \{c\}\; =\; (sc)\; r\_\; \{c\}\}$.

Итак по симметрии, обозначая $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$как радиус вписанной окружности,

$\Delta \; =\; sr\; =\; (s\; -\; a)\; ra\; =\; (s\; -\; b)\; rb\; =\; (s\; -\; c)\; rc\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; sr\; =\; (sa)\; r\_\; \{a\}\; =\; (sb)\; r\_\; \{b\}\; =\; (sc)\; r\_\; \{c\}\}$.

По закону косинусов, у нас есть

$соз\; \; (A)\; =\; b\; 2\; +\; c\; 2\; -\; a\; 2\; 2\; bc\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; (A)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{b\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\}\; -a\; ^\; \{\; 2\}\}\; \{2bc\}\}\}$

Объединяя это с тождеством $sin\; 2\; \; A\; +\; cos\; 2\; \; A\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; A\; +\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; A\; =\; 1\}$, имеем

$грех\; \; (A)\; =\; -\; a\; 4\; -\; b\; 4\; -\; c\; 4\; +\; 2\; a\; 2\; b\; 2\; +\; 2\; b\; 2\; c\; 2\; +\; 2\; a\; 2\; c\; 2\; 2\; bc\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (A)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{-a\; ^\; \{4\}\; -b\; ^\; \{4\}\; -c\; ^\; \{4\}\; +\; 2a\; ^\; \{2\}\; b\; ^\; \{2\}\; +\; 2b\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; +\; 2a\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\}\}\; \{2bc\}\}\}$

Но $\Delta \; =\; 1\; 2\; bc\; sin\; \; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; bc\; \backslash \; sin\; (A)\}$, и поэтому

$\Delta \; =\; 1\; 4\; -\; a\; 4\; -\; b\; 4\; -\; c\; 4\; +\; 2\; a\; 2\; b\; 2\; +\; 2\; b\; 2\; c\; 2\; +\; 2\; a\; 2\; c\; 2\; =\; 1\; 4\; (a\; +\; b\; +\; c)\; (-\; a\; +\; b\; +\; c)\; (a\; -\; b\; +\; c)\; (a\; +\; b\; -\; c)\; =\; s\; (s\; -\; a)\; (s\; -\; b)\; (s\; -\; c),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; Delta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-a\; ^\; \{4\}\; -b\; ^\; \{4\}\; -c\; ^\; \{4\}\; +\; 2a\; ^\; \{2\}\; b\; ^\; \{2\}\; +\; 2b\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\; +\; 2a\; ^\; \{2\}\; c\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{(a\; +\; b\; +\; c)\; (-\; a\; +\; b\; +\; c)\; (a-b\; +\; c)\; (a\; +\; bc)\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{s\; (sa)\; (sb)\; (sc)\}\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, что составляет Формула Герона.

Объединив это с $sr\; =\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; sr\; =\; \backslash \; Delta\}$, мы получим

$r\; 2\; =\; \Delta \; 2\; s\; 2\; =\; (s\; -\; a)\; (s\; -\; б)\; (з\; -\; в)\; с.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; ^\; \{2\}\}\; \{s\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(sa)\; (sb)\; (sc)\}\; \{s\}\}.\}$

Аналогично, $(s\; -\; a)\; ra\; =\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; (sa)\; r\_\; \{a\}\; =\; \backslash \; Delta\}$дает

$ra\; 2\; =\; s\; (s\; -\; b)\; (s\; -\; c)\; s\; -\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{a\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{s\; (sb)\; (sc)\}\; \{sa\}\}\}$

и

$ra\; =\; s\; (s\; -\; b)\; (с\; -\; с)\; с\; -\; а.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{s\; (sb)\; (sc)\}\; \{sa\}\}\}.\}$

Другие свойства

Из приведенных выше формул видно, что вневписанная окружность всегда больше, чем вписанная, и что самая большая вневписанная окружность касается самой длинной стороны, а самая маленькая вневписанная окружность касается самой короткой стороны. Кроме того, объединение этих формул дает:

$\Delta \; =\; r\; r\; a\; r\; b\; r\; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{rr\_\; \{a\}\; r\_\; \{b\}\; r\_\; \{c\}\}\}.\}$

Другие свойства вневписанной окружности

Круглая оболочка вневписанной окружности внутренне касается каждой из вневписанных окружностей и, таким образом, является окружностью Аполлония. Радиус этого круга Аполлония равен $r\; 2\; +\; s\; 2\; 4\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{r\; ^\; \{2\}\; +\; s\; ^\; \{2\}\}\; \{4r\}\}\}$где $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- радиус вписанной окружности, а $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$- полупериметр треугольника.

Имеют место следующие соотношения среди радиуса $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, радиуса описанной окружности $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, полупериметра $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$и радиусы вневписанной окружности $ra\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{a\}\}$, $rb\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{b\}\}$, $rc\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{c\}\}$:

$ra\; +\; rb\; +\; rc\; =\; 4\; R\; +\; r,\; rarb\; +\; rbrc\; +\; rcra\; =\; s\; 2,\; ra\; 2\; +\; rb\; 2\; +\; rc\; 2\; =\; (4\; R\; +\; r)\; 2\; -\; 2\; s\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; r\_\; \{a\}\; +\; r\_\; \{b\}\; +\; r\_\; \{c\}\; =\; 4R\; +\; r,\; \backslash \backslash \; r\_\; \{a\}\; r\_\; \{b\}\; +\; r\_\; \{b\}\; r\_\; \{c\}\; +\; r\_\; \{c\}\; r\_\; \{a\}\; =\; s\; ^\; \{2\},\; \backslash \backslash \; r\_\; \{a\}\; ^\; \{2\}\; +\; r\_\; \{b\}\; ^\; \{2\}\; +\; r\_\; \{c\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (4R\; +\; r\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -2s\; ^\; \{2\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Круг, проходящий через центры трех вневписанных окружностей, имеет радиус $2\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; 2R\}$.

Если $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$- это ортоцентр из $△\; ABC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ABC\}$, затем

$ra\; +\; rb\; +\; rc\; +\; r\; =\; AH\; +\; BH\; +\; CH\; +\; 2\; R,\; ra\; 2\; +\; rb\; 2\; +\; rc\; 2\; +\; r\; 2\; =\; AH\; 2\; +\; BH\; 2\; +\; CH\; 2\; +\; (2\; R)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; r\_\; \{a\}\; +\; r\_\; \{b\}\; +\; r\_\; \{c\}\; +\; r\; =\; AH\; +\; BH\; +\; CH\; +\; 2R,\; \backslash \backslash \; r\_\; \{a\}\; ^\; \{2\}\; +\; r\_\; \{b\}\; ^\; \{2\}\; +\; r\_\; \{c\}\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; =\; AH\; ^\; \{2\}\; +\; BH\; ^\; \{2\}\; +\; CH\; ^\; \{2\}\; +\; (2R)\; ^\; \{2\}.\; \backslash \; End\; \{выровнено\; \}\}\}$

Треугольник Нагеля и точка Нагеля

Треугольник касания ($△\; TATBTC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; T\_\; \{A\}\; T\_\; \{B\}\; T\_\; \{C\}\}$) и точка Нагеля ($N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$) треугольника ($△\; ABC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ABC\}$). Оранжевые кружки - это вневписанные окружности треугольника.

Треугольник Нагеля или треугольник с касанием из $△\; ABC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ABC\}$обозначается вершинами $TA\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{A\}\}$, $TB\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{B\}\}$и $TC\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{C\}\}$- это три точки, в которых вневписанные круги касаются ссылки $△\; ABC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ABC\}$и где $TA\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{A\}\}$противоположен $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и т. Д. Это $△\; TATBTC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; T\_\; \{A\}\; T\_\; \{B\}\; T\_\; \{C\}\}$также известен как треугольник касания из $△\; ABC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ABC\}$. описанная окружность extouch $△\; TATBTC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; T\_\; \{A\}\; T\_\; \{B\}\; T\_\; \{C\}\}$называется кругом Мандарта .

Три строки $ATA\; \{\backslash \; displaystyle\; AT\_\; \{A\}\}$, $BTB\; \{\backslash \; displaystyle\; BT\_\; \{B\}\}$и $CTC\; \{\backslash \; displaystyle\; CT\_\; \{C\}\}$называются разделителями треугольника; каждая из них делит пополам периметр треугольника,

$A\; B\; +\; B\; T\; A\; =\; A\; C\; +\; C\; T\; A\; =\; 1\; 2\; (A\; B\; +\; B\; C\; +\; A\; C).\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\; +\; BT\_\; \{A\}\; =\; AC\; +\; CT\_\; \{A\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (AB\; +\; BC\; +\; AC\; \backslash \; right).\}$

Разделители пересекаются в одной точке, точка Нагеля треугольника $N\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{a\}\}$(или центр треугольника X8).

Трилинейные координаты вершин треугольника extouch задаются как

• $vertex\; TA\; =\; 0:\; csc\; 2\; \; (B\; 2):\; csc\; 2\; \; (C\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{vertex\}\; \}\; \backslash ,\; T\_\; \{A\}\; =\; 0:\; \backslash \; csc\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right):\; \backslash \; csc\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{C\}\; \{2\; \}\}\; \backslash \; right)\}$
• $вершина\; TB\; =\; csc\; 2\; \; (A\; 2):\; 0:\; csc\; 2\; \; (C\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{vertex\}\}\; \backslash ,\; T\_\; \{B\}\; =\; \backslash \; csc\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right):\; 0:\; \backslash \; csc\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{C\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$
• $вершина\; TC\; =\; csc\; 2\; \; (A\; 2):\; csc\; 2\; \; (B\; 2):\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{vertex\}\}\; \backslash ,\; T\_\; \{C\}\; =\; \backslash \; csc\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right):\; \backslash \; csc\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right):\; 0.\}$

Трилинейные координаты точки Нагеля даются как

$csc\; 2\; \; (A\; 2):\; csc\; 2\; \; (B\; 2):\; csc\; 2\; \; (C\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; csc\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right):\; \backslash \; csc\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right):\; \backslash \; csc\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{C\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right),\}$

или, что эквивалентно Закону синусов,

$b\; +\; c\; -\; aa:\; c\; +\; a\; -\; bb:\; a\; +\; b\; -\; cc.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{b\; +\; ca\}\; \{a\}\}:\; \{\backslash \; frac\; \{c\; +\; ab\}\; \{b\}\}:\; \{\backslash \; frac\; \{a\; +\; bc\}\; \{c\}\}.\}$

Точка Нагеля - это изотомно сопряженное точки Жергонна.

Девятиточечная окружность и точка Фейербаха

Девятиточная окружность касается вписанной и вневписанных окружностей

В геометрии, окружность из девяти точек - это окружность, которую можно построить для любого заданного треугольника. Он назван так потому, что проходит через девять значимых совпадающих точек, определенных из треугольника. Эти девять точек :

• средняя точка каждой стороны треугольника
• фут каждой высоты
• Середина отрезка линии от каждой вершины треугольника до ортоцентра (где встречаются три высоты; эти сегменты лежат на своих соответствующих высотах).

В 1822 году Карл Фейербах обнаружил, что окружность любого треугольника из девяти точек внешне касается трех вневписанных окружностей этого треугольника и внутренне касается его вписанной окружности ; этот результат известен как теорема Фейербаха. Он доказал, что:

... окружность, проходящая через основание высот треугольника, касается всех четырех окружностей, которые, в свою очередь, касаются трех сторон треугольника... (Фейербах 1822 г.)) harv error: no target: CITEREFFeuerbach1822 (help )

Центр треугольника , в котором вписанная окружность и касание окружности с девятью точками, называется точкой Фейербаха.

Внутренний и эксцентральный треугольники

Точки пересечения биссектрис внутреннего угла $△\; ABC\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; треугольник\; ABC\}$с отрезками $BC\; \{\backslash \; displaystyle\; BC\}$, $CA\; \{\backslash \; displaystyle\; CA\}$и $AB\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\}$- это вершины центрального треугольника . Трилинейные координаты вершины внутреннего треугольника задаются выражением

• $(вершина\; напротив\; A)\; =\; 0:\; 1:\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; left\; (\{\backslash \; text\; \{vertex\; напротив\}\}\; \backslash ,\; A\; \backslash \; right)\; =\; 0:\; 1:\; 1\}$
• $(вершина\; напротив\; B)\; =\; 1:\; 0:\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; left\; (\{\backslash \; text\; \{вершина\; op\; posite\}\}\; \backslash ,\; B\; \backslash \; right)\; =\; 1:\; 0:\; 1\}$
• $(вершина\; напротив\; C)\; =\; 1:\; 1:\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; left\; (\{\backslash \; text\; \{vertex\; напротив\}\}\; \backslash ,\; C\; \backslash \; right)\; =\; 1:\; 1:\; 0.\}$

Эксцентральный треугольник контрольного треугольника имеет вершины в центрах вневписанных окружностей контрольного треугольника. Его стороны находятся на биссектрисах внешнего угла контрольного треугольника (см. Рисунок в вверху страницы). Трилинейные координаты вершин эксцентрального треугольника задаются следующим образом:

• $(вершина\; напротив\; A)\; =\; -\; 1:\; 1:\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; text\; \{vertex\; напротив\}\}\; \backslash ,\; A)\; =\; -\; 1:\; 1:\; 1\; \}$
• $(вершина\; напротив\; B)\; =\; 1:\; -\; 1:\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; text\; \{вершина\; напротив\}\}\; \backslash ,\; B)\; =\; 1:\; -1:\; 1\}$
• $(вершина\; напротив\; C)\; =\; 1\; :\; 1:\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; text\; \{vertex\; напротив\}\}\; \backslash ,\; C)\; =\; 1:\; 1:\; -1.\}$

Пусть $x:\; y:\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; x:\; y:\; z\}$быть переменной точкой в ​​трилинейных координатах, и пусть $u\; =\; cos\; 2\; \; (A\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; и\; =\; \backslash \; соз\; ^\; \{2\}\; \backslash \; влево\; (А\; /\; 2\; \backslash \; вправо)\}$, $v\; =\; соз\; 2\; \; (В\; /\; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; v\; =\; \backslash \; соз\; ^\; \{2\}\; \backslash \; влево\; (В\; /\; 2\; \backslash \; вправо)\}$, $вес\; =\; соз\; 2\; \; (C\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; =\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (C\; /\; 2\; \backslash \; right)\}$. Четыре описанных выше окружности эквивалентно задаются любым из двух приведенных уравнений:

• Вписанная окружность:

  $u\; 2\; x\; 2\; +\; v\; 2\; y\; 2\; +\; w\; 2\; z\; 2\; -\; 2\; vwyz\; -\; 2\; wuzx\; -\; 2\; uvxy\; =\; 0\; \pm \; x\; соз\; \; (A\; 2)\; \pm \; y\; соз\; \; (B\; 2)\; \pm \; z\; соз\; \; (C\; 2)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; u\; ^\; \{2\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; v\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{2\}\; +\; w\; ^\; \{2\}\; z\; ^\; \{2\}\; -2vwyz-2wuzx-2uvxy\; =\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{y\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{z\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{C\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

• $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$-excircle:

  $u\; 2\; x\; 2\; +\; v\; 2\; y\; 2\; +\; w\; 2\; z\; 2\; -\; 2\; vwyz\; +\; 2\; wuzx\; +\; 2\; uvxy\; =\; 0\; \pm \; -\; x\; соз\; \; (A\; 2)\; \pm \; y\; соз\; \; (B\; 2)\; \pm \; z\; соз\; \; (C\; 2)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; u\; ^\; \{2\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; v\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{2\}\; +\; w\; ^\; \{2\}\; z\; ^\; \{2\}\; -2vwyz\; +\; 2wuzx\; +\; 2uvxy\; =\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{-x\}\; \}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{y\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{z\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{C\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

• $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$-excircle :

  $и\; 2\; x\; 2\; +\; v\; 2\; y\; 2\; +\; w\; 2\; z\; 2\; +\; 2\; vwy\; z\; -\; 2\; wuzx\; +\; 2\; uvxy\; =\; 0\; \pm \; x\; соз\; \; (A\; 2)\; \pm \; -\; y\; соз\; \; (B\; 2)\; \pm \; z\; cos\; \; (C\; 2)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; u\; ^\; \{2\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; v\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{2\}\; +\; w\; ^\; \{2\}\; z\; ^\; \{2\}\; +\; 2vwyz-2wuzx\; +\; 2uvxy\; =\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{-y\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{z\}\; \}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{C\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

• $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$-excircle:

  $u\; 2\; x\; 2\; +\; v\; 2\; y\; 2\; +\; w\; 2\; z\; 2\; +\; 2\; vwyz\; +\; 2\; wuzx\; -\; 2\; uvxy\; =\; 0\; \pm \; x\; cos\; \; (A\; 2)\; \pm \; y\; cos\; \; (B\; 2)\; \pm \; -\; z\; cos\; \; (C\; 2)\; Знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; u\; ^\; \{2\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; v\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{2\}\; +\; w\; ^\; \{2\}\; z\; ^\; \{2\}\; +\; 2vwyz\; +\; 2wuzx-2uvxy\; =\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{y\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{-z\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{C\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике:

$(R\; -\; r)\; 2\; =\; d\; 2\; +\; r\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; (Rr)\; ^\; \{2\}\; =\; d\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{\; 2\},\}$

где $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$и $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$- это c ircumradius и inradius соответственно, а $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$- это расстояние между центром описанной окружности и центром.

Для вневписанных кругов уравнение аналогично:

$(R\; +\; r\; ex)\; 2\; =\; d\; ex\; 2\; +\; r\; ex\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (R\; +\; r\; \_\; \{\backslash \; text\; \{ex\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; d\; \_\; \{\backslash \; text\; \{ex\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; r\; \_\; \{\backslash \; text\; \{ex\}\}\; ^\; \{2\},\}$

где $r\; ex\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; text\; \{\; ex\}\}\}$- это радиус одной из вневписанных окружностей, а $d\; ex\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \_\; \{\backslash \; text\; \{ex\}\}\}$- это расстояние между центром описанной окружности и центр этой вневписанной окружности.

Некоторые (но не все) четырехугольники имеют вписанную окружность. Они называются касательными четырехугольниками. Среди множества их свойств, пожалуй, наиболее важным является то, что две пары противоположных сторон имеют равные суммы. Это называется теоремой Пито.

В более общем смысле, многоугольник с любым количеством сторон, имеющий вписанную окружность (то есть ту, которая касается каждой стороны), называется касательным многоугольником.

• Окружность
• Описанная окружность
• Экстангенциальный четырехугольник
• Теорема Харкорта - Площадь треугольника от его сторон и расстояния от вершин до любой прямой, касательной к его вписанной окружности
• Окружность и инконическая - Коническое сечение, проходящее через вершины треугольника или касающееся его сторон
• Вписанная сфера
• Степень точки
• эллипс Штейнера
• Тангенциальный четырехугольник
• Теорема триллия - Заявление о свойствах вписанных и описанных кругов

• Альтшиллер-Корт, Натан (1925), Геометрия колледжа: Введение в современную геометрию треугольника и круга ( 2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes Noble, LCCN 52013504
• Кей, Дэвид К. (1969), College Geometry, New Y ork: Холт, Райнхарт и Уинстон, LCCN 69012075
• Кимберлинг, Кларк (1998). «Центры треугольников и центральные треугольники». Congressus Numerantium (129): i – xxv, 1–295.
• Kiss, Sándor (2006). "Ортопедические и интуитивно понятные треугольники". Forum Geometricorum (6): 171–177.

• Вывод формулы для радиуса вписанной окружности треугольника
• Вайсштейн, Эрик У. «Вписанная окружность». MathWorld.

Интерактивный

• Треугольник, вписанный в круг Треугольник, вписанный в круг Окружность правильного многоугольника С интерактивной анимацией
• Построение центра / вписанной окружности треугольника с помощью компаса и линейка Интерактивная анимированная демонстрация
• Теорема о равных окружностях в разрезать узел
• Теорема о пяти вписанных окружностях в разрезать узел
• Пары вписанных окружностей в четырехугольнике в узелок
• Интерактивный Java-апплет для Incenter