Дополнительная специальная группа

В теории групп, ветви абстрактной алгебры, экстраспециальные группы являются аналогами группы Гейзенберга над конечные поля, размер которых является простым. Для каждого простого p и натурального n существует ровно две (с точностью до изоморфизма) экстраспециальные группы порядка p. В централизаторах инволюций часто встречаются внеспециальные группы. Обычная теория персонажей экстраспециальных групп хорошо изучена.

• 1 Определение
• 2 Классификация
  • 2,1 p нечетное
  • 2,2 p = 2
  • 2,3 Все p
• 3 Теория персонажей
• 4 Примеры
• 5 Обобщения
• 6 Ссылки

Напомним, что конечная группа называется p-группой, если ее порядок является степенью простого p.

p-группа G называется экстраспециальной, если ее центр Z циклический порядка p, а фактор G / Z - нетривиальный элементарная абелева p-группа.

Экстраспециальные группы порядка p часто обозначаются символом p. Например, 2 обозначает экстраспециальную группу порядка 2.

Каждая экстраспециальная p-группа имеет порядок p для некоторого положительного целого числа n, и, наоборот, для каждого такого числа есть ровно два экстраспециальные группы с точностью до изоморфизма. Центральное произведение двух экстраспециальных p-групп является экстраспециальным, и каждая экстраспециальная группа может быть записана как центральное произведение экстраспециальных групп порядка p. Это сокращает классификацию экстраспециальных групп до экстраспециальных групп порядка p. Классификация часто представляется по-разному в двух случаях p odd и p = 2, но также возможно единообразное представление.

p odd

Есть две дополнительные особые группы порядка p, которые для p нечетных задаются как

• Группа треугольных матриц 3x3 над полем из p элементов, с единицами на диагональ. Эта группа имеет показатель p для нечетного p (но показатель 4, если p = 2).
• полупрямое произведение циклической группы порядка p на циклическую группу порядка p, действующую не- банально на нем. Эта группа имеет показатель p.

Если n - натуральное число, существуют две экстраспециальные группы порядка p, которые для нечетного p задаются как

• Центральное произведение n экстраспециальных групп порядка p, все из которых имеют показатель p. Эта экстраспециальная группа также имеет показатель p.
• Центральное произведение n экстраспециальных групп порядка p, по крайней мере, одна из экспоненты p. Эта экстраспециальная группа имеет показатель p.

Две экстраспециальные группы порядка p легче всего различить по тому факту, что одна имеет все элементы порядка не выше p, а другая имеет элементы порядка p.

p = 2

Существуют две дополнительные особые группы порядка 8 = 2, которые задаются как

• группа диэдра D8порядка 8, которая также может быть дается любой из двух конструкций в разделе выше для p = 2 (для нечетного p они дают разные группы, но для p = 2 они дают одну и ту же группу). В этой группе 2 элемента порядка 4.
• кватернионная группа Q8порядка 8, которая имеет 6 элементов порядка 4.

Если n - положительное целое число, есть две дополнительные особые группы порядка 2, которые задаются

• Центральным произведением n экстраспециальных групп порядка 8, нечетное число которых являются группами кватернионов. Соответствующая квадратичная форма (см. Ниже) имеет инвариант Arf 1.
• Центральное произведение n экстраспециальных групп порядка 8, четное число которых являются группами кватернионов. Соответствующая квадратичная форма (см. Ниже) имеет Arf-инвариант 0.

Две экстраспециальные группы G порядка 2 легче всего различить следующим образом. Если Z - центр, то G / Z - векторное пространство над полем с двумя элементами. Он имеет квадратичную форму q, где q равно 1, если подъем элемента имеет порядок 4 в G, и 0 в противном случае. Тогда Arf-инвариант этой квадратичной формы можно использовать для различения двух экстраспециальных групп. Эквивалентно, можно различать группы, подсчитывая количество элементов порядка 4.

Все p

Единообразное представление экстраспециальных групп порядка p может быть дано следующим образом. Определите две группы:

• $M\; (p)\; =\; ⟨a,\; b,\; c:\; ap\; =\; bp\; =\; 1,\; cp\; =\; 1,\; ba\; =\; abc,\; ca\; =\; ac,\; cb\; =\; bc⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; (p)\; =\; \backslash \; langle\; a,\; b,\; c:\; a\; ^\; \{p\}\; =\; b\; ^\; \{p\}\; =\; 1,\; c\; ^\; \{p\}\; =\; 1,\; ba\; =\; abc,\; ca\; =\; ac,\; cb\; =\; bc\; \backslash \; rangle\}$
• $N\; (p)\; Знак\; равно\; ⟨a,\; b,\; c:\; ap\; =\; bp\; =\; c,\; cp\; =\; 1,\; ba\; =\; abc,\; ca\; =\; ac,\; cb\; =\; bc⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; (p)\; =\; \backslash \; langle\; a,\; b,\; c:\; a\; ^\; \{\; p\}\; =\; b\; ^\; \{p\}\; =\; c,\; c\; ^\; \{p\}\; =\; 1,\; ba\; =\; abc,\; ca\; =\; ac,\; cb\; =\; bc\; \backslash \; rangle\}$

M (p) и N (p) являются неизоморфными экстраспециальными группы порядка p с центром порядка p, порожденные c. Две неизоморфные экстраспециальные группы порядка p являются центральными произведениями либо n копий M (p), либо n - 1 копий M (p) и 1 копии N (p). Это частный случай классификации p-групп с циклическими центрами и простыми производными подгруппами, приведенной в (Newman 1960).

Если G - экстраспециальная группа порядка p, то ее неприводимые комплексные представления задаются следующим образом:

• Существует ровно p неприводимых представлений размерности 1. Центр Z действует тривиально, и представления просто соответствуют представлениям абелевой группы G / Z.
• Существует ровно p - 1 неприводимых представлений размерности p. Для каждого нетривиального характера χ центра существует один из них, на котором центр действует как умножение на χ. Значения символов задаются pχ на Z и 0 для элементов, не входящих в Z.
• Если неабелева p-группа G имеет менее p - p нелинейных неприводимых характеров минимальной степени, она является особенной.

Часто централизатор инволюции в конечной простой группе содержит нормальную экстраспециальную подгруппу. Например, централизатор инволюции типа 2B в группе монстров имеет структуру 2.Co 1, что означает, что он имеет нормальную экстраспециальную подгруппу порядка 2, а частное является одной из групп Конвея.

групп, у которых центр, производная подгруппа и подгруппа Фраттини все равны называются специальными группами. Бесконечные специальные группы, производная подгруппа которых имеет порядок p, также называются экстраспециальными группами. Классификация счетно бесконечных экстраспециальных групп очень похожа на конечный случай (Newman 1960), но для больших мощностей даже основные свойства групп зависят от деликатных вопросов теории множеств, некоторые из которых раскрываются в (Shelah Steprãns 1987) harv error: нет цели: CITEREFShelahSteprãns1987 (help ). нильпотентные группы, центр которых циклический и производная подгруппа имеет порядок p, а классы сопряженности не более чем счетно бесконечны, классифицированы в (Newman 1960). Конечные группы, производная подгруппа которых имеет порядок p, классифицированы в (Blackburn 1999).

• Блэкберн, Саймон Р. (1999), «Группы простого порядка с производной подгруппой простого порядка», Journal of Algebra, 219 (2): 625– 657, doi : 10.1006 / jabr.1998.7909, ISSN 0021-8693, MR 1706841
• Горенштейн Д. ( 1980), Finite Groups, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209
• Newman, MF (1960), «Об одном классе нильпотентных группы ", Труды Лондонского математического общества, третья серия, 10 : 365–375, doi : 10.1112 / plms / s3-10.1.365, ISSN 0024-6115, MR 0120278
• Шелах, Сахарон ; Степранс, Юрис (1987), «Особые p-группы», Анналы чистой и прикладной логики, 34 (1): 87–97, doi : 10.1016 / 0168 -0072 (87) 90041-8, ISSN 0168-0072, MR 0887554