Цилиндрические мультипольные моменты

редактировать

Цилиндрические мультипольные моменты - это коэффициенты в разложении ряда потенциала , которое изменяется логарифмически с расстоянием до источника, то есть как $ln ⁡ R {\ displaystyle \ ln \ R}$ ${\ displaystyle \ ln \ R}$ . Такие потенциалы возникают в электрическом потенциале длинных линейных зарядов, а аналогичные источники для магнитного потенциала и гравитационного потенциала.

Для ясности мы проиллюстрируем разложение для однолинейный заряд, затем обобщить на произвольное распределение линейных зарядов. В этой статье координаты со штрихом, такие как $(ρ ′, θ ′) {\ displaystyle (\ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime})}$ ${\ displaystyle (\ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime})}$ , относятся к положению линейного заряда (ей), тогда как координаты без штриха, такие как $(ρ, θ) {\ displaystyle (\ rho, \ theta)}$ $(\ rho, \ theta)$ , относятся к точке, в которой наблюдается потенциал. Мы используем цилиндрические координаты повсюду, например, произвольный вектор $r {\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ имеет координаты $(ρ, θ, z) {\ displaystyle (\ rho, \ theta, z)}$ ${\ displaystyle (\ rho, \ theta, z)}$ где $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ - радиус из $z {\ displaystyle z}$ $z$ ось, $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ - это азимутальный угол, а $z {\ displaystyle z}$ $z$ - угол нормальный декартова координата. Предполагается, что линейные заряды бесконечно длинные и выровнены по оси $z {\ displaystyle z}$ $z$ .

Содержание

1 Цилиндрические мультипольные моменты линейного заряда
2 Общие цилиндрические мультипольные моменты
3 Внутренние цилиндрические мультипольные моменты
4 Энергии взаимодействия цилиндрических мультиполей
5 См. Также

Цилиндрические мультипольные моменты линейного заряда

Рисунок 1: Определения для цилиндрических мультиполей; глядя вниз по

z ′ {\ displaystyle z ^ {\ prime}}

z ^ {{\ prime}}

оси

электрический потенциал линейного заряда $λ {\ displaystyle \ lambda }$ $\ lambda$ , расположенный в $(ρ ′, θ ′) {\ displaystyle (\ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime})}$ ${\ displaystyle (\ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime})}$ , задается как

Φ (ρ, θ) = - λ 2 π ϵ ln ⁡ R = - λ 4 π ϵ ln ⁡ | ρ 2 + (ρ ′) 2 - 2 ρ ρ ′ cos ⁡ (θ - θ ′) | {\ displaystyle \ Phi (\ rho, \ theta) = {\ frac {- \ lambda} {2 \ pi \ epsilon}} \ ln R = {\ frac {- \ lambda} {4 \ pi \ epsilon}} \ ln \ left | \ rho ^ {2} + \ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ {2} -2 \ rho \ rho ^ {\ prime} \ cos (\ theta - \ theta ^ {\ prime}) \ right |}

{\ displaystyle \ Phi (\ rho, \ theta) = {\ frac {- \ lambda} {2 \ pi \ epsilon}} \ ln R = {\ frac {- \ lambda} {4 \ pi \ epsilon}} \ ln \ left | \ rho ^ {2} + \ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ {2} -2 \ rho \ rho ^ {\ prime } \ cos (\ theta - \ theta ^ {\ prime}) \ right |}

где $R {\ displaystyle R}$ $R$ - кратчайшее расстояние между линейным зарядом и точкой наблюдения.

По симметрии электрический потенциал бесконечного линейного заряда не имеет $z {\ displaystyle z}$ $z$ -зависимости. Линейный заряд $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ - это заряд на единицу длины в $z {\ displaystyle z}$ $z$ -направлении и имеет единицы измерения ( заряд / длина). Если радиус $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ точки наблюдения больше, чем радиус $ρ ′ {\ displaystyle \ rho ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {\ prime}}$ линейного заряда, мы можем вычесть $ρ 2 {\ displaystyle \ rho ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {2}}$

Φ (ρ, θ) = - λ 4 π ϵ {2 ln ⁡ ρ + пер ⁡ (1 - ρ ′ ρ ei (θ - θ ′)) (1 - ρ ′ ρ e - i (θ - θ ′))} {\ displaystyle \ Phi (\ rho, \ theta) = {\ frac {- \ lambda} {4 \ pi \ epsilon}} \ left \ {2 \ ln \ rho + \ ln \ left (1 - {\ frac {\ rho ^ {\ prime}} {\ rho}} e ^ { я \ left (\ theta - \ theta ^ {\ prime} \ right)} \ right) \ left (1 - {\ frac {\ rho ^ {\ prime}} {\ rho}} e ^ {- i \ left (\ theta - \ theta ^ {\ prime} \ right)} \ right) \ right \}}

{\ displaystyle \ Phi (\ rho, \ theta) = {\ frac {- \ lambda} {4 \ pi \ epsilon}} \ left \ {2 \ ln \ rho + \ ln \ left (1 - {\ frac {\ rho ^ {\ prime}} {\ rho}} e ^ {i \ left (\ theta - \ theta ^ {\ prime} \ right)} \ right) \ left (1 - {\ frac {\ rho ^ {\ prime}} {\ rho}} e ^ {- i \ left (\ theta - \ theta ^ {\ prime} \ right)} \ right) \ right \} }

и разверните логарифмы в степени $(ρ ′ / ρ) < 1 {\displaystyle (\rho ^{\prime }/\rho)<1}$ ${\ displaystyle (\ rho ^ {\ prime} / \ rho) <1}$

Φ (ρ, θ) = - λ 2 π ϵ {ln ⁡ ρ - ∑ k = 1 ∞ (1 k) (ρ ′ ρ) k [cos ⁡ k θ cos ⁡ k θ ′ + sin ⁡ k θ sin ⁡ к θ ′]} {\ Displaystyle \ Phi (\ rho, \ theta) = {\ frac {- \ lambda} {2 \ pi \ epsilon}} \ left \ {\ ln \ rho - \ sum _ {k = 1 } ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {k}} \ right) \ left ({\ frac {\ rho ^ {\ prime}} {\ rho}} \ rig ht) ^ {k} \ left [\ cos k \ theta \ cos k \ theta ^ {\ prime} + \ sin k \ theta \ sin k \ theta ^ {\ prime} \ right] \ right \}}

{\ Displaystyle \ Phi (\ rho, \ theta) = {\ frac {- \ lambda} {2 \ pi \ epsilon}} \ left \ {\ ln \ rho - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {k}} \ right) \ left ({\ frac {\ rho ^ {\ prime}} {\ rho}} \ right) ^ {k} \ left [\ cos k \ theta \ cos k \ theta ^ {\ prime} + \ sin k \ theta \ sin k \ theta ^ {\ prime} \ right] \ right \}}

что может быть записано как

Φ (ρ, θ) = - Q 2 π ϵ ln ⁡ ρ + (1 2 π ϵ) ∑ k = 1 ∞ C k cos ⁡ k θ + S k sin ⁡ k θ ρ к {\ displaystyle \ Phi (\ rho, \ theta) = {\ frac {-Q} {2 \ pi \ epsilon}} \ ln \ rho + \ left ({\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon} } \ right) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {C_ {k} \ cos k \ theta + S_ {k} \ sin k \ theta} {\ rho ^ {k}}} }

{\ displaystyle \ Phi (\ rho, \ th eta) = {\ frac {-Q} {2 \ pi \ epsilon}} \ ln \ rho + \ left ({\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon}} \ right) \ sum _ {k = 1 } ^ {\ infty} {\ гидроразрыва {C_ {k} \ cos k \ theta + S_ {k} \ sin k \ theta} {\ rho ^ {k}}}}

где мультипольные моменты определены как. $Q = λ, {\ displaystyle Q = \ lambda,}$ ${\ displaystyle Q = \ lambda,}$ . $C k = λ k (ρ ′) k cos ⁡ k θ ′, { \ displaystyle C_ {k} = {\ frac {\ lambda} {k}} \ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ {k} \ cos k \ theta ^ {\ prime},}$ ${\ displaystyle C_ {k} = {\ frac {\ lambda} {k}} \ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ {к} \ соз к \ тета ^ {\ простое},}$ . и. $S k = λ k (ρ ′) k sin ⁡ k θ ′. {\ displaystyle S_ {k} = {\ frac {\ lambda} {k}} \ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ {k} \ sin k \ theta ^ {\ prime}.}$ ${\ displaystyle S_ {k} = {\ frac {\ lambda} {k}} \ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ {k} \ sin k \ theta ^ {\ prime}.}$

И наоборот, если радиус $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ точки наблюдения меньше, чем радиус $ρ ′ {\ displaystyle \ rho ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {\ prime}}$ линейного заряда, мы можем вычесть $(ρ ′) 2 {\ displaystyle \ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ {2}}$ и разложим логарифмы по степеням $(ρ / ρ ′) < 1 {\displaystyle (\rho /\rho ^{\prime })<1}$ ${\ displaystyle (\ rho / \ rho ^ {\ prime}) <1}$

Φ (ρ, θ) = - λ 2 π ϵ {ln ⁡ ρ ′ - ∑ k = 1 ∞ (1 k) ( ρ ρ ′) К [соз ⁡ К θ соз ⁡ К θ ′ + грех ⁡ К θ sin ⁡ К θ ′]} {\ Displaystyle \ Phi (\ rho, \ theta) = {\ frac {- \ lambda} {2 \ pi \ epsilon}} \ left \ {\ ln \ rho ^ {\ prime} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {k}} \ right) \ left ({\ frac {\ rho} {\ rho ^ {\ prime}}} \ right) ^ {k} \ left [\ cos k \ theta \ cos k \ theta ^ {\ prime} + \ sin k \ theta \ sin k \ theta ^ {\ prime} \ right] \ right \}}

{\ displaystyle \ Phi (\ rho, \ theta) = {\ frac {- \ lambda} { 2 \ pi \ epsilon}} \ left \ {\ ln \ rho ^ {\ prime} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {k}} \ right) \ left ({\ frac {\ rho} {\ rho ^ {\ prime}}} \ right) ^ {k} \ left [\ cos k \ theta \ cos k \ theta ^ {\ prime} + \ sin k \ тета \ грех к \ тета ^ {\ простое} \ право] \ право \}}

что может быть записано как

Φ (ρ, θ) = - Q 2 π ϵ ln ⁡ ρ ′ + (1 2 π ϵ) ∑ k = 1 ∞ ρ k [I k cos ⁡ k θ + J k sin ⁡ k θ] {\ displaysty ле \ Phi (\ rho, \ theta) = {\ frac {-Q} {2 \ pi \ epsilon}} \ ln \ rho ^ {\ prime} + \ left ({\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon}} \ right) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ rho ^ {k} \ left [I_ {k} \ cos k \ theta + J_ {k} \ sin k \ theta \ right] }

{\ displaystyle \ Phi (\ rho, \ theta) = {\ frac {-Q} {2 \ pi \ epsilon}} \ ln \ rho ^ {\ prime} + \ left ( {\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon}} \ right) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ rho ^ {k} \ left [I_ {k} \ cos k \ theta + J_ {к} \ грех к \ тета \ право]}

где внутренние мультипольные моменты определены как. $Q = λ, {\ displaystyle Q = \ lambda,}$ ${\ displaystyle Q = \ lambda,}$ . $I k = λ k cos ⁡ k θ ′ (ρ ′) k, {\ displaystyle I_ {k} = {\ frac {\ lambda} {k}} {\ frac {\ cos k \ theta ^ {\ prime}} {\ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ { k}}},}$ ${\ displaystyle I_ {k} = {\ frac {\ lambda } {k}} {\ frac {\ cos k \ theta ^ {\ prime}} {\ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ {k}}},}$ . и. $J k = λ k sin ⁡ k θ ′ (ρ ′) k. {\ displaystyle J_ {k} = {\ frac {\ lambda} {k}} {\ frac {\ sin k \ theta ^ {\ prime}} {\ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ { k}}}.}$ ${\ displaystyle J_ {k} = {\ frac {\ lambda} {k}} {\ frac {\ sin k \ theta ^ {\ prime}} {\ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ {k}}}.}$

Общие цилиндрические мультипольные моменты

Обобщение до произвольного распределения линейных зарядов $λ (ρ ′, θ ′) {\ displaystyle \ lambda (\ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime})}$ ${\ displaystyle \ lambda (\ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime})}$ просто. Функциональная форма та же

Φ (r) = - Q 2 π ϵ ln ⁡ ρ + (1 2 π ϵ) ∑ k = 1 ∞ C k cos ⁡ k θ + S k sin ⁡ k θ ρ k { \ Displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {-Q} {2 \ pi \ epsilon}} \ ln \ rho + \ left ({\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon}} \ справа) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {C_ {k} \ cos k \ theta + S_ {k} \ sin k \ theta} {\ rho ^ {k}}}}

{\ displaystyle \ Phi (\ mathbf { r}) = {\ frac {-Q} {2 \ pi \ epsilon}} \ ln \ rho + \ left ({\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon}} \ right) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ гидроразрыва {C_ {k} \ cos k \ theta + S_ {k} \ sin k \ theta} {\ rho ^ {k}}}}

и моменты могут быть записаны

Q = ∫ d θ ′ ∫ ρ ′ d ρ ′ λ (ρ ′, θ ′) {\ displaystyle Q = \ int d \ theta ^ {\ prime} \ int \ rho ^ {\ prime} d \ rho ^ {\ prime} \ lambda (\ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime})}

{\ displaystyle Q = \ int d \ theta ^ {\ prime} \ int \ rho ^ {\ prime} d \ rho ^ {\ prime} \ лямбда (\ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime})}

C k = (1 k) ∫ d θ ′ ∫ d ρ ′ (Ρ ′) к + 1 λ (ρ ′, θ ′) cos ⁡ K θ ′ {\ displaystyle C_ {k} = \ left ({\ frac {1} {k}} \ right) \ int d \ theta ^ {\ prime} \ int d \ rho ^ {\ prime} \ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ {k + 1} \ lambda (\ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime}) \ cos k \ theta ^ {\ prime}}

{\ displaystyle C_ {k} = \ left ({\ frac {1} {k}} \ right) \ int d \ theta ^ {\ prime} \ int d \ rho ^ {\ prime} \ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ {k + 1} \ lambda (\ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime}) \ соз k \ theta ^ {\ prime}}

S k = (1 k) ∫ d θ ′ ∫ d ρ ′ (ρ ′) k + 1 λ (ρ ′, θ ′) sin ⁡ k θ ′ {\ displaystyle S_ {k} = \ left ({\ frac {1} {k}} \ right) \ int d \ theta ^ {\ prime} \ int d \ rho ^ {\ prime} \ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ {k + 1} \ lambda (\ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime}) \ sin k \ theta ^ {\ prime}}

{\ displaystyle S_ {k} = \ left ({\ frac {1} {k}} \ right) \ int d \ theta ^ {\ prime} \ int d \ rho ^ {\ prime} \ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ {k + 1} \ lambda (\ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ простое число}) \ грех k \ theta ^ {\ prime}}

Обратите внимание, что $λ (ρ ′, θ ′) {\ displaystyle \ lambda (\ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime})}$ ${\ displaystyle \ lambda (\ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime})}$ представляет линейный заряд на единицу площади в $(ρ - θ) {\ displaystyle (\ rho - \ theta)}$ ${\ displaystyle (\ rho - \ theta)}$ самолет.

Внутренние цилиндрические мультипольные моменты

Аналогично, внутреннее цилиндрическое мультипольное разложение имеет функциональную форму

Φ (ρ, θ) = - Q 2 π ϵ ln ⁡ ρ ′ + (1 2 π ϵ) ∑ К знак равно 1 ∞ ρ К [I К соз ⁡ К θ + J k грех ⁡ К θ] {\ Displaystyle \ Phi (\ rho, \ theta) = {\ frac {-Q } {2 \ pi \ epsilon}} \ ln \ rho ^ {\ prime} + \ left ({\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon}} \ right) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ rho ^ {k} \ left [I_ {k} \ cos k \ theta + J_ {k} \ sin k \ theta \ right]}

{\ displaystyle \ Phi (\ rho, \ theta) = {\ frac {-Q} {2 \ pi \ epsilon}} \ ln \ rho ^ {\ prime} + \ left ( {\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon}} \ right) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ rho ^ {k} \ left [I_ {k} \ cos k \ theta + J_ {к} \ грех к \ тета \ право]}

где моменты определены

Q = ∫ d θ ′ ∫ ρ ′ d ρ ′ λ (ρ ′, θ ′) {\ displaystyle Q = \ int d \ theta ^ {\ prime} \ int \ rho ^ {\ prime} d \ rho ^ {\ prime} \ lambda ( \ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime})}

{\ displaystyle Q = \ int d \ theta ^ {\ prime} \ int \ rho ^ {\ prime} d \ rho ^ {\ prime} \ лямбда (\ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime})}

I k = (1 k) ∫ d θ ′ ∫ d ρ ′ [cos ⁡ k θ ′ (ρ ′) k - 1] λ (ρ ′, θ ′) {\ Displaystyle I_ {k} = \ left ({\ frac {1} {k}} \ right) \ int d \ theta ^ {\ prime} \ int d \ rho ^ {\ prime } \ left [{\ frac {\ cos k \ theta ^ {\ prime}} {\ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ {k-1}}} \ right] \ lambda (\ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime})}

{\ displaystyle I_ {k} = \ left ({\ frac {1} {k}} \ right) \ int d \ theta ^ {\ prime} \ int d \ rho ^ {\ prime} \ left [{\ frac {\ cos k \ theta ^ {\ prime}} {\ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ {k -1}}} \ right] \ lambda (\ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime})}

J k = (1 k) ∫ d θ ′ ∫ d ρ ′ [sin ⁡ k θ ′ (Ρ ′) к - 1] λ (ρ ′, θ ′) {\ Displaystyle J_ {k} = \ left ({\ frac {1} {k}} \ right) \ int d \ theta ^ {\ prime } \ int d \ rho ^ {\ prime} \ left [{\ frac {\ sin k \ theta ^ {\ prime}} {\ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ {k-1}} } \ right] \ lambda (\ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime})}

{\ displaystyle J_ {k} = \ left ({\ frac {1} {k}} \ right) \ int d \ theta ^ {\ prime} \ int d \ rho ^ {\ prime} \ left [{\ frac {\ sin k \ theta ^ {\ prime}} {\ left (\ rho ^ {\ prime} \ right) ^ {k-1}}} \ right] \ lambda (\ rho ^ {\ prime}, \ theta ^ { \ prime})}

Энергии взаимодействия цилиндрических мультиполей

Простая формула для энергии взаимодействия цилиндрических мультиполей (заряд плотность 1) со второй плотностью заряда. Пусть $f (r ') {\ displaystyle f (\ mathbf {r} ^ {\ prime})}$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {r} ^ {\ prime})}$ будет второй плотностью заряда, и определим $λ (ρ, θ) { \ displaystyle \ lambda (\ rho, \ theta)}$ ${\ displaystyle \ lambda (\ rho, \ theta)}$ как его интеграл по z

λ (ρ, θ) = ∫ dzf (ρ, θ, z) {\ displaystyle \ lambda (\ rho, \ theta) = \ int dz \ f (\ rho, \ theta, z)}

{\ displaystyle \ lambda (\ rho, \ theta) = \ int dz \ f (\ rho, \ theta, z)}

Электростатическая энергия дается интегралом заряда, умноженного на потенциал цилиндрических мультиполей

U = ∫ d θ ∫ ρ d ρ λ (ρ, θ) Φ (ρ, θ) {\ Displaystyle U = \ int d \ theta \ int \ rho d \ rho \ \ lambda (\ rho, \ theta) \ Phi (\ rho, \ theta)}

{\ displaystyle U = \ int d \ theta \ int \ rho d \ rho \ \ lambda (\ rho, \ theta) \ Phi (\ rho, \ theta)}

Если цилиндрические мультиполи внешние, это уравнение принимает вид

U = - Q 1 2 π ϵ ∫ ρ d ρ λ (ρ, θ) ln ⁡ ρ {\ displaystyle U = {\ frac {-Q_ {1}} {2 \ pi \ epsilon}} \ int \ rho d \ rho \ \ lambda (\ rho, \ theta) \ ln \ rho}

{\ Displaystyle U = {\ frac {-Q_ {1}} {2 \ pi \ epsilon}} \ int \ rho d \ rho \ \ lambda (\ rho, \ theta) \ ln \ rho}

+ (1 2 π ϵ) ∑ К знак равно 1 ∞ С 1 К ∫ d θ ∫ d ρ [соз ⁡ К θ ρ К - 1] λ (ρ, θ) {\ Displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \ \ left ( {\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon}} \ right) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} C_ {1k} \ int d \ theta \ int d \ rho \ left [{\ frac {\ cos k \ theta} {\ rho ^ {k-1}}} \ right] \ lambda (\ rho, \ theta)}

{\ Displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \ \ left ({\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon}} \ right) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} C_ {1k} \ int d \ theta \ int d \ rho \ left [{\ frac {\ cos k \ theta} {\ rho ^ {k-1}}} \ right] \ lambda (\ rho, \ theta) }

+ ( 1 2 π ϵ) ∑ К знак равно 1 ∞ S 1 К ∫ d θ ∫ d ρ [грех ⁡ К θ ρ К - 1] λ (ρ, θ) {\ Displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ + \ \ влево ({\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon}} \ right) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} S_ {1k} \ int d \ theta \ int d \ rho \ left [{\ гидроразрыва {\ sin k \ theta} {\ rho ^ {k-1}}} \ right] \ lambda (\ rho, \ theta)}

{\ displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ + \ left ({\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon}} \ right) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} S_ {1k} \ int d \ theta \ int d \ rho \ left [{\ frac {\ sin k \ theta} { \ rho ^ {k-1}}} \ right] \ lambda (\ rho, \ theta)}

где $Q 1 {\ displaystyle Q_ {1}}$ $Q _ {{ 1}}$ , $C 1 k {\ displaystyle C_ {1k}}$ ${\ displaystyle C_ {1k}}$ и $S 1 k {\ displaystyle S_ {1k}}$ ${\ displaystyle S_ {1k}}$ - цилиндрические мультипольные моменты распределения заряда 1. Эту формулу энергии можно привести к удивительно простой форме

U = - Q 1 2 π ϵ ∫ ρ d ρ λ (ρ, θ) ln ⁡ ρ + (1 2 π ϵ) ∑ k = 1 ∞ k (C 1 К я 2 К + S 1 К J 2 К) {\ Displaystyle U = {\ гидроразрыва {-Q_ {1}} {2 \ pi \ epsilon}} \ int \ rho d \ rho \ \ lambda (\ rho, \ theta) \ ln \ rho + \ left ({\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon}} \ right) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} k \ left (C_ {1k} I_ {2k} + S_ {1k} J_ {2k} \ right)}

{\ displaystyle U = {\ frac {-Q_ {1}} {2 \ pi \ epsilon}} \ int \ rho d \ rho \ \ lambda (\ rho, \ theta) \ ln \ rho + \ left ({\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon}} \ right) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} k \ left (C_ {1k} I_ {2k} + S_ {1k} J_ {2k} \ right)}

где $I 2 k {\ displaystyle I_ {2k}}$ ${\ displaystyle I_ {2k}}$ и $J 2 k {\ displaystyle J_ {2k}}$ ${\ displaystyle J_ {2k}}$ - внутренние цилиндрические мультиполи второй плотности заряда.

Аналогичная формула верна, если плотность заряда 1 состоит из внутренних цилиндрических мультиполей

U = - Q 1 ln ⁡ ρ ′ 2 π ϵ ∫ ρ d ρ λ (ρ, θ) + (1 2 π ϵ) ∑ К знак равно 1 ∞ К (С 2 К I 1 К + S 2 К J 1 К) {\ Displaystyle U = {\ frac {-Q_ {1} \ ln \ rho ^ {\ prime}} {2 \ pi \ epsilon}} \ int \ rho d \ rho \ \ lambda (\ rho, \ theta) + \ left ({\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon}} \ right) \ sum _ {k = 1 } ^ {\ infty} k \ left (C_ {2k} I_ {1k} + S_ {2k} J_ {1k} \ right)}

{\ display стиль U = {\ frac {-Q_ {1} \ ln \ rho ^ {\ prime}} {2 \ pi \ epsilon}} \ int \ rho d \ rho \ \ lambda (\ rho, \ theta) + \ left ({\ frac {1} {2 \ pi \ epsilon}} \ right) \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} k \ left (C_ {2k} I_ {1k} + S_ {2k} J_ { 1k} \ right)}

где $I 1 k {\ displaystyle I_ {1k}}$ ${\ displaystyle I_ {1k}}$ и $J 1 k {\ displaystyle J_ {1k}}$ ${\ displaystyle J_ {1k}}$ - это внутренние цилиндрические мультипольные моменты распределения заряда 1, а $C 2 k {\ displaystyle C_ {2k }}$ ${\ displaystyle C_ {2k}}$ и $S 2 k {\ displaystyle S_ {2k}}$ ${\ displaystyle S_ {2k}}$ - внешние цилиндрические мультиполи второй плотности заряда.

В качестве примера эти формулы можно использовать для определения энергии взаимодействия небольшого белка в электростатическом поле двухцепочечной ДНК молекула; последний является относительно прямым и несет постоянную линейную плотность заряда из-за фосфатных групп его основной цепи.

См. Также