Сферические мультипольные моменты

редактировать

Сферические мультипольные моменты - это коэффициенты в разложении ряда потенциала , которая изменяется обратно пропорционально расстоянию R до источника, т. Е. Как 1 / R. Примерами таких потенциалов являются электрический потенциал, магнитный потенциал и гравитационный потенциал.

. Для ясности мы проиллюстрируем расширение для точечного заряда , затем обобщить до произвольной плотности заряда $ρ (r ') {\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r ^ {\ prime}})}$ $\rho(\mathbf{r^{\prime}})$ . В этой статье координаты со штрихом, такие как $r ′ {\ displaystyle \ mathbf {r ^ {\ prime}}}$ $\mathbf{r^{\prime}}$ , относятся к положению заряда (ей), тогда как координаты без штриховки, такие как $r {\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ относится к точке, в которой наблюдается потенциал. Мы также используем сферические координаты повсюду, например, вектор $r ′ {\ displaystyle \ mathbf {r ^ {\ prime}}}$ $\mathbf{r^{\prime}}$ имеет координаты $(r ′, θ ′, ϕ ′) {\ displaystyle (r ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})}$ $(r ^ {\ prime}, \ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})$ где $r ′ {\ displaystyle r ^ {\ prime}}$ $r^{\prime}$ - радиус, $θ ′ {\ displaystyle \ theta ^ {\ prime}}$ $\ theta ^ {\ prime}$ - colatitude и $ϕ ′ {\ displaystyle \ phi ^ {\ prime}}$ $\phi^{\prime}$ - это азимутальный угол.

Содержание

1 Сферические мультипольные моменты точечного заряда
2 Общие сферические мультипольные моменты
- 2.1 Примечание
3 Внутренние сферические мультипольные моменты
4 Энергии взаимодействия сферических мультиполей
5 Специальные случай осевой симметрии
6 См. также
7 Внешние ссылки

Сферические мультипольные моменты точечного заряда

Рисунок 1: Определения для сферического мультипольного расширения

электрический потенциал из-за точечного заряда, расположенного в $r ′ {\ displaystyle \ mathbf {r ^ {\ prime}}}$ $\mathbf{r^{\prime}}$ , определяется как

Φ (r) = q 4 π ε 1 R = q 4 π ε 1 r 2 + r ′ 2 - 2 r ′ r cos ⁡ γ. {\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ frac {1} {R}} = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon }} {\ frac {1} {\ sqrt {r ^ {2} + r ^ {\ prime 2} -2r ^ {\ prime} r \ cos \ gamma}}}.}

\ Phi (\ mathbf {r}) = \ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon} \ frac {1} {R} = \ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon} \ frac {1} {\ sqrt {r ^ {2} + r ^ {\ prime 2} - 2 r ^ {\ prime} r \ cos \ gamma}}.

где $R = def | г - г '| {\ Displaystyle R \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r ^ {\ prime}} \ right |}$ $R \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r ^ {\ prime}} \ right |$ расстояние между положением заряда и точкой наблюдения и $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gam ma$ - это угол между векторами $r {\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ и $r ′ {\ displaystyle \ mathbf {r ^ {\ prime}}}$ $\mathbf{r^{\prime}}$ . Если радиус $r {\ displaystyle r}$ $r$ точки наблюдения больше, чем радиус $r ′ {\ displaystyle r ^ {\ prime}}$ $r^{\prime}$ заряда, мы можем вынести 1 / r и разложить квадратный корень по степеням $(r ′ / r) < 1 {\displaystyle (r^{\prime }/r)<1}$ $(r ^ {\ prime} / r) <1$ , используя полиномы Лежандра

Φ (r) = q 4 π ε р ∑ l знак равно 0 ∞ (r ′ r) l п l (соз ⁡ γ) {\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon r}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {r ^ {\ prime}} {r}} \ right) ^ {l} P_ {l} (\ cos \ gamma)}

\ Phi (\ mathbf {r}) = \ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon r} \ sum_ {l = 0} ^ {\ infty} \ left (\ frac {r ^ {\ prime}} {r} \ right) ^ {l} P_ {l } (\ cos \ gamma)

Это в точности аналогично осевому мультипольному расширению.

Мы можем выразить $cos ⁡ γ {\ displaystyle \ cos \ gamma}$ $\ cos \ gamma$ через координаты точки наблюдения и положение заряда с использованием сферического закона косинусов (рис. 2)

cos ⁡ γ = cos ⁡ θ cos ⁡ θ ′ + sin ⁡ θ sin ⁡ θ ′ cos ⁡ (ϕ - ϕ ′) { \ Displaystyle \ соз \ гамма = \ соз \ тета \ соз \ тета ^ {\ простое} + \ грех \ тета \ грех \ тета ^ {\ простое} \ соз (\ фи - \ фи ^ {\ простое})}

\ cos \ gamma = \ cos \ theta \ cos \ theta ^ {\ prime} + \ sin \ theta \ sin \ theta ^ {\ prime} \ cos (\ phi - \ phi ^ {\ prime})

Рисунок 2: Углы между единичным вектором или

z ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {z}}}

\ mathbf {\ hat {z}}

(ось координат),

r ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}}}

\ mathbf {\ hat {r}}

(точка наблюдения) и

r ^ ′ {\ displaystyle \ mathbf {{\ hat {r}} ^ {\ prime}}}

\ mathbf {\ hat {r} ^ {\ prime}}

(позиция заряда).

Подставив это уравнение для $cos ⁡ γ {\ displaystyle \ cos \ gamma}$ $\ cos \ gamma$ в полиномы Лежандра и разложив на множители координаты со штрихом и без штриха, получим важную формулу, известную как теорема сложения сферических гармоник

P l (cos ⁡ γ) = 4 π 2 l + 1 ∑ m = - ll Y lm (θ, ϕ) Y lm ∗ (θ ′, ϕ ′) {\ displaystyle P_ {l} (\ cos \ gamma) = {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} \ sum _ {m = -l} ^ {l} Y_ {lm} (\ theta, \ phi) Y_ { lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})}

P_ {l} (\ cos \ gamma) = \ frac {4 \ pi} {2l + 1} \ sum_ {m = -l} ^ {l} Y_ {lm } (\ theta, \ phi) Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})

где функции $Y lm {\ displaystyle Y_ {lm}}$ $Y _ {{lm}}$ сферические гармоники. Подстановка этой формулы в потенциал дает

Φ (r) = q 4 π ε r ∑ l = 0 ∞ (r ′ r) l (4 π 2 l + 1) ∑ m = - ll Y lm (θ, ϕ) Y lm ∗ (θ ′, ϕ ′) {\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon r}} \ sum _ {l = 0} ^ { \ infty} \ left ({\ frac {r ^ {\ prime}} {r}} \ right) ^ {l} \ left ({\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} \ right) \ sum _ {m = -l} ^ {l} Y_ {lm} (\ theta, \ phi) Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})}

\ Phi (\ mathbf {r}) = \ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon r} \ sum_ {l = 0 } ^ {\ infty} \ left (\ frac {r ^ {\ prime}} {r} \ right) ^ {l} \ left (\ frac {4 \ pi} {2l + 1} \ right) \ sum_ { m = -l} ^ {l} Y_ {lm} (\ theta, \ phi) Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})

который можно записать как

Φ (r) = 1 4 π ε ∑ l = 0 ∞ ∑ m = - ll (Q lmrl + 1) 4 π 2 l + 1 Y lm (θ, ϕ) {\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {l} \ left ({\ frac {Q_ {lm}} {r ^ {l + 1}}} \ right) {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} (\ theta, \ phi)}

\ Phi (\ mathbf {r}) = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon} \ sum_ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum_ {m = -l} ^ {l} \ left (\ frac {Q_ {lm}} {r ^ {l + 1}} \ right) \ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1} } Y_ {lm} (\ theta, \ phi)

где определены мультипольные моменты

Q lm = defq (r ′) l 4 π 2 l + 1 Y lm ∗ (θ ′, ϕ ′) {\ displaystyle Q_ {lm} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ q \ left (r ^ {\ prime} \ right) ^ {l} {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})}

Q_ {lm} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ q \ left (r ^ {\ prime} \ right) ^ {l} \ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})

Как и в случае с осевыми мультипольными моментами, мы можем также рассмотреть случай, когда радиус $r {\ displaystyle r}$ $r$ точки наблюдения на меньше чем радиус $r ′ {\ displaystyle r ^ {\ prime}}$ $r^{\prime}$ заряда. В этом случае можно записать

Φ (r) = q 4 π ε r ′ ∑ l = 0 ∞ (rr ′) l (4 π 2 l + 1) ∑ m = - ll Y lm (θ, ϕ) Y lm ∗ (θ ′, ϕ ′) {\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon r ^ {\ prime}}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {r} {r ^ {\ prime}}} \ right) ^ {l} \ left ({\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} \ справа) \ sum _ {m = -l} ^ {l} Y_ {lm} (\ theta, \ phi) Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})}

\ Phi (\ mathbf {r}) = \ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon r ^ {\ prime}} \ sum_ {l = 0} ^ {\ infty} \ left (\ frac {r} {r ^ {\ prime}} \ right) ^ {l} \ left (\ frac {4 \ pi} {2l + 1} \ right) \ sum_ {m = -l} ^ {l} Y_ {lm} (\ theta, \ phi) Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})

который может быть записан как

Φ (r) = 1 4 π ε ∑ l = 0 ∞ ∑ m = - ll I lmrl 4 π 2 l + 1 Y lm (θ, ϕ) {\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {l} I_ {lm} r ^ {l} {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} (\ theta, \ phi)}

\ Phi (\ mathbf {r}) = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon} \ sum_ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum_ {m = -l} ^ {l} I_ {lm} r ^ {l} \ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} Y_ {lm} (\ theta, \ p привет)

где определены внутренние сферические мультипольные моменты как комплексное сопряжение нерегулярных сплошных гармоник

I lm = defq (r ′) l + 1 4 π 2 l + 1 Y lm ∗ (θ ′, ϕ ′) {\ displaystyle I_ {lm} \ { \ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {q} {\ left (r ^ {\ prime} \ right) ^ {l + 1}}} {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})}

I_ {lm} \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ frac {q} {\ left (r ^ {\ prime } \ right) ^ {l + 1}} \ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime })

Эти два случая можно объединить в одно выражение, если $r < {\displaystyle r_{<}}$ $r_ <$ и $r>{\ displaystyle r_ {>}}$ $r_>$ определены как меньший и больший, соответственно, из двух радиусов $r {\ displaystyle r}$ $r$ и $r ′ {\ displaystyle r ^ {\ prime}}$ $r^{\prime}$ ; тогда потенциал точечного заряда принимает форму, которую иногда называют разложением Лапласа

Φ (r) = q 4 π ε ∑ l = 0 ∞ r < l r>l + 1 (4 π 2 l + 1) ∑ м знак равно - ll Y lm (θ, ϕ) Y lm ∗ (θ ′, ϕ ′) {\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} {\ frac {r_ {<}^{l}}{r_{>} ^ {l + 1}}} \ left ({\ frac {4 \ pi} {2l + 1} } \ right) \ sum _ {m = -l} ^ {l} Y_ {lm} (\ theta, \ phi) Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})}

\Phi(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon} \sum_{l=0}^{\infty} \frac{r_<^{l}}{r_>^ {l + 1}} \ left (\ frac {4 \ pi} {2l + 1} \ right) \ sum_ {m = -l} ^ {l} Y_ {lm } (\ theta, \ phi) Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})

Общие сферические мультипольные моменты

Обобщить эти формулы зарядов несложно, заменив 88>q {\ displaystyle q} $q$ с бесконечно малым элементом заряда $ρ (r ′) dr ′ {\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r} ^ {\ prime}) d \ mathbf { r} ^ {\ prime}}$ $\ rho (\ mathbf {r } ^ {\ prime}) d \ mathbf {r} ^ {\ prime}$ и интегрирование. Функциональная форма разложения та же

Φ (r) = 1 4 π ε ∑ l = 0 ∞ ∑ m = - ll (Q lmrl + 1) 4 π 2 l + 1 Y lm (θ, ϕ) {\ Displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {l} \ left ({\ frac {Q_ {lm}} {r ^ {l + 1}}} \ right) {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} (\ theta, \ phi)}

\ Phi (\ mathbf {r}) = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon} \ sum_ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum_ {m = -l} ^ {l} \ left (\ frac {Q_ {lm}} {r ^ {l + 1}} \ right) \ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1} } Y_ {lm} (\ theta, \ phi)

где определены общие мультипольные моменты

Q lm = def ∫ dr ′ ρ (r ′) (r ′) l 4 π 2 l + 1 Y lm ∗ (θ ′, ϕ ′) {\ Displaystyle Q_ {lm} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int d \ mathbf {r} ^ {\ prime} \ rho (\ mathbf {r} ^ { \ prime}) \ left (r ^ {\ prime} \ right) ^ {l} {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})}

Q_ {lm} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ int d \ mathbf {r} ^ {\ prime} \ rho (\ mathbf {r} ^ {\ prime}) \ left (r ^ {\ prime} \ right) ^ {l} \ sqrt {\ frac {4 \ pi } {2l + 1}} Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})

Примечание

Потенциал Φ (r ) действительный, так что комплексное сопряжение разложения одинаково верно. Взятие комплексно-сопряженного приводит к определению мультипольного момента, который пропорционален Y lm, а не его комплексно-сопряженному элементу. Это общепринятое соглашение, подробнее см. молекулярные мультиполи.

Внутренние сферические мультипольные моменты

Аналогично, внутреннее мультипольное разложение имеет ту же функциональную форму

Φ (r) = 1 4 π ε ∑ l = 0 ∞ ∑ m = - ll I lmrl 4 π 2 l + 1 Y lm (θ, ϕ) {\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {l} I_ {lm} r ^ {l} {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} (\ theta, \ phi)}

\ Phi (\ mathbf {r}) = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon} \ sum_ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum_ {m = -l} ^ {l} I_ {lm} r ^ {l} \ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} Y_ {lm} ( \ theta, \ phi)

с внутренними мультипольными моментами, определенными как

I lm = def ∫ dr ′ ρ (r ′) (r ′) l + 1 4 π 2 l + 1 Y lm ∗ (θ ′, ϕ ′) {\ Displaystyle I_ {lm} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int d \ mathbf {r} ^ {\ prime} {\ frac {\ rho (\ mathbf { r} ^ {\ prime})} {\ left (r ^ {\ prime} \ right) ^ {l + 1}}} {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}}} Y_ { lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ {\ prime})}

I_ {lm} \ \ st ackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ int d \ mathbf {r} ^ {\ prime} \ frac {\ rho (\ mathbf {r} ^ {\ prime})} {\ left (r ^ { \ prime} \ right) ^ {l + 1}} \ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} Y_ {lm} ^ {*} (\ theta ^ {\ prime}, \ phi ^ { \ prime})

Энергии взаимодействия сферических мультиполей

Простая формула для энергии взаимодействия двух неперекрывающихся но можно получить концентрические распределения зарядов. Пусть первое распределение заряда $ρ 1 (r ') {\ displaystyle \ rho _ {1} (\ mathbf {r} ^ {\ prime})}$ $\ rho_ {1} (\ mathbf {r} ^ {\ prime })$ с центром в начале координат и полностью лежит во втором распределении заряда $ρ 2 (r ') {\ displaystyle \ rho _ {2} (\ mathbf {r} ^ {\ prime})}$ $\rho_{2}(\mathbf{r}^{\prime})$ . Энергия взаимодействия между любыми двумя распределениями статического заряда определяется следующим образом:

U = def ∫ dr ρ 2 (r) Φ 1 (r) {\ displaystyle U \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int d \ mathbf {r} \ rho _ {2} (\ mathbf {r}) \ Phi _ {1} (\ mathbf {r})}

U \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ int d \ mathbf {r} \ rho_ {2} (\ mathbf {r}) \ Phi_ {1} (\ mathbf {r})

Потенциал $Φ 1 (r) {\ displaystyle \ Phi _ {1} (\ mathbf {r})}$ $\Phi_{1}(\mathbf{r})$ первого (центрального) распределения заряда может быть расширен во внешние мультиполи

Φ (r) = 1 4 π ε ∑ l = 0 ∞ ∑ м знак равно - ll Q 1 лм (1 rl + 1) 4 π 2 l + 1 Y лм (θ, ϕ) {\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {l} Q_ {1lm} \ left ({\ frac {1} {r ^ {l +1}}} \ right) {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} (\ theta, \ phi)}

\ Phi (\ mathbf {r}) = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon} \ sum_ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum_ {m = -l} ^ {l} Q_ {1lm} \ left (\ frac {1} {r ^ {l + 1}} \ right) \ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} Y_ {lm} (\ theta, \ phi)

где $Q 1 lm {\ displaystyle Q_ {1lm}}$ $Q_ {1lm}$ представляет $lm {\ displaystyle lm}$ $lm$ внешний мультипольный момент первого распределения заряда. Подстановка этого разложения дает формулу

U = 1 4 π ε ∑ l = 0 ∞ ∑ m = - ll Q 1 lm ∫ dr ρ 2 (r) (1 rl + 1) 4 π 2 l + 1 Y lm (θ, ϕ) {\ displaystyle U = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {l} Q_ {1lm} \ int d \ mathbf {r} \ \ rho _ {2} (\ mathbf {r}) \ left ({\ frac {1} {r ^ {l + 1}}} \ right) {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} (\ theta, \ phi)}

U = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon} \ sum_ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum_ {m = -l} ^ {l} Q_ {1lm} \ int d \ mathbf {r} \ \ rho_ {2} (\ mathbf {r}) \ left (\ frac {1} {r ^ {l + 1}} \ right) \ sqrt {\ frac {4 \ pi } {2l + 1}} Y_ {lm} (\ theta, \ phi)

Поскольку интеграл равен комплексному сопряжению внутренних мультипольных моментов $I 2 lm { \ displaystyle I_ {2lm}}$ $I_ {2lm}$ второго (периферийного) распределения заряда, формула энергии сводится к простой форме

U = 1 4 π ε ∑ l = 0 ∞ ∑ m = - ll Q 1 пм я 2 лм * {\ Displaystyle U = {\ гидроразрыва {1} {4 \ pi \ varepsilon}} \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {l } Q_ {1lm} I_ {2lm} ^ {*}}

U = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon} \ sum_ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum_ {m = -l} ^ {l} Q_ {1lm} I_ {2lm} ^ {*}

Например, эту формулу можно использовать для определения энергий электростатического взаимодействия атомного ядра с окружающими его электронными орбиталями. И наоборот, учитывая энергии взаимодействия и внутренние мультипольные моменты электронных орбиталей, можно найти внешние мультипольные моменты (и, следовательно, форму) атомного ядра.

Особый случай осевой симметрии

Сферическое мультипольное расширение принимает простую форму, если распределение заряда аксиально-симметрично (т. Е. Не зависит от азимутального угла $ϕ ′ {\ Displaystyle \ phi ^ {\ prime}}$ $\phi^{\prime}$ ). Выполняя интеграции $ϕ ′ {\ displaystyle \ phi ^ {\ prime}}$ $\phi^{\prime}$ , которые определяют $Q lm {\ displaystyle Q_ {lm}}$ $Q_ {lm}$ и $I lm {\ displaystyle I_ {lm}}$ $I_ {lm}$ , можно показать, что все мультипольные моменты равны нулю, кроме случаев, когда $m = 0 {\ displaystyle m = 0}$ $m=0$ . Используя математическое тождество