расширение Лапласа ( потенциал)

редактировать

В физике, разложение Лапласа потенциалов, которые прямо пропорциональны обратной величине расстояния ( $1 / r {\ displaystyle 1 / r}$ ${\ displaystyle 1 / r}$ ), например гравитационный потенциал Ньютона или электростатический потенциал Кулона, выражает их в терминах сферических полиномов Лежандра. В квантово-механических расчетах атомов разложение используется для оценки интегралов межэлектронного отталкивания.

Расширение Лапласа - это фактически расширение обратного расстояния между двумя точками. Пусть точки имеют векторы положения $r {\ displaystyle {\ textbf {r}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {r}}}$ и $r ′ {\ displaystyle {\ textbf {r}} '}$ ${\textbf {r}}'$ , то разложение Лапласа равно

1 | г - г '| = ∑ ℓ знак равно 0 ∞ 4 π 2 ℓ + 1 ∑ m = - ℓ ℓ (- 1) m r < ℓ r>ℓ + 1 Y ℓ - m (θ, φ) Y ℓ m (θ ′, φ ′). {\ displaystyle {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} {\ frac {4 \ pi} { 2 \ ell +1}} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} (- 1) ^ {m} {\ frac {r _ {\ scriptscriptstyle <}^{\ell }}{r_{\scriptscriptstyle>} ^ {\ ell +1}} } Y _ {\ ell} ^ {- m} (\ theta, \ varphi) Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta ', \ varphi').}

{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}{\frac {r_{\scriptscriptstyle <}^{\ell }}{r_{\scriptscriptstyle>} ^ {\ ell + 1}}} Y _ {\ ell} ^ {- m} (\ theta, \ varphi) Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta ', \ varphi').

Здесь $r {\ displaystyle {\ textbf {r}} }$ ${\ displaystyle {\ textbf {r}}}$ имеет сферические полярные координаты $(r, θ, φ) {\ displaystyle (r, \ theta, \ varphi)}$ ${\ displaystyle (r, \ theta, \ varphi)}$ и $r ′ {\ displaystyle {\ textbf {r}} '}$ ${\textbf {r}}'$ имеет $(r', θ ', φ') {\ displaystyle (r ', \ theta', \ varphi ')}$ $(r',\theta ',\varphi ')$ с однородными полиномами степени $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ ${\ displaystyle \ ell}$ . Далее r <- это min (r, r ′), а r>- max (r, r ′). Функция $Y ℓ m {\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m}}$ $Y _ {\ ell} ^ {м}$ является нормализованной сферической гармоникой f Соборование. Расширение принимает более простой вид, если записать его в терминах сплошных гармоник,

1 | г - г '| = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = - ℓ ℓ (- 1) m I ℓ - m (r) R ℓ m (r ′) с | г |>| r ′ |. {\ displaystyle {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = - \ ell } ^ {\ ell} (- 1) ^ {m} I _ {\ ell} ^ {- m} (\ mathbf {r}) R _ {\ ell} ^ {m} (\ mathbf {r} ') \ quad {\ text {with}} \ quad | \ mathbf {r} |>| \ mathbf {r} '|.}

${\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {r})R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ')\quad {\text{with}}\quad |\mathbf {r} |>| \ mathbf {r}' |.$

Вывод

Вывод этого расширения простой. По закону косинусов ,

1 | r - r ′ | = 1 r 2 + (r ′) 2 - 2 rr ′ cos ⁡ γ = 1 r 1 + h 2 - 2 h cos ⁡ γ с h: = r ′ r. {\ displaystyle {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} = {\ frac {1} {\ sqrt {r ^ {2} + (r ') ^ {2} -2rr' \ cos \ gamma}}} = {\ frac {1} {r {\ sqrt {1 + h ^ {2} -2h \ cos \ gamma}}}} \ quad {\ hbox {with}} \ quad h: = {\ frac {r '} {r}}.}

{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+(r')^{2}-2rr'\cos \gamma }}}={\frac {1}{r{\sqrt {1+h^{2}-2h\cos \gamma }}}}\quad {\hbox{with}}\quad h:={\frac {r'}{r}}.

Здесь мы находим производящую функцию для многочленов Лежандра $P (соз ⁡ γ) {\ Displaystyle P _ {\ ell} (\ cos \ gamma)}$ ${\ displaystyle P _ {\ ell} (\ cos \ gamma)}$ :

1 1 + час 2 - 2 час соз ⁡ γ = ∑ ℓ = 0 ∞ час ℓ P ℓ (соз ⁡ γ). {\ displa ystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1 + h ^ {2} -2h \ cos \ gamma}}} = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} h ^ {\ ell} P_ { \ ell} (\ cos \ gamma).}

{\ displaystyle {\ гидроразрыв {1} {\ sqrt {1 + h ^ {2} -2h \ cos \ gamma}} = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} h ^ {\ ell} P _ {\ ell} (\ соз \ гамма).}

Использование теоремы о сложении сферических гармоник

P ℓ (cos ⁡ γ) = 4 π 2 ℓ + 1 ∑ m = - ℓ ℓ (- 1) м Y ℓ - м (θ, φ) Y ℓ м (θ ′, φ ′) {\ displaystyle P _ {\ ell} (\ cos \ gamma) = {\ frac {4 \ pi} {2 \ ell +1 }} \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} (- 1) ^ {m} Y _ {\ ell} ^ {- m} (\ theta, \ varphi) Y _ {\ ell} ^ {m } (\ theta ', \ varphi')}

P_{\ell }(\cos \gamma)={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}(\theta,\varphi)Y_{\ell }^{m}(\theta ',\varphi ')

дает желаемый результат.

Ссылки

Гриффитс, Дэвид Дж. (Дэвид Джеффри). Введение в электродинамику. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл, 1981.