Контрагармоническое среднее

В математике контрагармоническое среднее является функцией, дополняющей гармоническое среднее. Контрагармоническое среднее является частным случаем из среднего Лемера, $L\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{p\}\}$, где p = 2.

• 1 Определение
• 2 Свойства
• 3 Формулы с двумя переменными
  • 3.1 Дополнительные конструкции
• 4 Свойства
• 5 Использование в статистике
• 6 История
• 7 См. Также
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

Противогармоническое среднее набора положительных чисел определяется как среднее арифметическое квадраты чисел, разделенные на среднее арифметическое чисел:

$C\; \; (x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn)\; =\; 1\; n\; (x\; 1\; 2\; +\; x\; 2\; 2\; +\; \cdots \; +\; xn\; 2)\; 1\; n\; (x\; 1\; +\; x\; 2\; +\; \cdots \; +\; xn),\; знак\; равно\; x\; 1\; 2\; +\; x\; 2\; 2\; +\; \cdots \; +\; xn\; 2\; x\; 1\; +\; x\; 2\; +\; \cdots \; +\; xn.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{C\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\{1\; \backslash \; over\; n\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; x\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; over\; \{1\; \backslash \; over\; n\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{1\}\; +\; x\_\; \{2\; \}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\},\; \backslash \backslash \; [3pt]\; =\; \{\{x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; x\_\; \{n\}\; ^\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; over\; \{x\_\; \{1\}\; +\; x\_\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; x\_\; \{n\}\}\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Легко показать, что это удовлетворяет характеристическим свойствам среднего :

• $C\; \; (x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn)\; \in \; [min\; (x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn),\; max\; (x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{C\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash ,\; \backslash \; dots,\; \backslash ,\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; in\; \backslash \; left\; [\backslash \; min\; \backslash \; left\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash ,\; \backslash \; dots,\; \backslash ,\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; right),\; \backslash ,\; \backslash \; max\; \backslash \; left\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash ,\; \backslash \; dots,\; \backslash ,\; x\_\; \{\; n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$
• $C\; \; (t\; \cdot \; x\; 1,\; t\; \cdot \; x\; 2,\dots ,\; t\; \cdot \; xn)\; =\; t\; \cdot \; C\; (x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn)\; для\; t>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{C\}\; \backslash \; left\; (t\; \backslash \; cdot\; x\_\; \{1\},\; t\; \backslash \; cdot\; x\_\; \{2\},\; \backslash ,\; \backslash \; dots,\; \backslash ,\; t\; \backslash \; cdot\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; =\; t\; \backslash \; cdot\; C\; \backslash \; left\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash ,\; \backslash \; dots,\; \backslash ,\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; t>0\}$

Первое свойство подразумевает свойство фиксированной точки, которое для всех k>0,

C( k, k,…, k) = k

Контрагармоническое среднее выше по значению, чем среднее арифметическое, а также выше, чем среднеквадратичное :

$min\; (x)\; \le \; H\; \; (x)\; \le \; G\; \; (x)\; \le \; L\; \; (x)\; \le \; A\; \; (x)\; \le \; R\; \; (x)\; \le \; C\; \; (x)\; \le \; max\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; min\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}))\; \backslash \; leq\; \backslash \; operatorname\; \{H\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; \backslash \; leq\; \backslash \; operatorname\; \{G\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; \backslash \; leq\; \backslash \; operatorname\; \{L\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; \backslash \; leq\; \backslash \; operatorname\; \{A\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; \backslash \; leq\; \backslash \; operatorname\; \{R\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; \backslash \; leq\; \backslash \; operatorname\; \{C\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; \backslash \; leq\; \backslash \; max\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\}$

где x - список значений, H - среднее гармоническое, G - среднее геометрическое,, L- среднее логарифмическое, A- среднее арифметическое,, R- среднеквадратичное, а C - контргармоническое среднее. Если все значения x не совпадают, знаки ≤ можно заменить на <.

. Противогармоника имени может быть связана с тем, что при взятии среднего только двух переменных контргармоника Среднее арифметическое значение выше среднего арифметического настолько же, насколько и среднее арифметическое выше среднего гармонического (т. е. среднее арифметическое двух переменных равно среднему арифметическому их гармонического и контргармонического средних значений).

Из формул для среднего арифметического и среднего гармонического двух переменных имеем:

$A\; \; (a,\; b)\; =\; a\; +\; b\; 2\; H\; \; (\; a,\; b)\; =\; 1\; 1\; 2\; \cdot \; (1\; a\; +\; 1\; b)\; =\; 2\; aba\; +\; b\; C\; \; (a,\; b)\; =\; 2\; \cdot \; A\; (a,\; b)\; -\; H\; (a,\; b)\; =\; a\; +\; b\; -\; 2\; aba\; +\; b\; =\; (a\; +\; b)\; 2\; -\; 2\; aba\; +\; b\; =\; a\; 2\; +\; b\; 2\; a\; +\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{A\}\; (a,\; b)\; =\; \{\{a\; +\; b\; \}\; \backslash \; over\; 2\}\; \backslash \backslash \backslash \; operatorname\; \{H\}\; (a,\; b)\; =\; \{1\; \backslash \; over\; \{\{1\; \backslash \; over\; 2\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; left\; (\{1\; \backslash \; over\; a\}\; +\; \{1\; \backslash \; over\; b\}\; \backslash \; right)\}\}\}\; =\; \{\{2ab\}\; \backslash \; over\; \{a\; +\; b\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; имя\; оператора\; \{C\}\; (a,\; b)\; =\; 2\; \backslash \; cdot\; A\; (a,\; b)\; -H\; (a,\; b)\; \backslash \backslash \; =\; a\; +\; b\; -\; \{\{2ab\}\; \backslash \; over\; \{a\; +\; b\}\}\; =\; \{\{(a\; +\; b)\; ^\; \{2\}\; -2ab\}\; \backslash \; over\; \{a\; +\; b\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\{a\; ^\; \{\; 2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; over\; \{a\; +\; b\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Обратите внимание, что для двух переменных среднее значение гармонического и контргармонического средних в точности равно среднему арифметическому:

A(H(a, b), C (a, b)) = A (a, b)

Когда a приближается к 0, то H (a, b) также приближается к 0. Среднее гармоническое очень чувствительно к низким значениям. С другой стороны, контргармоническое среднее чувствительно к большим значениям, поэтому, когда a приближается к 0, тогда C (a, b) приближается к b (поэтому их среднее значение остается A (a, b)).

Есть еще две примечательные связи между двумя переменными средними. Во-первых, среднее геометрическое среднего арифметического и гармонического равно среднему геометрическому двух значений:

$G\; \; (A\; \; (a,\; b),\; H\; \; (a,\; b))\; =\; G\; \; (a\; +\; b\; 2,\; 2\; aba\; +\; b)\; знак\; равно\; a\; +\; b\; 2\; \cdot \; 2\; aba\; +\; b\; =\; ab\; =\; G\; \; (a,\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{G\}\; (\backslash \; operatorname\; \{A\}\; (a,\; b),\; \backslash \; operatorname\; \{H\}\; (a,\; b))\; =\; \backslash \; operatorname\; \{G\}\; \backslash \; left\; (\{\{a\; +\; b\}\; \backslash \; over\; 2\},\; \{\{2ab\}\; \backslash \; over\; \{a\; +\; b\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\; \{a\; +\; b\}\; \backslash \; over\; 2\}\; \backslash \; cdot\; \{\{2ab\}\; \backslash \; over\; \{a\; +\; b\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{ab\}\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{G\}\; (a,\; b)\}$

Второй соотношение состоит в том, что среднее геометрическое арифметических и контргармонических средних является среднеквадратичным:

$G\; \; (A\; \; (a,\; b),\; C\; \; (a,\; b))\; =\; G\; \; (a\; +\; b\; 2,\; a\; 2\; +\; b\; 2\; a\; +\; b)\; знак\; равно\; a\; +\; b\; 2\; \cdot \; a\; 2\; +\; b\; 2\; a\; +\; b\; =\; a\; 2\; +\; b\; 2\; 2\; =\; R\; \; (a,\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{\; G\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; operatorname\; \{A\}\; (a,\; b),\; \backslash \; operatorname\; \{C\}\; (a,\; b)\; \backslash \; right)\; =\; \{\}\; \backslash \; operatorname\; \{G\}\; \backslash \; left\; (\{\{a\; +\; b\}\; \backslash \; over\; 2\},\; \{\{a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; over\; \{a\; +\; b\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \{\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\{a\; +\; b\}\; \backslash \; over\; 2\}\; \backslash \; cdot\; \{\{\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; over\; \{a\; +\; b\}\}\}\}\; =\; \{\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{a\; ^\; \{\; 2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; over\; 2\}\}\; \backslash \backslash \; [2pt]\; =\; \{\}\; \backslash \; operatorname\; \{R\}\; (a,\; b)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Контрагармоническое среднее двух переменных может быть построенным геометрически с использованием трапеции (см. [1] ).

Дополнительные конструкции

Контрагармоническое среднее может быть построено на окружности аналогично тому, как пифагорово среднее двух переменных. Контрагармоническое среднее - это остаток диаметра, на котором лежит гармоническое среднее.

Противогармоническое среднее случайной величины равно сумме среднего арифметического и дисперсии, деленной на среднее арифметическое. Поскольку дисперсия всегда ≥0, контргармоническое среднее всегда больше или равно среднему арифметическому.

Отношение дисперсии к среднему было предложено Клэпхэмом в качестве тестовой статистики. Эта статистика представляет собой среднее значение контрагармонии за вычетом единицы.

Это также связано со статистикой Каца

$J\; n\; =\; n\; 2\; s\; 2\; -\; мм\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{s\; ^\; \{2\}\; -m\}\; \{m\}\}\}$

где m - среднее значение, s - дисперсия, а n - размер выборки.

Jnасимптотически нормально распределен со средним нулевым и дисперсией 1.

Проблема смещения выборки по размеру была обсуждена Коксом в 1969 году на проблеме выборки. волокна. ожидание выборки со смещением размера равно его контргармоническому среднему значению.

Вероятность выборки волокна пропорциональна его длине. Из-за этого обычное выборочное среднее (среднее арифметическое) является смещенной оценкой истинного среднего. Чтобы увидеть это, рассмотрим

$g\; (x)\; =\; xf\; (x)\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{xf\; (x)\}\; \{m\}\}\}$

где f (x) - истинное значение распределение населения, g (x) - это распределение, взвешенное по длине, а m - выборочное среднее. Взятие обычного математического ожидания среднего здесь дает контргармоническое среднее, а не обычное (арифметическое) среднее значение выборки. Эту проблему можно решить, взяв вместо этого математическое ожидание гармонического среднего (1 / x). Математическое ожидание и дисперсия 1 / x равны

$E\; \; [1\; x]\; =\; 1\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{m\}\}\}$

и имеет дисперсию

$Var\; \; (1\; x)\; =\; m\; E\; [1\; x\; -\; 1]\; nm\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{mE\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right]\}\; \{nm\; ^\; \{2\}\}\}\}$

где E - оператор математического ожидания. Асимптотически E [1 / x] распределяется нормально.

Асимптотическая эффективность выборки со смещением длины зависит от базового распределения по сравнению со случайной выборкой. если f (x) log normal, эффективность равна 1, а если генерация гамма-распределена с индексом b, эффективность равна b / (b - 1).

Это распределение использовалось в нескольких областях.

Оно использовалось при анализе изображений.

Противогармоническое среднее было обнаружено греками математик Евдокс в 4 веке до нашей эры.

• Гармоническое среднее
• Лемеровское среднее
• Пифагорейское среднее

• Эссе №3 - Некоторые «средние» трапеции, Шеннон Амбергер: [2]
• Построение контрагармонического среднего в трапеции: [3]
• Средние в трапеции: [4]
• Средние комплексные числа: [5]
• Доказательства без слов / упражнений в визуальном мышлении, Роджер Б. Нельсен, стр. 56, ISBN 0-88385-700-6
• Пифагорейские средние: [6] ( продлите сегмент, который представляет среднее значение гармоники через центр круга, на другую сторону, создав диаметр. Длина сегмента диаметра после сегмента гармоники является средним значением контрагармонии.)
• Пахиккала, Юсси (2010), О контргармонических средних и пифагоровых троек, Elemente der Mathematik 65 (2): 62–67.

• Contraharmonic Proportion в PlanetMath. org.