Среднее логарифмическое

Трехмерный график, показывающий значения среднего логарифмического значения.

В математике среднее логарифмическое является функцией двух неотрицательных чисел, равных их разнице, деленной на логарифм их частного. Этот расчет применим в инженерных задачах, связанных с теплом и массообменом.

• 1 Определение
• 2 Неравенства
• 3 Выведение
  • 3.1 Теорема о среднем значении дифференциального исчисления
  • 3.2 Интегрирование
• 4 Обобщение
  • 4.1 Теорема среднего значения дифференциального исчисления
  • 4.2 Интегральное значение
• 5 Связь с другими средствами
• 6 См. Также
• 7 Ссылки

Логарифмическое среднее определяется как:

$M\; lm\; (x,\; y)\; =\; lim\; (\xi ,\; \eta )\; \to \; (x,\; y)\; \eta \; -\; \xi \; ln\; \; (\eta )\; -\; ln\; \; (\xi )\; =\; \{x,\; если\; x\; =\; y,\; y\; -\; x\; ln\; \; (y)\; -\; ln\; \; (x)\; в\; противном\; случае,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\}\; M\; \_\; \{\backslash \; text\; \{lm\}\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{(\backslash \; xi,\; \backslash \; eta)\; \backslash \; to\; (x,\; y)\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; eta\; -\; \backslash \; xi\}\; \{\backslash \; ln\; (\backslash \; eta)\; -\; \backslash \; ln\; (\backslash \; xi)\}\}\; \backslash \backslash \; [\; 6pt]\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; x\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; x\; =\; y,\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{yx\}\; \{\backslash \; ln\; (y)\; -\; \backslash \; ln\; (x)\}\}\; \{\backslash \; text\; \{иначе,\}\}\; \backslash \; end\; \{case\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

для положительных чисел $x,\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y\}$.

Среднее логарифмическое значение два числа меньше, чем арифметическое значение n и обобщенное среднее с показателем на одну треть, но больше, чем среднее геометрическое, если только числа не совпадают, и в этом случае все три средних значения равны числам.

$x\; y\; \le \; M\; lm\; (x,\; y)\; \le \; (x\; 1/3\; +\; y\; 1/3\; 2)\; 3\; \le \; x\; +\; y\; 2\; для\; всех\; x>0\; и\; y>0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{xy\}\}\; \backslash \; leq\; M\; \_\; \{\backslash \; text\; \{lm\}\}\; (x,\; y)\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{1/3\}\; +\; y\; ^\; \{1/3\}\})\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{x\; +\; y\}\; \{2\}\}\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{для\; всех\}\}\; x>0\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; y>0.\}$

Теорема дифференциального исчисления о среднем значении

Из теоремы о среднем значении, существует значение $\xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\}$в интервале между x и y, где производная $f\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}\}$равен наклону секущей линии :

$\exists \; \xi \; \in \; (x,\; y):\; f\; \prime \; (\xi )\; =\; f\; (x)\; -\; f\; (y)\; x\; -\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exists\; \backslash \; xi\; \backslash \; in\; (x,\; y):\; \backslash \; f\; \text{'}(\backslash \; xi)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x)\; -f\; (y)\}\; \{xy\}\}\}$

Среднее логарифмическое значение получается как значение $\xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\}$путем замены $ln\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\}$на $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и аналогичным образом для его поправка спонирование производная :

$1\; \xi \; =\; пер\; \; (x)\; -\; пер\; \; (y)\; x\; -\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; xi\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; (x)\; -\; \backslash \; ln\; (y)\}\; \{xy\}\}\}$

и решение для $\xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\}$:

$\xi \; =\; x\; -\; y\; ln\; \; (x)\; -\; ln\; \; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{xy\}\; \{\backslash \; ln\; (x)\; -\; \backslash \; ln\; (y)\}\}\}$

Интегрирование

Среднее логарифмическое значение также можно интерпретировать как область под экспоненциальная кривая.

$L\; (x,\; y)\; =\; \int \; 0\; 1\; x\; 1\; -\; tytdt\; =\; \int \; 0\; 1\; (yx)\; txdt\; =\; x\; \int \; 0\; 1\; (yx)\; tdt\; =\; x\; ln\; \; (yx)\; (yx)\; т\; |\; T\; знак\; равно\; 0\; 1\; знак\; равно\; Икс\; пер\; \; (yx)\; (yx\; -\; 1)\; =\; y\; -\; x\; пер\; \; (yx)\; =\; y\; -\; x\; пер\; \; (y)\; -\; пер\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; L\; (x,\; y)\; =\; \{\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; x\; ^\; \{1-t\}\; y\; ^\; \{t\}\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; =\; \{\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\; \}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{t\}\; x\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; =\; \{\}\; x\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; y\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{t\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; \backslash \backslash \; [3pt]\; =\; \{\}\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{\; x\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{t\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{t\; =\; 0\}\; ^\; \{1\}\; =\; \{\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{x\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right)\; =\; \{\}\; \{\backslash \; frac\; \{yx\}\; \{\backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{x\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \backslash \; [3pt]\; =\; \{\}\; \{\backslash \; frac\; \{yx\}\; \{\backslash \; ln\; \backslash \; left\; (y\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\; x\; \backslash \; right)\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Интерпретация площади позволяет легко вывести некоторые основные свойства логарифмического среднего. Поскольку экспоненциальная функция монотонна, интеграл на интервале длины 1 ограничен $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$. Однородность интегрального оператора переносится на оператор среднего, то есть $L\; (cx,\; cy)\; =\; c\; L\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (cx,\; cy)\; =\; cL\; (\; x,\; y)\}$.

Два других полезных интегральных представления:

$1\; L\; (x,\; y)\; =\; \int \; 0\; 1\; dttx\; +\; (1\; -\; t)\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{1\; \backslash \; over\; L\; (x,\; y)\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; t\; \backslash \; над\; tx\; +\; (1-t)\; y\}\}$и $1\; L\; (x,\; y)\; =\; \int \; 0\; \infty \; dt\; (т\; +\; х)\; (т\; +\; у).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{1\; \backslash \; над\; L\; (х,\; y)\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash !\; т\; \backslash \; над\; (т\; +\; х)\; \backslash ,\; (т\; +\; у)\}.\}$

Теорема о среднем значении дифференциального исчисления

Среднее значение можно обобщить на $n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; +\; 1\}$переменных рассмотрев теорему о среднем значении для разделенных разностей для $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$th производной логарифма.

Получаем

$L\; MV\; (x\; 0,\dots ,\; xn)\; =\; (-\; 1)\; (n\; +\; 1)\; n\; ln\; \; ([x\; 0,\dots ,\; xn])\; -\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{\backslash \; text\; \{MV\}\}\; (x\_\; \{0\},\; \backslash ,\; \backslash \; dots,\; \backslash ,\; x\_\; \{n\})\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{-\; n\}]\; \{(-\; 1)\; ^\; \{(n\; +\; 1)\}\; n\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; [x\_\; \{0\},\; \backslash ,\; \backslash \; dots,\; \backslash ,\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; right)\}\}\}$

где $ln\; \; ([x\; 0,\dots ,\; xn])\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; [x\_\; \{0\},\; \backslash ,\; \backslash \; dots,\; \backslash ,\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; right)\}$обозначает разделенную разницу от логарифма.

Для $n\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 2\}$это приводит к

$L\; MV\; (x,\; y,\; z)\; =\; (x\; -\; y)\; (y\; -\; z)\; (Z\; -\; Икс)\; 2\; ((Y\; -\; Z)\; пер\; \; (Икс)\; +\; (Z\; -\; Икс)\; пер\; \; (Y)\; +\; (X\; -\; Y)\; пер\; \; (г))\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; text\; \{\; MV\}\}\; (x,\; y,\; z)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{(xy)\; \backslash \; left\; (yz\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (zx\; \backslash \; right)\}\; \{2\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (yz\; \backslash \; right)\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (x\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (zx\; \backslash \; right)\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (y\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (xy\; \backslash \; right)\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (z\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}\}\}\}$.

Интеграл

Интегральная интерпретация также может быть обобщена на большее количество переменных, но это приводит к другому результату. Для симплекса $S\; \{\backslash \; textstyle\; S\}$с $S\; =\; \{(\alpha \; 0,\dots ,\; \alpha \; n):\; (\alpha \; 0\; +\; \cdots \; +\; \alpha \; n\; =\; 1)\; \wedge \; (\alpha \; 0\; \ge \; 0)\; \wedge \; \cdots \; \wedge \; (\alpha \; n\; \ge \; 0)\}\; \{\backslash \; textstyle\; S\; =\; \backslash \; \{\backslash \; left\; (\backslash \; alpha\; \_\; \{0\},\; \backslash ,\; \backslash \; dots,\; \backslash ,\; \backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\; \backslash \; справа):\; \backslash \; left\; (\backslash \; alpha\; \_\; \{0\}\; +\; \backslash \; dots\; +\; \backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\; =\; 1\; \backslash \; right)\; \backslash \; land\; \backslash \; left\; (\backslash \; alpha\; \_\; \{0\}\; \backslash \; geq\; 0\; \backslash \; right)\; \backslash \; land\; \backslash \; dots\; \backslash \; land\; \backslash \; left\; (\backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\; \backslash \; geq\; 0\; \backslash \; right)\; \backslash \}\}$и соответствующий показатель $d\; \alpha \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; alpha\}$который присваивает симплексу объем 1, получаем

$LI\; (x\; 0,\dots ,\; xn)\; =\; \int \; S\; x\; 0\; \alpha \; 0\; \cdot \; \cdots \; \cdot \; xn\; \alpha \; nd\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; text\; \{I\}\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{0\},\; \backslash ,\; \backslash \; dots,\; \backslash ,\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{S\}\; x\_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{0\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; \backslash \; cdots\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; x\_\; \{n\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \_\; \{n\}\}\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; alpha\}$

Это можно упростить, используя разделенные разности экспоненциальной функции до

$LI\; (x\; 0,\dots ,\; xn)\; =\; п!\; ехр\; \; [пер\; \; (x\; 0),\dots ,\; пер\; (xn)]\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; text\; \{I\}\}\; \backslash \; left\; (x\_\; \{0\},\; \backslash ,\; \backslash \; dots,\; \backslash ,\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; =\; n!\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; [\backslash \; ln\; \backslash \; left\; (x\_\; \{0\}\; \backslash \; right),\; \backslash ,\; \backslash \; dots,\; \backslash ,\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (x\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$.

Пример $N\; =\; 2\; \{\backslash \; textstyle\; n\; =\; 2\}$

$LI\; (x,\; y,\; z)\; =\; -\; 2\; x\; (ln\; \; (y)\; -\; ln\; \; (z))\; +\; y\; (ln\; \; (z)\; -\; ln\; \; (x))\; +\; z\; (ln\; \; (x)\; -\; ln\; \; (y))\; (ln\; \; (x)\; -\; ln\; \; (y))\; (ln\; \; (y)\; -\; ln\; \; (z))\; (ln\; \; (\; г)\; -\; пер\; \; (Икс))\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; текст\; \{I\}\}\; (х,\; у,\; г)\; =\; -\; 2\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{х\; \backslash \; влево\; (\backslash \; пер\; \backslash \; влево\; (у\; \backslash \; вправо)\; -\; \backslash \; пер\; \backslash \; left\; (z\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; +\; y\; \backslash \; left\; (\backslash \; ln\; \backslash \; left\; (z\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (x\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; +\; z\; \backslash \; left\; (\backslash \; ln\; \backslash \; left\; (x\; \backslash \; right))\; -\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (y\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; left\; (\backslash \; ln\; \backslash \; left\; (x\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (y\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; ln\; \backslash \; left\; (y\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (z\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; ln\; \backslash \; left\; (z\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (x\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}\}\}$.

• Среднее арифметическое : $L\; (x\; 2,\; y\; 2)\; L\; (x,\; y)\; =\; x\; +\; y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{L\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{2\},\; y)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}\; \{L\; (x,\; y)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; +\; y\}\; \{2\}\}\}$

• Среднее геометрическое : $L\; (x,\; Y)\; L\; (1\; Икс,\; 1\; Y)\; знак\; равно\; ху\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{L\; \backslash \; left\; (x,\; y\; \backslash \; right)\}\; \{L\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{y\}\}\; \backslash \; right)\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{xy\}\}\}$

• Среднее гармоническое : $L\; (1\; x,\; 1\; y)\; L\; (1\; x\; 2,\; 1\; Y\; 2)\; =\; 2\; 1\; Икс\; +\; 1\; Y\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{L\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{y\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{L\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{y\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{x\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{y\}\}\}\}\}$

• Другое среднее значение, связанное с логарифмами, - это среднее геометрическое.
• Среднее логарифмическое частный случай среднего значения Столярского.
• Средняя логарифмическая разница температур
• Логарифмическое полукольцо

Цитаты

Библиография

• Глоссарий нефтяного месторождения: термин «среднее логарифмическое»
• Weisstein, Eric W. "Неравенство среднего арифметического-логарифмического-геометрического". MathWorld.
• Столярский, Кеннет Б.: Обобщения логарифмического среднего, Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, Mar., 1975, pp 87–92