Среднее логарифмическое

редактировать
Трехмерный график, показывающий значения среднего логарифмического значения.

В математике среднее логарифмическое является функцией двух неотрицательных чисел, равных их разнице, деленной на логарифм их частного. Этот расчет применим в инженерных задачах, связанных с теплом и массообменом.

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Неравенства
  • 3 Выведение
    • 3.1 Теорема о среднем значении дифференциального исчисления
    • 3.2 Интегрирование
  • 4 Обобщение
    • 4.1 Теорема среднего значения дифференциального исчисления
    • 4.2 Интегральное значение
  • 5 Связь с другими средствами
  • 6 См. Также
  • 7 Ссылки

Определение

Логарифмическое среднее определяется как:

M lm (x, y) = lim (ξ, η) → (x, y) η - ξ ln ⁡ (η) - ln ⁡ (ξ) = {x, если x = y, y - x ln ⁡ (y) - ln ⁡ (x) в противном случае, {\ displaystyle {\ begin {align}} M _ {\ text {lm}} (x, y) = \ lim _ {(\ xi, \ eta) \ to (x, y)} {\ frac {\ eta - \ xi} {\ ln (\ eta) - \ ln (\ xi)}} \\ [ 6pt] = {\ begin {cases} x {\ text {if}} x = y, \\ {\ frac {yx} {\ ln (y) - \ ln (x)}} {\ text {иначе,}} \ end {case}} \ end {align}}}{\ Displaystyle {\ begin {align} M _ {\ text {lm}} (x, y) = \ lim _ {(\ xi, \ eta) \ to (x, y)} {\ frac {\ eta - \ xi} {\ ln (\ eta) - \ ln (\ xi)}} \\ [6pt] = {\ begin {cases} x {\ text {if}} x = y, \\ {\ frac { yx} {\ ln (y) - \ ln (x)}} {\ text {в противном случае}} \ end {case}} \ end {align}}}

для положительных чисел x, y {\ displaystyle x, y}x, y .

Неравенства

Среднее логарифмическое значение два числа меньше, чем арифметическое значение n и обобщенное среднее с показателем на одну треть, но больше, чем среднее геометрическое, если только числа не совпадают, и в этом случае все три средних значения равны числам.

x y ≤ M lm (x, y) ≤ (x 1/3 + y 1/3 2) 3 ≤ x + y 2 для всех x>0 и y>0. {\ displaystyle {\ sqrt {xy}} \ leq M _ {\ text {lm}} (x, y) \ leq \ left ({\ frac {x ^ {1/3} + y ^ {1/3}}) {2}} \ right) ^ {3} \ leq {\ frac {x + y} {2}} \ qquad {\ text {для всех}} x>0 {\ text {and}} y>0.}{\displaystyle {\sqrt {xy}}\leq M_{\text{lm}}(x,y)\leq \left({\frac {x^{1/3}+y^{1/3}}{2}}\right)^{3}\leq {\frac {x+y}{2}}\qquad {\text{ for all }}x>0 {\ text {and}} y>0.}

Вывод

Теорема дифференциального исчисления о среднем значении

Из теоремы о среднем значении, существует значение ξ {\ displaystyle \ xi}\ xi в интервале между x и y, где производная f ′ {\ displaystyle f '}f'равен наклону секущей линии :

∃ ξ ∈ (x, y): f ′ (ξ) = f (x) - f (y) x - y {\ displaystyle \ exists \ xi \ in (x, y): \ f '(\ xi) = {\ frac {f (x) -f (y)} {xy}}}{\displaystyle \exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi)={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}

Среднее логарифмическое значение получается как значение ξ {\ displaystyle \ xi}\ xi путем замены ln {\ displaystyle \ ln}\ ln на f {\ displaystyle f}fи аналогичным образом для его поправка спонирование производная :

1 ξ = пер ⁡ (x) - пер ⁡ (y) x - y {\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi}} = {\ frac {\ ln (x) - \ ln (y)} {xy}}}{\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi}} = {\ frac {\ ln (x) - \ ln (y)} {xy}}}

и решение для ξ {\ displaystyle \ xi}\ xi :

ξ = x - y ln ⁡ (x) - ln ⁡ (y) {\ displaystyle \ xi = {\ frac {xy} {\ ln (x) - \ ln (y)}}}{\ displaystyle \ xi = {\ frac {xy} {\ ln (x) - \ ln (y)}}}

Интегрирование

Среднее логарифмическое значение также можно интерпретировать как область под экспоненциальная кривая.

L (x, y) = ∫ 0 1 x 1 - tytdt = ∫ 0 1 (yx) txdt = x ∫ 0 1 (yx) tdt = x ln ⁡ (yx) (yx) т | T знак равно 0 1 знак равно Икс пер ⁡ (yx) (yx - 1) = y - x пер ⁡ (yx) = y - x пер ⁡ (y) - пер ⁡ (x) {\ displaystyle {\ begin {выровнено} L (x, y) = {} \ int _ {0} ^ {1} x ^ {1-t} y ^ {t} \ \ mathrm {d} t = {} \ int _ {0} ^ {1 } \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) ^ {t} x \ \ mathrm {d} t = {} x \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac { y} {x}} \ right) ^ {t} \ mathrm {d} t \\ [3pt] = {} \ left. {\ frac {x} {\ ln \ left ({\ frac {y} { x}} \ right)}} \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) ^ {t} \ right | _ {t = 0} ^ {1} = {} {\ frac {x} {\ ln \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}} \ left ({\ frac {y} {x}} - 1 \ right) = {} {\ frac {yx} {\ ln \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}} \\ [3pt] = {} {\ frac {yx} {\ ln \ left (y \ right) - \ ln \ left ( x \ right)}} \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} L (x, y) = {} \ int _ {0} ^ {1} x ^ {1-t} y ^ {t} \ \ mathrm {d} t = {} \ int _ {0} ^ {1} \ left ( {\ frac {y} {x}} \ right) ^ {t} x \ \ mathrm {d} t = {} x \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {y} {x }} \ right) ^ {t} \ mathrm {d} t \\ [3pt] = {} \ left. {\ frac {x} {\ ln \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}} \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) ^ {t} \ right | _ {t = 0} ^ {1} = {} {\ frac {x} {\ ln \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}} \ left ({\ frac {y} {x}} - 1 \ righ t) = {} {\ frac {yx} {\ ln \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}} \\ [3pt] = {} {\ frac {yx} {\ ln \ left (y \ right) - \ ln \ left (x \ right)}} \ end {align}}}

Интерпретация площади позволяет легко вывести некоторые основные свойства логарифмического среднего. Поскольку экспоненциальная функция монотонна, интеграл на интервале длины 1 ограничен x {\ displaystyle x}xи y {\ displaystyle y}y . Однородность интегрального оператора переносится на оператор среднего, то есть L (cx, cy) = c L (x, y) {\ displaystyle L (cx, cy) = cL ( x, y)}{\ displaystyle L ( cx, cy) = cL (x, y)} .

Два других полезных интегральных представления:

1 L (x, y) = ∫ 0 1 dttx + (1 - t) y {\ displaystyle {1 \ over L (x, y)} = \ int _ {0} ^ {1} {\ operatorname {d} \! t \ над tx + (1-t) y}}{\ displaystyle {1 \ over L (x, y)} = \ int _ {0} ^ {1} {\ operatorname {d} \! t \ over tx + (1-t) y}} и 1 L (x, y) = ∫ 0 ∞ dt (т + х) (т + у). {\ Displaystyle {1 \ над L (х, y)} = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ operatorname {d} \! т \ над (т + х) \, (т + у)}.}{\ displaystyle {1 \ over L (x, y)} = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ operatorname {d} \ ! t \ над (t + x) \, (t + y)}.}

Обобщение

Теорема о среднем значении дифференциального исчисления

Среднее значение можно обобщить на n + 1 {\ displaystyle n + 1}n + 1 переменных рассмотрев теорему о среднем значении для разделенных разностей для n {\ displaystyle n}n th производной логарифма.

Получаем

L MV (x 0,…, xn) = (- 1) (n + 1) n ln ⁡ ([x 0,…, xn]) - n {\ displaystyle L_ {\ text {MV}} (x_ {0}, \, \ dots, \, x_ {n}) = {\ sqrt [{- n}] {(- 1) ^ {(n + 1)} n \ ln \ left (\ left [x_ {0}, \, \ dots, \, x_ {n} \ right] \ right)}}}{\ displaystyle L _ {\ text {MV}} (x_ {0}, \, \ dots, \, x_ {n}) = {\ sqrt [{- n}] {(- 1) ^ {(n + 1)} n \ ln \ left (\ left [x_ {0}, \, \ dots, \, x_ {n} \ right] \ right)}}}

где ln ⁡ ([x 0,…, xn]) {\ displaystyle \ ln \ left (\ left [x_ {0}, \, \ dots, \, x_ {n} \ right] \ right)}{\ displaystyle \ ln \ left (\ left [x_ {0}, \, \ dots, \, x_ {n} \ right] \ right)} обозначает разделенную разницу от логарифма.

Для n = 2 {\ displaystyle n = 2}n = 2 это приводит к

L MV (x, y, z) = (x - y) (y - z) (Z - Икс) 2 ((Y - Z) пер ⁡ (Икс) + (Z - Икс) пер ⁡ (Y) + (X - Y) пер ⁡ (г)) {\ Displaystyle L _ {\ text { MV}} (x, y, z) = {\ sqrt {\ frac {(xy) \ left (yz \ right) \ left (zx \ right)} {2 \ left (\ left (yz \ right) \ ln \ left (x \ right) + \ left (zx \ right) \ ln \ left (y \ right) + \ left (xy \ right) \ ln \ left (z \ right) \ right)}}}}{\ displaystyle L _ {\ text {MV}} (x, y, z) = {\ sqrt {\ frac {(xy) \ left (yz \ right) \ left (zx \ right)} { 2 \ left (\ left (yz \ right) \ ln \ left (x \ right) + \ left (zx \ right) \ ln \ left (y \ right) + \ left (xy \ right) \ ln \ left ( z \ right) \ right)}}}} .

Интеграл

Интегральная интерпретация также может быть обобщена на большее количество переменных, но это приводит к другому результату. Для симплекса S {\ textstyle S}{\ textstyle S} с S = {(α 0,…, α n): (α 0 + ⋯ + α n = 1) ∧ (α 0 ≥ 0) ∧ ⋯ ∧ (α n ≥ 0)} {\ textstyle S = \ {\ left (\ alpha _ {0}, \, \ dots, \, \ alpha _ {n} \ справа): \ left (\ alpha _ {0} + \ dots + \ alpha _ {n} = 1 \ right) \ land \ left (\ alpha _ {0} \ geq 0 \ right) \ land \ dots \ land \ left (\ alpha _ {n} \ geq 0 \ right) \}}{\ textstyle S = \ {\ left (\ alpha _ {0}, \, \ точки, \, \ alpha _ {n} \ right): \ left (\ alpha _ {0} + \ dots + \ alpha _ {n} = 1 \ right) \ land \ left (\ alpha _ {0} \ geq 0 \ справа) \ земля \ точки \ земля \ влево (\ альфа _ {n} \ geq 0 \ вправо) \}} и соответствующий показатель d α {\ textstyle \ mathrm {d} \ alpha}{\ textstyle \ mathrm {d} \ alpha} который присваивает симплексу объем 1, получаем

LI (x 0,…, xn) = ∫ S x 0 α 0 ⋅ ⋯ ⋅ xn α nd α {\ displaystyle L _ {\ text {I}} \ left (x_ {0}, \, \ dots, \, x_ {n} \ right) = \ int _ {S} x_ {0} ^ {\ alpha _ {0}} \ cdot \, \ cdots \, \ cdot x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}} \ \ mathrm {d} \ alpha}{\ displaystyle L _ {\ text {I} } \ left (x_ {0}, \, \ dots, \, x_ {n} \ right) = \ int _ {S} x_ {0} ^ {\ alpha _ {0}} \ cdot \, \ cdots \, \ cdot x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}} \ \ mathrm {d} \ альфа}

Это можно упростить, используя разделенные разности экспоненциальной функции до

LI (x 0,…, xn) = п! ехр ⁡ [пер ⁡ (x 0),…, пер (xn)] {\ displaystyle L _ {\ text {I}} \ left (x_ {0}, \, \ dots, \, x_ {n} \ right) = n! \ exp \ left [\ ln \ left (x_ {0} \ right), \, \ dots, \, \ ln \ left (x_ {n} \ right) \ right]}{\ displaystyle L _ {\ text {I}} \ left (x_ {0}, \, \ dots, \, x_ {n} \ right) = n! \ exp \ left [\ ln \ left (x_ {0} \ right), \, \ dots, \, \ ln \ left (x_ {n} \ right) \ right]} .

Пример N = 2 {\ textstyle n = 2}{\ textstyle n = 2}

LI (x, y, z) = - 2 x (ln ⁡ (y) - ln ⁡ (z)) + y (ln ⁡ (z) - ln ⁡ (x)) + z (ln ⁡ (x) - ln ⁡ (y)) (ln ⁡ (x) - ln ⁡ (y)) (ln ⁡ (y) - ln ⁡ (z)) (ln ⁡ ( г) - пер ⁡ (Икс)) {\ Displaystyle L _ {\ текст {I}} (х, у, г) = - 2 {\ гидроразрыва {х \ влево (\ пер \ влево (у \ вправо) - \ пер \ left (z \ right) \ right) + y \ left (\ ln \ left (z \ right) - \ ln \ left (x \ right) \ right) + z \ left (\ ln \ left (x \ right)) - \ ln \ left (y \ right) \ right)} {\ left (\ ln \ left (x \ right) - \ ln \ left (y \ right) \ right) \ left (\ ln \ left (y \ right) - \ ln \ left (z \ right) \ right) \ left (\ ln \ left (z \ right) - \ ln \ left (x \ right) \ right)}}}{ \ Displaystyle L _ {\ текст {I}} (х, у, г) = - 2 {\ гидроразрыва {х \ влево (\ пер \ влево (у \ вправо) - \ пер \ влево (г \ вправо) \ вправо) + y \ left (\ ln \ left (z \ right) - \ ln \ left (x \ right) \ right) + z \ left (\ ln \ left (x \ right) - \ ln \ left (y \ right)) \ right)} {\ left (\ ln \ left (x \ right) - \ ln \ left (y \ right) \ right) \ left (\ ln \ left (y \ right) - \ ln \ left (z \ right) \ right) \ left (\ ln \ left (z \ right) - \ ln \ left (x \ right) \ right)}}} .

Связь с другими означает

  • Среднее геометрическое : L (x, Y) L (1 Икс, 1 Y) знак равно ху {\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {L \ left (x, y \ right)} {L \ left ({\ frac {1} {x}}, {\ frac {1} {y}} \ right)}}} = {\ sqrt {xy}}}{\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {L \ left (x, y \ right)} {L \ left ({\ frac {1} {x}}, {\ frac {1} {y}) } \ right)}}} = {\ sqrt {xy}}}
  • Среднее гармоническое : L (1 x, 1 y) L (1 x 2, 1 Y 2) = 2 1 Икс + 1 Y {\ Displaystyle {\ frac {L \ left ({\ frac {1} {x}}, {\ frac {1} {y}} \ right)} {L \ left ({\ frac {1} {x ^ {2}}}, {\ frac {1} {y ^ {2}}} \ right)}} = {\ frac {2} {{\ frac {1 } {x}} + {\ frac {1} {y}}}}}{\ displaystyle {\ frac {L \ left ({\ frac {1} {x}}, {\ frac {1} {y}} \ right)} {L \ left ({\ frac {1} {x ^ {2}}}, {\ frac {1} {y ^ {2}}} \ right)}} = {\ frac {2} {{\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {y}}}} }

См. также

Ссылки

Цитаты
Библиография
Последняя правка сделана 2021-05-28 05:31:10
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте