Теорема Казорати – Вейерштрасса

В комплексном анализе, разделе математики, теорема Казорати – Вейерштрасса описывает поведение голоморфных функций вблизи их существенных особенностей. Он назван в честь Карла Теодора Вильгельма Вейерштрасса и Феличе Казорати. В русской литературе это называется теоремой Сохоцкого.

• 1 Формальная формулировка теоремы
• 2 Примеры
• 3 Доказательство теоремы
• 4 История
• 5 Ссылки

Начните с некоторого открытого подмножества $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$в комплексной плоскости, содержащего число $z\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{0\; \}\}$и функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, которая голоморфна на $U\; \setminus \; \{z\; 0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; \backslash \; backslash\; \backslash \; \backslash \; \{z\_\; \{0\}\; \backslash \}\}$, но имеет существенную особенность в точке $z\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{0\}\}$. Затем теорема Казорати – Вейерштрасса утверждает, что

, если $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$является любой окрестностью из $z\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{0\}\}$содержится в $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$, затем $f\; (V\; \setminus \; \{z\; 0\})\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (V\; \backslash \; \backslash \; backslash\; \backslash \; \backslash \; \{z\_\; \{0\}\; \backslash \})\}$является плотным в $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$.

Это также можно указать следующим образом:

для любой $\epsilon >0,\; \delta >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon>0,\; \backslash \; delta>0\}$и комплексное число $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$, существует комплексное число $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$в $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$с и .

Или в еще более описательных терминах:

$f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$произвольно приближается к любому сложному значению в каждой окрестности $z\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{0\}\}$.

Теорема значительно усиливается великой теоремой Пикара, которая утверждает, в обозначениях выше, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$предполагает все комплексное значение, с одним возможным исключением, бесконечно часто на $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$.

В случае, если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является целой функцией и $a\; =\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; \backslash \; infty\}$, теорема гласит, что значения $f\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\}$приблизиться к каждому комплексному числу и $\infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; infty\}$, поскольку $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$стремится к бесконечности. Примечательно, что это не выполняется для голоморфных отображений в более высоких измерениях, как показывает знаменитый пример Пьера Фату.

График функции exp (1 / z), с центром на существенной сингулярности в точке z = 0. Оттенок представляет комплексный аргумент, яркость представляет собой абсолютное значение. Этот график показывает, как приближение к существенной сингулярности с разных направлений приводит к разному поведению (в отличие от полюса, который был бы равномерно белым).

Функция f (z) = exp (1 / z) имеет существенную особенность в 0, а функция g (z) = 1 / z - нет (у нее полюс в 0).

Рассмотрим функцию

$f\; (z)\; =\; e\; 1\; /\; z.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; e\; ^\; \{1\; /\; z\}.\}$

Эта функция имеет следующий ряд Тейлора о существенной особой точке в 0:

$е\; (г)\; знак\; равно\; \sum \; N\; знак\; равно\; 0\; \infty \; 1\; N!\; з\; -\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n!\}\}\; z\; ^\; \{-\; n\}.\}$

Потому что $f\; \prime \; (Z)\; =\; -\; е\; 1\; zz\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\}\}\}\; \{z\; ^\; \{2\}\}\}\}$существует для всех точек z ≠ 0, мы знаем, что ƒ (z) аналитична в проколотой окрестности точки z = 0. Следовательно, это изолированная особенность, а также an существенная особенность.

Использование замены переменной на полярные координаты $z\; =\; rei\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; re\; ^\; \{i\; \backslash \; theta\}\}$наши функция, ƒ (z) = e становится:

$f\; (z)\; =\; e\; 1\; re\; -\; i\; \theta \; =\; e\; 1\; r\; cos\; \; (\theta )\; e\; -\; 1\; ri\; sin\; \; (\theta ).\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (г)\; =\; е\; ^\; \{\{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{г\}\}\; е\; ^\; \{-\; я\; \backslash \; тета\}\}\; =\; е\; ^\; \{\{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{г\}\}\; \backslash \; соз\; (\backslash \; тета)\; \}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; i\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\}.\}$

Принимая абсолютное значение с обеих сторон:

$|\; f\; (z)\; |\; =\; |\; e\; 1\; r\; cos\; \; \theta \; |\; |\; e\; -\; 1\; r\; i\; sin\; \; (\theta )\; |\; =\; e\; 1\; r\; cos\; \; \theta .\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево\; |\; е\; (г)\; \backslash \; вправо\; |\; =\; \backslash \; влево\; |\; е\; ^\; \{\{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{г\}\}\; \backslash \; соз\; \backslash \; тета\}\; \backslash \; вправо\; |\; \backslash \; влево\; |\; е\; ^\; \{-\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\; \}\; \{r\}\}\; i\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\}\; \backslash \; right\; |\; =\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}.\}$

Таким образом, для значений θ таких, что cos θ>0, мы имеем $f\; (z)\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}$как $r\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; rightarrow\; 0\}$, а для , $f\; (z)\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; \backslash \; rightarrow\; 0\}$как $r\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; rightarrow\; 0\}$.

Рассмотрим, что происходит, например, когда z принимает значения на окружности диаметром 1 / R, касательной к мнимой оси. Этот круг задается формулой r = (1 / R) cos θ. Тогда

$f\; (z)\; =\; e\; R\; [соз\; \; (R\; tan\; \; \theta )\; -\; i\; sin\; \; (R\; tan\; \; \theta )]\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; e\; ^\; \{R\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; cos\; \backslash \; left\; (R\; \backslash \; tan\; \backslash \; theta\; \backslash \; right)\; -i\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (R\; \backslash \; tan\; \backslash \; theta\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$

и

$|\; f\; (z)\; |\; =\; е\; R.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; f\; (z)\; \backslash \; right\; |\; =\; e\; ^\; \{R\}.\}$

Таким образом, $|\; f\; (z)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; f\; (z)\; \backslash \; right\; |\}$может принимать любое положительное значение, кроме нуля, при соответствующем выборе R. As $z\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; \backslash \; rightarrow\; 0\}$на окружности, $\theta \; \to \; \pi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\}$с фиксированным R. Итак, эта часть уравнения:

$[cos\; \; (R\; tan\; \; \theta )\; -\; i\; sin\; \; (R\; tan\; \; \theta )]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\backslash \; cos\; \backslash \; left\; (R\; \backslash \; tan\; \backslash \; theta\; \backslash \; right)\; -\; i\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (R\; \backslash \; tan\; \backslash \; theta\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$

бесконечно часто принимает все значения на единичной окружности . Следовательно, f (z) принимает значение каждого числа в комплексной плоскости , за исключением нуля бесконечно часто.

Краткое доказательство теоремы выглядит следующим образом:

Предположим, что функция f мероморфна в некоторой проколотой окрестности V \ {z 0 }, и что z 0 является существенной особенностью. Предположим от противного, что существует некоторое значение b, к которому функция никогда не приблизится; то есть: предположим, что существует некоторое комплексное значение b и некоторое ε>0 такое, что | f (z) - b | ≥ ε для всех z в V, на которых определено f.

Затем новая функция:

$g\; (z)\; =\; 1\; f\; (z)\; -\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\; (z)\; -b\}\}\}$

должен быть голоморфным на V \ {z 0 }, с нулями на полюсах функции f и ограниченным 1 / ε. Следовательно, его можно аналитически продолжить (или непрерывно, или голоморфно продолжить) на все V с помощью теоремы об аналитическом продолжении Римана. Таким образом, исходная функция может быть выражена через g:

$f\; (z)\; =\; 1\; g\; (z)\; +\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{g\; (z)\}\}\; +\; b\; \}$

для всех аргументов z в V \ {z 0 }. Рассмотрим два возможных случая для

$lim\; z\; \to \; z\; 0\; g\; (z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{z\; \backslash \; to\; z\_\; \{0\}\}\; g\; (z).\}$

Если предел равен 0, то f имеет полюс в точке z 0. Если предел не равен 0, то z 0 является устранимой сингулярностью f. Обе возможности противоречат предположению, что точка z 0 является существенной особенностью функции f. Следовательно, предположение неверно и теорема верна.

История этой важной теоремы описана Коллингвудом и Лоуотером. Он был опубликован Вейерштрассом в 1876 году (на немецком языке) и Сохоцким в 1868 году в его магистерской диссертации (на русском языке). Так она получила название теоремы Сохоцкого в русской литературе и теоремы Вейерштрасса в западной литературе. Та же теорема была опубликована Казорати в 1868 г. и Брио и Буке в первом издании их книги (1859 г.). Однако Брио и Буке удалили эту теорему из второго издания (1875 г.).

1. ^Фату П. (1922). "Sur les fonctions meromorphes de deux variables". Comptes rendus. 175 . стр. 862, 1030.
2. ^Collingwood, E; Лохуотер, А. (1966). Теория кластерных множеств. Cambridge University Press.
3. ^Briot, Ch; Букет, C (1859). Теория периодических методов удвоения функций и др., В частности, описания эллиптических функций. Париж.

• Раздел 31, теорема 2 (стр. 124–125) из Кнопп, Конрад (1996), Теория функций, Dover Publications, ISBN 978-0-486-69219-7