Декартов овал

редактировать

Пример декартовых овалов.

В геометрии, декартово oval, названный в честь Рене Декарта, представляет собой плоскую кривую , набор точек, которые имеют одинаковые линейная комбинация расстояний от двух фиксированных точек.

Содержание

1 Определение
2 Особые случаи
3 Полиномиальное уравнение
4 Приложения в оптике
5 История
6 См. Также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Определение

Пусть P и Q - фиксированные точки на плоскости, а d (P, S) и d (Q, S) обозначают евклидовы расстояния от этих точек до третья переменная точка S. Пусть m и a - произвольные действительные числа. Тогда декартов овал - это геометрическое место точек S, для которых d (P, S) + m d (Q, S) = a. Два овала, образованные четырьмя уравнениями d (P, S) + m d (Q, S) = ± a и d (P, S) - m d (Q, S) = ± a, тесно связаны; вместе они образуют плоскую кривую четвертой степени, называемую овалами Декарта .

Особые случаи

В уравнении d (P, S) + md (Q, S) = a, когда m = 1 и a>d (P, Q), результирующая форма представляет собой эллипс . В предельном случае , в котором P и Q совпадают, эллипс становится окружностью. Когда $m = a / d (P, Q) {\ displaystyle m = a / {\ text {d}} (P, Q)}$ $m = a / \ text {d} (P, Q)$ , это limaçon Паскаля. Если $m = - 1 {\ displaystyle m = -1}$ $m = -1$ и $0 < a < d ( P, Q) {\displaystyle 0$ $0 <a <\ text {d} (P, Q)$ , уравнение дает ветвь гиперболы и, следовательно, не является замкнутым овалом.

Полиномиальное уравнение

Набор точек (x, y), удовлетворяющих полиномиальному уравнению четвертой степени

[(1 - m 2) (x 2 + y 2) + 2 м 2 сх + a 2 - м 2 с 2] 2 = 4 a 2 (x 2 + y 2) {\ displaystyle [(1-m ^ {2}) (x ^ {2} + y ^ {2}) + 2m ^ {2} cx + a ^ {2} -m ^ {2} c ^ {2}] ^ {2} = 4a ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2})}

{\ displaystyle [(1-m ^ {2}) (x ^ {2} + y ^ {2}) + 2m ^ {2} cx + a ^ { 2} -m ^ {2} c ^ {2}] ^ {2} = 4a ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2})}

где c - расстояние $d (P, Q) {\ displaystyle {\ text {d}} (P, Q)}$ $\ text {d} ( P, Q)$ между двумя фиксированными фокусами P = (0, 0) и Q = (c, 0), образует два овала, множества точек, удовлетворяющих двум из четырех уравнений

d ⁡ (P, S) ± md ⁡ (Q, S) = a {\ displaystyle \ operatorname { d} (P, S) \ pm m \ operatorname {d} (Q, S) = a \,}

{\ displaystyle \ operatorname {d} (P, S) \ pm m \ operatorname {d} (Q, S) = a \,}

d ⁡ (P, S) ± md ⁡ (Q, S) = - a {\ displaystyle \ operatorname {d} (P, S) \ pm m \ operatorname {d} (Q, S) = - a \,}

{\ displaystyle \ operatorname {d} (P, S) \ pm m \ operatorname {d} (Q, S) = - a \,}

, которые имеют действительные решения. Два овала обычно не пересекаются, за исключением случая, когда P или Q принадлежат им. По крайней мере, один из двух перпендикуляров к PQ, проходящих через точки P и Q, разрезает эту кривую квартики в четырех реальных точках; из этого следует, что они обязательно вложены друг в друга, причем по крайней мере одна из двух точек P и Q содержится внутри обеих из них. Для другой параметризации и результирующей квартики см. Lawrence.

Приложения в оптике

Как обнаружил Декарт, декартовы овалы могут использоваться в конструкции линзы. Выбрав отношение расстояний от P и Q, чтобы оно соответствовало отношению синусов в законе Снеллиуса, и используя поверхность вращения одного из этих овалов, можно сконструировать так называемую апланатическую линзу, которая не имеет сферической аберрации.

Кроме того, если сферический волновой фронт преломляется через сферическую линзу или отражается от вогнутой сферической поверхности, преломленный или отраженный волновой фронт принимает форму декартова овала. Таким образом, каустика, образованная сферической аберрацией, в этом случае может быть описана как эволюция декартова овала.

История

Овалы Декарта были впервые изучены Рене Декартом в 1637 году в связи с их применением в оптике.

Эти кривые также были изучены Ньютоном начиная с 1664 года. Один из методов рисования определенных декартовых овалов, уже использовавшийся Декартом, аналогичен стандартному построению эллипса натянутой нитью. Если протянуть нить от булавки в одном фокусе, чтобы обернуть вокруг булавки во втором фокусе, и привязать свободный конец нити к ручке, путь, пройденный ручкой, когда нить натянута, образует декартову овал с соотношением расстояний от двух очагов 2: 1. Однако Ньютон отверг такие конструкции как недостаточно строгие. Он определил овал как решение дифференциального уравнения, построил его субнормальные и снова исследовал его оптические свойства.

Французский математик Мишель Шасл обнаружил в 19 веке, что если декартов овал определяется двумя точками P и Q, то, как правило, существует третья точка R на той же прямой, такая, что тот же овал также определяется любой парой этих трех точек.

Джеймс Клерк Максвелл заново открыл эти кривые, обобщил их до кривых, определяемых постоянством взвешенной суммы расстояний от трех или более фокусов, и написал статью под названием «Наблюдения за описанными фигурами, имеющими множество фокусов и радиусов». различных пропорций. Отчет о своих результатах, озаглавленный «Описание овальных кривых и кривых с множеством фокусов», был написан J.D. Forbes и представлен Эдинбургскому королевскому обществу в 1846 году, когда Максвелл был в молодом возрасте 14 (почти 15) лет.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы, связанные с декартовым овалом.