Теорема Брунна – Минковского

редактировать

В математике используется теорема Брунна – Минковского (или Неравенство Брунна – Минковского ) - это неравенство, связывающее объемы (или, в более общем смысле, меры Лебега ) компактных подмножеств евклидова пространства. Первоначальная версия теоремы Брунна – Минковского (Герман Брунн 1887; Герман Минковский 1896) применялась к выпуклым множествам; изложенное здесь обобщение на компактные невыпуклые множества принадлежит Лазару Люстернику (1935).

Содержание

1 Заявление
- 1.1 Мультипликативная версия
2 О гипотезе
- 2.1 Измеримость
- 2.2 Непустота
3 Доказательства
4 Важные следствия
- 4.1 Вогнутость функции радиуса (теорема Брунна)
- 4.2 Симметризация Брунна-Минковского выпуклого тела
- 4.3 Теорема Грюнбаума
- 4.4 Изопериметрическое неравенство
- 4.5 Приложения к неравенствам между смешанными объемами
- 4.6 Концентрация меры на сфере и других строго выпуклых поверхностях
5 Замечания
6 Примеры
- 6.1 Закругленные кубы
- 6.2 Примеры, когда нижняя граница нечеткая
7 Связь с другими частями математики
8 См. также
9 Ссылки

Утверждение

Пусть n ≥ 1 и пусть μ обозначает меру Лебега на R . Пусть A и B - два непустых компактных подмножества R . Тогда выполняется следующее неравенство :

[μ (A + B)] 1 / n ≥ [μ (A)] 1 / n + [μ (B)] 1 / n, {\ displaystyle [\ mu (A + B)] ^ {1 / n} \ geq [\ mu (A)] ^ {1 / n} + [\ mu (B)] ^ {1 / n},}

[\ mu (A + B)] ^ {1 / n} \ geq [\ mu (A)] ^ {1 / n} + [\ mu (B)] ^ {1 / n},

где A + B обозначает сумму Минковского :

A + B: = {a + b ∈ R n ∣ a ∈ A, b ∈ B}. {\ displaystyle A + B: = \ {\, a + b \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid a \ in A, \ b \ in B \, \}.}

A + B: = \ {\, a + b \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid a \ in A, \ b \ in B \, \}.

Теорема также верно в том случае, если $A, B, A + B {\ textstyle A, B, A + B}$ ${\ textstyle A, B, A + B}$ считаются только измеримыми и непустыми.

Мультипликативная версия

Неравенство Брунна-Минковского подразумевает мультипликативную версию с использованием неравенства $λ x + (1 - λ) y ≥ x λ y 1 - λ {\ textstyle \ lambda x + (1- \ лямбда) y \ geq x ^ {\ lambda} y ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle \ lambda x + (1- \ lambda) y \ geq x ^ {\ lambda} y ^ {1- \ lambda}}$ , который выполняется для $x, y ≥ 0, λ ∈ [0, 1] {\ textstyle x, y \ geq 0, \ lambda \ in [0,1]}$ ${\ textstyle x, y \ geq 0, \ lambda \ in [0,1]}$ . В частности, $μ (λ A + (1 - λ) B) ≥ (λ μ (A) 1 / n + (1 - λ) μ (B) 1 / n) n ≥ μ (A) λ μ (B) 1 - λ {\ textstyle \ mu (\ lambda A + (1- \ lambda) B) \ geq (\ lambda \ mu (A) ^ {1 / n} + (1- \ lambda) \ mu (B) ^ {1 / n}) ^ {n} \ geq \ mu (A) ^ {\ lambda} \ mu (B) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle \ mu (\ lambda A + (1- \ lambda) B) \ geq (\ lambda \ mu (A) ^ {1 / n} + (1- \ lambda) \ mu (B) ^ {1 / n}) ^ {n} \ geq \ mu (A) ^ {\ lambda} \ mu (B) ^ {1- \ lambda}}$ . Неравенство Прекопа – Лейндлера является функциональным обобщением этой версии Брунна-Минковского.

По гипотезе

Измеримость

$A, B {\ textstyle A, B}$ ${\ textstyle A, B}$ может быть измеримым по Лебегу и $A + B {\ textstyle A + B}$ ${ \ textstyle A + B}$ не быть; пример счетчика можно найти в «Измерение нулевых множеств с неизмеримой суммой». С другой стороны, если $A, B {\ textstyle A, B}$ ${\ textstyle A, B}$ являются Измеримо по Борелю, тогда $A + B {\ textstyle A + B}$ ${ \ textstyle A + B}$ - непрерывное изображение множества Бореля $A × B {\ textstyle A \ times B}$ ${\ textstyle A \ times B}$ , поэтому аналитический и, следовательно, измеримый. См. Обсуждение в обзоре Гарднера, чтобы узнать больше об этом, а также о том, как избежать гипотезы измеримости.

Мы отмечаем, что в случае, когда A и B компактны, также A + B, будучи изображением компактного множества $A × B {\ textstyle A \ times B}$ ${\ textstyle A \ times B}$ под картой непрерывного сложения: $+: R n × R n → R n {\ textstyle +: \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ textstyle +: \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n} }$ , поэтому условия измеримости легко проверить.

Непустота

Условие, что $A, B {\ textstyle A, B}$ ${\ textstyle A, B}$ оба непусты, очевидно, необходимо. Это условие не является частью мультипликативных версий BM, указанных ниже.

Доказательства

Мы приводим два хорошо известных доказательства Брунна-Минковского.

Геометрическое доказательство с помощью кубоидов и теории меры
Мы приводим хорошо известный аргумент, который следует общему рецепту аргументов в теории меры; а именно, он устанавливает простой случай прямым анализом, использует индукцию для установления конечного расширения этого частного случая, а затем использует общий аппарат для получения общего случая в качестве предела. Обсуждение истории этого доказательства можно найти в теореме 4.1 в обзоре Гарднера о Брунне-Минковском. . Мы докажем версию теоремы Брунна-Минковского, которая требует только $A, B, A + B {\ textstyle A, B, A + B}$ ${\ textstyle A, B, A + B}$ , чтобы быть измеримыми и непустыми. Случай, когда A и B являются прямоугольниками, выровненными по оси: Из-за неизменности трансляции объемов достаточно взять $A = ∏ i = 1 n [0, ai], B = ∏ i = 1 n [0, bi] {\ textstyle A = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [0, a_ {i}], B = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [0, b_ { i}]}$ ${\ textstyle A = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [0, a_ {i}], B = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [0, b_ {i}]}$ . Тогда $A + B = ∏ i = 1 n [0, ai + bi] {\ textstyle A + B = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [0, a_ {i} + b_ {i }]}$ ${\ textstyle A + B = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [0, a_ {i} + b_ {i}]}$ . В этом частном случае неравенство Брунна-Минковского утверждает, что $∏ (ai + bi) 1 / n ≥ ∏ ai 1 / n + ∏ bi 1 / n {\ textstyle \ prod (a_ {i} + b_ {i }) ^ {1 / n} \ geq \ prod a_ {i} ^ {1 / n} + \ prod b_ {i} ^ {1 / n}}$ ${ \ textstyle \ prod (a_ {i} + b_ {i}) ^ {1 / n} \ geq \ prod a_ {i} ^ {1 / n} + \ prod b_ {i} ^ {1 / n}}$ . После деления обеих сторон на $∏ (ai + bi) 1 / n {\ textstyle \ prod (a_ {i} + b_ {i}) ^ {1 / n}}$ ${\ textstyle \ prod (a_ {i} + b_ {i}) ^ {1 / n}}$ , это следует из AM-GM неравенство : $(∏ aiai + bi) 1 / n + (∏ biai + bi) 1 / n ≤ ∑ 1 nai + biai + bi = 1 {\ textstyle (\ prod {\ frac {a_ {i}} {a_ {i} + b_ {i}}}) ^ {1 / n} + (\ prod {\ frac {b_ {i}} {a_ {i} + b_ {i }}}) ^ {1 / n} \ leq \ sum {\ frac {1} {n}} {\ frac {a_ {i} + b_ {i}} {a_ {i} + b_ {i}}} = 1}$ ${\ textstyle (\ prod {\ frac {a_ {i}} {a_ {i} + b_ {i}}}) ^ {1 / n} + (\ prod {\ frac {b_ {i}} {a_ {i} + b_ {i}}}) ^ {1 / n} \ leq \ sum {\ frac {1} {n}} {\ frac {a_ {i} + b_ {i} } {a_ {i} + b_ {i}}} = 1}$ . Случай, когда A и B оба являются непересекающимися объединениями конечного числа таких ящиков: Мы будем использовать индукцию по общему количеству ящиков, где предыдущее вычисление устанавливает базовый случай двух ящиков. Во-первых, мы замечаем, что существует выровненная по оси гиперплоскость H, такая, что каждая сторона H содержит весь блок A. Чтобы увидеть это, достаточно свести к случаю, когда A состоит из двух блоков, а затем вычислить, что отрицание этого утверждения означает, что у этих двух блоков есть общая точка. Для тела X мы используем $X -, X + {\ textstyle X ^ {-}, X ^ {+}}$ ${\ textstyle X ^ {-}, X ^ {+}}$ для обозначения пересечения X с символом " правое "и" левое "полупространства, определенные H. Заметив еще раз, что утверждение Брунна-Минковского инвариантно относительно сдвигов, мы затем переводим B так, чтобы $μ (A +) μ (B +) = μ (A -) μ (B -) {\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu (B ^ {+})}} = {\ frac {\ mu (A ^ {-})} {\ му (B ^ {-})}}}$ ${\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+}) } {\ mu (B ^ {+})}} = {\ frac {\ mu (A ^ {-})} {\ mu (B ^ {-})}}}$ ; такой перевод существует по теореме о промежуточном значении, потому что $t → μ ((B + tv) +) {\ textstyle t \ to \ mu ((B + tv) ^ {+})}$ ${\ textstyle t \ to \ mu ((B + tv) ^ {+})}$ является непрерывной функцией, если v перпендикулярно H $μ ((B + tv) +) μ ((B + tv) -) {\ textstyle {\ frac {\ mu ((B + tv) ^ {+ })} {\ mu ((B + tv) ^ {-})}}}$ ${\ textstyle {\ frac {\ mu ((B + tv) ^ {+})} {\ му ((В + ТВ) ^ {-})}}}$ имеет предельные значения 0 и $∞ {\ textstyle \ infty}$ ${\ textstyle \ infty}$ как $t → - ∞, t → ∞ {\ displaystyle t \ to - \ infty, t \ to \ infty}$ ${\ displaystyle t \ to - \ infty, t \ to \ infty}$ , поэтому принимает $μ (A +) μ (A -) {\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu (A ^ {-})}}}$ ${\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu (A ^ {-})}}}$ в какой-то момент. Теперь у нас есть детали для завершения этапа индукции. Сначала заметьте, что $A + + B +, A - + B - {\ textstyle A ^ {+} + B ^ {+}, A ^ {-} + B ^ {-}}$ ${\ textstyle A ^ {+} + B ^ {+}, A ^ {-} + B ^ {-}}$ - непересекающиеся подмножества $A + B {\ textstyle A + B}$ ${ \ textstyle A + B}$ , поэтому $[μ (A + B)] 1 / n ≥ [μ (A +) + μ (B +)] 1 / n + [μ (A -) + μ (B -)] 1 / n. {\ textstyle [\ му (A + B)] ^ {1 / n} \ geq [\ mu (A ^ {+}) + \ mu (B ^ {+})] ^ {1 / n} + [\ му (A ^ {-}) + \ mu (B ^ {-})] ^ {1 / n}.}$ ${\ textstyle [\ mu (A + B)] ^ {1 / n} \ geq [\ mu (A ^ {+}) + \ mu (B ^ {+})] ^ {1 / n} + [\ mu (A ^ {-}) + \ му (B ^ {-})] ^ {1 / n}.}$ Итак, $A +, A - {\ textstyle A ^ {+ }, A ^ {-}}$ ${\ textstyle A ^ {+}, A ^ {-}}$ оба имеют на один прямоугольник меньше, чем A, а $B +, B - {\ textstyle B ^ {+}, B ^ {-}}$ ${\ textstyle B ^ {+}, B ^ {-}}$ имеют не более того же количества ящиков, что и B. Таким образом, мы можем применить предположение индукции: $1 / n + [μ (A -) + μ (B -)] 1 / n ≥ μ (A +) 1 / n + μ (B +) 1 / n + μ (A -) 1 / n + μ (B -) 1 / n = μ (B +) 1 / n (1 + μ (A +) 1 / n μ (B +)) + μ (B -) 1 / n (1 + μ (A -) 1 / n μ (B -) 1 / n). {\ Displaystyle {\ begin {align} [\ mu (A ^ {+}) + \ mu (B ^ {+})] ^ {1 / n} + [\ mu (A ^ {-}) + \ mu (B ^ {-})] ^ {1 / n} \ geq \ mu (A ^ {+}) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n} + \ му (A -) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n} \\ = \ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n} (1+ { \ frac {\ mu (A ^ {+}) ^ {1 / n}} {\ mu (B ^ {+})}}) + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n} (1 + {\ frac {\ mu (A ^ {-}) ^ {1 / n}} {\ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n}}}). \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {выровнено} [\ mu (A ^ {+}) + \ mu (B ^ {+})] ^ {1 / n} + [\ mu (A ^ {-}) + \ mu (B ^ {- })] ^ {1 / n} \ geq \ mu (A ^ {+}) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n} + \ mu (A-) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n} \\ = \ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n} (1 + {\ frac {\ mu (A ^ {+}) ^ {1 / n}} {\ mu (B ^ {+})}}) + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n} (1 + {\ frac { \ mu (A ^ {-}) ^ {1 / n}} {\ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n}}}). \ end {align}}}$ Элементарная алгебра показывает, что $μ (A +) μ (B +) = μ (A -) μ (B -) {\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu ( B ^ {+})}} = {\ frac {\ mu (A ^ {-})} {\ mu (B ^ {-})}}}$ ${\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+}) } {\ mu (B ^ {+})}} = {\ frac {\ mu (A ^ {-})} {\ mu (B ^ {-})}}}$ , затем также $μ ( A +) μ (B +) = μ (A) μ (B) {\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu (B ^ {+})}} = {\ frac {\ mu (A)} {\ mu (B)}}}$ ${\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu (B ^ {+})}} = {\ frac {\ mu (A)} {\ mu ( B)}}}$ , поэтому мы можем вычислить: $μ (B +) 1 / n (1 + μ (A +) 1 / n μ (B +) 1 / n) + μ (B -) 1 / n (1 + μ (A -) 1 / n μ (B -) 1 / n) = (1 + μ (A) 1 / n μ (B) 1 / n) (μ (B +) 1 / n + μ (B -) 1 / n) ≥ (1 + μ (A) 1 / n μ (B) 1 / n) μ (B) 1 / n = μ (B) 1 / n + μ (A) 1 / n. {\ displaystyle {\ begin {align} \ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n} (1 + {\ frac {\ mu (A ^ {+}) ^ {1 / n}} {\ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n}}}) + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n} (1 + {\ frac {\ mu (A ^ {-}) ^ { 1 / n}} {\ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n}}}) = (1 + {\ frac {\ mu (A) ^ {1 / n}} {\ mu (B) ^ {1 / n}}}) (\ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n}) \\ \ geq (1 + {\ frac {\ mu (A) ^ {1 / n}} {\ mu (B) ^ {1 / n}}}) \ mu (B) ^ {1 / n} \\ = \ mu ( B) ^ {1 / n} + \ mu (A) ^ {1 / n}. \ End {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n} (1 + {\ frac {\ mu (A ^ {+}) ^ {1 / n}} {\ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n}}}) + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n} (1 + {\ f rac {\ mu (A ^ {-}) ^ {1 / n}} {\ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n}}}) = (1 + {\ frac {\ mu (A) ^ {1 / n}} {\ mu (B) ^ {1 / n}}}) (\ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n}) \\ \ geq (1 + {\ frac {\ mu (A) ^ {1 / n}} {\ mu (B) ^ {1 / n}}}) \ mu (B) ^ {1 / n} \\ = \ mu (B) ^ {1 / n} + \ mu (A) ^ {1 / n}. \ End {align}}}$ Последнее неравенство в предыдущем вычислении следует из общего факта, что $a 1 / n + b 1 / n ≥ (a + b) 1 / n {\ textstyle a ^ {1 / n} + b ^ {1 / n} \ geq (a + b) ^ {1 / n}}$ ${\ textstyle a ^ {1 / n} + b ^ {1 / n} \ geq (a + b) ^ {1 / n}}$ . Случай, когда A и B являются ограниченными открытыми множествами: В этой настройке оба тела могут быть аппроксимированы произвольно хорошо объединениями непересекающихся прямоугольников, выровненных по осям, содержащихся в их внутренней части; это следует из общих фактов о мере Лебега открытых множеств. То есть, у нас есть последовательность тел $A k ⊆ A {\ textstyle A_ {k} \ substeq A}$ ${\ textstyle A_ {k} \ substeq A}$ , которые представляют собой непересекающиеся объединения конечного числа прямоугольников, выровненных по оси, где $μ (A ∖ A k) ≤ 1 / k {\ textstyle \ mu (A \ setminus A_ {k}) \ leq 1 / k}$ ${\ textstyle \ mu (A \ setminus A_ {k}) \ leq 1 / k}$ , а также $B k ⊆ B {\ textstyle B_ {k} \ substeq B}$ ${\ textstyle B_ {k} \ substeq B}$ . Тогда у нас есть $A + B ⊇ A k + B k {\ textstyle A + B \ supseteq A_ {k} + B_ {k}}$ ${\ textstyle A + B \ supseteq A_ {k} + B_ {k}}$ , поэтому $μ (A + B) 1 / n ≥ μ (A K + B k) 1 / n ≥ μ (A k) 1 / n + μ (B k) 1 / n {\ textstyle \ mu (A + B) ^ {1 / n} \ geq \ mu (A_ {k} + B_ {k}) ^ {1 / n} \ geq \ mu (A_ {k}) ^ {1 / n} + \ mu (B_ {k}) ^ {1 / n}}$ ${\ textstyle \ mu (A + B) ^ {1 / n} \ geq \ mu (A_ {k} + B_ {k}) ^ {1 / n} \ geq \ mu (A_ {k}) ^ {1 / n} + \ mu (B_ {k}) ^ {1 / n}}$ . Правая часть сходится к $μ (A) 1 / n + μ (B) 1 / n {\ textstyle \ mu (A) ^ {1 / n} + \ mu (B) ^ {1 / n} }$ ${\ textstyle \ mu (A) ^ {1 / n} + \ mu (B) ^ {1 / n}}$ как $k → ∞ {\ textstyle k \ to \ infty}$ ${\ textstyle k \ to \ infty}$ , устанавливая этот особый случай. Случай, когда A и B являются компактными множествами: Для компактного тела X определите $X ϵ = X + B (0, ϵ) {\ textstyle X _ {\ epsilon} = X + B ( 0, \ epsilon)}$ ${\ textstyle X _ {\ epsilon} = X + B (0, \ epsilon)}$ должно быть $ϵ {\ textstyle \ epsilon}$ ${\ textstyle \ epsilon}$ -толщение X. Здесь каждый $B (0, ϵ) {\ textstyle B (0, \ epsilon)}$ ${\ textstyle B (0, \ epsilon)}$ - открытый шар радиуса $ϵ {\ textstyle \ epsilon}$ ${\ textstyle \ epsilon}$ , так что $X ϵ {\ textstyle X _ {\ epsilon}}$ ${\ textstyle X _ {\ epsilon}}$ - ограниченное открытое множество. Отметим, что $⋂ ϵ>0 Икс ϵ = cl (X) {\ textstyle \ bigcap _ {\ epsilon>0} X _ {\ epsilon} = {\ text {cl}} (X)}$ ${\textstyle \bigcap _{\epsilon>0} X _ {\ epsilon} = {\ text {cl}} (X)}$ , так что если X компактный, то $lim ϵ → 0 μ (X ϵ) = μ (X) {\ textstyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0 } \ mu (X _ {\ epsilon}) = \ mu (X)}$ ${\ textstyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ mu (X _ {\ epsilon}) = \ mu (X)}$ . Используя ассоциативность и коммутативность суммы Минковского, наряду с предыдущим случаем, мы можем вычислить, что $μ ((A + B) 2 ϵ) 1 / n знак равно μ (A ϵ + B ϵ) 1 / n ≥ μ (A ϵ) 1 / n + μ (B ϵ) 1 / n {\ textstyle \ mu ((A + B) _ {2 \ epsilon}) ^ {1 / n} = \ mu (A _ {\ epsilon} + B _ {\ epsilon}) ^ {1 / n} \ geq \ mu (A _ {\ epsilon}) ^ {1 / n} + \ mu (B _ {\ epsilon}) ^ {1 / n}}$ ${\ textstyle \ mu ((A + B) _ {2 \ epsilon}) ^ {1 / n} = \ mu (A _ {\ epsilon} + B _ {\ epsilon}) ^ {1 / n} \ geq \ mu (A _ {\ epsilon}) ^ {1 / n} + \ mu (B _ {\ epsilon}) ^ { 1 / n}}$ . Отправка $ϵ {\ textstyle \ epsilon}$ ${\ textstyle \ epsilon}$ на 0 устанавливает результат. Случай ограниченных измеримых множеств: Напомним, что по теореме регулярности меры Лебега для любой ограниченной меры ble установить X, и для любого $k>≥ {\ textstyle k>\ geq}$ ${\textstyle k>\ geq}$ есть компактный набор $X k ⊆ X {\ textstyle X_ {k} \ substeq X}$ ${\ textstyle X_ {k} \ substeq X}$ с $μ (X ∖ X k) < 1 / k {\textstyle \mu (X\setminus X_{k})<1/k}$ ${\ textstyle \ mu (X \ setminus X_ {k}) <1/k}$ . Таким образом, $μ (A + B) ≥ μ (A k + B k) ≥ (μ (A k) 1 / n + μ (B k) 1 / n) n {\ textstyle \ mu (A + B) \ geq \ mu (A_ {k} + B_ {k}) \ geq (\ mu (A_ {k}) ^ {1 / n} + \ mu (B_ {k}) ^ {1 / n}) ^ {n}}$ ${\ textstyle \ mu (A + B) \ geq \ mu (A_ {k} + B_ {k}) \ geq (\ mu (A_ {k}) ^ {1 / n} + \ mu (B_ {k}) ^ {1 / n}) ^ {n}}$ для всех k, используя случай Брунна-Минковского, показанный для компактов. Отправка $k → ∞ {\ textstyle k \ to \ infty}$ ${\ textstyle k \ to \ infty}$ устанавливает результат. Случай измеримых множеств: Пусть $A k = [- k, k] n ∩ A, B k = [- k, k] n ∩ B {\ textstyle A_ {k} = [-k, k] ^ {n} \ cap A, B_ {k} = [- k, k] ^ {n} \ cap B}$ ${\ textstyle A_ {k} = [- k, k] ^ {n} \ cap A, B_ { k} = [- k, k] ^ {n} \ cap B}$ , и снова утверждаем, используя предыдущий случай, что $μ (A + B) ≥ μ (A K + B k) ≥ (μ (A k) 1 / n + μ (B k) 1 / n) n {\ textstyle \ mu (A + B) \ geq \ му (A_ {k} + B_ {k}) \ geq (\ mu (A_ {k}) ^ {1 / n} + \ mu (B_ {k}) ^ {1 / n}) ^ {n}}$ ${\ textstyle \ mu (A + B) \ geq \ mu (A_ {k} + B_ {k}) \ geq (\ mu (A_ {k}) ^ {1 / n} + \ mu (B_ {k}) ^ {1 / n}) ^ {n}}$ , следовательно, результат следует переводом k на бесконечность.

Геометрическое доказательство с помощью кубоидов и теории меры

Мы приводим хорошо известный аргумент, который следует общему рецепту аргументов в теории меры; а именно, он устанавливает простой случай прямым анализом, использует индукцию для установления конечного расширения этого частного случая, а затем использует общий аппарат для получения общего случая в качестве предела. Обсуждение истории этого доказательства можно найти в теореме 4.1 в обзоре Гарднера о Брунне-Минковском.

. Мы докажем версию теоремы Брунна-Минковского, которая требует только $A, B, A + B {\ textstyle A, B, A + B}$ ${\ textstyle A, B, A + B}$ , чтобы быть измеримыми и непустыми.

Случай, когда A и B являются прямоугольниками, выровненными по оси:

Из-за неизменности трансляции объемов достаточно взять $A = ∏ i = 1 n [0, ai], B = ∏ i = 1 n [0, bi] {\ textstyle A = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [0, a_ {i}], B = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [0, b_ { i}]}$ ${\ textstyle A = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [0, a_ {i}], B = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [0, b_ {i}]}$ . Тогда $A + B = ∏ i = 1 n [0, ai + bi] {\ textstyle A + B = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [0, a_ {i} + b_ {i }]}$ ${\ textstyle A + B = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [0, a_ {i} + b_ {i}]}$ . В этом частном случае неравенство Брунна-Минковского утверждает, что $∏ (ai + bi) 1 / n ≥ ∏ ai 1 / n + ∏ bi 1 / n {\ textstyle \ prod (a_ {i} + b_ {i }) ^ {1 / n} \ geq \ prod a_ {i} ^ {1 / n} + \ prod b_ {i} ^ {1 / n}}$ ${ \ textstyle \ prod (a_ {i} + b_ {i}) ^ {1 / n} \ geq \ prod a_ {i} ^ {1 / n} + \ prod b_ {i} ^ {1 / n}}$ . После деления обеих сторон на $∏ (ai + bi) 1 / n {\ textstyle \ prod (a_ {i} + b_ {i}) ^ {1 / n}}$ ${\ textstyle \ prod (a_ {i} + b_ {i}) ^ {1 / n}}$ , это следует из AM-GM неравенство : $(∏ aiai + bi) 1 / n + (∏ biai + bi) 1 / n ≤ ∑ 1 nai + biai + bi = 1 {\ textstyle (\ prod {\ frac {a_ {i}} {a_ {i} + b_ {i}}}) ^ {1 / n} + (\ prod {\ frac {b_ {i}} {a_ {i} + b_ {i }}}) ^ {1 / n} \ leq \ sum {\ frac {1} {n}} {\ frac {a_ {i} + b_ {i}} {a_ {i} + b_ {i}}} = 1}$ ${\ textstyle (\ prod {\ frac {a_ {i}} {a_ {i} + b_ {i}}}) ^ {1 / n} + (\ prod {\ frac {b_ {i}} {a_ {i} + b_ {i}}}) ^ {1 / n} \ leq \ sum {\ frac {1} {n}} {\ frac {a_ {i} + b_ {i} } {a_ {i} + b_ {i}}} = 1}$ .

Случай, когда A и B оба являются непересекающимися объединениями конечного числа таких ящиков:

Мы будем использовать индукцию по общему количеству ящиков, где предыдущее вычисление устанавливает базовый случай двух ящиков. Во-первых, мы замечаем, что существует выровненная по оси гиперплоскость H, такая, что каждая сторона H содержит весь блок A. Чтобы увидеть это, достаточно свести к случаю, когда A состоит из двух блоков, а затем вычислить, что отрицание этого утверждения означает, что у этих двух блоков есть общая точка.

Для тела X мы используем $X -, X + {\ textstyle X ^ {-}, X ^ {+}}$ ${\ textstyle X ^ {-}, X ^ {+}}$ для обозначения пересечения X с символом " правое "и" левое "полупространства, определенные H. Заметив еще раз, что утверждение Брунна-Минковского инвариантно относительно сдвигов, мы затем переводим B так, чтобы $μ (A +) μ (B +) = μ (A -) μ (B -) {\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu (B ^ {+})}} = {\ frac {\ mu (A ^ {-})} {\ му (B ^ {-})}}}$ ${\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+}) } {\ mu (B ^ {+})}} = {\ frac {\ mu (A ^ {-})} {\ mu (B ^ {-})}}}$ ; такой перевод существует по теореме о промежуточном значении, потому что $t → μ ((B + tv) +) {\ textstyle t \ to \ mu ((B + tv) ^ {+})}$ ${\ textstyle t \ to \ mu ((B + tv) ^ {+})}$ является непрерывной функцией, если v перпендикулярно H $μ ((B + tv) +) μ ((B + tv) -) {\ textstyle {\ frac {\ mu ((B + tv) ^ {+ })} {\ mu ((B + tv) ^ {-})}}}$ ${\ textstyle {\ frac {\ mu ((B + tv) ^ {+})} {\ му ((В + ТВ) ^ {-})}}}$ имеет предельные значения 0 и $∞ {\ textstyle \ infty}$ ${\ textstyle \ infty}$ как $t → - ∞, t → ∞ {\ displaystyle t \ to - \ infty, t \ to \ infty}$ ${\ displaystyle t \ to - \ infty, t \ to \ infty}$ , поэтому принимает $μ (A +) μ (A -) {\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu (A ^ {-})}}}$ ${\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu (A ^ {-})}}}$ в какой-то момент.

Теперь у нас есть детали для завершения этапа индукции. Сначала заметьте, что $A + + B +, A - + B - {\ textstyle A ^ {+} + B ^ {+}, A ^ {-} + B ^ {-}}$ ${\ textstyle A ^ {+} + B ^ {+}, A ^ {-} + B ^ {-}}$ - непересекающиеся подмножества $A + B {\ textstyle A + B}$ ${ \ textstyle A + B}$ , поэтому $[μ (A + B)] 1 / n ≥ [μ (A +) + μ (B +)] 1 / n + [μ (A -) + μ (B -)] 1 / n. {\ textstyle [\ му (A + B)] ^ {1 / n} \ geq [\ mu (A ^ {+}) + \ mu (B ^ {+})] ^ {1 / n} + [\ му (A ^ {-}) + \ mu (B ^ {-})] ^ {1 / n}.}$ ${\ textstyle [\ mu (A + B)] ^ {1 / n} \ geq [\ mu (A ^ {+}) + \ mu (B ^ {+})] ^ {1 / n} + [\ mu (A ^ {-}) + \ му (B ^ {-})] ^ {1 / n}.}$ Итак, $A +, A - {\ textstyle A ^ {+ }, A ^ {-}}$ ${\ textstyle A ^ {+}, A ^ {-}}$ оба имеют на один прямоугольник меньше, чем A, а $B +, B - {\ textstyle B ^ {+}, B ^ {-}}$ ${\ textstyle B ^ {+}, B ^ {-}}$ имеют не более того же количества ящиков, что и B. Таким образом, мы можем применить предположение индукции:

1 / n + [μ (A -) + μ (B -)] 1 / n ≥ μ (A +) 1 / n + μ (B +) 1 / n + μ (A -) 1 / n + μ (B -) 1 / n = μ (B +) 1 / n (1 + μ (A +) 1 / n μ (B +)) + μ (B -) 1 / n (1 + μ (A -) 1 / n μ (B -) 1 / n). {\ Displaystyle {\ begin {align} [\ mu (A ^ {+}) + \ mu (B ^ {+})] ^ {1 / n} + [\ mu (A ^ {-}) + \ mu (B ^ {-})] ^ {1 / n} \ geq \ mu (A ^ {+}) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n} + \ му (A -) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n} \\ = \ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n} (1+ { \ frac {\ mu (A ^ {+}) ^ {1 / n}} {\ mu (B ^ {+})}}) + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n} (1 + {\ frac {\ mu (A ^ {-}) ^ {1 / n}} {\ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n}}}). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {выровнено} [\ mu (A ^ {+}) + \ mu (B ^ {+})] ^ {1 / n} + [\ mu (A ^ {-}) + \ mu (B ^ {- })] ^ {1 / n} \ geq \ mu (A ^ {+}) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n} + \ mu (A-) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n} \\ = \ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n} (1 + {\ frac {\ mu (A ^ {+}) ^ {1 / n}} {\ mu (B ^ {+})}}) + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n} (1 + {\ frac { \ mu (A ^ {-}) ^ {1 / n}} {\ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n}}}). \ end {align}}}

Элементарная алгебра показывает, что $μ (A +) μ (B +) = μ (A -) μ (B -) {\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu ( B ^ {+})}} = {\ frac {\ mu (A ^ {-})} {\ mu (B ^ {-})}}}$ ${\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+}) } {\ mu (B ^ {+})}} = {\ frac {\ mu (A ^ {-})} {\ mu (B ^ {-})}}}$ , затем также $μ ( A +) μ (B +) = μ (A) μ (B) {\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu (B ^ {+})}} = {\ frac {\ mu (A)} {\ mu (B)}}}$ ${\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu (B ^ {+})}} = {\ frac {\ mu (A)} {\ mu ( B)}}}$ , поэтому мы можем вычислить:

μ (B +) 1 / n (1 + μ (A +) 1 / n μ (B +) 1 / n) + μ (B -) 1 / n (1 + μ (A -) 1 / n μ (B -) 1 / n) = (1 + μ (A) 1 / n μ (B) 1 / n) (μ (B +) 1 / n + μ (B -) 1 / n) ≥ (1 + μ (A) 1 / n μ (B) 1 / n) μ (B) 1 / n = μ (B) 1 / n + μ (A) 1 / n. {\ displaystyle {\ begin {align} \ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n} (1 + {\ frac {\ mu (A ^ {+}) ^ {1 / n}} {\ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n}}}) + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n} (1 + {\ frac {\ mu (A ^ {-}) ^ { 1 / n}} {\ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n}}}) = (1 + {\ frac {\ mu (A) ^ {1 / n}} {\ mu (B) ^ {1 / n}}}) (\ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n}) \\ \ geq (1 + {\ frac {\ mu (A) ^ {1 / n}} {\ mu (B) ^ {1 / n}}}) \ mu (B) ^ {1 / n} \\ = \ mu ( B) ^ {1 / n} + \ mu (A) ^ {1 / n}. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n} (1 + {\ frac {\ mu (A ^ {+}) ^ {1 / n}} {\ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n}}}) + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n} (1 + {\ f rac {\ mu (A ^ {-}) ^ {1 / n}} {\ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n}}}) = (1 + {\ frac {\ mu (A) ^ {1 / n}} {\ mu (B) ^ {1 / n}}}) (\ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n}) \\ \ geq (1 + {\ frac {\ mu (A) ^ {1 / n}} {\ mu (B) ^ {1 / n}}}) \ mu (B) ^ {1 / n} \\ = \ mu (B) ^ {1 / n} + \ mu (A) ^ {1 / n}. \ End {align}}}

Последнее неравенство в предыдущем вычислении следует из общего факта, что $a 1 / n + b 1 / n ≥ (a + b) 1 / n {\ textstyle a ^ {1 / n} + b ^ {1 / n} \ geq (a + b) ^ {1 / n}}$ ${\ textstyle a ^ {1 / n} + b ^ {1 / n} \ geq (a + b) ^ {1 / n}}$ .

Случай, когда A и B являются ограниченными открытыми множествами:

В этой настройке оба тела могут быть аппроксимированы произвольно хорошо объединениями непересекающихся прямоугольников, выровненных по осям, содержащихся в их внутренней части; это следует из общих фактов о мере Лебега открытых множеств. То есть, у нас есть последовательность тел $A k ⊆ A {\ textstyle A_ {k} \ substeq A}$ ${\ textstyle A_ {k} \ substeq A}$ , которые представляют собой непересекающиеся объединения конечного числа прямоугольников, выровненных по оси, где $μ (A ∖ A k) ≤ 1 / k {\ textstyle \ mu (A \ setminus A_ {k}) \ leq 1 / k}$ ${\ textstyle \ mu (A \ setminus A_ {k}) \ leq 1 / k}$ , а также $B k ⊆ B {\ textstyle B_ {k} \ substeq B}$ ${\ textstyle B_ {k} \ substeq B}$ . Тогда у нас есть $A + B ⊇ A k + B k {\ textstyle A + B \ supseteq A_ {k} + B_ {k}}$ ${\ textstyle A + B \ supseteq A_ {k} + B_ {k}}$ , поэтому $μ (A + B) 1 / n ≥ μ (A K + B k) 1 / n ≥ μ (A k) 1 / n + μ (B k) 1 / n {\ textstyle \ mu (A + B) ^ {1 / n} \ geq \ mu (A_ {k} + B_ {k}) ^ {1 / n} \ geq \ mu (A_ {k}) ^ {1 / n} + \ mu (B_ {k}) ^ {1 / n}}$ ${\ textstyle \ mu (A + B) ^ {1 / n} \ geq \ mu (A_ {k} + B_ {k}) ^ {1 / n} \ geq \ mu (A_ {k}) ^ {1 / n} + \ mu (B_ {k}) ^ {1 / n}}$ . Правая часть сходится к $μ (A) 1 / n + μ (B) 1 / n {\ textstyle \ mu (A) ^ {1 / n} + \ mu (B) ^ {1 / n} }$ ${\ textstyle \ mu (A) ^ {1 / n} + \ mu (B) ^ {1 / n}}$ как $k → ∞ {\ textstyle k \ to \ infty}$ ${\ textstyle k \ to \ infty}$ , устанавливая этот особый случай.

Случай, когда A и B являются компактными множествами:

Для компактного тела X определите $X ϵ = X + B (0, ϵ) {\ textstyle X _ {\ epsilon} = X + B ( 0, \ epsilon)}$ ${\ textstyle X _ {\ epsilon} = X + B (0, \ epsilon)}$ должно быть $ϵ {\ textstyle \ epsilon}$ ${\ textstyle \ epsilon}$ -толщение X. Здесь каждый $B (0, ϵ) {\ textstyle B (0, \ epsilon)}$ ${\ textstyle B (0, \ epsilon)}$ - открытый шар радиуса $ϵ {\ textstyle \ epsilon}$ ${\ textstyle \ epsilon}$ , так что $X ϵ {\ textstyle X _ {\ epsilon}}$ ${\ textstyle X _ {\ epsilon}}$ - ограниченное открытое множество. Отметим, что $⋂ ϵ>0 Икс ϵ = cl (X) {\ textstyle \ bigcap _ {\ epsilon>0} X _ {\ epsilon} = {\ text {cl}} (X)}$ ${\textstyle \bigcap _{\epsilon>0} X _ {\ epsilon} = {\ text {cl}} (X)}$ , так что если X компактный, то $lim ϵ → 0 μ (X ϵ) = μ (X) {\ textstyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0 } \ mu (X _ {\ epsilon}) = \ mu (X)}$ ${\ textstyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ mu (X _ {\ epsilon}) = \ mu (X)}$ . Используя ассоциативность и коммутативность суммы Минковского, наряду с предыдущим случаем, мы можем вычислить, что $μ ((A + B) 2 ϵ) 1 / n знак равно μ (A ϵ + B ϵ) 1 / n ≥ μ (A ϵ) 1 / n + μ (B ϵ) 1 / n {\ textstyle \ mu ((A + B) _ {2 \ epsilon}) ^ {1 / n} = \ mu (A _ {\ epsilon} + B _ {\ epsilon}) ^ {1 / n} \ geq \ mu (A _ {\ epsilon}) ^ {1 / n} + \ mu (B _ {\ epsilon}) ^ {1 / n}}$ ${\ textstyle \ mu ((A + B) _ {2 \ epsilon}) ^ {1 / n} = \ mu (A _ {\ epsilon} + B _ {\ epsilon}) ^ {1 / n} \ geq \ mu (A _ {\ epsilon}) ^ {1 / n} + \ mu (B _ {\ epsilon}) ^ { 1 / n}}$ . Отправка $ϵ {\ textstyle \ epsilon}$ ${\ textstyle \ epsilon}$ на 0 устанавливает результат.

Случай ограниченных измеримых множеств:

Напомним, что по теореме регулярности меры Лебега для любой ограниченной меры ble установить X, и для любого $k>≥ {\ textstyle k>\ geq}$ ${\textstyle k>\ geq}$ есть компактный набор $X k ⊆ X {\ textstyle X_ {k} \ substeq X}$ ${\ textstyle X_ {k} \ substeq X}$ с $μ (X ∖ X k) < 1 / k {\textstyle \mu (X\setminus X_{k})<1/k}$ ${\ textstyle \ mu (X \ setminus X_ {k}) <1/k}$ . Таким образом, $μ (A + B) ≥ μ (A k + B k) ≥ (μ (A k) 1 / n + μ (B k) 1 / n) n {\ textstyle \ mu (A + B) \ geq \ mu (A_ {k} + B_ {k}) \ geq (\ mu (A_ {k}) ^ {1 / n} + \ mu (B_ {k}) ^ {1 / n}) ^ {n}}$ ${\ textstyle \ mu (A + B) \ geq \ mu (A_ {k} + B_ {k}) \ geq (\ mu (A_ {k}) ^ {1 / n} + \ mu (B_ {k}) ^ {1 / n}) ^ {n}}$ для всех k, используя случай Брунна-Минковского, показанный для компактов. Отправка $k → ∞ {\ textstyle k \ to \ infty}$ ${\ textstyle k \ to \ infty}$ устанавливает результат.

Случай измеримых множеств:

Пусть $A k = [- k, k] n ∩ A, B k = [- k, k] n ∩ B {\ textstyle A_ {k} = [-k, k] ^ {n} \ cap A, B_ {k} = [- k, k] ^ {n} \ cap B}$ ${\ textstyle A_ {k} = [- k, k] ^ {n} \ cap A, B_ { k} = [- k, k] ^ {n} \ cap B}$ , и снова утверждаем, используя предыдущий случай, что $μ (A + B) ≥ μ (A K + B k) ≥ (μ (A k) 1 / n + μ (B k) 1 / n) n {\ textstyle \ mu (A + B) \ geq \ му (A_ {k} + B_ {k}) \ geq (\ mu (A_ {k}) ^ {1 / n} + \ mu (B_ {k}) ^ {1 / n}) ^ {n}}$ ${\ textstyle \ mu (A + B) \ geq \ mu (A_ {k} + B_ {k}) \ geq (\ mu (A_ {k}) ^ {1 / n} + \ mu (B_ {k}) ^ {1 / n}) ^ {n}}$ , следовательно, результат следует переводом k на бесконечность.

Доказательство как следствие неравенства Прекопы – Лейндлера
Мы даем доказательство неравенства Брунна-Минковского как следствия неравенства Прекопы – Лейндлера, функциональной версии неравенства BM. Сначала мы докажем PL, а затем покажем, что PL влечет мультипликативную версию BM, а затем покажем, что мультипликативный BM влечет аддитивный BM. Рассуждения здесь проще, чем доказательство с помощью кубоидов, в частности, нам нужно только доказать неравенство BM в одномерном случае. Это происходит потому, что более общая формулировка PL-неравенства, чем BM-неравенство, допускает индукционный аргумент. Мультипликативная форма неравенства BM Во-первых, отметим, что неравенство Брунна-Минковского влечет мультипликативную версию, используя неравенство $λ x + (1 - λ) y ≥ x λ y λ {\ textstyle \ lambda x + (1- \ lambda) y \ geq x ^ {\ lambda} y ^ {\ lambda}}$ ${\ textstyle \ lambda x + (1- \ lambda) y \ geq x ^ {\ lambda} y ^ {\ lambda}}$ , который выполняется для $x, y ≥ 0, λ ∈ [0, 1] {\ textstyle x, y \ geq 0, \ lambda \ in [0,1]}$ ${\ textstyle x, y \ geq 0, \ lambda \ in [0,1]}$ . В частности, $μ (λ A + (1 - λ) B) ≥ (λ μ (A) 1 / n + (1 - λ) μ (B) 1 / n) n ≥ μ (A) λ μ (B) 1 - λ {\ textstyle \ mu (\ lambda A + (1- \ lambda) B) \ geq (\ lambda \ mu (A) ^ {1 / n} + (1- \ lambda) \ mu (B) ^ {1 / n}) ^ {n} \ geq \ mu (A) ^ {\ lambda} \ mu (B) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle \ mu (\ lambda A + (1- \ lambda) B) \ geq (\ lambda \ mu (A) ^ {1 / n} + (1- \ lambda) \ mu (B) ^ {1 / n}) ^ {n} \ geq \ mu (A) ^ {\ lambda} \ mu (B) ^ {1- \ lambda}}$ . Неравенство Прекопы – Лейндлера является функциональным обобщением этой версии Брунна – Минковского. Неравенство Прекопы – Лейндлера Теорема (Неравенство Прекопы – Лейндлера ) : исправить $λ ∈ (0, 1) {\ textstyle \ lambda \ in (0,1) }$ ${\ textstyle \ lambda \ in (0,1)}$ . Пусть $f, g, h: R n → R + {\ textstyle f, g, h: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$ ${\ textstyle f, g, h: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$ быть неотрицательными измеримыми функциями, удовлетворяющими $час (λ x + (1 - λ) y) ≥ f (x) λ g (y) 1 - λ {\ textstyle h (\ lambda x + (1- \ lambda) y) \ geq f (x) ^ {\ lambda} g (y) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle h (\ lambda x + ( 1- \ lambda) y) \ geq f (x) ^ {\ lambda} g (y) ^ {1- \ lambda}}$ для всех $x, y ∈ R n {\ textstyle x, y \ в \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ textstyle x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ . Тогда $∫ R nh (x) dx ≥ (∫ R nf (x) dx) λ (∫ R ng (x) dx) 1 - λ {\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n} } h (x) dx \ geq (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (x) dx) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g (x) dx) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} h (x) dx \ geq (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (x) dx) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g (x) dx) ^ {1- \ lambda}}$ . Доказательство (в основном следуя этой лекции ): Нам понадобится одномерная версия BM, а именно что если $A, B, A + B ⊆ R {\ textstyle A, B, A + B \ substeq \ mathbb {R}}$ ${\ textstyle A, B, A + B \ substeq \ mathbb {R}}$ измеримы, то $μ (A + B) ≥ μ (A) + μ (B) {\ textstyle \ mu (A + B) \ geq \ mu (A) + \ mu (B)}$ ${\ textstyle \ mu (A + B) \ geq \ mu (A) + \ mu (B)}$ . Во-первых, предполагая, что $A, B {\ textstyle A, B}$ ${\ textstyle A, B}$ ограничены, мы сдвигаем $A, B {\ textstyle A, B}$ ${\ textstyle A, B}$ так, чтобы $A ∩ B = {0} {\ textstyle A \ cap B = \ {0 \}}$ ${\ textstyle A \ cap B = \ {0 \}}$ . Таким образом, $A + B ⊃ A ∪ B {\ textstyle A + B \ supset A \ cup B}$ ${\ textstyle A + B \ supset A \ cup B}$ , откуда в силу почти несвязности мы имеем, что $μ (A + B) ≥ μ (A) + μ (B) {\ textstyle \ mu (A + B) \ geq \ mu (A) + \ mu (B)}$ ${\ textstyle \ mu (A + B) \ geq \ mu (A) + \ mu (B)}$ . Затем мы переходим к неограниченному случаю, фильтруя интервалы $[- k, k]. {\ textstyle [-k, k].}$ ${\ textstyle [-k, k].}$ Сначала мы покажем $n = 1 {\ textstyle n = 1}$ ${\ textstyle n = 1}$ случай неравенства PL. Пусть $L h (t) = {x: h (x) ≥ t} {\ textstyle L_ {h} (t) = \ {x: h (x) \ geq t \}}$ ${\ textstyle L_ {h} (t) = \ {x: h (x) \ geq t \}}$ и обратите внимание, что $L час (t) ⊇ λ L е (t) + (1 - λ) L g (t) {\ textstyle L_ {h} (t) \ supseteq \ lambda L_ {f} ( t) + (1- \ lambda) L_ {g} (t)}$ ${\ textstyle L_ {h} (t) \ supseteq \ lambda L_ {f} (t) + (1- \ lambda) L_ {g} (t)}$ . Таким образом, согласно одномерной версии Брунна-Минковского $μ (L h (t)) ≥ μ (λ L f (t) + (1 - λ) L g (t)) ≥ λ μ (L е (T)) + (1 - λ) μ (L g (t)) {\ textstyle \ mu (L_ {h} (t)) \ geq \ mu (\ lambda L_ {f} (t) + (1- \ lambda) L_ {g} (t)) \ geq \ lambda \ mu (L_ {f} (t)) + (1- \ lambda) \ mu (L_ {g} (t))}$ ${\ textstyle \ mu (L_ {h} (t)) \ geq \ mu (\ лямбда L_ {f} (t) + (1- \ lambda) L_ {g} (t)) \ geq \ lambda \ mu (L_ {f} (t)) + (1- \ lambda) \ mu (L_ { g} (t))}$ . Напомним, что если $f (x) {\ textstyle f (x)}$ ${\ textstyle f (x)}$ неотрицательно, то из теоремы Фубини следует, что $∫ R h (x) dx = ∫ t ≥ 0 μ (L час (T)) dt {\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R}} h (x) dx = \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {h} (t)) dt}$ ${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R}} h (x) dx = \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {h} (t)) dt}$ . Тогда имеем $∫ R h (x) dx = ∫ t ≥ 0 μ (L h (t)) dt ≥ λ ∫ t ≥ 0 μ (L f (t)) + (1 - λ) ∫ t ≥ 0 μ (L g (t)) = λ ∫ R f (x) dx + (1 - λ) ∫ R g (x) dx ≥ (∫ R f (x) dx) λ (∫ R g (x) dx) 1 - λ {\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R}} h (x) dx = \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {h} (t)) dt \ geq \ lambda \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {f} (t)) + (1- \ lambda) \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {g} (t)) = \ lambda \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) dx + (1- \ lambda) \ int _ {\ mathbb {R}} g (x) dx \ geq (\ int _ {\ mathbb {R}} f (x) dx) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R}} g (x) dx) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R}} h (x) dx = \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {h} (t)) dt \ geq \ lambda \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {f} (t)) + (1- \ lambda) \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {g} ( t)) = \ lambda \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) dx + (1- \ lambda) \ int _ {\ mathbb {R}} g (x) dx \ geq (\ int _ {\ mathbb {R}} f (x) dx) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R}} g (x) dx) ^ {1- \ lambda}}$ , где на последнем шаге мы используем взвешенное неравенство AM-GM, которое утверждает, что $λ x + (1 - λ) y ≥ x λ y 1 - λ {\ textstyle \ lambda x + (1- \ lambda) y \ geq x ^ {\ lambda} y ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle \ lambda x + (1- \ lambda) y \ geq x ^ {\ lambda} y ^ {1- \ lambda}}$ для $λ ∈ (0, 1), x, y ≥ 0 {\ textstyle \ lambda \ in (0,1), x, y \ geq 0}$ ${\ textstyle \ lambda \ in (0,1), x, y \ geq 0 }$ . Теперь мы докажем $n>1 {\ textstyle n>1}$ ${\textstyle n>1}$ case. Для $x, y ∈ R n - 1, α, β ∈ R {\ textstyle x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n-1}, \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R} }$ ${\ textstyle Икс, Y \ in \ mathbb {R} ^ {n-1}, \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}}$ , мы выбираем $λ ∈ [0, 1] {\ textstyle \ lambda \ in [0,1]}$ ${\ textstyle \ лямбда \ в [0,1]}$ и устанавливаем $γ = λ α + ( 1 - λ) β {\ textstyle \ gamma = \ lambda \ alpha + (1- \ lambda) \ beta}$ ${\ textstyle \ gamma = \ lambda \ alpha + (1- \ lambda) \ beta}$ . Для любого c мы определяем $hc (x) = h (x, c) {\ textstyle h_ {c} (x) = h (x, c)}$ ${\ textstyle h_ {c} (x) = h (x, c)}$ , то есть определяя новая функция для n-1 переменных, установив для последней переменной значение $c {\ textstyle c}$ ${\textstyle c}$ . Применяя гипотезу и ничего не делая, кроме формальной обработки определений, мы получаем, что $h γ (λ x + (1 - λ) y) = h (λ x + (1 - λ) y, λ α + (1 - λ) β)) = h (λ (x, α) + (1 - λ) (y, β)) ≥ f (x, α) λ g (y, β) 1 - λ = f α (x) λ г β (Y) 1 - λ {\ textstyle h _ {\ gamma} (\ lambda x + (1- \ lambda) y) = h (\ lambda x + (1- \ lambda) y, \ lambda \ alpha + (1 - \ lambda) \ beta)) = h (\ lambda (x, \ alpha) + (1- \ lambda) (y, \ beta)) \ geq f (x, \ alpha) ^ {\ lambda} g (y, \ beta) ^ {1- \ lambda} = f _ {\ alpha} (x) ^ {\ lambda} g _ {\ beta} (y) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle h _ {\ gamma} (\ lambda x + (1- \ лямбда) y) = h (\ lambda x + (1- \ lambda) y, \ lambda \ alpha + (1- \ lambda) \ beta)) = h (\ lambda (x, \ alpha) + (1- \ lambda) (y, \ beta)) \ geq f (x, \ alpha) ^ {\ lambda} g (y, \ beta) ^ {1- \ lambda} = f _ {\ alpha} (x) ^ {\ lambda} g _ {\ beta} (y) ^ {1- \ lambda}}$ . Таким образом, в индуктивном случае применительно к функциям $h γ, f α, g β {\ textstyle h _ {\ gamma}, f _ {\ alpha}, g _ {\ beta}}$ ${\ textstyle h _ {\ gamma}, f _ {\ alpha}, g _ {\ beta }}$ , получаем $∫ R n - 1 час γ (z) dz ≥ (∫ R n - 1 е α (z) dz) λ (∫ R n - 1 г β (z) dz) 1 - λ {\ textstyle \ int _ {\ mathbb { R} ^ {n-1}} h _ {\ gamma} (z) dz \ geq (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} f _ {\ alpha} (z) dz) ^ {\ лямбда} (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} g _ {\ beta} (z) dz) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} h _ {\ gamma} (z) dz \ geq (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} f _ {\ alpha} (z) dz) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} g _ {\ beta} (z) dz) ^ {1- \ lambda}}$ . Мы определяем $H (γ): = ∫ R n - 1 h γ (z) dz {\ textstyle H (\ gamma): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} h_ { \ gamma} (z) dz}$ ${\ textstyle H (\ gamma): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} h _ {\ gamma} ( z) dz}$ и $F (α), G (β) {\ textstyle F (\ alpha), G (\ beta)}$ ${\ textstyle F (\ alpha), G (\ бета)}$ аналогичным образом. В этих обозначениях предыдущий расчет можно переписать как: $H (λ α + (1 - λ) β) ≥ F (α) λ G (β) 1 - λ {\ textstyle H (\ lambda \ alpha + (1- \ lambda) \ beta) \ geq F (\ alpha) ^ {\ lambda} G (\ beta) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle H (\ lambda \ alpha + (1- \ lambda) \ beta) \ geq F (\ alpha) ^ {\ lambda} G ( \ beta) ^ {1- \ lambda}}$ . Поскольку мы доказали это для любых фиксированных $α, β ∈ R {\ textstyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}}$ ${\ textstyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}}$ , это означает, что функция $H, F, G {\ textstyle H, F, G}$ ${\ textstyle H, F, G}$ удовлетворяют гипотезе для одномерной версии теоремы PL. Таким образом, мы имеем, что $∫ RH (γ) d γ ≥ (∫ RF (α) d α) λ (∫ RF (β) d β) 1 - λ {\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R} } H (\ gamma) d \ gamma \ geq (\ int _ {\ mathbb {R}} F (\ alpha) d \ alpha) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R}} F (\ beta) d \ beta) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R}} H (\ gamma) d \ gamma \ geq (\ int _ {\ mathbb {R}} F ( \ альфа) d \ альфа) ^ {\ лямбда} (\ int _ {\ mathbb {R}} F (\ beta) d \ beta) ^ {1- \ lambda}}$ , откуда следует утверждение теоремы Фубини. QED PL подразумевает мультипликативный BM Мультипликативный вариант Брунна-Минковского следует из неравенства PL, взяв $h = 1 λ A + (1 - λ) B, f = 1 A, g = 1 B {\ textstyle h = 1 _ {\ lambda A + (1- \ lambda) B}, f = 1_ {A}, g = 1_ {B}}$ ${\ textstyle h = 1 _ {\ лямбда A + (1- \ лямбда) B}, f = 1_ {A}, g = 1_ {B}}$ . Мультипликативный BM подразумевает аддитивный BM Теперь мы объясним, как вывести BM-неравенство из PL-неравенства. Во-первых, используя индикаторные функции для $A, B, λ A + (1 - λ) B {\ textstyle A, B, \ lambda A + (1- \ lambda) B}$ ${\ textstyle A, B, \ lambda A + (1- \ лямбда) B}$ Prékopa– Неравенство Лейндлера быстро дает мультипликативную версию Брунна-Минковского: $μ (λ A + (1 - λ) B) ≥ μ (A) λ μ (B) 1 - λ {\ textstyle \ mu (\ lambda A + ( 1- \ lambda) B) \ geq \ mu (A) ^ {\ lambda} \ mu (B) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle \ mu (\ lambda A + (1- \ lambda) B) \ geq \ му (A) ^ {\ lambda} \ mu (B) ^ {1- \ lambda}}$ . Теперь покажем, как из мультипликативного BM-неравенства следует обычный аддитивный вариант. Мы предполагаем, что оба A, B имеют положительный объем, поскольку в противном случае неравенство тривиально, и нормализуем их, чтобы иметь объем 1, установив $A ′ = A μ (A) 1 / n, B ′ = B μ (B) 1 / n {\ textstyle A '= {\ frac {A} {\ mu (A) ^ {1 / n}}}, B' = {\ frac {B} {\ mu (B) ^ {1 / n}}}}$ ${\textstyle A'={\frac {A}{\mu (A)^{1/n}}},B'={\frac {B}{\mu (B)^{1/n}}}}$ . Мы определяем $λ ′ = λ μ (B) 1 / n (1 - λ) μ (A) 1 / n + λ μ (B) 1 / n {\ textstyle \ lambda '= {\ frac {\ lambda \ mu (B) ^ {1 / n}} {(1- \ lambda) \ mu (A) ^ {1 / n} + \ lambda \ mu (B) ^ {1 / n}}}}$ ${\textstyle \lambda '={\frac {\lambda \mu (B)^{1/n}}{(1-\lambda)\mu (A)^{1/n}+\lambda \mu (B)^{1/n}}}}$ ; обратите внимание, что $1 - λ ′ = (1 - λ) μ (A) 1 / n (1 - λ) μ (A) 1 / n + λ μ (B) 1 / n {\ textstyle 1- \ lambda '= {\ frac {(1- \ lambda) \ mu (A) ^ {1 / n}} {(1- \ lambda) \ mu (A) ^ {1 / n} + \ lambda \ mu (B) ^ {1 / n}}}}$ ${\textstyle 1-\lambda '={\frac {(1-\lambda)\mu (A)^{1/n}}{(1-\lambda)\mu (A)^{1/n}+\lambda \mu (B)^{1/n}}}}$ . Используя эти определения и $μ (A ′) = μ (B ′) = 1 {\ textstyle \ mu (A ') = \ mu (B') = 1}$ ${\textstyle \mu (A')=\mu (B')=1}$ , мы вычислить, используя мультипликативное неравенство Брунна-Минковского, что: $μ ((1 - λ) A + λ B (1 - λ) μ (A) 1 / n + λ μ (B) 1 / n) = μ (( 1 - λ ′) A ′ + λ ′ B) ≥ μ (A ′) 1 - λ ′ μ (B ′) λ ′ = 1. {\ displaystyle \ mu ({\ frac {(1- \ lambda) A + \ лямбда B} {(1- \ lambda) \ mu (A) ^ {1 / n} + \ lambda \ mu (B) ^ {1 / n}}}) = \ mu ((1- \ lambda ') A '+ \ lambda' B) \ geq \ mu (A ') ^ {1- \ lambda'} \ mu (B ') ^ {\ lambda'} = 1.}$ $\mu ({\frac {(1-\lambda)A+\lambda B}{(1-\lambda)\mu (A)^{1/n}+\lambda \mu (B)^{1/n}}})=\mu ((1-\lambda ')A'+\lambda 'B)\geq \mu (A')^{1-\lambda '}\mu (B')^{\lambda '}=1.$ Аддитивная форма Брунна-Минковского сейчас следует вытягивание масштабирования из вычисления крайнего левого объема и перестановки.

Доказательство как следствие неравенства Прекопы – Лейндлера

Мы даем доказательство неравенства Брунна-Минковского как следствия неравенства Прекопы – Лейндлера, функциональной версии неравенства BM. Сначала мы докажем PL, а затем покажем, что PL влечет мультипликативную версию BM, а затем покажем, что мультипликативный BM влечет аддитивный BM. Рассуждения здесь проще, чем доказательство с помощью кубоидов, в частности, нам нужно только доказать неравенство BM в одномерном случае. Это происходит потому, что более общая формулировка PL-неравенства, чем BM-неравенство, допускает индукционный аргумент.

Мультипликативная форма неравенства BM

Во-первых, отметим, что неравенство Брунна-Минковского влечет мультипликативную версию, используя неравенство $λ x + (1 - λ) y ≥ x λ y λ {\ textstyle \ lambda x + (1- \ lambda) y \ geq x ^ {\ lambda} y ^ {\ lambda}}$ ${\ textstyle \ lambda x + (1- \ lambda) y \ geq x ^ {\ lambda} y ^ {\ lambda}}$ , который выполняется для $x, y ≥ 0, λ ∈ [0, 1] {\ textstyle x, y \ geq 0, \ lambda \ in [0,1]}$ ${\ textstyle x, y \ geq 0, \ lambda \ in [0,1]}$ . В частности, $μ (λ A + (1 - λ) B) ≥ (λ μ (A) 1 / n + (1 - λ) μ (B) 1 / n) n ≥ μ (A) λ μ (B) 1 - λ {\ textstyle \ mu (\ lambda A + (1- \ lambda) B) \ geq (\ lambda \ mu (A) ^ {1 / n} + (1- \ lambda) \ mu (B) ^ {1 / n}) ^ {n} \ geq \ mu (A) ^ {\ lambda} \ mu (B) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle \ mu (\ lambda A + (1- \ lambda) B) \ geq (\ lambda \ mu (A) ^ {1 / n} + (1- \ lambda) \ mu (B) ^ {1 / n}) ^ {n} \ geq \ mu (A) ^ {\ lambda} \ mu (B) ^ {1- \ lambda}}$ . Неравенство Прекопы – Лейндлера является функциональным обобщением этой версии Брунна – Минковского.

Неравенство Прекопы – Лейндлера

Теорема (Неравенство Прекопы – Лейндлера ) : исправить $λ ∈ (0, 1) {\ textstyle \ lambda \ in (0,1) }$ ${\ textstyle \ lambda \ in (0,1)}$ . Пусть $f, g, h: R n → R + {\ textstyle f, g, h: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$ ${\ textstyle f, g, h: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$ быть неотрицательными измеримыми функциями, удовлетворяющими $час (λ x + (1 - λ) y) ≥ f (x) λ g (y) 1 - λ {\ textstyle h (\ lambda x + (1- \ lambda) y) \ geq f (x) ^ {\ lambda} g (y) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle h (\ lambda x + ( 1- \ lambda) y) \ geq f (x) ^ {\ lambda} g (y) ^ {1- \ lambda}}$ для всех $x, y ∈ R n {\ textstyle x, y \ в \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ textstyle x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ . Тогда $∫ R nh (x) dx ≥ (∫ R nf (x) dx) λ (∫ R ng (x) dx) 1 - λ {\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n} } h (x) dx \ geq (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (x) dx) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g (x) dx) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} h (x) dx \ geq (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (x) dx) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g (x) dx) ^ {1- \ lambda}}$ .

Доказательство (в основном следуя этой лекции ):

Нам понадобится одномерная версия BM, а именно что если $A, B, A + B ⊆ R {\ textstyle A, B, A + B \ substeq \ mathbb {R}}$ ${\ textstyle A, B, A + B \ substeq \ mathbb {R}}$ измеримы, то $μ (A + B) ≥ μ (A) + μ (B) {\ textstyle \ mu (A + B) \ geq \ mu (A) + \ mu (B)}$ ${\ textstyle \ mu (A + B) \ geq \ mu (A) + \ mu (B)}$ . Во-первых, предполагая, что $A, B {\ textstyle A, B}$ ${\ textstyle A, B}$ ограничены, мы сдвигаем $A, B {\ textstyle A, B}$ ${\ textstyle A, B}$ так, чтобы $A ∩ B = {0} {\ textstyle A \ cap B = \ {0 \}}$ ${\ textstyle A \ cap B = \ {0 \}}$ . Таким образом, $A + B ⊃ A ∪ B {\ textstyle A + B \ supset A \ cup B}$ ${\ textstyle A + B \ supset A \ cup B}$ , откуда в силу почти несвязности мы имеем, что $μ (A + B) ≥ μ (A) + μ (B) {\ textstyle \ mu (A + B) \ geq \ mu (A) + \ mu (B)}$ ${\ textstyle \ mu (A + B) \ geq \ mu (A) + \ mu (B)}$ . Затем мы переходим к неограниченному случаю, фильтруя интервалы $[- k, k]. {\ textstyle [-k, k].}$ ${\ textstyle [-k, k].}$

Сначала мы покажем $n = 1 {\ textstyle n = 1}$ ${\ textstyle n = 1}$ случай неравенства PL. Пусть $L h (t) = {x: h (x) ≥ t} {\ textstyle L_ {h} (t) = \ {x: h (x) \ geq t \}}$ ${\ textstyle L_ {h} (t) = \ {x: h (x) \ geq t \}}$ и обратите внимание, что $L час (t) ⊇ λ L е (t) + (1 - λ) L g (t) {\ textstyle L_ {h} (t) \ supseteq \ lambda L_ {f} ( t) + (1- \ lambda) L_ {g} (t)}$ ${\ textstyle L_ {h} (t) \ supseteq \ lambda L_ {f} (t) + (1- \ lambda) L_ {g} (t)}$ . Таким образом, согласно одномерной версии Брунна-Минковского $μ (L h (t)) ≥ μ (λ L f (t) + (1 - λ) L g (t)) ≥ λ μ (L е (T)) + (1 - λ) μ (L g (t)) {\ textstyle \ mu (L_ {h} (t)) \ geq \ mu (\ lambda L_ {f} (t) + (1- \ lambda) L_ {g} (t)) \ geq \ lambda \ mu (L_ {f} (t)) + (1- \ lambda) \ mu (L_ {g} (t))}$ ${\ textstyle \ mu (L_ {h} (t)) \ geq \ mu (\ лямбда L_ {f} (t) + (1- \ lambda) L_ {g} (t)) \ geq \ lambda \ mu (L_ {f} (t)) + (1- \ lambda) \ mu (L_ { g} (t))}$ . Напомним, что если $f (x) {\ textstyle f (x)}$ ${\ textstyle f (x)}$ неотрицательно, то из теоремы Фубини следует, что $∫ R h (x) dx = ∫ t ≥ 0 μ (L час (T)) dt {\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R}} h (x) dx = \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {h} (t)) dt}$ ${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R}} h (x) dx = \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {h} (t)) dt}$ . Тогда имеем $∫ R h (x) dx = ∫ t ≥ 0 μ (L h (t)) dt ≥ λ ∫ t ≥ 0 μ (L f (t)) + (1 - λ) ∫ t ≥ 0 μ (L g (t)) = λ ∫ R f (x) dx + (1 - λ) ∫ R g (x) dx ≥ (∫ R f (x) dx) λ (∫ R g (x) dx) 1 - λ {\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R}} h (x) dx = \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {h} (t)) dt \ geq \ lambda \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {f} (t)) + (1- \ lambda) \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {g} (t)) = \ lambda \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) dx + (1- \ lambda) \ int _ {\ mathbb {R}} g (x) dx \ geq (\ int _ {\ mathbb {R}} f (x) dx) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R}} g (x) dx) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R}} h (x) dx = \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {h} (t)) dt \ geq \ lambda \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {f} (t)) + (1- \ lambda) \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {g} ( t)) = \ lambda \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) dx + (1- \ lambda) \ int _ {\ mathbb {R}} g (x) dx \ geq (\ int _ {\ mathbb {R}} f (x) dx) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R}} g (x) dx) ^ {1- \ lambda}}$ , где на последнем шаге мы используем взвешенное неравенство AM-GM, которое утверждает, что $λ x + (1 - λ) y ≥ x λ y 1 - λ {\ textstyle \ lambda x + (1- \ lambda) y \ geq x ^ {\ lambda} y ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle \ lambda x + (1- \ lambda) y \ geq x ^ {\ lambda} y ^ {1- \ lambda}}$ для $λ ∈ (0, 1), x, y ≥ 0 {\ textstyle \ lambda \ in (0,1), x, y \ geq 0}$ ${\ textstyle \ lambda \ in (0,1), x, y \ geq 0 }$ .

Теперь мы докажем $n>1 {\ textstyle n>1}$ ${\textstyle n>1}$ case. Для $x, y ∈ R n - 1, α, β ∈ R {\ textstyle x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n-1}, \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R} }$ ${\ textstyle Икс, Y \ in \ mathbb {R} ^ {n-1}, \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}}$ , мы выбираем $λ ∈ [0, 1] {\ textstyle \ lambda \ in [0,1]}$ ${\ textstyle \ лямбда \ в [0,1]}$ и устанавливаем $γ = λ α + ( 1 - λ) β {\ textstyle \ gamma = \ lambda \ alpha + (1- \ lambda) \ beta}$ ${\ textstyle \ gamma = \ lambda \ alpha + (1- \ lambda) \ beta}$ . Для любого c мы определяем $hc (x) = h (x, c) {\ textstyle h_ {c} (x) = h (x, c)}$ ${\ textstyle h_ {c} (x) = h (x, c)}$ , то есть определяя новая функция для n-1 переменных, установив для последней переменной значение $c {\ textstyle c}$ ${\textstyle c}$ . Применяя гипотезу и ничего не делая, кроме формальной обработки определений, мы получаем, что $h γ (λ x + (1 - λ) y) = h (λ x + (1 - λ) y, λ α + (1 - λ) β)) = h (λ (x, α) + (1 - λ) (y, β)) ≥ f (x, α) λ g (y, β) 1 - λ = f α (x) λ г β (Y) 1 - λ {\ textstyle h _ {\ gamma} (\ lambda x + (1- \ lambda) y) = h (\ lambda x + (1- \ lambda) y, \ lambda \ alpha + (1 - \ lambda) \ beta)) = h (\ lambda (x, \ alpha) + (1- \ lambda) (y, \ beta)) \ geq f (x, \ alpha) ^ {\ lambda} g (y, \ beta) ^ {1- \ lambda} = f _ {\ alpha} (x) ^ {\ lambda} g _ {\ beta} (y) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle h _ {\ gamma} (\ lambda x + (1- \ лямбда) y) = h (\ lambda x + (1- \ lambda) y, \ lambda \ alpha + (1- \ lambda) \ beta)) = h (\ lambda (x, \ alpha) + (1- \ lambda) (y, \ beta)) \ geq f (x, \ alpha) ^ {\ lambda} g (y, \ beta) ^ {1- \ lambda} = f _ {\ alpha} (x) ^ {\ lambda} g _ {\ beta} (y) ^ {1- \ lambda}}$ .

Таким образом, в индуктивном случае применительно к функциям $h γ, f α, g β {\ textstyle h _ {\ gamma}, f _ {\ alpha}, g _ {\ beta}}$ ${\ textstyle h _ {\ gamma}, f _ {\ alpha}, g _ {\ beta }}$ , получаем $∫ R n - 1 час γ (z) dz ≥ (∫ R n - 1 е α (z) dz) λ (∫ R n - 1 г β (z) dz) 1 - λ {\ textstyle \ int _ {\ mathbb { R} ^ {n-1}} h _ {\ gamma} (z) dz \ geq (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} f _ {\ alpha} (z) dz) ^ {\ лямбда} (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} g _ {\ beta} (z) dz) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} h _ {\ gamma} (z) dz \ geq (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} f _ {\ alpha} (z) dz) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} g _ {\ beta} (z) dz) ^ {1- \ lambda}}$ . Мы определяем $H (γ): = ∫ R n - 1 h γ (z) dz {\ textstyle H (\ gamma): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} h_ { \ gamma} (z) dz}$ ${\ textstyle H (\ gamma): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} h _ {\ gamma} ( z) dz}$ и $F (α), G (β) {\ textstyle F (\ alpha), G (\ beta)}$ ${\ textstyle F (\ alpha), G (\ бета)}$ аналогичным образом. В этих обозначениях предыдущий расчет можно переписать как: $H (λ α + (1 - λ) β) ≥ F (α) λ G (β) 1 - λ {\ textstyle H (\ lambda \ alpha + (1- \ lambda) \ beta) \ geq F (\ alpha) ^ {\ lambda} G (\ beta) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle H (\ lambda \ alpha + (1- \ lambda) \ beta) \ geq F (\ alpha) ^ {\ lambda} G ( \ beta) ^ {1- \ lambda}}$ . Поскольку мы доказали это для любых фиксированных $α, β ∈ R {\ textstyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}}$ ${\ textstyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}}$ , это означает, что функция $H, F, G {\ textstyle H, F, G}$ ${\ textstyle H, F, G}$ удовлетворяют гипотезе для одномерной версии теоремы PL. Таким образом, мы имеем, что $∫ RH (γ) d γ ≥ (∫ RF (α) d α) λ (∫ RF (β) d β) 1 - λ {\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R} } H (\ gamma) d \ gamma \ geq (\ int _ {\ mathbb {R}} F (\ alpha) d \ alpha) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R}} F (\ beta) d \ beta) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R}} H (\ gamma) d \ gamma \ geq (\ int _ {\ mathbb {R}} F ( \ альфа) d \ альфа) ^ {\ лямбда} (\ int _ {\ mathbb {R}} F (\ beta) d \ beta) ^ {1- \ lambda}}$ , откуда следует утверждение теоремы Фубини. QED

PL подразумевает мультипликативный BM

Мультипликативный вариант Брунна-Минковского следует из неравенства PL, взяв $h = 1 λ A + (1 - λ) B, f = 1 A, g = 1 B {\ textstyle h = 1 _ {\ lambda A + (1- \ lambda) B}, f = 1_ {A}, g = 1_ {B}}$ ${\ textstyle h = 1 _ {\ лямбда A + (1- \ лямбда) B}, f = 1_ {A}, g = 1_ {B}}$ .

Мультипликативный BM подразумевает аддитивный BM

Теперь мы объясним, как вывести BM-неравенство из PL-неравенства. Во-первых, используя индикаторные функции для $A, B, λ A + (1 - λ) B {\ textstyle A, B, \ lambda A + (1- \ lambda) B}$ ${\ textstyle A, B, \ lambda A + (1- \ лямбда) B}$ Prékopa– Неравенство Лейндлера быстро дает мультипликативную версию Брунна-Минковского: $μ (λ A + (1 - λ) B) ≥ μ (A) λ μ (B) 1 - λ {\ textstyle \ mu (\ lambda A + ( 1- \ lambda) B) \ geq \ mu (A) ^ {\ lambda} \ mu (B) ^ {1- \ lambda}}$ ${\ textstyle \ mu (\ lambda A + (1- \ lambda) B) \ geq \ му (A) ^ {\ lambda} \ mu (B) ^ {1- \ lambda}}$ . Теперь покажем, как из мультипликативного BM-неравенства следует обычный аддитивный вариант.

Мы предполагаем, что оба A, B имеют положительный объем, поскольку в противном случае неравенство тривиально, и нормализуем их, чтобы иметь объем 1, установив $A ′ = A μ (A) 1 / n, B ′ = B μ (B) 1 / n {\ textstyle A '= {\ frac {A} {\ mu (A) ^ {1 / n}}}, B' = {\ frac {B} {\ mu (B) ^ {1 / n}}}}$ ${\textstyle A'={\frac {A}{\mu (A)^{1/n}}},B'={\frac {B}{\mu (B)^{1/n}}}}$ . Мы определяем $λ ′ = λ μ (B) 1 / n (1 - λ) μ (A) 1 / n + λ μ (B) 1 / n {\ textstyle \ lambda '= {\ frac {\ lambda \ mu (B) ^ {1 / n}} {(1- \ lambda) \ mu (A) ^ {1 / n} + \ lambda \ mu (B) ^ {1 / n}}}}$ ${\textstyle \lambda '={\frac {\lambda \mu (B)^{1/n}}{(1-\lambda)\mu (A)^{1/n}+\lambda \mu (B)^{1/n}}}}$ ; обратите внимание, что $1 - λ ′ = (1 - λ) μ (A) 1 / n (1 - λ) μ (A) 1 / n + λ μ (B) 1 / n {\ textstyle 1- \ lambda '= {\ frac {(1- \ lambda) \ mu (A) ^ {1 / n}} {(1- \ lambda) \ mu (A) ^ {1 / n} + \ lambda \ mu (B) ^ {1 / n}}}}$ ${\textstyle 1-\lambda '={\frac {(1-\lambda)\mu (A)^{1/n}}{(1-\lambda)\mu (A)^{1/n}+\lambda \mu (B)^{1/n}}}}$ . Используя эти определения и $μ (A ′) = μ (B ′) = 1 {\ textstyle \ mu (A ') = \ mu (B') = 1}$ ${\textstyle \mu (A')=\mu (B')=1}$ , мы вычислить, используя мультипликативное неравенство Брунна-Минковского, что:

μ ((1 - λ) A + λ B (1 - λ) μ (A) 1 / n + λ μ (B) 1 / n) = μ (( 1 - λ ′) A ′ + λ ′ B) ≥ μ (A ′) 1 - λ ′ μ (B ′) λ ′ = 1. {\ displaystyle \ mu ({\ frac {(1- \ lambda) A + \ лямбда B} {(1- \ lambda) \ mu (A) ^ {1 / n} + \ lambda \ mu (B) ^ {1 / n}}}) = \ mu ((1- \ lambda ') A '+ \ lambda' B) \ geq \ mu (A ') ^ {1- \ lambda'} \ mu (B ') ^ {\ lambda'} = 1.}

\mu ({\frac {(1-\lambda)A+\lambda B}{(1-\lambda)\mu (A)^{1/n}+\lambda \mu (B)^{1/n}}})=\mu ((1-\lambda ')A'+\lambda 'B)\geq \mu (A')^{1-\lambda '}\mu (B')^{\lambda '}=1.

Аддитивная форма Брунна-Минковского сейчас следует вытягивание масштабирования из вычисления крайнего левого объема и перестановки.

Важные следствия

Неравенство Брунна-Минковского позволяет лучше понять геометрию выпуклых тел большой размерности. В этом разделе мы сделаем набросок некоторых из этих идей.

Вогнутость функции радиуса (теорема Брунна)

Рассмотрим выпуклое тело $K ⊆ R n {\ textstyle K \ substeq \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ textstyle K \ substeq \ mathbb {R} ^ {n}}$ . Пусть $K (x) = K ∩ {x 1 = x} {\ textstyle K (x) = K \ cap \ {x_ {1} = x \}}$ ${\ textstyle К (Икс) = К \ крышка \ {х_ {1} = х \}}$ вертикальными срезами K. Определите $r (x) = μ (K (x)) 1 n - 1 {\ textstyle r (x) = \ mu (K (x)) ^ {\ frac {1} {n-1}} }$ ${\ textstyle r (x) = \ mu (K (x)) ^ {\ гидроразрыва {1} {n-1}}}$ как функция радиуса; если срезы K являются дисками, то r (x) дает радиус диска K (x) с точностью до константы. Для более общих тел эта функция радиуса, похоже, не имеет полностью четкой геометрической интерпретации, кроме радиуса диска, полученного путем упаковки объема среза как можно ближе к началу координат; в случае, когда K (x) не является диском, пример гиперкуба показывает, что среднее расстояние до центра масс может быть намного больше, чем r (x). Отметим, что иногда в контексте выпуклой геометрии функция радиуса имеет другое значение, здесь мы следуем терминологии этой лекции.

Ввиду выпуклости K, мы имеем, что $K (λ x + (1 - λ) Y) ⊇ λ К (Икс) + (1 - λ) К (Y) {\ textstyle K (\ lambda x + (1- \ lambda) y) \ supseteq \ lambda K (x) + (1 - \ lambda) K (y)}$ ${\ textstyle K (\ lambda x + (1- \ lambda) y) \ supseteq \ lambda K (x) + (1- \ lambda) K (y)}$ . Применение неравенства Брунна-Минковского дает $r (K (λ x + (1 - λ) y)) ≥ λ r (K (x)) + (1 - λ) r (K (y)) {\ textstyle r (K (\ lambda x + (1- \ lambda) y)) \ geq \ lambda r (K (x)) + (1- \ lambda) r (K (y))}$ ${\ textstyle г (К (\ лямбда х + (1- \ лямбда) у)) \ GEQ \ лямбда г (К (х)) + (1- \ лямбда) г (К (у))}$ , при условии $К (Икс) ≠ ∅, К (Y) ≠ ∅ {\ textstyle К (х) \ not = \ emptyset, K (y) \ not = \ emptyset}$ ${\ textstyle K (x) \ not = \ emptyset, K (y) \ not = \ emptyset}$ . Это показывает, что функция радиуса вогнута на своей опоре, что согласуется с интуицией, что выпуклое тело не погружается в себя ни в каком направлении. Этот результат иногда называют теоремой Брунна.

Симметризация Брунна-Минковского выпуклого тела

Снова рассмотрим выпуклое тело $K {\ textstyle K}$ ${\ textstyle K}$ . Исправьте некоторую строку $l {\ textstyle l}$ ${\ textstyle l}$ и для каждого $t ∈ l {\ textstyle t \ in l}$ ${\ textstyle t \ in l}$ пусть $H t {\ textstyle H_ {t}}$ ${\ textstyle H_ {t}}$ обозначает аффинную гиперплоскость, ортогональную $l {\ textstyle l}$ ${\ textstyle l}$ , которая проходит через $t {\ textstyle t}$ ${\ textstyle t}$ . Определить, $r (t) = V o l (K ∩ H t) {\ textstyle r (t) = Vol (K \ cap H_ {t})}$ ${\ textstyle r (t) = Vol (K \ cap H_ {t})}$ ; как обсуждалось в предыдущем разделе, эта функция является вогнутой. Теперь пусть $K ′ = ⋃ t ∈ l, К ∩ H t ≠ ∅ B (t, r (t)) ∩ H t {\ textstyle K '= \ bigcup _ {t \ in l, K \ cap H_ {t} \ not = \ emptyset} B (t, r (t)) \ cap H_ {t}}$ ${\textstyle K'=\bigcup _{t\in l,K\cap H_{t}\not =\emptyset }B(t,r(t))\cap H_{t}}$ . То есть $K ′ {\ textstyle K '}$ ${\textstyle K'}$ получается из $K {\ textstyle K}$ ${\ textstyle K}$ путем замены каждого фрагмента $H t ∩ K { \ textstyle H_ {t} \ cap K}$ ${\ textstyle H_ {t} \ cap K}$ с диском того же $(n - 1) {\ textstyle (n-1)}$ ${\ textstyle (n-1)}$ -мерный объем с центрированием $l {\ textstyle l}$ ${\ textstyle l}$ внутри $H t {\ textstyle H_ {t}}$ ${\ textstyle H_ {t}}$ . Вогнутость функции радиуса, определенной в предыдущем разделе, подразумевает, что $K '{\ textstyle K'}$ ${\textstyle K'}$ является выпуклым. Эта конструкция называется симметризацией Брунна-Минковского.

Теорема Грюнбаума

Теорема (Теорема Грюнбаума): Рассмотрим выпуклое тело $K ⊆ R n {\ textstyle K \ substeq \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ textstyle K \ substeq \ mathbb {R} ^ {n}}$ . Пусть $H {\ textstyle H}$ ${\ textstyle H}$ будет любым полупространством, содержащим центр масс $K {\ textstyle K}$ ${\ textstyle K}$ ; то есть ожидаемое местоположение однородной точки, взятой из $K. {\ textstyle K.}$ ${\ textstyle K.}$ Тогда $μ (H ∩ K) ≥ (nn + 1) n μ (K) ≥ 1 e μ (K) {\ textstyle \ mu (H \ cap K) \ geq ({\ frac {n} {n + 1}}) ^ {n} \ mu (K) \ geq {\ frac {1} {e}} \ mu (K)}$ ${\ textstyle \ mu (H \ cap K) \ geq ({\ frac {n} {n + 1}}) ^ {n} \ mu (K) \ geq {\ frac {1} {e} } \ mu (K)}$ .

Теорема Грюнбаума может быть доказанным с использованием неравенства Брунна-Минковского, в частности выпуклости симметризации Брунна-Минковского. См. эти конспекты лекций для проверки эскиза.

Неравенство Грюнбаума имеет следующую интерпретацию для разрезания торта. Предположим, два игрока играют в игру по разрезанию выпуклого торта размером $n {\ textstyle n}$ ${\ textstyle n}$ . Игрок 1 выбирает точку в торте, а второй игрок выбирает гиперплоскость, чтобы разрезать торт. Затем игрок 1 получает кусок торта, содержащий его очко. Теорема Грюнбаума подразумевает, что если игрок 1 выбирает центр масс, то худшее, что может сделать противный игрок 2, - это дать ему кусок пирога объемом не менее a $1 / e {\ textstyle 1 / e}$ ${\ textstyle 1 / e}$ доля от общей суммы. В размерах 2 и 3, наиболее распространенных размерах для тортов, пределы, указанные в теореме, составляют приблизительно $.444,.42 {\ textstyle.444,.42}$ ${\ textstyle.444,.42}$ соответственно. Однако обратите внимание, что в измерениях $n {\ textstyle n}$ ${\ textstyle n}$ вычисление центроида $# P {\ textstyle \ #P}$ ${\ textstyle \ #P}$ сложно, что ограничивает полезность этой стратегии разрезания торта для многомерных, но вычислительно ограниченных существ.

Приложения теоремы Грюнбаума также появляются в выпуклой оптимизации, в частности, при анализе сходимости метода центра тяжести. См. Теорему 2.1 в этих примечаниях.

Изопериметрическое неравенство

Пусть $B = B (0, 1) = {x ∈ R n: | | х | | 2 ≤ 1} {\ textstyle B = B (0,1) = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: || x || _ {2} \ leq 1 \}}$ ${\ textstyle B = B (0,1) = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: || x || _ {2} \ leq 1 \}}$ обозначают единичный шар. Для выпуклого тела K пусть $S (K) = lim ϵ → 0 μ (K + ϵ B) - μ (K) ϵ {\ textstyle S (K) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0 } {\ frac {\ mu (K + \ epsilon B) - \ mu (K)} {\ epsilon}}}$ ${\ textstyle S (K) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ frac {\ mu (K + \ epsilon B) - \ mu (K)} {\ epsilon}}}$ определяет его площадь поверхности. Это согласуется с обычным значением площади поверхности по формуле Минковского-Штейнера. Рассмотрим функцию $c (X) = μ (K) 1 / n S (K) 1 / (n - 1) {\ textstyle c (X) = {\ frac {\ mu (K) ^ {1 / n}} {S (K) ^ {1 / (n-1)}}}}$ ${\ textstyle c (X) = {\ frac {\ mu (K) ^ {1 / n} } {S (K) ^ {1 / (n-1)}}}}$ . Изопериметрическое неравенство утверждает, что это максимизируется на евклидовых шарах.

Доказательство изопериметрического неравенства через Брунна-Минковского
Во-первых, заметим, что из Брунна-Минковского следует, что $μ (K + ϵ B) ≥ (μ (K) 1 / n + ϵ V (B) 1 / n) n = V (K) (1 + ϵ (μ (B) μ (K)) 1 / n) n ≥ μ (K) (1 + n ϵ (μ (B) μ (K)) 1 / n), {\ textstyle \ му (К + \ эпсилон В) \ geq (\ му (К) ^ {1 / п} + \ эпсилон V (В) ^ {1 / п}) ^ {п} = В (К) ( 1+ \ epsilon ({\ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}) ^ {n} \ geq \ mu (K) (1 + n \ epsilon ({ \ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}),}$ ${ \ textstyle \ му (К + \ эпсилон В) \ geq (\ му (К) ^ {1 / п} + \ эпсилон V (В) ^ {1 / п}) ^ {п} = В (К) (1+ \ epsilon ({\ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}) ^ {n} \ geq \ mu (K) (1 + n \ epsilon ({\ frac {\ му (В)} {\ му (К)}}) ^ {1 / n}),}$ где в последнем неравенстве мы использовали это $(1 + x) n ≥ 1 + nx {\ textstyle (1 + x) ^ {n} \ geq 1 + nx}$ ${\ textstyle (1+ х) ^ {n} \ geq 1 + nx}$ для $x ≥ 0 {\ textstyle x \ geq 0}$ ${\ textstyle x \ geq 0}$ . Мы используем этот расчет для нижней границы площади поверхности $K {\ textstyle K}$ ${\ textstyle K}$ через $S (K) = lim ϵ → 0 μ (K + ϵ B) - μ (K) ϵ ≥ n μ (K) (μ (B) μ (K)) 1 / n. {\ textstyle S (K) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ frac {\ mu (K + \ epsilon B) - \ mu (K)} {\ epsilon}} \ geq n \ mu (K) ({\ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}.}$ ${\ textstyle S (K) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ frac {\ mu (K + \ epsilon B) - \ mu (K)} {\ epsilon}} \ geq n \ mu (K) ({\ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}.}$ Далее мы используем тот факт, что $S (B) = n μ (B) {\ textstyle S (B) = n \ mu (B)}$ ${\ textstyle S (B) = n \ mu (B)}$ , которая следует из формулы Минковского-Штайнера, для вычисления $S (K) S (B) = S (K) n μ (B) ≥ μ (K) (μ (B) μ (K)) 1 / n μ (B) = μ (K) n - 1 n μ (B) 1 - пн. {\ textstyle {\ гидроразрыва {S (K)} {S (B)}} = {\ гидроразрыва {S (K)} {n \ mu (B)}} \ geq {\ frac {\ mu (K) ( {\ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}} {\ mu (B)}} = \ mu (K) ^ {\ frac {n-1} { n}} \ mu (B) ^ {\ frac {1-n} {n}}.}$ ${\ textstyle {\ frac {S (K)} {S (B)}} = { \ frac {S (K)} {n \ mu (B)}} \ geq {\ frac {\ mu (K) ({\ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ { 1 / n}} {\ mu (B)}} = \ mu (K) ^ {\ frac {n-1} {n}} \ mu (B) ^ {\ frac {1-n} {n}}.}$ Перестановка этого дает изопериметрическое неравенство: $μ (B) 1 / n S (B) 1 / (n - 1) ≥ μ (K) 1 / n S (K) 1 / (n - 1). {\ textstyle {\ frac {\ mu (B) ^ {1 / n}} {S (B) ^ {1 / (n-1)}}} \ geq {\ frac {\ mu (K) ^ {1 / n}} {S (K) ^ {1 / (n-1)}}}.}$ ${\ textstyle {\ frac {\ mu (B) ^ {1 / n}} {S (B) ^ {1 / (n-1)}}} \ geq {\ frac {\ mu (K) ^ {1 /n}}{S(K)^{1/(n-1)}}}.}$

Доказательство изопериметрического неравенства через Брунна-Минковского

Во-первых, заметим, что из Брунна-Минковского следует, что $μ (K + ϵ B) ≥ (μ (K) 1 / n + ϵ V (B) 1 / n) n = V (K) (1 + ϵ (μ (B) μ (K)) 1 / n) n ≥ μ (K) (1 + n ϵ (μ (B) μ (K)) 1 / n), {\ textstyle \ му (К + \ эпсилон В) \ geq (\ му (К) ^ {1 / п} + \ эпсилон V (В) ^ {1 / п}) ^ {п} = В (К) ( 1+ \ epsilon ({\ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}) ^ {n} \ geq \ mu (K) (1 + n \ epsilon ({ \ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}),}$ ${ \ textstyle \ му (К + \ эпсилон В) \ geq (\ му (К) ^ {1 / п} + \ эпсилон V (В) ^ {1 / п}) ^ {п} = В (К) (1+ \ epsilon ({\ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}) ^ {n} \ geq \ mu (K) (1 + n \ epsilon ({\ frac {\ му (В)} {\ му (К)}}) ^ {1 / n}),}$ где в последнем неравенстве мы использовали это $(1 + x) n ≥ 1 + nx {\ textstyle (1 + x) ^ {n} \ geq 1 + nx}$ ${\ textstyle (1+ х) ^ {n} \ geq 1 + nx}$ для $x ≥ 0 {\ textstyle x \ geq 0}$ ${\ textstyle x \ geq 0}$ . Мы используем этот расчет для нижней границы площади поверхности $K {\ textstyle K}$ ${\ textstyle K}$ через $S (K) = lim ϵ → 0 μ (K + ϵ B) - μ (K) ϵ ≥ n μ (K) (μ (B) μ (K)) 1 / n. {\ textstyle S (K) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ frac {\ mu (K + \ epsilon B) - \ mu (K)} {\ epsilon}} \ geq n \ mu (K) ({\ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}.}$ ${\ textstyle S (K) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ frac {\ mu (K + \ epsilon B) - \ mu (K)} {\ epsilon}} \ geq n \ mu (K) ({\ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}.}$ Далее мы используем тот факт, что $S (B) = n μ (B) {\ textstyle S (B) = n \ mu (B)}$ ${\ textstyle S (B) = n \ mu (B)}$ , которая следует из формулы Минковского-Штайнера, для вычисления $S (K) S (B) = S (K) n μ (B) ≥ μ (K) (μ (B) μ (K)) 1 / n μ (B) = μ (K) n - 1 n μ (B) 1 - пн. {\ textstyle {\ гидроразрыва {S (K)} {S (B)}} = {\ гидроразрыва {S (K)} {n \ mu (B)}} \ geq {\ frac {\ mu (K) ( {\ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}} {\ mu (B)}} = \ mu (K) ^ {\ frac {n-1} { n}} \ mu (B) ^ {\ frac {1-n} {n}}.}$ ${\ textstyle {\ frac {S (K)} {S (B)}} = { \ frac {S (K)} {n \ mu (B)}} \ geq {\ frac {\ mu (K) ({\ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ { 1 / n}} {\ mu (B)}} = \ mu (K) ^ {\ frac {n-1} {n}} \ mu (B) ^ {\ frac {1-n} {n}}.}$ Перестановка этого дает изопериметрическое неравенство: $μ (B) 1 / n S (B) 1 / (n - 1) ≥ μ (K) 1 / n S (K) 1 / (n - 1). {\ textstyle {\ frac {\ mu (B) ^ {1 / n}} {S (B) ^ {1 / (n-1)}}} \ geq {\ frac {\ mu (K) ^ {1 / n}} {S (K) ^ {1 / (n-1)}}}.}$ ${\ textstyle {\ frac {\ mu (B) ^ {1 / n}} {S (B) ^ {1 / (n-1)}}} \ geq {\ frac {\ mu (K) ^ {1 /n}}{S(K)^{1/(n-1)}}}.}$

Приложения к неравенствам между смешанными объемами

Неравенство Брунна-Минковского может быть использовано для вывода следующего inequality $V ( K, …, K, L) n ≥ V ( K) n − 1 V ( L) {\textstyle V(K,\ldots,K,L)^{n}\geq V(K)^{n-1}V(L)}$ ${ \ textstyle V (K, \ ldots, K, L) ^ {n} \ geq V (K) ^ {n-1} V (L)}$ , where the $V ( K, …, K, L) {\textstyle V(K,\ldots,K,L)}$ ${\ textstyle V (K, \ ldots, K, L)}$ term is a mixed-volume. Equality holds iff K,L are homothetic. (See theorem 3.4.3 in Hug and Weil's course on convex geometry.)

Proof
We recall the following facts about mixed volumes : $μ ( λ 1 K 1 + λ 2 K 2) = ∑ j 1, …, j n = 1 r V ( K j 1, …, V ( K j n) λ j 1 … λ j n {\textstyle \mu (\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2})=\sum _{j_{1},\ldots,j_{n}=1}^{r}V(K_{j_{1}},\ldots,V(K_{j_{n}})\lambda _{j_{1}}\ldots \lambda _{j_{n}}}$ ${\ textstyle \ mu (\ lambda _ {1} K_ {1} + \ lambda _ {2} K_ { 2}) = \ sum _ {j_ {1}, \ ldots, j_ {n} = 1} ^ {r} V (K_ {j_ {1}}, \ ldots, V (K_ {j_ {n}}) \ lambda _ {j_ {1}} \ ldots \ lambda _ {j_ {n}}}$ , so that in particular if $g ( t) = μ ( K + t L) = μ ( V) + n V ( K, …, K, L) t + … {\textstyle g(t)=\mu (K+tL)=\mu (V)+nV(K,\ldots,K,L)t+\ldots }$ ${\ textstyle g (t) = \ mu (K + tL) = \ му (V) + nV (K, \ ldots, K, L) t + \ ldots}$ , then $g ′ ( 0) = n V ( K, …, K, L) {\textstyle g'(0)=nV(K,\ldots,K,L)}$ ${\textstyle g'(0)=nV(K,\ldots,K,L)}$ . Let $f ( t) := μ ( K + t L) 1 / n {\textstyle f(t):=\mu (K+tL)^{1/n}}$ ${\ textstyle f (t): = \ mu (K + tL) ^ {1 / n}}$ . Brunn's theorem implies that this is concave for $t ∈ [ 0, 1 ] {\textstyle t\in [0,1]}$ ${\ textstyle t \ in [0,1]}$ . Thus, $f + ( 0) ≥ f ( 1) − f ( 0) = μ ( K + L) 1 / n − V ( K) 1 / n {\textstyle f^{+}(0)\geq f(1)-f(0)=\mu (K+L)^{1/n}-V(K)^{1/n}}$ ${\ textstyle f ^ {+} (0) \ geq f (1) -f (0) = \ mu (K + L) ^ {1 / n} - V (К) ^ {1 / n}}$ , where $f + ( 0) {\textstyle f^{+}(0)}$ ${\ textstyle f ^ {+} (0)}$ denotes the right derivative. We also have that $f + ( 0) = 1 n μ ( K) n − 1 n n V ( K, …, K, L) {\textstyle f^{+}(0)={\frac {1}{n}}\mu (K)^{\frac {n-1}{n}}nV(K,\ldots,K,L)}$ ${\ textstyle f ^ {+} (0) = {\ frac {1} {n}} \ mu (K) ^ {\ frac {n-1} {n}} нВ (К, \ ldots, К, L)}$ . From this we get $μ ( K) n − 1 n V ( K, …, K, L) ≥ μ ( K + L) 1 / n − V ( K) 1 / n ≥ V ( L) 1 / n {\textstyle \mu (K)^{\frac {n-1}{n}}V(K,\ldots,K,L)\geq \mu (K+L)^{1/n}-V(K)^{1/n}\geq V(L)^{1/n}}$ ${\ textstyle \ mu (K) ^ {\ frac {n-1} {n}} V (K, \ ldots, K, L) \ geq \ mu (K + L) ^ {1 / n} -V (K) ^ {1 / n} \ geq V (L) ^ {1 / n}}$ , where we applied BM in the last inequality.

Proof

We recall the following facts about mixed volumes : $μ ( λ 1 K 1 + λ 2 K 2) = ∑ j 1, …, j n = 1 r V ( K j 1, …, V ( K j n) λ j 1 … λ j n {\textstyle \mu (\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2})=\sum _{j_{1},\ldots,j_{n}=1}^{r}V(K_{j_{1}},\ldots,V(K_{j_{n}})\lambda _{j_{1}}\ldots \lambda _{j_{n}}}$ ${\ textstyle \ mu (\ lambda _ {1} K_ {1} + \ lambda _ {2} K_ { 2}) = \ sum _ {j_ {1}, \ ldots, j_ {n} = 1} ^ {r} V (K_ {j_ {1}}, \ ldots, V (K_ {j_ {n}}) \ lambda _ {j_ {1}} \ ldots \ lambda _ {j_ {n}}}$ , so that in particular if $g ( t) = μ ( K + t L) = μ ( V) + n V ( K, …, K, L) t + … {\textstyle g(t)=\mu (K+tL)=\mu (V)+nV(K,\ldots,K,L)t+\ldots }$ ${\ textstyle g (t) = \ mu (K + tL) = \ му (V) + nV (K, \ ldots, K, L) t + \ ldots}$ , then $g ′ ( 0) = n V ( K, …, K, L) {\textstyle g'(0)=nV(K,\ldots,K,L)}$ ${\textstyle g'(0)=nV(K,\ldots,K,L)}$ .

Let $f ( t) := μ ( K + t L) 1 / n {\textstyle f(t):=\mu (K+tL)^{1/n}}$ ${\ textstyle f (t): = \ mu (K + tL) ^ {1 / n}}$ . Brunn's theorem implies that this is concave for $t ∈ [ 0, 1 ] {\textstyle t\in [0,1]}$ ${\ textstyle t \ in [0,1]}$ . Thus, $f + ( 0) ≥ f ( 1) − f ( 0) = μ ( K + L) 1 / n − V ( K) 1 / n {\textstyle f^{+}(0)\geq f(1)-f(0)=\mu (K+L)^{1/n}-V(K)^{1/n}}$ ${\ textstyle f ^ {+} (0) \ geq f (1) -f (0) = \ mu (K + L) ^ {1 / n} - V (К) ^ {1 / n}}$ , where $f + ( 0) {\textstyle f^{+}(0)}$ ${\ textstyle f ^ {+} (0)}$ denotes the right derivative. We also have that $f + ( 0) = 1 n μ ( K) n − 1 n n V ( K, …, K, L) {\textstyle f^{+}(0)={\frac {1}{n}}\mu (K)^{\frac {n-1}{n}}nV(K,\ldots,K,L)}$ ${\ textstyle f ^ {+} (0) = {\ frac {1} {n}} \ mu (K) ^ {\ frac {n-1} {n}} нВ (К, \ ldots, К, L)}$ . From this we get $μ ( K) n − 1 n V ( K, …, K, L) ≥ μ ( K + L) 1 / n − V ( K) 1 / n ≥ V ( L) 1 / n {\textstyle \mu (K)^{\frac {n-1}{n}}V(K,\ldots,K,L)\geq \mu (K+L)^{1/n}-V(K)^{1/n}\geq V(L)^{1/n}}$ ${\ textstyle \ mu (K) ^ {\ frac {n-1} {n}} V (K, \ ldots, K, L) \ geq \ mu (K + L) ^ {1 / n} -V (K) ^ {1 / n} \ geq V (L) ^ {1 / n}}$ , where we applied BM in the last inequality.

Concentration of Measure on the Sphere and Other Strictly Convex Surfaces

We prove the following theorem on concentration of measure, following notes by Barvinok and notes by Lap Chi Lau. See also the wikipedia page on concentration of measure.

Theorem:Let $S {\textstyle S}$ ${\ textstyle S}$ be the unit sphere in $R n {\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ . Let $X ⊆ S {\textstyle X\subseteq S}$ ${\ textstyle X \ substeq S}$ . Define $X ϵ = { z ∈ S : d ( z, X) ≤ ϵ } {\textstyle X_{\epsilon }=\{z\in S:d(z,X)\leq \epsilon \}}$ ${ \ textstyle X _ {\ epsilon} = \ {z \ in S: d (z, X) \ leq \ epsilon \}}$ , where d refers to the Euclidean distance in $R n {\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ . Let $ν {\textstyle \nu }$ ${\ textstyle \ nu}$ denote the surface area on the sphere. Then, for any $ϵ ∈ ( 0, 1 ] {\textstyle \epsilon \in (0,1]}$ ${\ textstyle \ epsilon \ in (0,1]}$ we have that $ν ( X ϵ) ν ( S) ≥ 1 − ν ( S) ν ( X) e − n ϵ 2 4 {\textstyle {\frac {\nu (X_{\epsilon })}{\nu (S)}}\geq 1-{\frac {\nu (S)}{\nu (X)}}e^{-{\frac {n\epsilon ^{2}}{4}}}}$ ${\ textstyle {\ frac {\ nu (X _ {\ epsilon})} {\ nu (S)}} \ geq 1 - {\ frac {\ nu (S)} {\ nu (X)}} e ^ {- {\ frac {n \ epsilon ^ {2}} {4}}}}$ .

Proof
Proof:Let $δ = ϵ 2 / 8 {\textstyle \delta =\epsilon ^{2}/8}$ ${\ textstyle \ delta = \ epsilon ^ {2} / 8 }$ , and let $Y = S ∖ X ϵ {\textstyle Y=S\setminus X_{\epsilon }}$ ${\ textstyle Y = S \ setminus X _ {\ epsilon}}$ . Then, for $x ∈ X, y ∈ Y {\textstyle x\in X,y\in Y}$ ${\ textstyle x \ in X, y \ in Y}$ one can show, using $1 2 \| \| x + y \| \| 2 = \| \| x \| \| 2 + \| \| y \| \| 2 − 1 2 \| \| x − y \| \| 2 {\textstyle {\frac {1}{2}}\|\|x+y\|\|^{2}=\|\|x\|\|^{2}+\|\|y\|\|^{2}-{\frac {1}{2}}\|\|x-y\|\|^{2}}$ ${\ стиль текста {\ frac {1} {2}} \|\| x + y \|\| ^ {2} = \|\| x \|\| ^ {2} + \|\| y \|\| ^ {2} - {\ frac {1} { 2}} \|\| ху \|\| ^ {2}}$ and $1 − x ≤ 1 − x / 2 {\textstyle {\sqrt {1-x}}\leq 1-x/2}$ ${\ textstyle {\ sqrt {1-x} } \ leq 1-x / 2}$ for $x ≤ 1 {\textstyle x\leq 1}$ ${\ textstyle x \ leq 1}$ , that $\| \| x + y 2 \| \| ≤ 1 − δ {\textstyle \|\|{\frac {x+y}{2}}\|\|\leq 1-\delta }$ ${\ textstyle \|\| {\ frac {x + y} {2}} \|\| \ leq 1- \ delta}$ . In particular, $x + y 2 ∈ ( 1 − δ) B ( 0, 1) {\textstyle {\frac {x+y}{2}}\in (1-\delta)B(0,1)}$ ${\ textstyle {\ frac {x + y} {2}} \ in (1 - \ delta) B (0,1)}$ . We let $X ¯ = Conv ( X, { 0 }), Y ¯ = Conv ( Y, { 0 }) {\textstyle {\overline {X}}={\text{Conv}}(X,\{0\}),{\overline {Y}}={\text{Conv}}(Y,\{0\})}$ ${\ textstyle {\ overline {X}} = {\ text {Conv}} (X, \ {0 \}), {\ overline {Y }} = {\ text {Conv}} (Y, \ {0 \})}$ , and aim to show that $X ¯ + Y ¯ 2 ⊆ ( 1 − δ) B ( 0, 1) {\textstyle {\frac {{\overline {X}}+{\overline {Y}}}{2}}\subseteq (1-\delta)B(0,1)}$ ${\ textstyle {\ frac {{\ overline {X}} + {\ overline {Y}}} {2}} \ substeq (1- \ delta) B (0,1)}$ . Let $x ∈ X, y ∈ Y, α, β ∈ [ 0, 1 ], x ¯ = α x, y ¯ = α y {\textstyle x\in X,y\in Y,\alpha,\beta \in [0,1],{\bar {x}}=\alpha x,{\bar {y}}=\alpha y}$ ${\ textstyle x \ в X, y \ in Y, \ alpha, \ beta \ in [0,1], {\ bar {x}} = \ alpha x, {\ bar {y}} = \ alpha y}$ . The argument below will be symmetric in $x ¯, y ¯ {\textstyle {\bar {x}},{\bar {y}}}$ ${\ textstyle {\ bar {x}}, {\ bar {y}}}$ , so we assume without loss of generality that $α ≥ β {\textstyle \alpha \geq \beta }$ ${\ textstyle \ alpha \ geq \ beta}$ and set $γ = β / α ≤ 1 {\textstyle \gamma =\beta /\alpha \leq 1}$ ${\ textstyle \ gamma = \ beta / \ alpha \ leq 1}$ . Then, $x ¯ + y ¯ 2 = α x + β y 2 = α x + γ y 2 = α ( γ x + y 2 + ( 1 − γ) x 2) = α γ x + y 2 + α ( 1 − γ) x 2 {\displaystyle {\frac {{\bar {x}}+{\bar {y}}}{2}}={\frac {\alpha x+\beta y}{2}}=\alpha {\frac {x+\gamma y}{2}}=\alpha (\gamma {\frac {x+y}{2}}+(1-\gamma){\frac {x}{2}})=\alpha \gamma {\frac {x+y}{2}}+\alpha (1-\gamma){\frac {x}{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ bar {x}} + {\ bar {y}}} {2}} = {\ frac {\ alpha x + \ beta y} {2}} = \ alpha {\ frac {x + \ gamma y} {2}} = \ alpha (\ gamma {\ frac {x + y} {2}} + (1- \ gamma) {\ frac {x} {2}}) = \ alpha \ гамма {\ гидроразрыв {х + y} {2}} + \ альфа (1- \ гамма) {\ гидроразрыв {x} {2}}}$ . This implies that $x ¯ + y ¯ 2 ∈ α γ ( 1 − δ) B + α ( 1 − γ) ( 1 − δ) B = α ( 1 − δ) B ⊆ ( 1 − δ) B {\textstyle {\frac {{\bar {x}}+{\bar {y}}}{2}}\in \alpha \gamma (1-\delta)B+\alpha (1-\gamma)( 1- \ delta) B = \ alpha (1- \ delta) B \ substeq (1- \ delta) B}$ ${\ textstyle {\ frac {{\ bar {x}} + {\ bar {y}}} {2}} \ in \ alpha \ gamma (1- \ delta) B + \ alpha (1- \ gamma) (1- \ delta) B = \ alpha (1- \ delta) B \ substeq (1- \ delta) B}$ . (Используя это для любого выпуклого тела K и $γ ∈ [0, 1] {\ textstyle \ gamma \ in [0,1]}$ ${\ textstyle \ gamma \ in [0,1 ]}$ , $γ K + (1 - γ) K = K {\ textstyle \ гамма K + (1- \ gamma) K = K}$ ${\ textstyle \ gamma K + (1- \ gamma) K = K}$ .) Таким образом, мы знаем, что $X ¯ + Y ¯ 2 ⊆ (1 - δ) B (0, 1) {\ textstyle {\ frac {{\ overline {X}} + {\ overline {Y}}} {2}} \ substeq (1- \ delta) B (0,1)}$ ${\ textstyle {\ frac {{\ overline {X}} + {\ overline {Y}}} {2}} \ substeq (1- \ delta) B (0,1)}$ , поэтому $μ (X ¯ + Y ¯ 2) ≤ (1 - δ) n μ (B (0, 1)) {\ textstyle \ mu ({\ frac {{\ overline {X}} + {\ overline {Y}}} {2}}) \ leq (1- \ delta) ^ {n} \ mu (B (0,1))}$ ${\ textstyle \ mu ({\ гидроразрыва {{\ overline {X}} + {\ overline {Y}}} {2}}) \ Leq (1- \ delta) ^ {n} \ mu (B (0,1))}$ . Мы применяем мультипликативную форму неравенства Брунна-Минковского для оценки снизу первого члена следующим образом: $μ (X ¯) μ (Y ¯) {\ textstyle {\ sqrt {\ mu ({\ bar {X}}) \ mu ({\ bar {Y}})}}}$ ${\ textstyle {\ sqrt {\ mu ({\ bar {X}}) \ mu ({\ bar {Y}})}}}$ , что дает нам $(1 - δ) n μ (B) ≥ μ (X ¯) 1/2 μ (Y ¯) 1 / 2 {\ textstyle (1- \ дельта) ^ {п} \ му (В) \ geq \ му ({\ бар {X}}) ^ {1/2} \ му ({\ бар {Y}}) ^ {1/2}}$ ${\ textstyle ( 1- \ delta) ^ {n} \ mu (B) \ geq \ mu ({\ bar {X}}) ^ {1/2} \ mu ({\ bar {Y}}) ^ {1/2} }$ . $1 - ν (X ϵ) ν (S) = ν (Y) ν (S) = μ (Y ¯) μ (B) ≤ (1 - δ) 2 n μ ( B) μ (X ¯) ≤ (1 - δ) 2 n ν (S) ν (X) ≤ e - 2 n δ ν (S) ν (X) = e - n ϵ 2/4 ν (S) ν (Икс) {\ Displaystyle 1 - {\ гидроразрыва {\ ню (Х _ {\ эпсилон})} {\ ню (S)}} = {\ гидроразрыва {\ ню (Y)} {\ ню (S)}} = {\ frac {\ mu ({\ bar {Y}})} {\ mu (B)}} \ leq (1- \ delta) ^ {2n} {\ frac {\ mu (B)} {\ mu ( {\ bar {X}})}} \ leq (1- \ delta) ^ {2n} {\ frac {\ nu (S)} {\ nu (X)}} \ leq e ^ {- 2n \ delta} {\ frac {\ nu (S)} {\ nu (X)}} = e ^ {- n \ epsilon ^ {2} / 4} {\ frac {\ nu (S)} {\ nu (X)} }}$ ${\ displaystyle 1 - {\ frac {\ nu (X _ {\ epsilon})} {\ nu (S)}} = {\ frac {\ nu (Y)} {\ nu (S)}} = {\ frac {\ mu ({\ bar {Y}})} {\ mu (B)}} \ leq (1- \ delta) ^ {2n} {\ frac {\ mu (B)} {\ mu ({\ bar {X}})}} \ leq (1- \ delta) ^ {2n} {\ frac {\ nu (S)} {\ nu (X)}} \ leq e ^ {- 2n \ delta} {\ frac {\ n u (S)} {\ nu (X)}} = e ^ {- n \ epsilon ^ {2} / 4} {\ frac {\ nu (S)} {\ nu (X)}}}$ . QED

Proof

Proof:Let $δ = ϵ 2 / 8 {\textstyle \delta =\epsilon ^{2}/8}$ ${\ textstyle \ delta = \ epsilon ^ {2} / 8 }$ , and let $Y = S ∖ X ϵ {\textstyle Y=S\setminus X_{\epsilon }}$ ${\ textstyle Y = S \ setminus X _ {\ epsilon}}$ . Then, for $x ∈ X, y ∈ Y {\textstyle x\in X,y\in Y}$ ${\ textstyle x \ in X, y \ in Y}$ one can show, using $1 2 | | x + y | | 2 = | | x | | 2 + | | y | | 2 − 1 2 | | x − y | | 2 {\textstyle {\frac {1}{2}}||x+y||^{2}=||x||^{2}+||y||^{2}-{\frac {1}{2}}||x-y||^{2}}$ ${\ стиль текста {\ frac {1} {2}} || x + y || ^ {2} = || x || ^ {2} + || y || ^ {2} - {\ frac {1} { 2}} || ху || ^ {2}}$ and $1 − x ≤ 1 − x / 2 {\textstyle {\sqrt {1-x}}\leq 1-x/2}$ ${\ textstyle {\ sqrt {1-x} } \ leq 1-x / 2}$ for $x ≤ 1 {\textstyle x\leq 1}$ ${\ textstyle x \ leq 1}$ , that $| | x + y 2 | | ≤ 1 − δ {\textstyle ||{\frac {x+y}{2}}||\leq 1-\delta }$ ${\ textstyle || {\ frac {x + y} {2}} || \ leq 1- \ delta}$ . In particular, $x + y 2 ∈ ( 1 − δ) B ( 0, 1) {\textstyle {\frac {x+y}{2}}\in (1-\delta)B(0,1)}$ ${\ textstyle {\ frac {x + y} {2}} \ in (1 - \ delta) B (0,1)}$ .

We let $X ¯ = Conv ( X, { 0 }), Y ¯ = Conv ( Y, { 0 }) {\textstyle {\overline {X}}={\text{Conv}}(X,\{0\}),{\overline {Y}}={\text{Conv}}(Y,\{0\})}$ ${\ textstyle {\ overline {X}} = {\ text {Conv}} (X, \ {0 \}), {\ overline {Y }} = {\ text {Conv}} (Y, \ {0 \})}$ , and aim to show that $X ¯ + Y ¯ 2 ⊆ ( 1 − δ) B ( 0, 1) {\textstyle {\frac {{\overline {X}}+{\overline {Y}}}{2}}\subseteq (1-\delta)B(0,1)}$ ${\ textstyle {\ frac {{\ overline {X}} + {\ overline {Y}}} {2}} \ substeq (1- \ delta) B (0,1)}$ . Let $x ∈ X, y ∈ Y, α, β ∈ [ 0, 1 ], x ¯ = α x, y ¯ = α y {\textstyle x\in X,y\in Y,\alpha,\beta \in [0,1],{\bar {x}}=\alpha x,{\bar {y}}=\alpha y}$ ${\ textstyle x \ в X, y \ in Y, \ alpha, \ beta \ in [0,1], {\ bar {x}} = \ alpha x, {\ bar {y}} = \ alpha y}$ . The argument below will be symmetric in $x ¯, y ¯ {\textstyle {\bar {x}},{\bar {y}}}$ ${\ textstyle {\ bar {x}}, {\ bar {y}}}$ , so we assume without loss of generality that $α ≥ β {\textstyle \alpha \geq \beta }$ ${\ textstyle \ alpha \ geq \ beta}$ and set $γ = β / α ≤ 1 {\textstyle \gamma =\beta /\alpha \leq 1}$ ${\ textstyle \ gamma = \ beta / \ alpha \ leq 1}$ . Then,

x ¯ + y ¯ 2 = α x + β y 2 = α x + γ y 2 = α ( γ x + y 2 + ( 1 − γ) x 2) = α γ x + y 2 + α ( 1 − γ) x 2 {\displaystyle {\frac {{\bar {x}}+{\bar {y}}}{2}}={\frac {\alpha x+\beta y}{2}}=\alpha {\frac {x+\gamma y}{2}}=\alpha (\gamma {\frac {x+y}{2}}+(1-\gamma){\frac {x}{2}})=\alpha \gamma {\frac {x+y}{2}}+\alpha (1-\gamma){\frac {x}{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ bar {x}} + {\ bar {y}}} {2}} = {\ frac {\ alpha x + \ beta y} {2}} = \ alpha {\ frac {x + \ gamma y} {2}} = \ alpha (\ gamma {\ frac {x + y} {2}} + (1- \ gamma) {\ frac {x} {2}}) = \ alpha \ гамма {\ гидроразрыв {х + y} {2}} + \ альфа (1- \ гамма) {\ гидроразрыв {x} {2}}}

This implies that $x ¯ + y ¯ 2 ∈ α γ ( 1 − δ) B + α ( 1 − γ) ( 1 − δ) B = α ( 1 − δ) B ⊆ ( 1 − δ) B {\textstyle {\frac {{\bar {x}}+{\bar {y}}}{2}}\in \alpha \gamma (1-\delta)B+\alpha (1-\gamma)( 1- \ delta) B = \ alpha (1- \ delta) B \ substeq (1- \ delta) B}$ ${\ textstyle {\ frac {{\ bar {x}} + {\ bar {y}}} {2}} \ in \ alpha \ gamma (1- \ delta) B + \ alpha (1- \ gamma) (1- \ delta) B = \ alpha (1- \ delta) B \ substeq (1- \ delta) B}$ . (Используя это для любого выпуклого тела K и $γ ∈ [0, 1] {\ textstyle \ gamma \ in [0,1]}$ ${\ textstyle \ gamma \ in [0,1 ]}$ , $γ K + (1 - γ) K = K {\ textstyle \ гамма K + (1- \ gamma) K = K}$ ${\ textstyle \ gamma K + (1- \ gamma) K = K}$ .)

Таким образом, мы знаем, что $X ¯ + Y ¯ 2 ⊆ (1 - δ) B (0, 1) {\ textstyle {\ frac {{\ overline {X}} + {\ overline {Y}}} {2}} \ substeq (1- \ delta) B (0,1)}$ ${\ textstyle {\ frac {{\ overline {X}} + {\ overline {Y}}} {2}} \ substeq (1- \ delta) B (0,1)}$ , поэтому $μ (X ¯ + Y ¯ 2) ≤ (1 - δ) n μ (B (0, 1)) {\ textstyle \ mu ({\ frac {{\ overline {X}} + {\ overline {Y}}} {2}}) \ leq (1- \ delta) ^ {n} \ mu (B (0,1))}$ ${\ textstyle \ mu ({\ гидроразрыва {{\ overline {X}} + {\ overline {Y}}} {2}}) \ Leq (1- \ delta) ^ {n} \ mu (B (0,1))}$ . Мы применяем мультипликативную форму неравенства Брунна-Минковского для оценки снизу первого члена следующим образом: $μ (X ¯) μ (Y ¯) {\ textstyle {\ sqrt {\ mu ({\ bar {X}}) \ mu ({\ bar {Y}})}}}$ ${\ textstyle {\ sqrt {\ mu ({\ bar {X}}) \ mu ({\ bar {Y}})}}}$ , что дает нам $(1 - δ) n μ (B) ≥ μ (X ¯) 1/2 μ (Y ¯) 1 / 2 {\ textstyle (1- \ дельта) ^ {п} \ му (В) \ geq \ му ({\ бар {X}}) ^ {1/2} \ му ({\ бар {Y}}) ^ {1/2}}$ ${\ textstyle ( 1- \ delta) ^ {n} \ mu (B) \ geq \ mu ({\ bar {X}}) ^ {1/2} \ mu ({\ bar {Y}}) ^ {1/2} }$ .

$1 - ν (X ϵ) ν (S) = ν (Y) ν (S) = μ (Y ¯) μ (B) ≤ (1 - δ) 2 n μ ( B) μ (X ¯) ≤ (1 - δ) 2 n ν (S) ν (X) ≤ e - 2 n δ ν (S) ν (X) = e - n ϵ 2/4 ν (S) ν (Икс) {\ Displaystyle 1 - {\ гидроразрыва {\ ню (Х _ {\ эпсилон})} {\ ню (S)}} = {\ гидроразрыва {\ ню (Y)} {\ ню (S)}} = {\ frac {\ mu ({\ bar {Y}})} {\ mu (B)}} \ leq (1- \ delta) ^ {2n} {\ frac {\ mu (B)} {\ mu ( {\ bar {X}})}} \ leq (1- \ delta) ^ {2n} {\ frac {\ nu (S)} {\ nu (X)}} \ leq e ^ {- 2n \ delta} {\ frac {\ nu (S)} {\ nu (X)}} = e ^ {- n \ epsilon ^ {2} / 4} {\ frac {\ nu (S)} {\ nu (X)} }}$ ${\ displaystyle 1 - {\ frac {\ nu (X _ {\ epsilon})} {\ nu (S)}} = {\ frac {\ nu (Y)} {\ nu (S)}} = {\ frac {\ mu ({\ bar {Y}})} {\ mu (B)}} \ leq (1- \ delta) ^ {2n} {\ frac {\ mu (B)} {\ mu ({\ bar {X}})}} \ leq (1- \ delta) ^ {2n} {\ frac {\ nu (S)} {\ nu (X)}} \ leq e ^ {- 2n \ delta} {\ frac {\ n u (S)} {\ nu (X)}} = e ^ {- n \ epsilon ^ {2} / 4} {\ frac {\ nu (S)} {\ nu (X)}}}$ . QED

Версия этого результата верна также для так называемых строго выпуклых поверхностей, где результат зависит от модуля выпуклости. Однако понятие площади поверхности требует модификации, см: вышеупомянутые примечания по концентрации меры от Барвинока.

Замечания

Доказательство теоремы Брунна – Минковского устанавливает, что функция

A ↦ [μ (A)] 1 / n {\ displaystyle A \ mapsto [\ mu (A)] ^ {1 / n}}

A \ mapsto [\ mu (A)] ^ {1 / n}

является вогнутым в том смысле, что для каждой пары непустых компактных подмножеств A и B в R и каждые 0 ≤ t ≤ 1,

[μ (t A + (1 - t) B)] 1 / n ≥ t [μ (A) ] 1 / n + (1 - t) [μ (B)] 1 / n. {\ Displaystyle \ влево [\ му (tA + (1-t) B) \ справа] ^ {1 / n} \ geq t [\ му (A)] ^ {1 / n} + (1-t) [\ mu (B)] ^ {1 / n}.}

\ left [ \ mu (tA + (1-t) B) \ right] ^ {1 / n} \ geq t [\ mu (A)] ^ {1 / n} + (1-t) [\ mu (B)] ^ {1 / n}.

Для выпуклых множеств A и B положительной меры неравенство в теореме строгое для 0 < t < 1 unless A and B are positive гомотетических, т. е. равны с точностью до смещения и расширения на положительный коэффициент.

Примеры

Закругленные кубы

Поучительно рассмотреть случай, когда $A {\ textstyle A}$ ${\ textstyle A}$ an $l × l {\ textstyle l \ times l}$ ${\ textstyle l \ times l}$ квадрат в плоскости и $B {\ textstyle B}$ ${\ textstyle B}$ шар радиуса $ϵ {\ textstyle \ epsilon}$ ${\ textstyle \ epsilon}$ . В этом случае $A + B {\ textstyle A + B}$ ${ \ textstyle A + B}$ представляет собой квадрат с закругленными углами, и его объем можно учесть как четыре закругленных четверти круга радиуса $ϵ {\ textstyle \ epsilon}$ ${\ textstyle \ epsilon}$ , четыре прямоугольника размером $l × ϵ {\ textstyle l \ times \ epsilon}$ ${\ textstyle l \ times \ epsilon}$ вдоль сторон и исходный квадрат. Таким образом, $μ (A + B) = l 2 + 4 ϵ l + 4 4 π ϵ 2 = μ (A) + 4 ϵ l + μ (B) ≥ μ (A) + 2 π ϵ l + μ (В) знак равно μ (A) + 2 μ (A) μ (B) + μ (B) = (μ (A) 1/2 + μ (B) 1/2) 2 {\ textstyle \ mu (A + B) = l ^ {2} +4 \ epsilon l + {\ frac {4} {4}} \ pi \ epsilon ^ {2} = \ mu (A) +4 \ epsilon l + \ mu (B) \ geq \ му (A) +2 {\ sqrt {\ pi}} \ epsilon l + \ mu (B) = \ mu (A) +2 {\ sqrt {\ mu (A) \ mu (B)}} + \ mu ( B) = (\ mu (A) ^ {1/2} + \ mu (B) ^ {1/2}) ^ {2}}$ ${\ textstyle \ mu (A + B) = l ^ {2} +4 \ epsilon l + {\ frac {4} {4}} \ pi \ epsilon ^ {2} = \ mu (A) +4 \ epsilon l + \ mu (B) \ geq \ mu (A) +2 {\ sqrt {\ pi}} \ epsilo n l + \ mu (B) = \ mu (A) +2 {\ sqrt {\ mu (A) \ mu (B)}} + \ mu (B) = (\ mu (A) ^ {1/2} + \ му (В) ^ {1/2}) ^ {2}}$ .

Этот пример также намекает на теорию смешанных объемов, поскольку термины, которые появляются в расширении объема $A + B {\ textstyle A + B}$ ${ \ textstyle A + B}$ , соответствуют различным по размерам частям A. В частности, если мы перепишем Брунн-Минковский как $μ (A + B) ≥ (μ (A) 1 / n + μ (B) 1 / n) n {\ textstyle \ mu (A + B) \ geq (\ mu (A) ^ {1 / n} + \ mu (B) ^ {1 / n}) ^ {n}}$ ${\ textstyle \ mu (A + B) \ geq (\ mu (A) ^ {1 / n} + \ mu (B) ^ {1 / n}) ^ {n}}$ , мы видим, что можем рассматривать перекрестные члены биномиального разложения последнего как учет каким-то образом для представления смешанного объема $μ (A + B) = V (A,…, A) + n V (B, A,…, A) +… + (nj) V (B,…, B, A,…, A) +… n V (B,…, B, A) + μ (B) {\ textstyle \ mu (A + B) = V (A, \ ldots, A) + nV (B, A, \ ldots, A) + \ ldots + {n \ select j} V (B, \ ldots, B, A, \ ldots, A) + \ ldots nV (B, \ ldots, B, A) + \ mu (B)}$ ${\ textstyle \ mu (A + B) = V (A, \ ldots, A) + nV (B, A, \ ldots, A) + \ ldots + {n \ select j} V (B, \ ldots, B, A, \ ldots, A) + \ ldots, nV (B, \ ldots, B, A) + \ mu (B)}$ . То же самое явление можно увидеть в сумме n-мерного блока $l × l {\ textstyle l \ times l}$ ${\ textstyle l \ times l}$ и шара радиуса $ϵ {\ textstyle \ epsilon }$ ${\ textstyle \ epsilon}$ , где перекрестные члены в $(μ (A) 1 / n + μ (B) 1 / n) n {\ textstyle (\ mu (A) ^ {1 / n} + \ mu (B) ^ {1 / n}) ^ {n}}$ ${\ textstyle (\ mu (A) ^ {1 / n} + \ mu (B) ^ {1 / n}) ^ {n}}$ , с точностью до констант, учитывает смешанные объемы. Это сделано точно для первого смешанного тома в разделе выше о приложениях к смешанным объемам.

Примеры, когда нижняя граница нечеткая

Левая часть неравенства BM в целом может быть намного больше правой стороны. Например, мы можем принять X за ось x, а Y за ось y внутри плоскости; тогда каждый имеет нулевую меру, но сумма бесконечна. Другой пример - множество Кантора. Если $C {\ textstyle C}$ ${\ textstyle C}$ обозначает средний третий канторовский набор, то это упражнение в анализе, которое показывает, что $C + C = [0, 2] {\ textstyle C + C = [0,2]}$ ${\ textstyle C + C = [0,2]}$ .

Связь с другими разделами математики

Неравенство Брунна-Минковского по-прежнему актуально для современной геометрии и алгебры. Например, существуют связи с алгебраической геометрией и комбинаторные версии о подсчете множеств точек внутри целочисленной решетки.

См. Также

Литература

Брунн, Х. (1887). "Über Ovale und Eiflächen". Вступительная диссертация, München. Cite journal требует | journal =()
Fenchel, Werner ; Bonnesen, Tommy (1934). Theorie der konvexen Körper. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3 . Берлин: 1. Verlag von Julius Springer.
Fenchel, Werner ; Bonnesen, Tommy (1987). Теория выпуклых тел. Москва, Айдахо: Л. Борон, К. Кристенсон и Б. Смит. BCS Associates.
Дакорогна, Бернард (2004). Введение в расчет вариаций. Лондон: Imperial College Press. ISBN 1-86094-508-2.
Генрих Гуггенхаймер (1977) Применимая геометрия, стр. 146, Кригер, Хантингтон ISBN 0-88275-368-1.
Люстерник, Лазар А. (1935). "Die Brunn – Minkowskische Ungleichnung für Believebige messbare Mengen". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de l'URSS. Nouvelle Série. III : 55 -58.
Минковский, Герман (1896). Geometrie der Zahlen. Лейпциг: Teubner.
Ruzsa, Imre Z. (1997). Неравенство Брунна – Минковского и невыпуклые множества ». Geometriae Dedicata. 67 (3). С. 337–348. doi : 10.1023 / A: 1004958110076. MR 1475877.
Рольф Шнайдер, Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского, Cambridge University Press, Кембридж, 1993.

^Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна – Минковского». Бык. Амер. Математика. Soc. (N.S.) 39 (3): pp. 355–405 (в электронном виде). DOI: 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2. ISSN 0273-0979.
^ГРОМОВ, М. (1990). «Выпуклые множества и многообразия Клера». Успехи в дифференциальной геометрии и топологии. МИРОВАЯ НАУЧНАЯ. С. 1–38. DOI : 10.1142 / 9789814439381_0001. ISBN 978-981-02-0494-5.
^Ниб, Карл-Германн (2015-10-12). «Геометрия Келера, карты моментов и выпуклые множества». arXiv.org. Проверено 13 сентября 2020 г.
^Hernández Cifre, María A.; Иглесиас, Давид; Николас, Хесус Йепес (2018). «О дискретном неравенстве типа Брунна - Минковского». Журнал СИАМ по дискретной математике. Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). 32 (3): 1840–1856. doi : 10.1137 / 18m1166067. ISSN 0895-4801.