Аналитический набор

редактировать

В математической области теории описательных множеств, подмножество польского пробела $X {\ displaystyle X}$ $X$ - это аналитический набор, если это непрерывное изображение польского пространства. Эти множества были впервые определены Лузиным (1917) и его учеником Суслиным (1917).

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Проективная иерархия
4 См. Также
5 Ссылки

Определение

Существует несколько эквивалентных определений аналитического множества. Следующие условия на подпространстве A польского пространства X эквивалентны:

A - аналитический.
A - пустой или непрерывный образ Пространство Бэра ω.
A - это пространство Суслина, другими словами A - это изображение польского пространства при непрерывном отображении.
A - это непрерывный образ Набор Бореля в польском пробеле.
A - это набор Суслина, образ операции Суслина.
Есть польский пробел $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ и a Borel устанавливают $B ⊆ X × Y {\ displaystyle B \ substeq X \ times Y}$ $B \ substeq X \ times Y$ так, чтобы $A {\ displaystyle A}$ $A$ - это проекция для $B {\ displaystyle B}$ $B$ ; то есть

A = {x ∈ X | (∃ y ∈ Y) ⟨x, y⟩ ∈ B}. {\ displaystyle A = \ {x \ in X | (\ exists y \ in Y) \ langle x, y \ rangle \ in B \}.}

A = \ { x \ in X | (\ существует y \ in Y) \ langle x, y \ rangle \ in B \}.

A - проекция замкнутого множества в декартовом произведении X с пространством Бэра.
A - проекция Gδмножества в декартовом произведении X с канторовским пространством.

Альтернативная характеристика в конкретном важном случае, когда $X {\ displaystyle X}$ $X$ является пространством Бэра ω, состоит в том, что аналитические множества являются в точности проекциями деревьев на $ω × ω {\ displaystyle \ omega \ times \ omega}$ $\ omega \ times \ omega$ . Аналогично, аналитические подмножества пространства Кантора 2 - это в точности проекции деревьев на $2 × ω {\ displaystyle 2 \ times \ omega}$ $2 \ times \ omega$ .

Свойства

Аналитические подмножества польских пространств замкнуты относительно счетного союзы и пересечения, непрерывные изображения и инверсии. Дополнение аналитического множества не обязательно должно быть аналитическим. Суслин доказал, что если дополнение к аналитическому множеству аналитично, то оно борелевское. (Наоборот, любое борелевское множество аналитично, а борелевские множества замкнуты относительно дополнений.) Лузин в более общем плане доказал, что любые два непересекающихся аналитических множества разделены борелевским множеством: другими словами, существует борелевское множество, содержащее одно и не пересекающееся с другим. Иногда это называют «принципом отделимости Лузина» (хотя он подразумевается в доказательстве теоремы Суслина).

Аналитические множества всегда измеримы по Лебегу (действительно, универсально измеримы ) и имеют свойство Бэра и свойство идеального множества .

Проективная иерархия

Аналитические множества также называются $Σ 1 1 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {1} ^ {1}}$ ${\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {1} ^ {1}$ (см. проективная иерархия ). Обратите внимание, что полужирный шрифт в этом символе не является соглашением Википедии, а скорее используется в отличие от его светового аналога $Σ 1 1 {\ displaystyle \ Sigma _ {1} ^ {1}}$ $\ Sigma _ {1} ^ {1}$ ( см. аналитическая иерархия ). Дополнения к аналитическим множествам называются коаналитическими множествами, а множество коаналитических множеств обозначается $Π 1 1 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {1} ^ {1} }$ ${\ boldsymbol {\ Pi}} _ {1} ^ {1}$ . Пересечение $Δ 1 1 = Σ 1 1 ∩ Π 1 1 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Delta}} _ {1} ^ {1} = {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {1} ^ { 1} \ cap {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {1} ^ {1}}$ ${\ boldsymbol {\ Delta}} _ {1} ^ {1} = { \ boldsymbol {\ Sigma}} _ {1} ^ {1} \ cap {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {1} ^ {1}$ - множество борелевских множеств.

См. Также

Проекция (теория меры)

Ссылки

Элькин А.Г. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Ефимов Б.А. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Kechris, AS (1995), Classical Descriptive Set Theory, Берлин, Нью-Йорк : Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94374-9
Лузин, NN (1917), "Sur la classification de M. Baire ", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 164 : 91–94
NN Лусин, "Leçons sur les ensembles analytiques et leurs applications", Gauthier-Villars (1930)
Moschovakis, Yiannis N. (1980), Descriptive Set Theory, North Holland, ISBN 0-444-70199-0
Мартин, Дональд А. Измеримые кардиналы и аналитические игры. "Fundamenta Mathematicae" 66 (1969/1970), стр. 287-291.
Souslin, M. (1917), "Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis", Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 164 : 88–91