Гипотеза Борсука

Пример шестиугольника, разрезанного на три части меньшего диаметра.

Проблема Борсука в геометрии, по историческим причинам неправильно названная гипотезой Борсука , является вопросом дискретной геометрии. Он назван в честь Кароля Борсука.

• 1 проблема
• 2 См. Также
• 3 Примечание
• 4 ссылки
• 5 Дальнейшее чтение
• 6 Внешние ссылки

В 1932 году Кароль Борсук показали, что обычный 3-мерный шар в евклидовом пространстве можно легко разрезать на 4 твердых тел, каждое из которых имеет меньший диаметр, чем шар, и вообще п - мерный шар может быть покрыта п + 1 компактных множеств диаметров меньше шара. В то же время он доказал, что n подмножеств в общем случае недостаточно. Доказательство основано на теореме Борсука – Улама. Это привело Борсука к общему вопросу:

Die folgende Frage bleibt offen: Lässt sich jede beschränkte Teilmenge E des Raumes в${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ( n  + 1) Mengen zerlegen, von denen jede einen kleineren Durchmesser als E hat?

Это можно перевести как:

Остается открытым вопрос: Может ли каждое ограниченное подмножество Е пространств быть распределял в${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ( п  + 1) наборы, каждый из которых имеет меньший диаметр, чем Е?

На вопрос был дан положительный ответ в следующих случаях:

• n = 2 - оригинальный результат Кароля Борсука (1932).
• n = 3 - показано Джулианом Перкалом (1947) и независимо, 8 лет спустя, Х. Г. Эгглстоном (1955). Простое доказательство было позже найдено Бранко Грюнбаумом и Аладаром Хеппесом.
• Для всех n для гладких выпуклых тел - показано Хьюго Хадвигером (1946).
• Для всех n для центрально-симметричных тел - показано А.С. Рислингом (1971).
• Для всех п для тел вращения - показал Борис Декстером (1995).

Проблема была окончательно решена в 1993 году Джеффом Каном и Гилом Калаи, которые показали, что общий ответ на вопрос Борсука отрицательный. Они утверждают, что их конструкция показывает, что n + 1 штук недостаточно для n = 1325 и для каждого n gt; 2014. Однако, как указал Бернульф Вайсбах, первая часть этого утверждения на самом деле ложна. Но после улучшения субоптимального заключения в соответствующем выводе, действительно можно проверить один из построенных наборов точек в качестве контрпримера для n = 1325 (а также для всех более высоких измерений до 1560).

Их результат был улучшен в 2003 году Хинрихсом и Рихтером, которые построили конечные множества для n ≥ 298, которые не могут быть разбиты на n + 11 частей меньшего диаметра.

В 2013 году Андрей Бондаренко показал, что гипотеза Борсука неверна для всех n ≥ 65. Вскоре после этого Томас Дженрих вывел 64-мерный контрпример из конструкции Бондаренко, дав наилучшую оценку до сих пор.

Помимо нахождения минимального числа измерений n, такого как количество частей, математики заинтересованы в определении общего поведения функции. Кан и Калаи показывают, что в общем случае (т. Е. Для достаточно большого n) требуется много частей. Они также цитируют верхнюю границу по Одед Шрамм, который показал, что для любого е, если п достаточно велико, то. Правильный порядок величины α ( n) до сих пор неизвестен. Однако предполагается, что существует постоянная c gt; 1 такая, что для всех n ≥ 1. ${\ Displaystyle \ альфа (п)gt; п + 1}$${\ Displaystyle \ альфа (п)}$${\ Displaystyle \ альфа (п) \ geq (1.2) ^ {\ sqrt {п}}}$ ${\ Displaystyle \ альфа (п) \ leq \ влево ({\ sqrt {3/2}} + \ varepsilon \ right) ^ {п}}$${\ Displaystyle \ альфа (п)gt; с ^ {п}}$

• Гипотеза Хадвигера о покрытии выпуклых тел уменьшенными копиями самих себя

• Олег Пихурко, Алгебраические методы в комбинаторике, конспекты курса.
• Андрей М. Райгородский, Проблема разбиения Борсука: к семидесятилетию, Mathematical Intelligencer 26 (2004), вып. 3, 4–12.
• Райгородский, Андрей М. (2008). «Три лекции по проблеме разбиения Борсука». В Янге Николай; Чой, Йемон (ред.). Обзоры по современной математике. Серия лекций Лондонского математического общества. 347. Издательство Кембриджского университета. С. 202–247. ISBN   978-0-521-70564-6. Zbl   1144.52005.

• Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Борсука". MathWorld.