Теорема Борсука – Улама

редактировать

Теорема в топологии

В математике Борсук – Улам Теорема утверждает, что каждая непрерывная функция из n-сферы в евклидово n-пространство отображает некоторую пару антиподальных точек в та же точка. Здесь две точки на сфере называются антиподами, если они находятся в совершенно противоположных направлениях от центра сферы.

Формально: если $f: S n → R n {\ displaystyle f: S ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ display стиль f: S ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ является непрерывным, тогда существует $x ∈ S n {\ displaystyle x \ in S ^ {n}}$ $x \ in S ^ {n}$ такой, что: $f (- x) = f (x) {\ displaystyle f (- x) = f (x)}$ $f(-x)=f(x)$ .

Случай $n = 1 {\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ можно проиллюстрировать, сказав, что всегда существует пара противоположных точек на Экватор Земли с такой же температурой. То же верно для любого круга. Это предполагает, что температура в космосе постоянно меняется.

Случай $n = 2 {\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ часто иллюстрируется утверждением, что в любой момент на поверхности Земли всегда есть пара противоположных точек с равные температуры и равные барометрические давления, предполагая, что оба параметра непрерывно меняются в пространстве.

Теорема Борсука – Улама имеет несколько эквивалентных утверждений в терминах нечетных функций. Напомним, что $S n {\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ {n}$ - это n-сфера и $B n {\ displaystyle B ^ {n}}$ $B ^ {n}$ - это n-ball :

Если $g: S n → R n {\ displaystyle g: S ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle g: S ^ {n} \ to \ mathbb { R} ^ {n}}$ - непрерывная нечетная функция, тогда существует $x ∈ S n {\ displaystyle x \ in S ^ {n}}$ $x \ in S ^ {n}$ такая, что: $g (x) = 0 {\ displaystyle g (x) = 0}$ $g (x) = 0$ .
Если $g: B n → R n {\ displaystyle g: B ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle g: B ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ - непрерывная функция, которая является нечетной на $S n - 1 {\ displaystyle S ^ {n-1}}$ $S ^ {{n-1}}$ (граница $B n {\ displaystyle B ^ { n}}$ $B ^ {n}$ ), то существует $x ∈ B n {\ displaystyle x \ in B ^ {n}}$ $x \ in B ^ {n}$ такой, что: $g (x) = 0 {\ displaystyle g (x) = 0}$ $g (x) = 0$ .

Содержание

1 История
2 Эквивалентные утверждения
- 2.1 С нечетными функциями
- 2.2 С отзывами
3 Доказательства
- 3.1 1 -мерный случай
- 3.2 Общий случай - доказательство алгебраической топологии
- 3.3 Общий случай - комбинаторное доказательство
4 Следствия
5 Эквивалент res ults
6 Обобщения
7 См. также
8 Примечания
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

История

Согласно Иржи Матушек (2003, п. 25) harvtxt error: no target: CITEREFJiří_Matoušek2003 (help ), первое историческое упоминание утверждения теоремы Борсука – Улама появляется в Люстерник и Шнирельман (1930). Первое доказательство было дано Каролем Борсуком (1933), где формулировка проблемы была приписана Станиславу Уламу. С тех пор различными авторами было найдено множество альтернативных доказательств, собранных Стейнлейном (1985).

Эквивалентные утверждения

Следующие утверждения эквивалентны теореме Борсука – Улама.

С нечетными функциями

Функция $g {\ displaystyle g}$ $g$ называется нечетной (также известной как антипод или сохраняющая антипод), если для каждого $x {\ displaystyle x }$ $x$ : $g (- x) = - g (x) {\ displaystyle g (-x) = - g (x)}$ $g (-x) = - g (x)$ .

Теорема Борсука – Улама эквивалентна следующему утверждению: непрерывная нечетная функция из n-сфера в n-мерном евклидовом пространстве имеет нуль. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Если теорема верна, то она верна специально для нечетных функций, а для нечетной функции, $g (- x) = g (x) {\ displaystyle g (-x) = g ( x)}$ $g (-x) = g (x)$ iff $g (x) = 0 {\ displaystyle g (x) = 0}$ $g (x) = 0$ . Следовательно, каждая нечетная непрерывная функция имеет ноль.
Для каждой непрерывной функции $f {\ displaystyle f}$ $f$ следующая функция является непрерывной и нечетной: $g (x) знак равно е (х) - е (- х) {\ displaystyle g (x) = f (x) -f (-x)}$ $g (x) = f (x) -f (-x)$ . Если каждая нечетная непрерывная функция имеет ноль, тогда $g {\ displaystyle g}$ $g$ имеет ноль, и, следовательно, $f (x) = f (- x) {\ displaystyle f ( х) = f (-x)}$ $f (x) = f (-x)$ . Следовательно, теорема верна.

С отводами

Определите отвод как функцию $h: S n → S n - 1. {\ displaystyle h: S ^ {n} \ to S ^ {n-1}.}$ ${\ displaystyle h: S ^ {n} \ to S ^ {n-1}.}$ Теорема Борсука – Улама эквивалентна следующему утверждению: не существует непрерывного ретракции нечетных чисел.

Доказательство: если теорема верна, то каждая непрерывная нечетная функция из $S n {\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ {n}$ должна включать 0 в свой диапазон. Однако $0 ∉ S n - 1 {\ displaystyle 0 \ notin S ^ {n-1}}$ $0 \ notin S ^ {n-1}$ , поэтому не может быть непрерывной нечетной функции с диапазоном $S n - 1 { \ displaystyle S ^ {n-1}}$ $S ^ {{n-1}}$ .

И наоборот, если он неверен, то существует непрерывная нечетная функция $g: S n → R n {\ displaystyle g: S ^ {n} \ to { \ mathbb {R}} ^ {n}}$ ${\ displaystyle g: S ^ {n} \ to {\ mathbb {R}} ^ {n}}$ без нулей. Затем мы можем построить другую нечетную функцию $h: S n → S n - 1 {\ displaystyle h: S ^ {n} \ to S ^ {n-1}}$ $h: S ^ {n} \ to S ^ {n-1}$ по:

h (x) = g (x) | g (x) | {\ displaystyle h (x) = {\ frac {g (x)} {| g (x) |}}}

h (x) = {\ frac {g (x)} {| g (x) |}}

так как $g {\ displaystyle g}$ $g$ не имеет нулей, $h {\ displaystyle h}$ $h$ четко определен и непрерывен. Таким образом, у нас есть непрерывная ретракция нечетных чисел.

Доказательства

Одномерный случай

Одномерный случай можно легко доказать с помощью теоремы о промежуточном значении (IVT).

Пусть $g {\ displaystyle g}$ $g$ будет нечетной действительной непрерывной функцией на окружности. Выберите произвольный $x {\ displaystyle x}$ $x$ . Если $g (x) = 0 {\ displaystyle g (x) = 0}$ $g (x) = 0$ , то все готово. В противном случае, без ограничения общности, $g (x)>0. {\ displaystyle g (x)>0.}$ $g(x)>0.$ Но $g (- x) < 0. {\displaystyle g(-x)<0.}$ ${\ displaystyle g (-x) <0.}$ Следовательно, по IVT существует точка $y {\ displaystyle y}$ $y$ между $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $- x {\ displaystyle -x}$ $-x$ , при котором $g (y) = 0 {\ displaystyle g (y) = 0}$ $g (y) = 0$ .

Общий случай - доказательство алгебраической топологии

Предположим, что $h: S n → S n - 1 {\ displaystyle h: S ^ {n} \ to S ^ { n-1}}$ $h: S ^ {n} \ to S ^ {n-1}$ - нечетная непрерывная функция с $n>2 {\ displaystyle n>2}$ $n>2$ (случай $n = 1 {\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ рассмотрено выше, случай $n = 2 {\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ может быть обработан с использованием базовой теории покрытия ). Переходя к орбитам под действием антипода, мы получаем индуцированную непрерывную функцию $h ′: RP n → RP n - 1 {\ displaystyle h ': \ mathbb {RP} ^ {n} \ to \ mathbb {RP } ^ {n-1}}$ $h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}$ между действительными проективными пространствами, что индуцирует изоморфизм на фундаментальных группах. По теореме Гуревича индуцированный кольцевой гомоморфизм на когомологиях с $F 2 {\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$ $\ mathbb F_2$ коэффициенты [где $F 2 {\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$ $\ mathbb F_2$ обозначает поле с двумя элементами ],

F 2 [a] / an + 1 = H ∗ (RP n; F 2) ← H ∗ (RP n - 1; F 2) = F 2 [b] / bn, {\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2} [a] / a ^ {n + 1} = H ^ {*} (\ mathbb {RP} ^ {n}; \ mathbb {F} _ {2}) \ leftarrow H ^ {*} (\ mathbb {RP } ^ {n-1}; \ mathbb {F} _ {2}) = \ mathbb {F} _ {2} [b] / b ^ {n},}

{\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2} [a] / a ^ {n + 1} = H ^ {*} (\ mathbb {RP} ^ {n}; \ mathbb {F} _ {2}) \ leftarrow H ^ {*} (\ mathbb {RP} ^ {n-1}; \ mathbb {F} _ {2}) = \ mathbb {F} _ {2} [b] / b ^ {n},}

отправляет $b {\ displaystyle b}$ $б$ до $a {\ displaystyle a}$ $a$ . Но тогда мы получаем, что $bn = 0 {\ displaystyle b ^ {n} = 0}$ ${\ displaystyle b ^ {n} = 0}$ отправляется на $an ≠ 0 {\ displaystyle a ^ {n} \ neq 0}$ ${\ displaystyle a ^ {n} \ neq 0}$ , противоречие.

Можно также показать более сильное утверждение, что любое нечетное отображение $S n - 1 → S n - 1 {\ displaystyle S ^ {n-1} \ to S ^ {n-1}}$ $S ^ {n-1} \ to S ^ {n-1}$ имеет нечетную степень и выведите теорему из этого результата.

Общий случай - комбинаторное доказательство

Теорема Борсука – Улама может быть доказана с помощью леммы Такера.

Пусть $g: S n → R n {\ displaystyle g: S ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle g: S ^ {n} \ to \ mathbb { R} ^ {n}}$ - непрерывная нечетная функция. Поскольку g непрерывна в компактной области, она равномерно непрерывна. Следовательно, для каждого $ϵ>0 {\ displaystyle \ epsilon>0}$ $\epsilon>0$ , существует $δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}$ $\ delta>0$ таким образом, чтобы для каждых двух точек $S n {\ displaystyle S_ n}}$ $S_ {n}$ , которые находятся в пределах $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ друг от друга, их изображения под g находятся в пределах $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ друг друга.

Определите триангуляцию $S n {\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ с ребрами длиной не более $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ . Обозначьте каждую вершину $v {\ displaystyle v}$ $v$ триангуляции меткой $l (v) ∈ ± 1, ± 2,…, ± n {\ displaystyle l (v) \ в {\ pm 1, \ pm 2, \ ldots, \ pm n}}$ ${\ displaystyle l (v) \ in {\ pm 1, \ pm 2, \ ldots, \ pm n}}$ следующим образом:

Абсолютное значение метки - это индекс координаты с наивысшим абсолютным значением g: $| l (v) | = arg ⁡ max k (g (v) k) {\ displaystyle | l (v) | = \ arg \ max _ {k} (g (v) _ {k})}$ $| l (v) | = \ arg \ max _ {k} (g (v) _ {k})$ .
Знак метки знак g, так что: $l (v) = sgn ⁡ (g (v)) | l (v) | {\ displaystyle l (v) = \ operatorname {sgn} (g (v)) | l (v) |}$ $l (v) = \ operatorname {sgn} (g (v)) | l (v) |$ .

Поскольку g нечетное, маркировка также нечетная: $l (- v) = - l (v) {\ displaystyle l (-v) = - l (v)}$ $l (-v) = - l (v)$ . Следовательно, по лемме Такера есть две смежные вершины $u, v {\ displaystyle u, v}$ $u, v$ с противоположными метками. Предположим, что w.l.o.g. что метки имеют вид $l (u) = 1, l (v) = - 1 {\ displaystyle l (u) = 1, l (v) = - 1}$ $l (u) = 1, l (v) = - 1$ . По определению l это означает, что как в $g (u) {\ displaystyle g (u)}$ $g (u)$ , так и в $g (v) {\ displaystyle g (v)}$ $g (v)$ , координата №1 является самой большой координатой: в $g (u) {\ displaystyle g (u)}$ $g (u)$ эта координата положительна, а в $g (v) {\ displaystyle g (v)}$ $g (v)$ отрицательно. По построению триангуляции расстояние между $g (u) {\ displaystyle g (u)}$ $g (u)$ и $g (v) {\ displaystyle g (v)}$ $g (v)$ - самое большее $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ , поэтому, в частности, $| g (u) 1 - g (v) 1 | = | g (u) 1 | + | g (v) 1 | ≤ ϵ {\ Displaystyle | g (u) _ {1} -g (v) _ {1} | = | g (u) _ {1} | + | g (v) _ {1} | \ leq \ epsilon }$ ${\ displaystyle | g (u) _ {1} -g (v) _ {1} | = | g (u) _ {1} | + | g (v) _ {1} | \ leq \ epsilon}$ (поскольку $g (u) 1 {\ displaystyle g (u) _ {1}}$ ${\ displaystyle g (u) _ {1}}$ и $g (v) 1 {\ displaystyle g (v) _ {1}}$ ${\ displaystyle g (v) _ {1}}$ имеют противоположные знаки) и поэтому $| g (u) 1 | ≤ ϵ {\ Displaystyle | г (и) _ {1} | \ leq \ epsilon}$ ${\ displaystyle | g (u) _ {1 } | \ leq \ epsilon}$ . Но поскольку наибольшая координата $g (u) {\ displaystyle g (u)}$ $g (u)$ является координатой №1, это означает, что $| g (u) k | ≤ ϵ {\ displaystyle | g (u) _ {k} | \ leq \ epsilon}$ ${\ displaystyle | g (u) _ {k} | \ leq \ epsilon}$ для каждого $1 ≤ k ≤ n {\ displaystyle 1 \ leq k \ leq n}$ ${\ displaystyle 1 \ leq k \ leq n}$ . Итак $| g (u) | ≤ cn ϵ {\ displaystyle | g (u) | \ leq c_ {n} \ epsilon}$ ${\ displaystyle | g (u) | \ leq c_ {n} \ epsilon}$ , где $cn {\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n }$ - некоторая константа в зависимости от $n {\ displaystyle n}$ $n$ и нормы $| ⋅ | {\ displaystyle | \ cdot |}$ ${\ displaystyle | \ cdot |}$ , который вы выбрали.

Вышеуказанное верно для каждого $ϵ>0 {\ displaystyle \ epsilon>0}$ $\epsilon>0$ ; поскольку $S n {\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ является компактным, следовательно, быть точкой u, в которой $| g (u) | = 0 {\ displaystyle | g (u) | = 0}$ $| g (u) | = 0$ .

Следствие

Нет подмножества $R n {\ displaystyle \ mathbb { R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ { n}$ гомеоморфно $S n {\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ {n}$
теорема о бутерброде с ветчиной : Для любого compact задает A 1,..., A n в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ { n}$ мы всегда можем найти гиперплоскость, разделяющую каждую из них на два подмножества равной меры.

Эквивалентные результаты

Выше мы показали, как доказать теорему Борсука – Улама из леммы Такера. Верно и обратное: лемму Такера можно доказать с помощью теоремы Борсука – Улама, поэтому эти две теоремы эквивалентны. Существует несколько теорем о неподвижной точке, которые представлены в трех эквивалентных вариантах: вариант алгебраической топологии, комбинаторный вариант и вариант покрытия множества. Каждый вариант можно доказать отдельно, используя совершенно разные аргументы, но каждый вариант также можно свести к другим вариантам в своем ряду. Кроме того, каждый результат в верхней строке может быть выведен из результата под ним в том же столбце.

Алгебраическая топология	Комбинаторика	Множество, покрывающее
Теорема Брауэра о фиксированной точке	Лемма Спернера	Лемма Кнастера – Куратовского – Мазуркевича
Теорема Борсука – Улама	Лемма Такера	Теорема Люстерника – Шнирельмана

Обобщения

В исходной теореме область определения функции f - единичная n-сфера (граница единичного n-шара). В общем, это верно также, когда область определения f является границей любого открытого ограниченного симметричного подмножества $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ { n}$ , содержащего начало координат ( Здесь симметричный означает, что если x находится в подмножестве, то -x также находится в подмножестве).

Рассмотрим функцию A, которая отображает точку в ее антиподальную точку: $A (x) = - x. {\ displaystyle A (x) = - x.}$ ${\ displaystyle A (x) = - x.}$ Обратите внимание, что $A (A (x)) = x. {\ displaystyle A (A (x)) = x.}$ ${\ displaystyle A (A (x)) = x.}$ Исходная теорема утверждает, что существует точка x, в которой $f (A (x)) = f (x). {\ displaystyle f (A (x)) = f (x).}$ ${\ displaystyle f (A (x)) = f (x).}$ В общем, это верно также для любой функции A, для которой $A (A (x)) = x. {\ displaystyle A (A (x)) = x.}$ ${\ displaystyle A (A (x)) = x.}$ Однако в целом это неверно для других функций A.

См. также

Примечания

Ссылки

Борсук, Кароль (1933). "Drei Sätze über die n-Dimensale euklidische Sphäre" (PDF). Fundamenta Mathematicae (на немецком языке). 20 : 177–190. doi : 10.4064 / fm-20-1-177-190. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Люстерник, Лазарь ; Шнирельман, Лев (1930). «Топологические методы в вариационных задачах». Исследовательский институт математики и механики При ОМГУ Москва. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Матушек, Jiří (2003). Использование теоремы Борсука – Улама. Berlin: Springer Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-540-76649-0. ISBN 978-3-540-00362-5. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Steinlein, H. (1985). "Антиподальная теорема Борсука, ее обобщения и приложения: обзор. Топологические методы и нелинейный анализ". Сем. Математика. Supér. Montréal, Sém. Sci. OTAN (НАТО Adv. Study Inst.). 95 : 166–235. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Су, Фрэнсис Эдвард (ноябрь 1997 г.). «Борсук-Улам подразумевает Брауэр: прямое построение» ( PDF). The American Mathematical Monthly. 104 (9): 855–859. CiteSeerX 10.1. 1.142.4935. doi : 10.2307 / 2975293. JSTOR 2975293. Архивировано из оригинального (PDF) 13.10.2008. Проверено 21 апреля 2006 г. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Внешние ссылки

Кого (еще) волнует топология? Украденные ожерелья и Борсук-Улам на YouTube