Преобразование Боголюбова

редактировать

Математические операции в квантовой оптике, общей теории относительности и других областях физики

В теоретической физике, Боголюбов преобразование, также известное как преобразование Боголюбова – Валатина, было независимо разработано в 1958 году Николаем Боголюбовым и для поиска решений теории БКШ в однородной система. Преобразование Боголюбова является изоморфизмом либо алгебры канонических коммутационных соотношений, либо канонической алгебры антикоммутационных соотношений. Это индуцирует автоэквивалентность соответствующих представлений. Преобразование Боголюбова часто используется для диагонализации гамильтонианов, что дает стационарные решения соответствующего уравнения Шредингера. Преобразование Боголюбова также важно для понимания эффекта Унру, излучения Хокинга, эффектов спаривания в ядерной физике и многих других тем.

Преобразование Боголюбова часто используется для диагонализации гамильтонианов с соответствующим преобразованием функции состояния. Таким образом, собственные значения операторов, вычисленные с помощью диагонализованного гамильтониана преобразованной функции состояния, такие же, как и раньше.

Содержание

1 Пример одиночного бозонного режима
- 1.1 Приложения
2 Фермионный режим
- 2.1 Приложения
3 Пример многомодового
4 Ссылки
5 Дополнительная литература

Одинарный бозон пример режима

Рассмотрим каноническое коммутационное отношение для бозонных операторов создания и уничтожения в гармоническом базисе

[a ^, a ^ †] = 1. {\ displaystyle \ left [{\ hat {a}}, {\ hat {a}} ^ {\ dagger} \ right] = 1 ~.}

\ left [{\ hat {a}}, {\ hat {a}} ^ {\ dagger} \ right] = 1 ~.

Определите новую пару операторов

b ^ = ua ^ + va ^ † {\ displaystyle {\ hat {b}} = u {\ hat {a}} + v {\ hat {a}} ^ {\ dagger}}

{\ hat {b}} = u {\ hat {a}} + v {\ hat {a}} ^ {\ dagger}

b ^ † = u * a ^ † + v * a ^, {\ displaystyle {\ hat {b}} ^ {\ dagger} = u ^ {*} {\ hat {a}} ^ {\ dagger} + v ^ {*} {\ hat { a}} ~,}

{\ hat {b}} ^ {\ dagger} = u ^ {*} {\ hat {a}} ^ {\ dagger} + v ^ {*} {\ hat {a}} ~,

для комплексных чисел u и v, где последнее является эрмитово сопряженным первому.

Преобразование Боголюбова - это каноническое преобразование, отображающее операторы $a ^ {\ displaystyle {\ hat {a}}}$ ${\ hat {a}}$ и $a ^ † {\ displaystyle {\ шляпа {a}} ^ {\ dagger}}$ ${\ hat {a}} ^ {\ dagger}$ до $b ^ {\ displaystyle {\ hat {b}}}$ $\ hat {b}$ и $b ^ † {\ displaystyle {\ hat {b}} ^ {\ dagger}}$ ${\ hat {b}} ^ {\ dagger}$ . Чтобы найти условия на константы u и v, при которых преобразование является каноническим, вычисляется коммутатор, а именно.

[b ^, b ^ †] = [ua ^ + va ^ †, u ∗ a ^ † + v ∗ a ^] = ⋯ = (| u | 2 - | v | 2) [a ^, a ^ †]. {\ displaystyle \ left [{\ hat {b}}, {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \ right] = \ left [u {\ hat {a}} + v {\ hat {a}} ^ {\ dagger}, u ^ {*} {\ hat {a}} ^ {\ dagger} + v ^ {*} {\ hat {a}} \ right] = \ cdots = \ left (| u | ^ {2} - | v | ^ {2} \ right) \ left [{\ hat {a}}, {\ hat {a}} ^ {\ dagger} \ right].}

\ left [{\ hat {b}}, {\ hat {b}} ^ {\ dagger} \ right] = \ left [u {\ hat {a}} + v { \ hat {a}} ^ {\ dagger}, u ^ {*} {\ hat {a}} ^ {\ dagger} + v ^ {*} {\ hat {a}} \ right] = \ cdots = \ left (| u | ^ {2} - | v | ^ {2} \ right) \ left [{\ hat {a}}, {\ hat {a}} ^ {\ dagger} \ right].

Тогда очевидно, что $| u | 2 - | v | 2 = 1 {\ displaystyle \, | u | ^ {2} - | v | ^ {2} = 1}$ $\, | u | ^ {2} - | v | ^ {2} = 1$ - условие, для которого преобразование является каноническим.

Поскольку форма этого условия наводит на мысль о гиперболическом тождестве

cosh 2 ⁡ x - sinh 2 ⁡ x = 1 {\ displaystyle \ cosh ^ {2} x- \ sinh ^ { 2} x = 1}

\ cosh ^ { 2} x- \ sinh ^ {2} x = 1

константы u и v можно легко параметризовать как

u = ei θ 1 cosh ⁡ r {\ displaystyle u = e ^ {i \ theta _ {1}} \ cosh r}

u = e ^ {{i \ theta _ {1}}} \ ch r

v = ei θ 2 sh r. {\ displaystyle v = e ^ {i \ theta _ {2}} \ sinh r ~.}

v = e ^ {{i \ theta _ {2}}} \ sinh r ~.

Это интерпретируется как линейное симплектическое преобразование фазового пространства. По сравнению с разложением Блоха-Мессии, два угла $θ 1 {\ displaystyle \ theta _ {1}}$ $\ theta _ {1}$ и $θ 2 {\ displaystyle \ theta _ {2}}$ $\ theta _ {2}$ соответствуют ортогональным симплектическим преобразованиям (т. Е. Вращениям), а коэффициент сжатия $r {\ displaystyle r}$ $r$ соответствует диагональное преобразование.

Приложения

Наиболее известное приложение было разработано самим Николаем Боголюбовым в контексте сверхтекучести. Другие приложения включают гамильтонианы и возбуждения в теории антиферромагнетизма. При вычислении квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени возможно определение вакуума и преобразование Боголюбова между этими различными вакуумами. Это используется при выводе излучения Хокинга. Преобразования Боголюбова также широко используются в квантовой оптике, особенно при работе с гауссовыми унитарами (такими как светоделители, фазовращатели и операции сжатия).

Фермионная мода

Для антикоммутационных соотношений

{a ^, a ^} = 0, {a ^, a ^ †} = 1, {\ displaystyle \ left \ {{\ hat {a}}, {\ hat {a}} \ right \} = 0, \ left \ {{\ hat {a}}, {\ hat {a}} ^ {\ dagger } \ right \} = 1,}

{\ displaystyle \ left \ {{\ hat {a}}, {\ hat {a}} \ right \} = 0, \ left \ {{\ hat {a}}, {\ hat {a}} ^ {\ dagger} \ right \} = 1,}

преобразование Боголюбова может удовлетворять первому из этих антикоммутационных соотношений только тогда, когда $uv = 0. {\ displaystyle uv = 0.}$ ${\ displaystyle uv = 0.}$ Следовательно, единственный Нетривиальная возможность: $u = 0, v = 1, {\ displaystyle u = 0, v = 1,}$ ${\ displaystyle u = 0, v = 1,}$ соответствует обмену частица-античастица (или обмену частица-дырка во многих телах системы). Таким образом, для отдельной частицы преобразование может быть реализовано (1) только для фермиона Дирака, где частица и античастица различны, или (в отличие от фермиона Майорана или киральный фермион ) или (2) для мультифермионных систем, в которых имеется более одного типа фермионов.

Приложения

Самым заметным приложением снова является Николай Боголюбов, на этот раз для теории БКШ сверхпроводимости. Точка, где необходимость выполнения преобразования Боголюбова становится очевидной, состоит в том, что в приближении среднего поля гамильтониан системы может быть записан в обоих случаях как сумма билинейных членов в исходных операторах создания и разрушения, включающих конечные $⟨ ai + aj +⟩ {\ displaystyle \, \ langle a_ {i} ^ {+} a_ {j} ^ {+} \ rangle}$ $\, \ langle a_ {i} ^ {+} a_ {j} ^ {+} \ rangle$ -термины, т.е. нужно выходить за рамки обычного Метод Хартри – Фока. В частности, в формализме среднего поля со сверхпроводящим членом спаривания, таким как $Δ a i + a j + + h.c. {\ displaystyle \ Delta a_ {i} ^ {+} a_ {j} ^ {+} + {\ textrm {hc}}}$ ${\ displaystyle \ Дельта a_ {i} ^ {+} a_ {j} ^ {+} + {\ textrm {hc}}}$ , преобразованные операторы Боголюбова $b, b † {\ displaystyle b, b ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle b, b ^ {\ dagger}}$ аннигилировать и создавать квазичастицы (каждая с четко определенной энергией, импульсом и спином, но в квантовой суперпозиции электронного и дырочного состояний) и иметь коэффициенты $u {\ displaystyle u}$ $u$ и $v {\ displaystyle v}$ $v$ , заданные собственными векторами матрицы Боголюбова-де-Жена. Также в ядерной физике этот метод применим, поскольку он может описывать «энергию спаривания» нуклонов в тяжелом элементе.

Пример многомодового

Гильберта Рассматриваемое пространство оснащено этими операторами и в дальнейшем описывает многомерный квантовый гармонический осциллятор (обычно бесконечномерный).

Основное состояние соответствующего гамильтониана аннигилируется всеми операторами уничтожения:

∀ i a i | 0⟩ = 0 {\ displaystyle \ forall i \ qquad a_ {i} | 0 \ rangle = 0}

\ forall i \ qquad a_ {i} | 0 \ rangle = 0

Все возбужденные состояния получаются как линейные комбинации основного состояния, возбужденного некоторым операторы создания :

∏ k = 1 naik † | 0⟩ {\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n} a_ {i_ {k}} ^ {\ dagger} | 0 \ rangle}

\ prod _ {{k = 1}} ^ {n} a _ {{i_ {k}}} ^ {\ dagger} | 0 \ rangle

Можно переопределить операторы создания и уничтожения с помощью линейного переопределения :

ai ′ = ∑ j (uijaj + vijaj †) {\ displaystyle a '_ {i} = \ sum _ {j} (u_ {ij} a_ {j} + v_ {ij} a_ {j} ^ {\ dagger})}

a'_{i}=\sum _{j}(u_{{ij}}a_{j}+v_{{ij}}a_{j}^{\dagger })

где коэффициенты $uij, vij {\ displaystyle \, u_ {ij}, v_ {ij}}$ $\, u_ { {ij}}, v _ {{ij}}$ должны удовлетворять определенным правилам, чтобы гарантировать, что операторы уничтожения и операторы создания $ai ′ † {\ displaystyle a_ {i} ^ {\ prime \ dagger}}$ $a_ {i} ^ {{\ prime \ dagger} }$ , определенные уравнением эрмитово сопряженного, имеют то же самое коммутаторы для бозонов и антикоммутаторы для фермионов.

Уравнение выше определяет преобразование Боголюбова операторов.

Основное состояние, аннулируемое всеми $a i '{\ displaystyle a' _ {i}}$ $a'_{{i}}$ , отличается от исходного основного состояния $| 0⟩ {\ displaystyle | 0 \ rangle}$ $| 0 \ rangle$ , и их можно рассматривать как преобразования Боголюбова друг друга с использованием соответствия оператор-состояние. Их также можно определить как сжатые когерентные состояния. Волновая функция BCS является примером сжатого когерентного состояния фермионов.

Ссылки

Дополнительная литература

Вся тема и множество конкретных приложений рассматриваются в следующих учебники:

Блайзот, Ж.-П.; Рипка, Г. (1985). Квантовая теория конечных систем. MIT Press. ISBN 0-262-02214-1.
Fetter, A.; Валецка Дж. (2003). Квантовая теория систем многих частиц. Дувр. ISBN 0-486-42827-3.
Киттель, гл. (1987). Квантовая теория твердого тела. Вайли. ISBN 0-471-62412-8.
Вагнер, М. (1986). Унитарные превращения в физике твердого тела. Elsevier Science. ISBN 0-444-86975-1.