Бивектор (комплексный)

В математике бивектор - это векторная часть бикватернион. Для бикватерниона q = w + xi + yj + zk, w называется бискаларом, а xi + yj + zk - его бивекторной частью. Координаты w, x, y, z - это комплексные числа с мнимой единицей h:

$x\; =\; x\; 1\; +\; hx\; 2,\; y\; =\; y\; 1\; +\; hy\; 2,\; z\; =\; z\; 1\; +\; hz\; 2,\; h\; 2\; =\; -\; 1\; =\; я\; 2\; =\; j\; 2\; =\; k\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; x\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; mathrm\; \{h\}\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; y\; =\; y\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; mathrm\; \{h\}\; y\_\; \{2\},\; \backslash \; z\; =\; z\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; mathrm\; \{h\; \}\; z\_\; \{2\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathrm\; \{h\}\; ^\; \{2\}\; =\; -\; 1\; =\; \backslash \; mathrm\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{j\}\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{k\}\; ^\; \{2\}.\}$

Бивектор можно записать как сумму действительной и мнимой частей:

$(x\; 1\; i\; +\; y\; 1\; j\; +\; z\; 1\; k)\; +\; h\; (x\; 2\; i\; +\; y\; 2\; j\; +\; z\; 2\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{1\}\; \backslash \; mathrm\; \{i\}\; +\; y\_\; \{1\}\; \backslash \; mathrm\; \{j\}\; +\; z\_\; \{1\}\; \backslash \; mathrm\; \{k\})\; +\; \backslash \; mathrm\; \{h\}\; (x\_\; \{2\}\; \backslash \; mathrm\; \{i\}\; +\; y\_\; \{2\}\; \backslash \; mathrm\; \{j\}\; +\; z\_\; \{2\}\; \backslash \; mathrm\; \{k\})\}$

где $r\; 1\; =\; x\; 1\; i\; +\; y\; 1\; j\; +\; z\; 1\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{1\}\; =\; x\_\; \{1\}\; \backslash \; mathrm\; \{i\}\; +\; y\_\; \{1\}\; \backslash \; mathrm\; \{j\}\; +\; z\_\; \{1\}\; \backslash \; mathrm\; \{k\}\}$и $r\; 2\; =\; x\; 2\; i\; +\; y\; 2\; j\; +\; z\; 2\; К\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{2\}\; =\; x\_\; \{2\}\; \backslash \; mathrm\; \{i\}\; +\; y\_\; \{2\}\; \backslash \; mathrm\; \{j\}\; +\; z\_\; \{2\}\; \backslash \; mathrm\; \{k\}\}$являются векторы. Таким образом, бивектор $q\; =\; x\; i\; +\; y\; j\; +\; z\; k\; =\; r\; 1\; +\; h\; r\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; x\; \backslash \; mathrm\; \{i\}\; +\; y\; \backslash \; mathrm\; \{j\}\; +\; z\; \backslash \; mathrm\; \{k\}\; =\; r\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; mathrm\; \{h\}\; r\_\; \{2\}.\}$

Ложь алгебра из группы Лоренца выражается бивекторами. В частности, если r 1 и r 2 являются правыми версорами, так что $r\; 1\; 2\; =\; -\; 1\; =\; r\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{\; 1\}\; ^\; \{2\}\; =\; -\; 1\; =\; r\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\}$, тогда бикватернионная кривая {exp θr 1 : θ ∈ R } снова и снова отслеживает единичную окружность в плоскости {x + yr 1 : x, y ∈ R }. Такой круг соответствует параметрам пространственного вращения группы Лоренца.

Теперь (hr 2) = (−1) (- 1) = +1, и бикватернионная кривая {exp θ (hr 2): θ ∈ R } - это гипербола единицы на плоскости {x + yr 2 : x, y ∈ R }. Преобразования пространства-времени в группе Лоренца, которые приводят к сжатию Фитцджеральда и замедлению, зависят от параметра гиперболического угла. По словам Рональда Шоу, «бивекторы - это логарифмы преобразований Лоренца».

Коммутаторное произведение этой алгебры Ли вдвое больше перекрестного произведения на R, например, [i, j] = ij - ji = 2k, что в два раза больше i × j. Как писал Шоу в 1970 году:

Теперь хорошо известно, что алгебру Ли однородной группы Лоренца можно рассматривать как алгебру бивекторов при коммутации. [...] Алгебра Ли бивекторов - это, по сути, алгебра комплексных 3-векторов, причем произведение Ли определяется как знакомое перекрестное произведение в (комплексном) трехмерном пространстве.

Уильям Роуэн Гамильтон придумал оба термина вектор и бивектор. Первый член был назван с кватернионами, а второй примерно десятью годами позже, как в «Лекциях по кватернионам» (1853 г.). В популярном тексте Векторный анализ (1901 г.) использовался термин.

Учитывая бивектор r = r 1 + hr 2, эллипс, для которого r 1 и r 2 представляют собой пару сопряженных полудиаметров, называется направленным эллипсом бивектора r.

В стандартном линейном представлении бикватернионов в виде комплексных матриц 2 × 2, действующих на комплексной плоскости с базисом {1, h},

$(hvw\; +\; hx\; -\; w\; +\; hx\; -\; hv)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; hv\; w\; +\; hx\; \backslash \backslash \; -\; w\; +\; hx\; -hv\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$представляет бивектор q = vi + wj + xk.

сопряженное транспонирование этой матрицы соответствует −q, поэтому представление бивектора q является косоэрмитовой матрицей.

Людвик Зильберштейн изучал комплексное электромагнитное поле E + hB, состоящее из трех компонентов, каждая из которых представляет собой комплексное число, известное как вектор Римана-Зильберштейна.

«Бивекторы [...] помогают описывать эллиптически поляризованные однородные и неоднородные плоские волны - одна v эктор для направления распространения, один для амплитуды. "

• P.H. Boulanger M. Hayes (1993) Бивекторы и волны в механике и оптике, Chapman and Hall.
• P.H. Буланже и М. Хейз (1991). «Бивекторы и неоднородные плоские волны в анизотропных упругих телах». В Джулиане Дж. Ву; Томас Чи-цай Тинг и Дэвид М. Барнетт (ред.). Современная теория анизотропной упругости и приложения. Общество промышленной и прикладной математики. п. 280 и след. ISBN 0-89871-289-0.
• Уильям Роуэн Гамильтон, (1853) Лекции по кватернионам, Королевская ирландская академия, ссылка с Корнелла Университет Коллекция исторической математики.
• Уильям Эдвин Гамильтон (редактор) (1866) Elements of Quaternions, стр. 219, University of Dublin Press, ссылка с Google Книги.