Теорема Альберта – Брауэра – Хассе – Нётер

Центральными простыми алгебрами над полями алгебраических чисел, которые разделяются на пополнения, являются матричные алгебры

В теории алгебраических чисел Альберт-Брауэр-Хассе-Нётер Теорема утверждает, что центральная простая алгебра над полем алгебраических чисел K, которое разбивается на каждое завершение Kv, является матричной алгеброй над K. Теорема является примером локально-глобального принципа в теории алгебраических чисел <91.>и приводит к полному описанию конечномерных алгебр с делением над полями алгебраических чисел в терминах их локальных инвариантов. Это было независимо доказано Ричардом Брауэром, Гельмутом Хассе и Эмми Нётер и Авраамом Адрианом Альбертом.

• 1 Заявление теорема
• 2 Приложения
• 3 См. также
• 4 Ссылки
• 5 Примечания

Пусть A будет центральной простой алгеброй ранг d над полем алгебраических чисел K. Предположим, что для любой оценки v, A разбивается по соответствующему локальному полю K v:

$A\; \otimes \; K\; K\; v\; \simeq \; M\; d\; (K\; v).\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; otimes\; \_\; \{K\}\; K\_\; \{v\}\; \backslash \; simeq\; M\_\; \{d\}\; (K\_\; \{v\}).\}$

Тогда A изоморфна матричной алгебре M d (K).

Используя теорию группы Брауэра, можно показать, что две центральные простые алгебры A и B над полем алгебраических чисел K изоморфны над K тогда и только тогда, когда их дополнения A v и B v изоморфны над пополнением K v для каждого v.

Вместе с Grunwald– Теорема Ванга, теорема Альберта – Брауэра – Хассе – Нётер означает, что каждая центральная простая алгебра над полем алгебраических чисел является циклической, т.е. может быть получена явным построением из расширения циклического поля L / К.

• Теория поля классов
• Теорема о норме Хассе

• Альберт А.А. ; Хассе, Х. (1932), "Определение всех нормальных алгебр с делением над полем алгебраических чисел", Пер. Амер. Математика. Soc., 34 (3): 722–726, doi : 10.1090 / s0002-9947-1932-1501659-x, Zbl 0005.05003
• Брауэр, Р. ; Хассе, Х. ; Нётер, Э. (1932), "Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren", J. reine angew. Math., 167 : 399–404
• Фенстер, Д.Д.; Швермер, Дж. (2005), «Тонкое сотрудничество: Адриан Альберт и Гельмут Хассе и основная теорема в алгебрах с делением», Архив истории точных наук, 59 (4): 349–379, doi : 10.1007 / s00407-004-0093-6
• Пирс, Ричард (1982), Ассоциативные алгебры, Тексты для выпускников по математике, 88, Нью-Йорк -Берлин: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90693-2, Zbl 0497.16001
• Райнер, I. (2003), Максимальные порядки, Монографии Лондонского математического общества. New Series, 28, Oxford University Press, стр. 276, ISBN 0-19-852673-3, Zbl 1024.16008
• Roquette, Peter (2005), «Теорема Брауэра – Хассе – Нётер в исторической перспективе» (PDF), Schriften der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Klasse der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, 15, CiteSeerX 10.1.1.72.4101 <188>2222, Zbl 1060.01009, получено 05.07.2009 Исправленная версия - Roquette, Peter (2013), Вклад в историю числа теория в 20 веке, Наследие европейской математики, Цюрих: Европейское математическое общество, стр. 1–76, ISBN 978-3-03719-113-2, Zbl 1276.11001
• Альберт, Нэнси Э. (2005), «Куб и его алгебра», iUniverse, ISBN 978-0 -595-32817-8