Теорема Грюнвальда – Ванга

редактировать

Локально-глобальный результат, когда элемент в числовом поле n-я степень

В теории алгебраических чисел, теорема Грюнвальда – Ванга является локально-глобальным принципом, утверждающим, что - за исключением некоторых точно определенные случаи - элемент x в числовом поле K является n-й степенью в K, если это n-я степень в completion $K p {\ displaystyle K _ {\ mathfrak {p}}}$ $K _ {{{\ mathfrak {p}}}}$ для всех, кроме конечного числа простых чисел $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ of K. Например, рациональное число является квадратом рационального числа, если это квадрат p-адического числа почти для всех простых чисел p. Теорема Грюнвальда – Ванга является примером локально-глобального принципа.

Она была введена Вильгельмом Грюнвальдом (1933), но в этом оригинале была ошибка. версия, которая была найдена и исправлена Шиангхао Ван (1948). Теорема, рассмотренная Грюнвальдом и Вангом, была более общей, чем сформулированная выше, поскольку они обсуждали существование циклических расширений с некоторыми локальными свойствами, и утверждение о n-й степени является следствием этого.

Содержание

1 История
2 Контрпример Вана
- 2.1 Элемент в n-й степени почти везде локально, но не везде локально
- 2.2 Элемент, который является n-й степенью везде локально, но не глобально
3 Следствие контрпримера Вана
4 Специальные поля
5 Утверждение теоремы
6 Объяснение контрпримера Вана
7 См. также
8 Примечания
9 Ссылки

История

Несколько дней спустя я был с Артином в его офисе, когда появился Ван. Он сказал, что у него есть контрпример к лемме, которая использовалась при доказательстве. Через час или два он привел контрпример к самой теореме... Конечно, он [Артин] был удивлен, как и все мы, студенты, что известная теорема с двумя опубликованными доказательствами, одно из которых мы все слышали в семинар, ничего не замечая, может быть ошибочным.

Джон Тейт, цитата: Питер Рокетт (2005, с.30)

Грюнвальд (1933), ученик Гельмута Хассе, дал неверное доказательство ошибочного утверждения, что элемент в числовом поле является n-й степенью, если он является n-й степенью локально почти везде. Джордж Ваплс (1942) дал еще одно неверное доказательство этого неверного утверждения. Однако Ван (1948) обнаружил следующий контрпример: 16 - это p-адическая 8-я степень для всех нечетных простых чисел p, но не рациональная или 2-адическая 8-я степень. В своей докторской диссертации Ван (1950), написанной под именем Эмиля Артина, Ван дал и доказал правильную формулировку утверждения Грюнвальда, описав редкие случаи, когда оно терпит неудачу. Этот результат известен теперь как теорема Грюнвальда – Ванга. История контрпримера Вана обсуждается Питером Рокеттом (2005, раздел 5.3)

Контрпримером Вана

Первоначальное утверждение Грюнвальда о том, что элемент то есть n-я степень почти везде локально. n-я степень глобально может потерпеть неудачу двумя различными способами: элемент может быть n-й степенью почти везде локально, но не везде локально, или он может быть n-й степенью везде локально, но не глобально.

Элемент, который является n-й степенью почти везде локально, но не везде локально

Элемент 16 в рациональных числах является 8-й степенью во всех местах, кроме 2, но не является 8-й степенью в 2-адические числа.

Ясно, что 16 не является 2-адической 8-й степенью и, следовательно, не является рациональной 8-й степенью, поскольку 2-адическая оценка 16 равна 4, что не делится на 8.

Как правило, 16 является 8-й степенью в поле K тогда и только тогда, когда многочлен $X 8-16 {\ displaystyle X ^ {8} -16}$ $X ^ {8} -16$ имеет корень в K. Запишите

Х 8 - 16 = (Х 4-4) (Х 4 + 4) = (Х 2 - 2) (Х 2 + 2) (Х 2 - 2 Х + 2) (Х 2 + 2 Х + 2). {\ displaystyle X ^ {8} -16 = (X ^ {4} -4) (X ^ {4} +4) = (X ^ {2} -2) (X ^ {2} +2) (X ^ {2} -2X + 2) (X ^ {2} + 2X + 2).}

X ^ {8} -16 = (X ^ {4} -4) (X ^ {4} +4) = (X ^ {2} -2) (X ^ {2} +2) (X ^ {2} -2X + 2) (X ^ {2} + 2X + 2).

Таким образом, 16 является 8-й степенью в K тогда и только тогда, когда 2, −2 или -1 - квадрат в K.Пусть p - любое нечетное простое число. Из мультипликативности символа Лежандра следует, что 2, −2 или −1 - квадрат по модулю p. Следовательно, по лемме Гензеля, 2, −2 или −1 является квадратом в $Q p {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ $\ mathbb {Q} _ {p}$ .

Элемент, который является n-м мощность везде локально, но не глобально

16 не является 8-й степенью в $Q (7) {\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {7}})}$ ${\ mathbb {Q}} ({\ sqrt {7}})$ хотя это восьмая степень локально везде (т.е. в $Q p (7) {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} ({\ sqrt {7}})}$ ${\ mathbb {Q}} _ {p} ({\ sqrt {7 }})$ для всех p). Это следует из вышеизложенного и равенства $Q 2 (7) = Q 2 (- 1) {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {2} ({\ sqrt {7}}) = \ mathbb {Q} _ {2} ({\ sqrt {-1}})}$ ${\ mathbb {Q}} _ {2} ({\ sqrt {7}}) = {\ mathbb {Q}} _ {2} ({\ sqrt { -1}})$ .

Следствие контрпримера Вана

Контрпример Вана имеет следующее интересное следствие, показывающее, что не всегда можно найти циклическое расширение Галуа заданной степени числового поля, в котором конечное число заданных простых разрядов разбивается определенным образом:

Не существует циклического расширения степени 8 $K / Q {\ displaystyle K / \ mathbb {Q}}$ $K / {\ mathbb {Q}}$ , в котором простое число 2 полностью инертно (т. Е. Такое, что $K 2 / Q 2 {\ displaystyle K_ {2} / \ mathbb {Q} _ {2}}$ $K_ {2} / {\ mathbb {Q}} _ {2}$ не разветвляется степени 8).

Специальные поля

Для любого $s ≥ 2 {\ displaystyle s \ geq 2}$ $s \ geq 2$ пусть

η s: = exp ⁡ (2 π i 2 s) + exp ⁡ (- 2 π i 2 s) = 2 cos ⁡ (2 π 2 s). {\ displaystyle \ eta _ {s}: = \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi i} {2 ^ {s}}} \ right) + \ exp \ left (- {\ frac {2 \ pi i} {2 ^ {s}}} \ right) = 2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {2 ^ {s}}} \ right).}

\ eta _ {s}: = \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi i} {2 ^ {s}}} \ right) + \ exp \ left (- {\ frac {2 \ pi i} {2 ^ {s}}} \ right) = 2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {2 ^ {s}}} \ right).

Обратите внимание, что $2 s {\ displaystyle 2 ^ {s}}$ $2 ^ {s}$ th круговое поле равно

Q 2 s = Q (i, η s). {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {2 ^ {s}} = \ mathbb {Q} (i, \ eta _ {s}).}

{\ mathbb {Q}} _ {{2 ^ {s}}} = {\ mathbb {Q}} (i, \ eta _ {s}).

Поле называется s-специальным, если оно содержит $η s {\ displaystyle \ eta _ {s}}$ $\ eta _ {{s}}$ , но ни $я {\ displaystyle i}$ $i$ , $η s + 1 {\ displaystyle \ eta _ {s + 1}}$ $\ eta _ {{s + 1}}$ ни $я η s + 1 {\ displaystyle i \ eta _ {s + 1}}$ $i \ eta _ {{s + 1}}$ .

Утверждение теоремы

Рассмотрим числовое поле K и натуральное число n. Пусть S - конечное (возможно, пустое) множество простых чисел матрицы K, и положим

K (n, S): = {x ∈ K ∣ x ∈ K p n f o r a l l p ∉ S}. {\ Displaystyle К (п, S): = \ {х \ in K \ mid x \ in K _ {\ mathfrak {p}} ^ {n} \ mathrm {\ for \ all \} {\ mathfrak {p}} \ not \ in S \}.}

K (n, S): = \ { x \ in K \ mid x \ in K _ {{{\ mathfrak {p}}}} ^ {n} {\ mathrm {\ for \ all \}} {\ mathfrak {p}} \ not \ in S \}.

Теорема Грюнвальда – Ванга гласит, что

K (n, S) = K n {\ displaystyle K (n, S) = K ^ {n}}

K (n, S) = K ^ {n}

если только мы не находимся в особом случае, когда выполняются следующие два условия:

$K {\ displaystyle K}$ $K$ является s-special с $s {\ displaystyle s}$ $s$ так, что $2 s + 1 {\ displaystyle 2 ^ {s + 1}}$ $2 ^ {{s + 1}}$ делит n.
$S {\ displaystyle S}$ $S$ содержит специальный набор $S 0 {\ displaystyle S_ {0}}$ $S_ {0}$ , состоящий из этих (обязательно 2-адических) простых чисел $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ такое, что $K p {\ displaystyle K _ {\ mathfrak {p}}}$ $K _ {{{\ mathfrak {p}}}}$ является s-специальным.

В особом случае нарушение принципа Хассе имеет конечный порядок 2: ядро

K × / K × n → ∏ p ∉ SK p × / K p × n {\ displaystyle K ^ {\ times} / K ^ {\ times n} \ to \ prod _ {{\ mathfrak {p}} \ not \ in S} K _ {\ mathfrak {p}} ^ {\ times} / K _ {\ mathfrak {p}} ^ {\ tim es n}}

K ^ {\ times} / K ^ {{\ times n}} \ to \ prod _ {{{\ mathfrak {p}} \ not \ in S}} K_ { {\ mathfrak {p}}} ^ {\ times} / K _ {{\ math frak {p}}} ^ {{\ times n}}

- это Z/2Z, сгенерированный элементом η. s + 1.

Объяснение контрпримера Ванга

Поле рациональных чисел $K = Q {\ displaystyle K = \ mathbb {Q}}$ $K = {\ mathbb {Q }}$ является 2-специальным, поскольку содержит $η 2 = 0 {\ displaystyle \ eta _ {2} = 0}$ $\ eta _ {2} = 0$ , но не $i {\ displaystyle i}$ $i$ , $η 3 = 2 {\ displaystyle \ eta _ {3} = {\ sqrt {2}}}$ $\ eta _ {3} = {\ sqrt {2}}$ и $i η 3 = - 2 {\ displaystyle i \ eta _ {3} = {\ sqrt {-2}}}$ $i \ eta _ {3} = {\ sqrt {-2}}$ . Специальный набор: $S 0 = {2} {\ displaystyle S_ {0} = \ {2 \}}$ $S_ {0} = \ {2 \}$ . Таким образом, частный случай теоремы Грюнвальда – Ванга возникает, когда n делится на 8, а S содержит 2. Это объясняет контрпример Ванга и показывает, что он минимален. Также видно, что элемент в $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ является n-й степенью, если он является p-адической n-й степенью для всех p.

Поле $K = Q (7) {\ displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {7}})}$ $K = {\ mathbb {Q}} ({\ sqrt {7}})$ также является 2-специальным, но с $S 0 = ∅ {\ displaystyle S_ {0} = \ emptyset}$ $S_ {0} = \ emptyset$ . Это объясняет другой контрпример, приведенный выше.

См. Также

Теорема Хассе о норме утверждает, что для циклических расширений элемент является нормой, если он является нормой везде локально.

Примечания

Ссылки

Артин, Эмиль ; Тейт, Джон (1990), Теория поля классов, ISBN 978-0-8218-4426-7, MR 0223335
Грюнвальд, Wilhelm (1933), «Ein allgemeiner Existenzsatz für algebraische Zahlkörper», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 169 : 103–107
Roquette, Peter (2005), Теорема Брауэра-Хассе-Нётер в исторической перспективе (PDF), Schriften der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Klasse der Heidelberger Akademie der Wissenschaften [Публикации секции математики и естественных наук Гейдельбергской академии Sciences], 15, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-23005-2
Wang, Shianghaw (1948), «Контрпример к теореме Грюнвальда», Annals of Mathematics, Second Series, 49 : 1008–1009, doi : 10.2307 / 1969410, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969410, MR 0026992
Ван, Шиангхоу (1950), "О теории Грюнвальда rem ", Annals of Mathematics, Second Series, 51 : 471–484, doi : 10.2307 / 1969335, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969335, MR 0033801
Уэплс, Джордж (1942), «Неаналитическая теория поля классов и теория Грюнвальда. теорема ", Duke Mathematical Journal, 9(3): 455–473, doi : 10.1215 / s0012-7094-42-00935-9, ISSN 0012-7094, MR 0007010