Слабо измеримая функция

В математике - в частности, в функциональном анализе - a слабо измеримая функция, принимающая значения в банаховом пространстве, является функцией , композиция которой с любым элементом двойного пространства является измеримая функция в обычном (сильном) смысле. Для отделимых пространств понятия слабой и сильной измеримости совпадают.

• 1 Определение
• 2 Свойства
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Если (X, Σ) является измеримым пространством и B - банахово пространство над полем K(обычно действительные числа Rили комплексные числа C), тогда f: X → B называется слабо измеримый, если для любого линейного непрерывного функционала g: B → K функция

$g\; \circ \; f:\; X\; \to \; K:\; x\; \mapsto \; g\; (f\; (\; x))\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; circ\; f\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \backslash \; двоеточие\; x\; \backslash \; mapsto\; g\; (f\; (x))\}$

- измеримая функция относительно Σ и обычного Борелевская σ-алгебра на K.

Измеримая функция на вероятностном пространстве обычно называется случайной величиной (или случайным вектором, если она принимает значения в векторном пространстве, таком как банахово пространство B). Таким образом, как частный случай приведенного выше определения, если (Ω, Σ, P ) является вероятностным пространством, то функция Z:: Ω → B называется (B-значной) слабая случайная величина (или слабый случайный вектор ), если для любого непрерывного линейного функционала g: B → K функция

$g\; \circ \; Z:\; \Omega \; \to \; K:\; \omega \; \mapsto \; g\; (Z\; (\omega ))\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; circ\; Z\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; Omega\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{K\}\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; omega\; \backslash \; mapsto\; g\; (Z\; (\backslash \; omega))\}$

является K -значная случайная величина (т.е. измеримая функция) в обычном смысле, относительно Σ и обычной борелевской σ-алгебры на K.

Связь между измеримостью и слабой измеримостью задается формулой следующий результат, известный как теорема Петтиса или теорема Петтиса об измеримости .

Функция f называется почти наверняка отделимо значимый (или по существу сепарабельный ), если существует подмножество N ⊆ X с μ (N) = 0 такое, что f (X \ N) ⊆ B сепарабельно.

Теорема (Pettis, 1938) . Функция f: X → B, определенная на пространстве с мерой (X, Σ, μ) и принимающая значения в банаховом пространство B (сильно) измеримо (что равняется п.в. пределу последовательности измеримых счетнозначных функций) тогда и только тогда, когда оно одновременно и слабо измеримо, и почти наверное разделимозначно.

В случае, когда B сепарабельно, поскольку любое подмножество сепарабельного банахова пространства само сепарабельно, можно считать N выше пустым, и отсюда следует, что понятия слабой и сильной измеримости согласуются, когда B сепарабельно.

• Измеримая функция Бохнера
• Интеграл Бохнера
• Интеграл Петтиса
• Векторнозначная мера

• Петтис, Б. Дж. (1938). «Об интегрировании в векторных пространствах». Пер. Амер. Математика. Soc. 44 (2): 277–304. DOI : 10.2307 / 1989973. ISSN 0002-9947. MR 1501970.
• Шоуолтер, Ральф Э. (1997). «Теорема III.1.1». Монотонные операторы в банаховом пространстве и нелинейные уравнения в частных производных. Математические обзоры и монографии 49. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 103. ISBN 0-8218-0500-2. MR 1422252.