Равномерная интегрируемость

редактировать

В математике равномерная интегрируемость является важным понятием в реальном анализе, функциональный анализ и теория меры, и играет жизненно важную роль в теории мартингалов. Определение, используемое в теории меры, тесно связано с определением, обычно используемым в теории вероятностей, но не идентично ему.

Содержание

1 Теоретико-мерное определение
2 Определение вероятности
3 Связь между определениями
4 Связанные следствия
5 Соответствующие теоремы
6 Связь со сходимостью случайных величин
7 Цитаты
8 Ссылки

Теоретико-мерное определение

В учебниках по реальному анализу и теории меры часто используется следующее определение.

Пусть $(X, M, μ) {\ displaystyle (X, {\ mathfrak {M}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathfrak {M}}, \ mu)$ - пространство с положительной мерой. Множество $Φ ⊂ L 1 (μ) {\ displaystyle \ Phi \ subset L ^ {1} (\ mu)}$ $\ Phi \ subset L ^ {1} (\ mu)$ называется равномерно интегрируемым, если каждому $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\ varepsilon>0$ соответствует $δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}$ $\delta>0$ такой, что

∫ E | f | d μ < ε {\displaystyle \int _{E}|f|\,d\mu <\varepsilon }

{\ displaystyle \ int _ {E} | f | \, d \ mu <\ varepsilon}

всякий раз, когда $f ∈ Φ {\ displaystyle f \ in \ Phi}$ $f \ in \ Phi$ и $μ (E) < δ. {\displaystyle \mu (E)<\delta.}$ $\ mu (E) <\ delta.$

Определение вероятности

В теории вероятности применяется следующее определение.

Класс $C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ из случайных величин называется равномерно интегрируемым (UI), если задано $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ , существует $K ∈ [0, ∞) {\ displaystyle K \ in [0, \ infty)}$ $K \ in [0, \ infty)$ такое, что $E ⁡ (| X | I | X | ≥ K) ≤ ε для всех X ∈ C {\ displaystyle \ operatorname {E} (| X | I_ {| X | \ geq K}) \ leq \ varepsilon \ {\ text {для всех X}} \ in {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} (| X | I_ {| X | \ geq K}) \ leq \ varepsilon \ {\ text {для всех X }} \ in {\ mathcal {C}}}$ , где $I | X | ≥ K {\ displaystyle I_ {| X | \ geq K }}$ $I _ {{| X | \ geq K}}$ - индикаторная функция $I | X | ≥ K = {1, если | X | ≥ K, 0, если | X | < K. {\displaystyle I_{|X|\geq K}={\begin{cases}1{\text{if }}|X|\geq K,\\0{\text{if }}|X|$ $I _ {{| X | \ geq K}} = {\ begin {cases} 1 {\ text { if}} | X | \ geq K, \\ 0 {\ text {if}} | X | <K. \ end {cases}}$
Альтернативное определение, включающее два статьи могут быть представлены следующим образом: A c lass C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}случайных величин называется равномерно интегрируемыми, если:
- существует конечное $M {\ displaystyle M}$ $M$ так, что для каждого $X {\ displaystyle X}$ $X$ в $C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ , $E ⁡ (| X |) ≤ M {\ displaystyle \ operatorname {E} (| X |) \ leq M}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} ( | Икс |) \ leq M}$ и
- для каждого $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ существует $δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}$ $\delta>0$ такое, что для каждого измеримого $A {\ displaystyle A}$ $A$ такого, что $P (A) ≤ δ {\ displaystyle P (A) \ leq \ delta}$ $P (A) \ leq \ delta$ и каждые $X {\ displaystyle X}$ $X$ в $C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ , $E ⁡ ( | X | IA) ≤ ε {\ displaystyle \ operatorname {E} (| X | I_ {A}) \ leq \ varepsilon}$ ${ \ displaystyle \ operatorname {E} (| X | I_ {A}) \ leq \ varepsilon}$ .

Два вероятностных определения эквивалентны.

Связь между определениями

Эти два определения тесно связаны. Вероятностное пространство - это пространство меры с полной мерой 1. Случайная величина - это измеримая функция с действительными значениями на этом пространстве, а математическое ожидание случайной величины определяется как интеграл этой функции относительно вероятностной меры. В частности,

Пусть $(Ω, F, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ $(\ Omega, \ mathcal {F}, P)$ будет вероятностным пространством. Пусть случайная величина $X {\ displaystyle X}$ $X$ представляет собой $F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ -измеримую функцию с действительным знаком. Тогда ожидание $X {\ displaystyle X}$ $X$ определяется как

E ⁡ (X) = ∫ Ω X d P {\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ int _ {\ Omega} X \, dP}

{\ displaystyle \ operatorname {E} ( X) = \ int _ {\ Omega} X \, dP}

при условии, что интеграл существует.

Тогда альтернативное вероятностное определение, приведенное выше, может быть переписано в терминах теории меры как: Множество $C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ функций с действительными значениями является называется равномерно интегрируемым, если:

существует конечное $M {\ displaystyle M}$ $M$ такое, что для каждого $X {\ displaystyle X}$ $X$ в $C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ , $∫ Ω | X | d п ≤ M {\ displaystyle \ int _ {\ Omega} | X | \, dP \ leq M}$ ${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} | X | \, dP \ leq M}$ .
для каждого $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ существует $δ>0 { \ displaystyle \ delta>0}$ $\delta>0$ такое, что для каждого измеримого $A {\ displaystyle A}$ $A$ такого, что $P (A) ≤ δ {\ displaystyle P (A) \ leq \ delta}$ $P (A) \ leq \ delta$ и для каждого $X {\ displaystyle X}$ $X$ в $C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ , $∫ A | X | d P ≤ ε {\ displaystyle \ int _ {A} | X | \, dP \ leq \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ int _ {A} | X | \, dP \ leq \ varepsilon}$ .

Сравнение этого определения с приведенным выше теоретическим определением меры показывает, что теоретическое определение меры требует только, чтобы каждая функция была в $L 1 (μ) {\ displaystyle L ^ {1} (\ mu)}$ $L ^ 1 (\ mu)$ . Другими словами, $∫ X fd μ {\ displaystyle \ int _ {X} f \, d \ mu}$ ${\ displaystyle \ int _ {X} е \, d \ mu}$ конечно для каждого $f {\ displaystyle f}$ $f$ , но не обязательно иметь верхнюю границу значений этих интегралов. Напротив, вероятностное определение требует, чтобы интегралы имели верхнюю границу.

Одним из следствий этого является то, что равномерно интегрируемые случайные величины (согласно вероятностному определению) точны. То есть для каждого $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ , существует $a>0 {\ displaystyle a>0}$ $a>0$ таким образом, чтобы

∫ | X |>ad P < ε {\displaystyle \int _{|X|>a} dP <\varepsilon }

\int _{|X|>a} dP <\varepsilon

для всех $X {\ displaystyle X}$ $X$ .

Напротив, равномерно интегрируемые функции (согласно определению теории меры) не обязательно являются точными.

В своей книге Басс использует термин равномерно абсолютно непрерывный для обозначения наборов случайных величин (или функций), которые удовлетворяют второму пункту альтернативного определения. Однако это определение не требует, чтобы каждая из функций имела конечный интеграл. Термин «равномерная абсолютная непрерывность» не является стандартным, но используется некоторыми другими авторами.

Связанные следствия

Следующие результаты относятся к вероятностному определению.

Определение 1 может быть переписано взяв пределы как

lim K → ∞ sup X ∈ CE ⁡ (| X | I | X | ≥ K) = 0. {\ displaystyle \ lim _ {K \ to \ infty} \ sup _ {X \ in {\ mathcal {C}}} \ operatorname {E} (| X | \, I_ {| X | \ geq K}) = 0.}

{\ displaystyle \ lim _ {K \ to \ infty} \ sup _ {X \ in {\ mathcal {C}} } \ operatorname {E} (| X | \, I_ {| X | \ geq K}) = 0.}

Последовательность, не относящаяся к пользовательскому интерфейсу. Пусть $Ω = [0, 1] ⊂ R {\ displaystyle \ Omega = [0,1] \ subset \ mathbb {R}}$ $\ Omega = [0,1] \ subset {\ mathbb {R}}$ , и определим

X n (ω) = {n, ω ∈ (0, 1 / n), 0 в противном случае. {\ displaystyle X_ {n} (\ omega) = {\ begin {case} n, \ omega \ in (0,1 / n), \\ 0, {\ text {в противном случае.}} \ end {case }}}

X_ {n} (\ omega) = {\ begin {cases} n, \ omega \ in (0,1 / n), \\ 0, {\ text {в противном случае.}} \ End {case}}

Очевидно

X n ∈ L 1 {\ displaystyle X_ {n} \ in L ^ {1}}

X_ {n} \ in L ^ {1}

, и действительно

E ⁡ (| X n |) = 1, {\ displaystyle \ operatorname {E} (| X_ {n} |) = 1 \,}

{\ displaystyle \ operatorname {E} (| X_ {n} |) = 1 \,}

для всех n. Однако

E ⁡ (| X n |, | X n | ≥ K) = 1 для всех n ≥ K, {\ displaystyle \ operatorname {E} (| X_ {n} |, | X_ {n} | \ geq K) = 1 \ {\ text {для всех}} n \ geq K,}

{\ displaystyle \ operatorname {E} (| X_ {n} |, | X_ { n} | \ geq K) = 1 \ {\ text {для всех}} n \ geq K,}

и сравнивая с определением 1, видно, что последовательность не является равномерно интегрируемой.

Последовательность RV без пользовательского интерфейса. Площадь под полосой всегда равна 1, но

X n → 0 {\ displaystyle X_ {n} \ to 0}

X_ {n} \ до 0

точечно.

Используя определение 2 в приведенном выше примере, видно, что первое предложение удовлетворяется как $L 1 {\ displaystyle L ^ {1}}$ $L ^ {1}$ норма всех $X n {\ displaystyle X_ {n}}$ $X_ {n}$ равны 1, т. Е. Ограничены. Но второе предложение не выполняется, поскольку для любого $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ положительного значения существует интервал $(0, 1 / n) {\ displaystyle (0,1 / n)}$ $(0,1 / n)$ с размером меньше $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ и $E [| X м | : (0, 1 / n)] = 1 {\ displaystyle E [| X_ {m} |: (0,1 / n)] = 1}$ $E [| X_ {m} |: (0,1 / n)] = 1$ для всех $m ≥ n {\ displaystyle m \ geq n}$ $m \ geq n$ .
Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ является случайной величиной UI, путем разделения

E ⁡ (| X |) = E ⁡ (| X |, | X |>K) + E ⁡ (| X |, | X | < K) {\displaystyle \operatorname {E} (|X|)=\operatorname {E} (|X|,|X|>K) + \ operatorname {E} (| X |, | X |

\operatorname {E} (|X|)=\operatorname {E} (|X|,|X|>K) + \ operatorname {E} (| X |, | X | <K)

и ограничивая каждый из двух, можно видеть, что равномерно интегрируемая случайная величина всегда ограничена в

L 1 {\ displaystyle L ^ { 1}}

L ^ {1}

Если в любой последовательности случайных величин $X n {\ displaystyle X_ {n}}$ $X_ {n}$ преобладает интегрируемое неотрицательное $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ : то есть для всех ω и n,

| X n (ω) | ≤ Y (ω), Y (ω) ≥ 0, E ⁡ (Y) < ∞, {\displaystyle \ |X_{n}(\omega)|\leq Y(\omega),\ Y(\omega)\geq 0,\ \operatorname {E} (Y)<\infty,}

{\ displaystyle \ | X_ {n} (\ omega) | \ leq Y (\ omega), \ Y (\ omega) \ geq 0, \ \ OperatorName {E} (Y) <\ infty,}

, то класс

C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}

{\ mathcal {C}}

случайных величин

{X n} {\ displaystyle \ {X_ {n} \}}

\ {X_ {n} \}

равномерно интегрируемый.

Класс случайных величин, ограниченных $L p {\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ ( $p>1 {\ displaystyle p>1}$ $p>1$ ) интегрируется равномерно. <2>

Далее мы используем вероятностную структуру, но независимо от конечности меры, добавляя условие ограниченности к выбранному подмножеству $L 1 (μ) {\ displaystyle L ^ {1} (\ mu)}$ ${\ displaystyle L ^ {1} (\ mu)}$ .

Данфорд - Теорема Петтиса

Класс случайных величин

X n ⊂ L 1 (μ) {\ displaystyle X_ {n} \ subset L ^ {1} (\ mu)}

X_ {n} \ subset L ^ {1} (\ mu)

равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда оно относительно компактно для слабой топологии

σ (L 1, L ∞) {\ displaystyle \ sigma (L ^ {1}, L ^ {\ infty})}

\ sigma (L ^ {1}, L ^ {\ infty})

теорема Валле-Пуссена

Семейство

{X α} α ∈ A ⊂ L 1 (μ) {\ displaystyle \ {X _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ in \ mathrm {A}} \ subset L ^ {1} (\ mu)}

\ {X_ {{\ alpha}} \} _ {{\ alpha \ in \ mathrm {A}}} \ subset L ^ {1} (\ mu)

равномерно интегрируема тогда и только тогда, когда существует неотрицательная возрастающая выпуклая функция

G (t) {\ displaystyle G (t)}

G (t)

такая, что

lim t → ∞ G (t) t = ∞ и sup α E ⁡ (G (| X α |)) < ∞. {\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {G(t)}{t}}=\infty {\text{ and }}\sup _{\alpha }\operatorname {E} (G(|X_{\alpha }|))<\infty.}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} {\ frac {G (t)} {t}} = \ infty {\ text {and}} \ sup _ {\ alpha} \ operatorname {E} (G (| X _ {\ alpha} |)) <\ infty.}

Отношение к сходимости случайных величин

Последовательность ${X n} {\ displaystyle \ {X_ {n} \}}$ $\ {X_ {n} \}$ сходится к $X {\ displaystyle X}$ $X$ в норме $L 1 {\ displaystyle L_ {1}}$ $L_ {1}$ тогда и только тогда, когда он сходится в мере к $X { \ displaystyle X}$ $X$ , и он равномерно интегрируется. С точки зрения вероятности, последовательность случайных величин, сходящихся по вероятности, также сходится в среднем тогда и только тогда, когда они равномерно интегрируемы. Это обобщение теоремы о сходимости с доминированием Лебега, см. теорема сходимости Витали.

Цитаты

Литература

Ширяев А.Н. (1995). Вероятность (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 187–188. ISBN 978-0-387-94549-1.
Дистел, Дж. И Уль, Дж. (1977). Векторные меры, Mathematical Surveys 15, American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 978-0-8218-1515-1