Энтропия Цаллиса

В физике энтропия Тсаллиса является обобщением стандартной энтропии Больцмана – Гиббса.

• 1 Обзор
• 2 Различные отношения
• 3 Неаддитивность
• 4 Экспоненциальные семейства
• 5 Обобщенные энтропии
• 6 См. Также
• 7 ссылки
• 8 Дальнейшее чтение
• 9 Внешние ссылки

Эта концепция была введена в 1988 г. Константино Цаллисом в качестве основы для обобщения стандартной статистической механики и идентична по форме структурной α-энтропии Хаврда – Чарвата, введенной в 1967 г. в рамках теории информации. В научной литературе обсуждается физическая значимость энтропии Цаллиса. Однако, начиная с 2000 года, был идентифицирован все более широкий спектр природных, искусственных и социальных сложных систем, которые подтверждают прогнозы и последствия, вытекающие из этой неаддитивной энтропии, такие как неэкстенсивная статистическая механика, которая обобщает теорию Больцмана – Гиббса..

Среди различных экспериментальных проверок и приложений, доступных в настоящее время в литературе, следует особо упомянуть следующие:

1. Распределение, характеризующее движение холодных атомов в диссипативных оптических решетках, предсказанное в 2003 г. и наблюдаемое в 2006 г.
2. Колебания магнитного поля в солнечном ветре позволили вычислить q-триплет (или триплет Цаллиса).
3. Распределение скоростей в ведомой диссипативной пылевой плазме.
4. Расслабление спинного стекла.
5. Захваченный ион, взаимодействующий с классическим буферным газом.
6. Эксперименты со столкновениями высоких энергий на LHC / CERN (детекторы CMS, ATLAS и ALICE) и RHIC / Brookhaven (детекторы STAR и PHENIX).

Среди различных доступных теоретических результатов, которые разъясняют физические условия, при которых применяется энтропия Цаллиса и связанная с ней статистика, можно выбрать следующие:

1. Аномальная диффузия.
2. Теорема единственности.
3. Чувствительность к начальным условиям и производство энтропии на грани хаоса.
4. Множества вероятностей, которые делают неаддитивную энтропию Тсаллиса обширной в термодинамическом смысле.
5. Сильно квантово-запутанные системы и термодинамика.
6. Термостатика сверхзатухающего движения взаимодействующих частиц.
7. Нелинейные обобщения уравнений Шредингера, Клейна – Гордона и Дирака.
8. Расчет энтропии черной дыры.

Для получения дополнительных сведений библиография доступна на http://tsallis.cat.cbpf.br/biblio.htm.

Учитывая дискретный набор вероятностей с условием и любое действительное число, энтропия Тсаллиса определяется как ${\ displaystyle \ {p_ {i} \}}$${\ Displaystyle \ сумма _ {я} р_ {я} = 1}$${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle S_ {q} ({p_ {i}}) = {k \ over q-1} \ left (1- \ sum _ {i} p_ {i} ^ {q} \ right),}$

где - действительный параметр, иногда называемый энтропийным индексом, и положительная константа. В пределе as восстанавливается обычная энтропия Больцмана – Гиббса, а именно ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle q \ to 1}$

${\ Displaystyle S_ {BG} = S_ {1} (p) = - k \ sum _ {i} p_ {i} \ ln p_ {i},}$

где отождествляется с постоянной Больцмана. ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k_ {B}}$

Для непрерывных распределений вероятностей мы определяем энтропию как

${\ displaystyle S_ {q} [p] = {1 \ over q-1} \ left (1- \ int (p (x)) ^ {q} \, dx \ right),}$

где - функция плотности вероятности. ${\ displaystyle p (x)}$

Энтропия Цаллиса использовалась вместе с Принципом максимальной энтропии для получения распределения Цаллиса.

Дискретная энтропия Тсаллиса удовлетворяет

${\ displaystyle S_ {q} = - \ lim _ {x \ rightarrow 1} D_ {q} \ sum _ {i} p_ {i} ^ {x}}$

где D q - q-производная по x. Это можно сравнить со стандартной формулой энтропии:

${\ displaystyle S = - \ lim _ {x \ rightarrow 1} {\ frac {d} {dx}} \ sum _ {i} p_ {i} ^ {x}}$

Даны две независимые системы A и B, для которых совместная плотность вероятности удовлетворяет

${\ Displaystyle р (А, В) = п (А) р (В), \,}$

энтропия Тсаллиса этой системы удовлетворяет

${\ Displaystyle S_ {q} (A, B) = S_ {q} (A) + S_ {q} (B) + (1-q) S_ {q} (A) S_ {q} (B). \,}$

Из этого результата очевидно, что параметр является мерой отклонения от аддитивности. В пределе, когда q = 1, ${\ displaystyle | 1-q |}$

${\ Displaystyle S (A, B) = S (A) + S (B), \,}$

что и ожидается от аддитивной системы. Это свойство иногда называют «псевдоаддитивностью».

Многие общие распределения, такие как нормальное распределение, принадлежат к семействам статистических экспонент. Энтропия Тсаллиса для экспоненциального семейства может быть записана как

${\ displaystyle H_ {q} ^ {T} (p_ {F} (x; \ theta)) = {\ frac {1} {1-q}} \ left ((e ^ {F (q \ theta) - qF (\ theta)}) E_ {p} [e ^ {(q-1) k (x)}] - 1 \ right)}$

где F - логарифмический нормализатор, а k - член, обозначающий меру несущей. Для многомерной нормали член k равен нулю, и поэтому энтропия Тсаллиса находится в замкнутой форме.

Несколько интересных физических систем подчиняются энтропийным функционалам, более общим, чем стандартная энтропия Тсаллиса. Поэтому было введено несколько физически значимых обобщений. К двум наиболее общим из них относятся: суперстатистика, представленная Ч. Беком и Э. Г. Д. Коэном в 2003 г., и «Спектральная статистика», представленная Г. А. Цекоурасом и Константино Цаллисом в 2005 г. Обе эти энтропийные формы имеют статистику Тсаллиса и Больцмана – Гиббса как частные случаи; Было доказано, что спектральная статистика по крайней мере содержит суперсстатистику, и предполагалось, что она также охватывает некоторые дополнительные случаи.

• Энтропия Реньи
• Распределение Цаллиса

1. ^ Tsallis, С. (1988). «Возможное обобщение статистики Больцмана-Гиббса». Журнал статистической физики. 52 (1–2): 479–487. Bibcode : 1988JSP.... 52..479T. DOI : 10.1007 / BF01016429. hdl : 10338.dmlcz / 142811. S2CID   16385640.
2. ^ Havrda, J.; Чарват Ф. (1967). «Метод количественной оценки классификационных процессов. Понятие структурной α-энтропии» (PDF). Кибернетика. 3 (1): 30–35.
3. Перейти ↑ Cho, A. (2002). «Свежий взгляд на беспорядок или беспорядочная наука?». Наука. 297 (5585): 1268–1269. DOI : 10.1126 / science.297.5585.1268. PMID   12193769. S2CID   5441957.
4. ^ Abe, S.; Раджагопал, АК (2003). «Возвращаясь к статистике беспорядка и Цаллиса». Наука. 300 (5617): 249–251. DOI : 10.1126 / science.300.5617.249d. PMID   12690173. S2CID   39719500.
5. ^ Pressé, S.; Ghosh, K.; Lee, J.; Дилл, К. (2013). «Неаддитивные энтропии дают вероятностные распределения с ошибками, не подтвержденными данными». Phys. Rev. Lett. 111 (18): 180604. arXiv : 1312.1186. Bibcode : 2013PhRvL.111r0604P. DOI : 10.1103 / PhysRevLett.111.180604. PMID   24237501. S2CID   2577710.
6. ^ Цаллис, Константино (2009). Введение в неэкстенсивную статистическую механику: приближение к сложному миру (Online-Ausg. Ed.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN   978-0-387-85358-1.
7. Перейти ↑ Lutz, E. (2003). «Аномальная диффузия и статистика Цаллиса в оптической решетке». Physical Review. 67 (5): 051402. arXiv : cond-mat / 0210022. Bibcode : 2003PhRvA..67e1402L. DOI : 10.1103 / PhysRevA.67.051402. S2CID   119403353.
8. ^ Дуглас, П.; Bergamini, S.; Рензони, Ф. (2006). "Настраиваемые распределения Цаллиса в диссипативных оптических решетках" (PDF). Письма с физическим обзором. 96 (11): 110601. Bibcode : 2006PhRvL..96k0601D. DOI : 10.1103 / PhysRevLett.96.110601. PMID   16605807.
9. ^ Бурлага, LF; - Виньяс, AF (2005). «Треугольник для энтропийного индекса q неэкстенсивной статистической механики, наблюдаемый космическим аппаратом Вояджер-1 в далекой гелиосфере». Physica A: Статистическая механика и ее приложения. 356 (2–4): 375. arXiv : Physics / 0507212. Bibcode : 2005PhyA..356..375B. DOI : 10.1016 / j.physa.2005.06.065. S2CID   18823047.
10. ^ Лю, B.; Гори, Дж. (2008). "Супердиффузия и негауссовская статистика в управляемой диссипативной двумерной пылевой плазме". Письма с физическим обзором. 100 (5): 055003. arXiv : 0801.3991. Bibcode : 2008PhRvL.100e5003L. DOI : 10.1103 / PhysRevLett.100.055003. PMID   18352381. S2CID   2022402.
11. ^ Пикап, R.; Cywinski, R.; Pappas, C.; Farago, B.; Фуке, П. (2009). «Обобщенная релаксация спинового стекла». Письма с физическим обзором. 102 (9): 097202. arXiv : 0902.4183. Bibcode : 2009PhRvL.102i7202P. DOI : 10.1103 / PhysRevLett.102.097202. PMID   19392558. S2CID   6454082.
12. ^ Дево, R. (2009). "Степенные распределения для захваченного иона, взаимодействующего с классическим буферным газом". Письма с физическим обзором. 102 (6): 063001. arXiv : 0903.0637. Bibcode : 2009PhRvL.102f3001D. DOI : 10.1103 / PhysRevLett.102.063001. PMID   19257583. S2CID   15945382.
13. ^ Хачатрян, В.; Сирунян, А.; Тумасян, А.; Adam, W.; Bergauer, T.; Dragicevic, M.; Erö, J.; Fabjan, C.; Friedl, M.; Frühwirth, R.; Гете, ВМ; Hammer, J.; Hänsel, S.; Hoch, M.; Hörmann, N.; Hrubec, J.; Jeitler, M.; Kasieczka, G.; Kiesenhofer, W.; Krammer, M.; Liko, D.; Mikulec, I.; Pernicka, M.; Rohringer, H.; Schöfbeck, R.; Strauss, J.; Таурок, А.; Тейшингер, Ф.; Waltenberger, W.; и другие. (2010). «Распределение поперечного импульса и псевдобыстрот заряженных адронов в pp-столкновениях при √ s = 7 ТэВ». Письма с физическим обзором. 105 (2): 022002. arXiv : 1005.3299. Bibcode : 2010PhRvL.105b2002K. DOI : 10.1103 / PhysRevLett.105.022002. PMID   20867699. S2CID   119196941.
14. ^ Chatrchyan, S.; Хачатрян, В.; Сирунян AM; Тумасян, А.; Adam, W.; Bergauer, T.; Dragicevic, M.; Erö, J.; Fabjan, C.; Friedl, M.; Frühwirth, R.; Гете, ВМ; Hammer, J.; Hänsel, S.; Hoch, M.; Hörmann, N.; Hrubec, J.; Jeitler, M.; Kiesenhofer, W.; Krammer, M.; Liko, D.; Mikulec, I.; Pernicka, M.; Rohringer, H.; Schöfbeck, R.; Strauss, J.; Таурок, А.; Тейшингер, Ф.; Вагнер, П.; и другие. (2011). «Спектры поперечного импульса заряженных частиц в pp-столкновениях при $ √ s = 0,9 и 7 ТэВ». Журнал физики высоких энергий. 2011 (8): 86. arXiv : 1104.3547. Bibcode : 2011JHEP... 08..086C. DOI : 10.1007 / JHEP08 (2011) 086. S2CID   122835798.
15. ^ Adare, A.; Афанасьев, С.; Aidala, C.; Ajitanand, N.; Akiba, Y.; Al-Bataineh, H.; Александр, J.; Aoki, K.; Aphecetche, L.; Armendariz, R.; Аронсон, SH; Asai, J.; Atomssa, ET; Averbeck, R.; Awes, TC; Azmoun, B.; Бабинцев В.; Bai, M.; Баксай, Г.; Баксай, Л.; Baldisseri, A.; Бариш, КН; Барнс, Полицейский; Bassalleck, B.; Басье АТ; Купаться, S.; Batsouli, S.; Baublis, V.; Baumann, C.; и другие. (2011). «Измерение нейтральных мезонов в p + p- столкновениях при √ s = 200 ГэВ и масштабные свойства рождения адронов». Physical Review D. 83 (5): 052004. arXiv : 1005.3674. Bibcode : 2011PhRvD..83e2004A. DOI : 10.1103 / PhysRevD.83.052004. S2CID   85560021.
16. ^ Пластино, АР; Пластино, А. (1995). «Неэкстенсивная статистическая механика и обобщенное уравнение Фоккера-Планка». Physica A: Статистическая механика и ее приложения. 222 (1–4): 347–354. Bibcode : 1995PhyA..222..347P. DOI : 10.1016 / 0378-4371 (95) 00211-1.
17. ^ Цаллис, C.; Букман Д. (1996). «Аномальная диффузия при наличии внешних сил: точные решения, зависящие от времени, и их термостатистическая основа». Physical Review E. 54 (3): R2197 – R2200. arXiv : cond-mat / 9511007. Bibcode : 1996PhRvE..54.2197T. DOI : 10.1103 / PhysRevE.54.R2197. PMID   9965440. S2CID   16272548.
18. Перейти ↑ Abe, S. (2000). «Аксиомы и теорема единственности для энтропии Цаллиса». Физика Буквы A. 271 (1-2): 74–79. arXiv : cond-mat / 0005538. Bibcode : 2000PhLA..271... 74А. DOI : 10.1016 / S0375-9601 (00) 00337-6. S2CID   119513564.
19. ^ Лира, М.; Цаллис, К. (1998). «Неэкстенсивность и мультифрактальность в низкоразмерных диссипативных системах». Письма с физическим обзором. 80 (1): 53–56. arXiv : cond-mat / 9709226. Bibcode : 1998PhRvL..80... 53L. DOI : 10.1103 / PhysRevLett.80.53. S2CID   15039078.
20. ^ Балдовин, Ф.; Робледо, А. (2004). «Неэкстенсивная идентичность Песина: точные результаты анализа ренормгруппы для динамики на краю хаоса логистической карты». Physical Review E. 69 (4): 045202. arXiv : cond-mat / 0304410. Bibcode : 2004PhRvE..69d5202B. DOI : 10.1103 / PhysRevE.69.045202. PMID   15169059. S2CID   30277614.
21. ^ Цаллис, C.; Гелл-Манн, М.; Сато, Ю. (2005). «Асимптотически масштабно-инвариантное заполнение фазового пространства делает энтропию Sq обширной». Труды Национальной академии наук. 102 (43): 15377–82. arXiv : cond-mat / 0502274. Bibcode : 2005PNAS..10215377T. DOI : 10.1073 / pnas.0503807102. PMC   1266086. PMID   16230624.
22. ^ Карузо, Ф.; Цаллис, К. (2008). «Неаддитивная энтропия согласовывает закон площадей в квантовых системах с классической термодинамикой». Physical Review E. 78 (2): 021102. arXiv : cond-mat / 0612032. Bibcode : 2008PhRvE..78b1102C. DOI : 10.1103 / PhysRevE.78.021102. PMID   18850781. S2CID   18006627.
23. ^ Андраде, Дж.; Da Silva, G.; Морейра, А.; Nobre, F.; Курадо, Э. (2010). «Термостатистика сверхзатухающего движения взаимодействующих частиц». Письма с физическим обзором. 105 (26): 260601. arXiv : 1008.1421. Bibcode : 2010PhRvL.105z0601A. DOI : 10.1103 / PhysRevLett.105.260601. PMID   21231636. S2CID   14831948.
24. ^ Рибейро, М.; Nobre, F.; Курадо, Э.М. (2012). «Временная эволюция взаимодействующих вихрей при сверхзатухающем движении» (PDF). Physical Review E. 85 (2): 021146. Bibcode : 2012PhRvE..85b1146R. DOI : 10.1103 / PhysRevE.85.021146. PMID   22463191.
25. ^ Nobre, F.; Rego-Monteiro, M.; Цаллис, К. (2011). «Нелинейные релятивистские и квантовые уравнения с общим типом решения». Письма с физическим обзором. 106 (14): 140601. arXiv : 1104.5461. Bibcode : 2011PhRvL.106n0601N. DOI : 10.1103 / PhysRevLett.106.140601. PMID   21561176. S2CID   12679518.
26. ^ Majhi, Абхишек (2017). «Неэкстенсивная статистическая механика и энтропия черной дыры из квантовой геометрии». Физика Письма Б. 775: 32–36. arXiv : 1703.09355. Bibcode : 2017PhLB..775... 32M. DOI : 10.1016 / j.physletb.2017.10.043. S2CID   119397503.
27. ^ Nielsen, F.; Нок, Р. (2012). "Выражение в замкнутой форме для энтропии Шармы – Миттала экспоненциальных семейств". Журнал физики A: математический и теоретический. 45 (3): 032003. arXiv : 1112.4221. Bibcode : 2012JPhA... 45c2003N. DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 45/3/032003. S2CID   8653096.
28. ^ García-Morales, V.; Кришер, К. (2011). «Суперстатистика в наноразмерных электрохимических системах». Труды Национальной академии наук. 108 (49): 19535–19539. Bibcode : 2011PNAS..10819535G. DOI : 10.1073 / pnas.1109844108. PMC   3241754. PMID   22106266.
29. ^ Бек, C.; Коэн, EGD (2003). «Суперстатистика». Physica A: Статистическая механика и ее приложения. 322: 267–275. arXiv : cond-mat / 0205097. Bibcode : 2003PhyA..322..267B. DOI : 10.1016 / S0378-4371 (03) 00019-0.
30. ^ Цекоурас, Джорджия; Цаллис, К. (2005). «Обобщенная энтропия, возникающая из распределения q индексов». Physical Review E. 71 (4): 046144. arXiv : cond-mat / 0412329. Bibcode : 2005PhRvE..71d6144T. DOI : 10.1103 / PhysRevE.71.046144. PMID   15903763. S2CID   16663654.

• Фуруичи, Сигэру; Митрой-Симеонидис, Флавия-Корина; Симеонид, Элевферий (2014). «О некоторых свойствах гипоэнтропий и гиподивергенций Цаллиса». Энтропия. 16 (10): 5377–5399. arXiv : 1410.4903. Bibcode : 2014Entrp..16.5377F. DOI : 10.3390 / e16105377.
• Фуруичи, Сигэру; Митрой, Флавия-Корина (2012). «Математические неравенства при некоторых расхождениях». Physica. 391 (1–2): 388–400. arXiv : 1104,5603. Bibcode : 2012PhyA..391..388F. DOI : 10.1016 / j.physa.2011.07.052. S2CID   92394.
• Фуруичи, Сигэру; Минкулет, Никушор; Митрой, Флавия-Корина (2012). «Некоторые неравенства об обобщенных энтропиях». Журнал неравенств и приложений. 2012: 226. DOI : 10,1186 / 1029-242X-2012-226.

• Статистика Цаллиса, статистическая механика для неэкстенсивных систем и дальнодействующих взаимодействий