Топологическая векторная решетка

В математике, в частности, в функциональном анализе и теории порядка, топологическая векторная решетка представляет собой Хаусдорфа топологическое векторное пространство (TVS) X, имеющий частичный порядок ≤, превращающий его в векторную решетку, имеющую базу соседства в начале координат, состоящую из твердых множеств. Упорядоченные векторные решетки имеют важные приложения в спектральной теории.

• 1 Определение
• 2 Свойства
• 3 Примеры
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Если X является векторной решеткой, то под операциями с векторной решеткой мы понимаем следующие отображения:

1. три отображения X в себя, определенные как $x\; \mapsto \; |\; х\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; |\; x\; |\}$, $x\; \mapsto \; x\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; x\; ^\; \{+\}\}$, $x\; \mapsto \; x\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; x\; ^\; \{-\}\}$и
2. две карты из $X\; \times \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; times\; X\}$в X, определенные как $(x,\; y)\; \mapsto \; sup\; \{x,\; y\}\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; sup\; \backslash \; left\; \backslash \; \{x,\; y\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$и $(x,\; y)\; \mapsto \; inf\; \{x,\; y\; \}\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; inf\; \backslash \; left\; \backslash \; \{x,\; y\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$.

Если X является TVS над вещественными числами и векторной решеткой, то X является локально твердым тогда и только тогда, когда (1) его положительный конус является нормальным конусом, и (2) операции векторной решетки непрерывны.

Если X - векторная решетка и упорядоченное топологическое векторное пространство, которое является пространством Фреше, в котором положительный конус является нормальным конусом, то операции решетки непрерывны.

Если X является топологическим векторное пространство (TVS) и упорядоченное векторное пространство, тогда X называется локально твердым, если X имеет базу соседства в начале координат, состоящую из soli d устанавливает. топологическая векторная решетка - это хаусдорфова TVS X, которая имеет частичный порядок ≤, превращающийся в векторную решетку, которая является локально твердой.

Каждая топологическая векторная решетка имеет замкнутый положительный конус и, таким образом, является упорядоченным топологическим векторным пространством. Пусть $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\}$обозначает множество всех ограниченных подмножеств топологической векторной решетки с положительным конусом C, а для любого подмножества S пусть $[S\; ]\; C:\; знак\; равно\; (S\; +\; C)\; \cap \; (S\; -\; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; [S]\; \_\; \{C\}:\; =\; \backslash \; left\; (S\; +\; C\; \backslash \; right)\; \backslash \; cap\; \backslash \; left\; (SC\; \backslash \; right)\}$быть C-насыщенной оболочкой S. Тогда положительный конус C топологической векторной решетки является строгим $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\}$- конус, где C - строгий $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\}$-cone означает, что $\{[B]\; C:\; B\; \in \; B\; \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left\; [B\; \backslash \; right]\; \_\; \{C\}:\; B\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$является фундаментальным подсемейством $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\}$(т.е. каждый $B\; \in \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\}$содержится как подмножество некоторого элемента из $\{[B]\; C:\; B\; \in \; B\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left\; [B\; \backslash \; right]\; \_\; \{C\}:\; B\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{B\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; \}\}$).

Если топологическая векторная решетка X завершена на порядок, то каждая полоса замкнута в X.

Банаховы пространства $L\; p\; (\mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{p\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mu\; \backslash \; right)\}$ ($1\; \le \; p\; \le \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; leq\; p\; \backslash \; leq\; \backslash \; infty\}$) являются банаховыми решетками в их каноническом порядке. Эти пространства являются полными по порядку для .

• Банахова решетка
• Решетка Фреше
• Локально выпуклая векторная решетка
• Нормированная решетка
• Упорядоченное векторное пространство
• Пространство Рисса

• ; (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Шефер, Гельмут Х. ; (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.

=== !!! == Знак равно <2>{\ displaystyle x \ mapsto | x |} <2><3>{\ displaystyle [S] _ {C}: = \ left (S + C \ right) \ cap \ left (SC \ right) } <3><4>{\ displaystyle (x, y) \ mapsto \ sup \ left \ {x, y \ right \}} <4><5>{\ mathcal {B}} <5><6>{\ displaystyle \ left \ {\ left [B \ right] _ {C}: B \ in {\ mathcal {B}} \ right \}} <6><7>{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {- }} <7><8>X \ times X <8><9>{\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty} <9><10>{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {+}} <10><11>{\ displaystyle (x, y) \ mapsto \ inf \ left \ {x, y \ right \}} <11><12>{\ displaystyle L ^ {p} \ left (\ mu \ right) } <12><13>B \ in {\ mathcal {B}} <13><14>{\ displaystyle p <\ infty} <14>html