Топологическое сопряжение

редактировать

В математике две функции называются топологически сопряженными друг с другом, если существует гомеоморфизм, который будет сопрягать одно с другим. Топологическая сопряженность важна при изучении повторяющихся функций и в более общем плане динамических систем, поскольку, если динамика одной повторяющейся функции может быть решена, то для любой топологически сопряженной функции тривиально следуют.

Чтобы проиллюстрировать это напрямую: предположим, что $f {\ displaystyle f}$ $f$ и $g {\ displaystyle g}$ $g$ - повторяющиеся функции, и там существует гомеоморфизм $h {\ displaystyle h}$ $h$ такой, что

g = h - 1 ∘ f ∘ h, {\ displaystyle g = h ^ {- 1} \ circ f \ circ h,}

{\ displaystyle g = h ^ {- 1} \ circ f \ circ h,}

, так что $f {\ displaystyle f}$ $f$ и $g {\ displaystyle g}$ $g$ топологически сопряжены. Тогда нужно иметь

gn = h - 1 ∘ fn ∘ h, {\ displaystyle g ^ {n} = h ^ {- 1} \ circ f ^ {n} \ circ h,}

{\ displaystyle g ^ {n} = h ^ {- 1} \ circ f ^ {n} \ circ h,}

и поэтому итерированные системы также топологически сопряжены. Здесь $∘ {\ displaystyle \ circ}$ $\ circ$ обозначает композицию функций.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Потоки
2 Примеры
3 Обсуждение
4 Топологическая эквивалентность
5 Гладкая и орбитальная эквивалентность
6 Обобщения динамической топологической сопряженности
7 См. Также
8 Ссылки

Определение

$f: X → X, g: Y → Y {\ displaystyle f \ двоеточие X \ to X, g \ двоеточие Y \ to Y}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие X \ к X, g \ двоеточие Y \ к Y}$ и $h: Y → X {\ displaystyle h \ двоеточие Y \ to X}$ ${\ displaystyle h \ двоеточие Y \ to X}$ - это непрерывные функции в топологических пространствах, $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ .

$f {\ displaystyle f}$ $f$ будучи топологически полусопряженным с $g {\ displaystyle g}$ $g$ , по определению означает, что $h {\ displaystyle h }$ $h$ - это сюръекция такая, что $f ∘ h = h ∘ g {\ displaystyle f \ circ h = h \ circ g}$ ${\ displaystyle f \ circ h = h \ circ g}$ .

$f {\ displaystyle f}$ $f$ и $g {\ displaystyle g}$ $g$ , являющиеся топологически сопряженными, по определению означает, что они топологически полусопряжены, и $h {\ displaystyle h}$ $h$ , кроме того, инъективный, затем биективный, а его обратный равен непрерывный тоже; т.е. $h {\ displaystyle h}$ $h$ является гомеоморфизмом ; далее, $h {\ displaystyle h}$ $h$ называется топологическим сопряжением между $f {\ displaystyle f}$ $f$ и $g { \ displaystyle g}$ $g$ .

Flows

Аналогично, $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ на $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ на $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ - это потоки, с $X, Y {\ displaystyle X, Y}$ $X, Y$ и $h: Y → X {\ displaystyle h \ двоеточие Y \ to X}$ $h \ двоеточие Y \ до X$ , как указано выше.

$ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ топологически полусопряженное с $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ означает, по определению, что $h {\ displaystyle h }$ $h$ - это сюръекция такая, что $ϕ (h (y), t) = h ∘ ψ (y, t) {\ displaystyle \ phi (h (y), t) = час \ circ \ psi (y, t)}$ ${\ displaystyle \ phi (h (y), t) = час \ circ \ psi (y, t)}$ , для каждого $y ∈ Y {\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ в Y$ , $t ∈ R {\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ $t \ in {\ mathbb {R}}$ .

$ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ и $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ , будучи топологически сопряженными, по определению означает, что они топологически полусопряженный и h - гомеоморфизм.

Примеры

логистическая карта и карта палатки топологически сопряжены.
Логистическая карта единицы высоты и Отображение Бернулли топологически сопряжено.
Для определенных значений в пространстве параметров отображение Энона, когда оно ограничено своим набором Жюлиа, топологически сопряжено или полусопряжено с отображением сдвига на пространство двусторонних последовательностей в двух символах.

Обсуждение

Топологическое сопряжение - в отличие от полусопряжения - определяет отношение эквивалентности в пространстве всех непрерывных сюръекций топологического пространства самому себе, объявив $f {\ displaystyle f}$ $f$ и $g {\ displaystyle g}$ $g$ связанными, если они топологически сопряжены. Это отношение эквивалентности очень полезно в теории динамических систем, поскольку каждый класс содержит все функции, которые разделяют одну и ту же динамику с топологической точки зрения. Например, орбиты из $g {\ displaystyle g}$ $g$ отображаются на гомеоморфные орбиты $f {\ displaystyle f}$ $f$ через сопряжение. Запись $g = h - 1 ∘ f ∘ h {\ displaystyle g = h ^ {- 1} \ circ f \ circ h}$ ${\ displaystyle g = h ^ {- 1} \ circ f \ circ h}$ делает этот факт очевидным: $gn = h - 1 ∘ fn ∘ час {\ displaystyle g ^ {n} = h ^ {- 1} \ circ f ^ {n} \ circ h}$ ${\ displaystyle g ^ {n} = h ^ {- 1} \ circ f ^ {n} \ circ h}$ . Говоря неформально, топологическое сопряжение - это «смена координат» в топологическом смысле.

Однако аналогичное определение потоков носит несколько ограничительный характер. Фактически, нам нужны карты $φ (⋅, t) {\ displaystyle \ varphi (\ cdot, t)}$ ${\ displaystyle \ varphi (\ cdot, t)}$ и $ψ (⋅, t) {\ displaystyle \ psi (\ cdot, t)}$ ${\ displaystyle \ psi (\ cdot, t)}$ , чтобы быть топологически сопряженным для каждого $t {\ displaystyle t}$ $t$ , что требует большего, чем просто орбиты $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ гомеоморфно отобразить на орбиты $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ . Это мотивирует определение топологической эквивалентности, которое также разделяет множество всех потоков в $X {\ displaystyle X}$ $X$ на классы потоков, имеющих одинаковую динамику, опять же из топологическая точка зрения.

Топологическая эквивалентность

Мы говорим, что два потока $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ и $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ являются топологически эквивалентными, если существует гомеоморфизм $h: Y → X {\ displaystyle h: Y \ to X}$ ${\ displaystyle h: Y \ to X}$ , отображение орбит $ψ { \ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ на орбиты $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ гомеоморфно и с сохранением ориентации орбит. Другими словами, позволяя $O {\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$ ${\ mathcal {O}}$ обозначать орбиту, получаем

h (O (y, ψ)) = {h ∘ ψ ( y, t): t ∈ R} = {ϕ (h (y), t): t ∈ R} = O (h (y), ϕ) {\ displaystyle h ({\ mathcal {O}} (y, \ psi)) = \ {h \ circ \ psi (y, t): t \ in \ mathbb {R} \} = \ {\ phi (h (y), t): t \ in \ mathbb {R} \} = {\ mathcal {O}} (h (y), \ phi)}

{\ displaystyle h ({\ mathcal {O}} (y, \ psi)) = \ {h \ circ \ psi (y, t): t \ in \ mathbb {R} \} = \ {\ phi (h (y), t): t \ in \ mathbb {R} \} = {\ mathcal {O}} (h (Y), \ phi)}

для каждого $y ∈ Y {\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ в Y$ . Кроме того, необходимо выстроить течение времени: для каждого $y ∈ Y {\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ в Y$ существует $δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}$ $\delta>0$ такой, что, если $0 < | s | < t < δ {\displaystyle 0<\vert s\vert$ ${\ displaystyle 0 <\ vert s \ vert <t <\ delta}$ и если s таково, что $ϕ (h (y), s) = h ∘ ψ (y, t) {\ displaystyle \ phi (h (y), s) = h \ circ \ psi (y, t)}$ ${\ displaystyle \ phi (h (y), s) = час \ circ \ psi (y, t)}$ , затем $s>0 {\ displaystyle s>0}$ $s>0$ .

В целом, топологическая эквивалентность является более слабым критерием эквивалентности, чем топологическая сопряженность, поскольку не требует, чтобы временной член отображался вместе с орбитами и их ориентацией. Примером топологически эквивалентной, но не топологически сопряженной системы может быть негиперболический класс двумерных систем дифференциальных уравнений с замкнутыми орбитами. В то время как орбиты могут быть преобразованы друг в друга для перекрытия в пространственном смысле, периоды таких систем не могут быть сопоставлены аналогичным образом, таким образом не удовлетворяя критерию топологической сопряженности при удовлетворении критерия топологической эквивалентности.

Гладкая и орбитальная эквивалентность

Можно изучить больше критериев эквивалентности, если потоки, $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ и $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ , возникают из дифференциальных уравнений.

Две динамические системы, определяемые дифференциальными уравнениями, $x ˙ = f (x) {\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x)}$ ${\ dot {x }} = е (х)$ и $y ˙ = g (y) {\ displaystyle {\ dot {y}} = g (y)}$ ${\ displaystyle {\ dot {y}} = g (y)}$ , называются гладко эквивалентными, если существует диффеоморфизм, $час: X → Y {\ displaystyle h: X \ to Y}$ ${\ displaystyle h: X \ to Y}$ , такой, что

f (x) = M - 1 (x) g (h (x)), где M ( х) = дх (х) дх. {\ Displaystyle f (x) = M ^ {- 1} (x) g (h (x)) \ quad {\ text {where}} \ quad M (x) = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}}.}

{\ displaystyle f (x) = M ^ {- 1} (x) g (h (x)) \ quad {\ text {where}} \ quad M (x) = {\ гидроразрыва {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}}.}

В этом случае динамические системы могут быть преобразованы друг в друга с помощью преобразования координат, $y = h (x) {\ displaystyle y = h (x)}$ ${\ displaystyle y = h (x)}$ .

Две динамические системы в одном пространстве состояний, определенные как $x ˙ = f (x) {\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x)}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x)}$ и $x ˙ = g (x) {\ displaystyle {\ dot {x}} = g (x)}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} = g (x)}$ , называются орбитально эквивалентными, если существует положительная функция, $μ: Икс → R {\ displaystyle \ mu: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mu: X \ to \ mathbb {R}}$ , так что $g (x) = μ (x) f (x) {\ displaystyle g (x) = \ mu (x) f (x)}$ $г (х) = \ му (х) е (х)$ . Орбитально эквивалентные системы различаются только временной параметризацией.

Системы, которые эквивалентны гладко или орбитально эквивалентны, также топологически эквивалентны. Однако обратное неверно. Например, рассмотрим линейные системы в двух измерениях в форме $x ˙ = A x {\ displaystyle {\ dot {x}} = Ax}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} = Ax}$ . Если матрица $A {\ displaystyle A}$ $A$ имеет два положительных действительных собственных значения, система имеет нестабильный узел; если матрица имеет два комплексных собственных значения с положительной действительной частью, система имеет неустойчивый фокус (или спираль). Узлы и фокусы топологически эквивалентны, но не орбитально эквивалентны или гладко эквивалентны, потому что их собственные значения различны (обратите внимание, что якобианы двух локально гладко эквивалентных систем должны быть подобны, поэтому их собственные значения, а также алгебраическая и геометрическая кратности, должны быть равны).

Обобщения динамической топологической сопряженности

Сообщается о двух расширениях концепции динамической топологической сопряженности:

Аналогичные системы определены как изоморфные динамические системы
Определены сопряженные динамические системы через сопряженные функторы и естественные эквивалентности в категориальной динамике.

См. также

Коммутативная диаграмма

Ссылки

^Alligood, KT, Sauer, T., and Yorke, JA (1997). Хаос: Введение в динамические системы. Springer. С. 114–124. ISBN 0-387-94677-2. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
^Devaney, R.; Nitecki, Z. ( 1979). «Автоморфизмы сдвига в отображении Энона». Comm. Math. Phys. 67 (2): 137–146. Bibcode : 1979CMaPh..67..137D. doi : 10.1007 / bf01221362. Проверено 2 сентября 2016 г.
^Кузнецов, Юрий А. (1998). Элементы теории бифуркаций (Второе изд.). Springer. ISBN 0-387-98382-1.
^«Сложность и категориальная динамика». Архивировано с оригинального августа. 19, 2009.
^«Аналогичные системы, топологическое сопряжение и сопряженные системы». Архивировано из оригинального 25 февраля 2015 года.

Эта статья включает в себя материал из топологического сопряжения на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.