Супер векторное пространство

В математике, супер векторное пространство является - градуированное векторное пространство, то есть векторное пространство над полем с заданным разложением подпространств класса и класса. Изучение супервекторных пространств и их обобщений иногда называют суперинейной алгеброй. Эти объекты находят свое основное применение в теоретической физике, где они используются для описания различных алгебраических аспектов суперсимметрии. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$

• 1 Определения
• 2 Линейные преобразования
• 3 Операции над супер-векторными пространствами
  • 3.1 Двойное пространство
  • 3.2 Прямая сумма
  • 3.3 Тензорное произведение
• 4 Супермодуля
• 5 Категория супервекторных пространств
• 6 Супералгебра
• 7 Примечания
• 8 ссылки

Супер векторное пространство - это -градуированное векторное пространство с разложением ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

${\ displaystyle V = V_ {0} \ oplus V_ {1}, \ quad 0,1 \ in \ mathbb {Z} _ {2} = \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}.}$

Векторы, которые являются элементами одного или называются однородными. Четности ненулевого однородного элемента, обозначается, является или в соответствии находится ли он в или, ${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle V_ {1}}$${\ displaystyle | x |}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle V_ {1}}$

${\ displaystyle | x | = {\ begin {case} 0 amp; x \ in V_ {0} \\ 1 amp; x \ in V_ {1} \ end {cases}}}$

Векторы четности называются четными, а векторы четности - нечетными. В теоретической физике четные элементы иногда называют бозе-элементами или бозонами, а нечетные элементы - ферми-элементами или фермионными. Определения супервекторных пространств часто даются только в терминах однородных элементов, а затем расширяются на неоднородные элементы по линейности. ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$

Если это конечномерен и размеры и могут, и, соответственно, то, как говорят, измерение. Стандартное суперкоординатное пространство, обозначенное, является обычным координатным пространством, где четное подпространство покрывается первыми базисными векторами координат, а нечетное пространство - последними. ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle V_ {1}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle p | q}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {p | q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {p + q}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

Однородное подпространство в супер векторном пространстве является линейным подпространством, которое натянут на однородных элементах. Однородные подпространства сами по себе являются супервекторными пространствами (с очевидной градуировкой).

Для любого супервекторного пространства можно определить пространство с обращенной четностью как супервекторное пространство, в котором четные и нечетные подпространства меняются местами. То есть, ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ Pi V}$

${\ displaystyle {\ begin {align} (\ Pi V) _ {0} amp; = V_ {1} \\ (\ Pi V) _ {1} amp; = V_ {0}. \ end {align}}}$

Гомоморфизм, морфизм в категории супер векторных пространств, от одного супер векторного пространства в другое является класс сохраняющих линейное преобразование. Линейное преобразование между супервекторными пространствами сохраняет оценку, если ${\ displaystyle f: V \ rightarrow W}$

${\ displaystyle f (V_ {i}) \ subset W_ {i}, \ quad i = 0,1.}$

То есть он отображает четные элементы в четные элементы, а нечетные элементы в нечетные элементы. Изоморфизм супер векторных пространств является взаимно однозначным гомоморфизмом. Обозначается множество всех гомоморфизмов. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$ ${\ Displaystyle V \ rightarrow W}$${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (V, W)}$

Каждое линейное преобразование, не обязательно сохраняющее оценку, из одного супервекторного пространства в другое может быть однозначно записано как сумма преобразования, сохраняющего оценку, и преобразования, меняющего оценку, то есть преобразования, такого что ${\ displaystyle f: V \ rightarrow W}$

${\ displaystyle f (V_ {i}) \ subset W_ {1-i}, \ quad i = 0,1.}$

Объявление сохраняющих оценку преобразований четными, а преобразований, изменяющих класс - нечетными, дает пространство всех линейных преобразований из в, обозначенных и называемых внутренними, структуру супервекторного пространства. Особенно, ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ Displaystyle \ mathbf {Hom} (V, W)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom}}$

${\ displaystyle \ left (\ mathbf {Hom} (V, W) \ right) _ {0} = \ mathrm {Hom} (V, W).}$

Преобразование с обращением класса из в можно рассматривать как гомоморфизм из в пространство с обращенной четностью, так что ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ Pi W}$

${\ Displaystyle \ mathbf {Hom} (V, W) = \ mathrm {Hom} (V, W) \ oplus \ mathrm {Hom} (V, \ Pi W) = \ mathrm {Hom} (V, W) \ oplus \ mathrm {Hom} (\ Pi V, W).}$

Обычные алгебраические конструкции для обычных векторных пространств имеют аналог в настройке супервекторных пространств.

Двойное пространство

Сопряженное пространство из супер векторного пространства можно рассматривать как супер векторное пространство, беря даже функционалы, те, которые обращаются в нуль на и нечетных функционалах, те, которые обращаются в нуль на. Эквивалентно, можно определить как пространство линейных отображений из в (базовое поле, рассматриваемое как чисто четное супервекторное пространство) с градацией, приведенной в предыдущем разделе. ${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$${\ displaystyle V_ {0}}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {1 | 0}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$

Прямая сумма

Прямые суммы супервекторных пространств строятся, как в неградуированном случае, с градуировкой, заданной формулой

${\ displaystyle (V \ oplus W) _ {0} = V_ {0} \ oplus W_ {0},}$

${\ displaystyle (V \ oplus W) _ {1} = V_ {1} \ oplus W_ {1}.}$

Тензорное произведение

Также можно построить тензорные произведения супервекторных пространств. Здесь играет роль аддитивная структура. Базовое пространство такое же, как и в случае без оценки, с оценкой по формуле ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

${\ displaystyle (V \ otimes W) _ {i} = \ bigoplus _ {j + k = i} V_ {j} \ otimes W_ {k},}$

где индексы в. В частности, есть ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

${\ displaystyle (V \ otimes W) _ {0} = (V_ {0} \ otimes W_ {0}) \ oplus (V_ {1} \ otimes W_ {1}),}$

${\ displaystyle (V \ otimes W) _ {1} = (V_ {0} \ otimes W_ {1}) \ oplus (V_ {1} \ otimes W_ {0}).}$

Так же, как можно обобщить векторные пространства над полем на модули над коммутативным кольцом, можно обобщить супервекторные пространства над полем до супермодулей над суперкоммутативной алгеброй (или кольцом).

Обычная конструкция при работе с супервекторными пространствами заключается в расширении поля скаляров до суперкоммутативной алгебры Грассмана. Учитывая поле, пусть ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$

${\ Displaystyle R = \ mathbb {K} [\ theta _ {1}, \ cdots, \ theta _ {N}]}$

обозначит алгебру грассманов сгенерированную с помощью антикоммутирующих нечетных элементов. Любое супервекторное пространство над может быть вложено в модуль над, рассматривая (градуированное) тензорное произведение ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ theta _ {я}}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle \ mathbb {K} [\ theta _ {1}, \ cdots, \ theta _ {N}] \ otimes V.}$

Категория супер векторных пространств, обозначаемая, является категорией, чьи объекты являются супер векторными пространствами (над фиксированным полем) и чьи морфизмы являются даже линейными преобразованиями (то есть класс, сохраняющих них). ${\ Displaystyle \ mathbb {K} - \ mathrm {SVect}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$

Категорический подход к суперинейной алгебре состоит в том, чтобы сначала сформулировать определения и теоремы, касающиеся обычных (неклассифицированных) алгебраических объектов, на языке теории категорий, а затем перенести их непосредственно в категорию супервекторных пространств. Это приводит к трактовке «суперобъектов», таких как супералгебры, супералгебры Ли, супергруппы и т. Д., Которая полностью аналогична их неклассифицированным аналогам.

Категория - это моноидальная категория с супертензорным произведением в качестве моноидального произведения и чисто четным супер-векторным пространством в качестве единичного объекта. Оператор инволютивного плетения ${\ Displaystyle \ mathbb {K} - \ mathrm {SVect}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {1 | 0}}$

${\ displaystyle \ tau _ {V, W}: V \ otimes W \ rightarrow W \ otimes V,}$

дано

${\ displaystyle \ tau _ {V, W} (x \ otimes y) = (- 1) ^ {| x || y |} y \ otimes x}$

на однородных элементах превращается в симметричную моноидальную категорию. Этот изоморфизм коммутативности кодирует «правило знаков», необходимое для суперинейной алгебры. Он фактически говорит, что знак минус поднимается всякий раз, когда два нечетных элемента меняются местами. Не нужно беспокоиться о знаках в категориальной настройке, если вышеупомянутый оператор используется там, где это необходимо. ${\ Displaystyle \ mathbb {K} - \ mathrm {SVect}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {K} - \ mathrm {SVect}}$также закрытая моноидальная категория с внутренним объектом Хом,, дается супер векторное пространство всех линейных отображений к. Обычный набор - это четное подпространство в нем: ${\ Displaystyle \ mathbf {Hom} (V, W)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ mathrm {Hom}}$${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (V, W)}$

${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (V, W) = \ mathbf {Hom} (V, W) _ {0}.}$

Тот факт, что это означает, что замкнутый функтор является левым сопряженным к функтору, учитывая естественную биекцию ${\ Displaystyle \ mathbb {K} - \ mathrm {SVect}}$${\ displaystyle - \ otimes V}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (V, -)}$

${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (U \ otimes V, W) \ cong \ mathrm {Hom} (U, \ mathbf {Hom} (V, W)).}$

Основная статья: супералгебра

Супералгеброй над может быть описана как супер векторное пространство с картой умножения ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ displaystyle \ mu: {\ mathcal {A}} \ otimes {\ mathcal {A}} \ to {\ mathcal {A}},}$

это гомоморфизм супервекторного пространства. Это равносильно требованию

${\ displaystyle | ab | = | a | + | b |, \ quad a, b \ in {\ mathcal {A}}}$

Ассоциативность и существование тождества могут быть выражены с помощью обычных коммутативных диаграмм, так что единичная ассоциативная супералгебра над является моноидом в категории. ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} - \ mathrm {SVect}}$

• Делинь, П. ; Морган, JW (1999). «Заметки о суперсимметрии (вслед за Джозефом Бернштейном)». Квантовые поля и струны: курс математиков. 1. Американское математическое общество. С. 41–97. ISBN   0-8218-2012-5 - через IAS.

• Варадараджан, VS (2004). Суперсимметрия для математиков: Введение. Конспект лекций Куранта по математике. 11. Американское математическое общество. ISBN   978-0-8218-3574-6.