В математической области теории моделей полная теория называется стабильный, если в нем не слишком много типов. Одна из целей теории классификации - разделить все законченные теории на те, модели которых можно классифицировать, и те, чьи модели слишком сложны для классификации, а также классифицировать все модели в тех случаях, когда это можно сделать. Грубо говоря, если теория нестабильна, то ее модели слишком сложны и многочисленны, чтобы их можно было классифицировать, в то время как если теория устойчива, может быть некоторая надежда на классификацию ее моделей, особенно если теория сверхстабильна или полностью трансцендентальная .
Теория устойчивости была начата Морли (1965), который ввел несколько фундаментальных концепций, таких как полностью трансцендентные теории и ранг Морли. Стабильные и сверхстабильные теории были впервые представлены Шелахом (1969), который ответственен за большую часть развития теории устойчивости. Окончательный справочник по теории устойчивости - это (Shelah 1990), хотя, как известно, его трудно прочитать даже экспертам, как упоминалось, например, в (Grossberg, Iovino Lessmann 2002, p 542) harv error: нет цели: CITEREFGrossbergIovinoLessmann2002 (help ).
Содержание
- 1 Определения
- 2 Неустойчивые теории
- 3 Стабильные теории
- 4 Суперстабильные теории
- 5 Абсолютно трансцендентальные теории и ω-стабильные
- 6 См. Также
- 7 Ссылки
- 8 Внешние ссылки
Определения
Это будет полная теория на каком-то языке.
- T называется κ-стабильным (для бесконечного кардинала κ), если для каждого множества A мощности κ множество полных типов над A имеет мощность κ.
- ω-стабильная - альтернативное имя для ℵ 0 -стабильного.
- T называется стабильным, если оно κ-стабильно для некоторого бесконечного кардинала κ.
- T называется нестабильным, если он не является κ-стабильным ни для какого бесконечного кардинала κ.
- T называется сверхстабильным, если она κ-стабильна для всех достаточно больших кардиналов κ.
- Абсолютно трансцендентными являются теории, в которых каждая формула имеет ранг Морли меньше ∞.
Как обычно, модель некоторого языка, как говорят, обладает одним из этих свойств, если полная теория модели обладает этим свойством.
Неполная теория определяется как имеющая одно из этих свойств, если каждое завершение или, что эквивалентно, каждая модель имеет это свойство.
Неустойчивые теории
Грубо говоря, теория нестабильна, если ее можно использовать для кодирования упорядоченного набора натуральных чисел. Точнее, если существует модель M и формула Φ (X, Y) в 2n переменных X = x 1,..., x n и Y = y 1,..., y n, определяющее отношение на M с бесконечным полностью упорядоченным подмножеством, то теория неустойчива. (Любое бесконечное полностью упорядоченное множество имеет подмножество, изоморфное положительным или отрицательным целым числам в обычном порядке, поэтому можно предположить, что полностью упорядоченное подмножество упорядочено, как положительные целые числа.) Полностью упорядоченное подмножество не обязательно должно быть определимым в теории.
Число моделей неустойчивой теории T любой несчетной мощности κ ≥ | T | - максимально возможное число 2.
Примеры:
- Наиболее сложные теории, такие как теории множеств и арифметика Пеано, нестабильны.
- Теория рациональные числа, рассматриваемые как упорядоченный набор, нестабильны. Его теория - это теория плотных полных порядков без конечных точек. В более общем плане теория каждого бесконечного общего порядка нестабильна.
- теория сложения натуральных чисел нестабильна.
- Любая бесконечность Булева алгебра нестабильна.
- Любой моноид с отменой, который не является группой, нестабилен, потому что если a - элемент, не являющийся единицей, то степени a образуют бесконечное полностью упорядоченное множество по отношению делимости. По аналогичной причине любой домен, который не является полем, является нестабильным.
- Существует много нестабильных нильпотентных групп. Одним из примеров является бесконечномерная группа Гейзенберга над целыми числами: она создается элементами x i, y i, z для всех натуральных чисел i, с отношения, которые коммутирует любой из этих двух образующих, за исключением того, что x i и y i имеют коммутатор z для любого i. Если a i является элементом x 0x1... x i − 1 yi, тогда a i и a j имеют коммутатор z именно тогда, когда i < j, so they form an infinite total order under a definable relation, so the group is unstable.
- Вещественные закрытые поля нестабильны, поскольку они бесконечны и имеют определяемый общий порядок.
Стабильные теории
T называется стабильным, если он κ-стабильна для некоторого кардинала κ. Примеры:
- Теория любого модуля над кольцом устойчива.
- Теория счетного числа отношений эквивалентности, (E n)n∈N, такое, что каждое отношение эквивалентности имеет бесконечное количество классов эквивалентности, и каждый класс эквивалентности E n является объединением бесконечного числа различных классов E n + 1 устойчив, но не
- Села (2006) показал, что свободные группы и, в более общем смысле, свободные от кручения гиперболические группы, стабильны. более одного генератора не являются сверхстабильными.
- A дифференциально замкнутое поле стабильно. Если оно имеет ненулевую характеристику, оно не является сверхстабильным, а если оно имеет нулевую характеристику, оно полностью трансцендентно.
Сверхустойчивые теории
T называется суперстабильным, если оно стабильно для всех достаточно больших кардиналов, поэтому все суперстабильные теории устойчивы. Для счетного T сверхстабильность эквивалентна стабильности для всех κ ≥ 2. Следующие условия по теории T эквивалентны:
- T сверхстабильна.
- Все типы T ранжируются по крайней мере по одному понятию ранга.
- T является κ-стабильным для всех достаточно больших кардиналов κ
- T является κ-стабильным для всех кардиналов κ, которые не меньше 2.
Если теория сверхстабильна, но не полностью трансцендентна, она называется строго сверхстабильной .
Количество счетных моделей счетной суперстабильной теории должно быть 1, 0, ℵ 1 или 2. Если количество моделей равно 1, теория полностью трансцендентна. Существуют примеры с моделями 1, ℵ 0 или 2, и неизвестно, есть ли примеры с моделями ℵ 1, если гипотеза континуума не выполняется.. Если теория T не является сверхустойчивой, то количество моделей мощности κ>| T | равно 2.
Примеры:
- Аддитивная группа целых чисел сверхстабильна, но не полностью трансцендентна. Он имеет две счетные модели.
- Теория со счетным числом унарных отношений P i с моделью положительных целых чисел, где P i (n) интерпретируется как высказывание n делится на n-е простое число является сверхстабильным, но не полностью трансцендентным.
- абелева группа A сверхстабильна тогда и только тогда, когда существует только конечное число пар (p, n) с p простым числом, натуральное число, с бесконечным pA / pA.
Абсолютно трансцендентные теории и ω-стабильные
- Абсолютно трансцендентные теории - это такие теории, что каждая формула имеет ранг Морли меньше ∞. Абсолютно трансцендентные теории устойчивы в λ всякий раз, когда λ ≥ | T |, поэтому они всегда сверхустойчивы. ω-stable - альтернативное название для ℵ 0 -stable. Ω-стабильные теории счетного языка κ-стабильны для всех бесконечных кардиналов κ. Если | T | счетно, то T вполне трансцендентно тогда и только тогда, когда оно ω-стабильно. В более общем смысле, T полностью трансцендентна тогда и только тогда, когда каждое ограничение T на счетный язык является ω-стабильным.
Примеры:
- Любая ω-стабильная теория полностью трансцендентна.
- Любая конечная модель полностью трансцендентно.
- Бесконечное поле полностью трансцендентно тогда и только тогда, когда оно алгебраически замкнуто. (Теорема Макинтайра.)
- A Дифференциально замкнутое поле в характеристике 0 полностью трансцендентно.
- Любая теория со счетным языком, категориальна для некоторого несчетного кардинала полностью трансцендентна.
- Абелева группа полностью трансцендентна тогда и только тогда, когда она является прямой суммой делимой группы и группы ограниченных показатель степени.
- Любая линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем полностью трансцендентна.
- Любая группа конечного ранга Морли полностью трансцендентна.
См. Также
Литература
- JT Болдуин, "Основы теории устойчивости", Springer (1988)
- Baldwin, JT (2001) [1994], Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- Buechler, Steven (1996), Теория существенной устойчивости, Перспективы математической логики, Берлин: Springer-Verlag, стр. Xiv + 355, doi : 10.1007 / 978-3-642-80177-8, ISBN 978-3-540-61011-3, MR 1416106
- Рами Гроссберг, Хосе Иовино, Оливье Лессманн, «Букварь простых теорий», Arch. Математика. Logic 41, 541–580 (2002) doi: 10.1007 / s001530100126
- Ходжес, Уилфрид (1993), Теория моделей, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-30442-9
- Д. Ласкар, «Стабильность в теории моделей», Wiley (1987)
- Marker, David (2002), Model Theory: An Introduction, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer- Verlag, ISBN 978-0-387-98760-6
- Майкл Морли (1965), «Категоричность во власти», Труды Американского математического общества, 114 (2): 514–538, doi : 10.2307 / 1994188, JSTOR 1994188
- T. Г. Мустафин, Стабильные теории, Караганда (1981).
- Мустафин Т.Г. (1980), "Ранговые функции в стабильных теориях", Сибирский математический журнал, 21 (6): 815 –824, doi : 10.1007 / BF00968468
- Мустафин, Т.Г. (1985), «Классификация сверхстабильных теорий по ранговым функциям», Алгебра и логика, 24 (1): 27–40, doi : 10.1007 / BF01978704
- Мустафин Т.Г. (1990), «Новые концепции устойчивости теорий», Proc. Советско – французский сб. Теория моделей, Караганда: 112–125
- Палютин Е.А.; Тайцлин, MA (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
- , «Введение в теорию устойчивости», Clarendon Press (1983)
- Poizat, Bruno (2001), Стабильные группы, Математические обзоры и монографии, 87, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. Xiv + 129, doi : 10.1090 / Surv / 087, ISBN 978-0-8218-2685-0, MR 1827833 (Перевод с французского оригинала 1987 г.)
- Scanlon, Thomas (2002), "Review of «Стабильные группы» », Бюл. Амер. Математика. Soc., 39 (4): 573–579, doi : 10.1090 / S0273-0979-02-00953-9
- Села, Злил ( 2006). «Диофантова геометрия над VIII группами: устойчивость». arXiv : math / 0609096. Cite имеет пустой неизвестный параметр:
| 1 =() - Shelah, Saharon (1969), «Стабильные теории», Israel J. Math., 7 (3): 187–202, doi : 10.1007 / BF02787611, MR 0253889
- Шелах, Сахарон (1990) [1978], Теория классификации и количество неизоморфных моделей, Исследования по логике и основам математики (2-е изд.), Elsevier, ISBN 978-0-444-70260-9
Внешние ссылки
