Разделение переменных

В математике, разделение переменных (также известное как Метод Фурье ) - это любой из нескольких методов решения обычных и дифференциальных уравнений в частных производных, в которых алгебра позволяет переписать уравнение так, чтобы каждая из двух переменных находилась на разных сторона уравнения.

• 1 Обыкновенные дифференциальные уравнения (ODE)
  • 1.1 Альтернативные обозначения
  • 1.2 Пример
  • 1.3 Обобщение разделимых ODE до n-го порядка
  • 1.4 Пример
• 2 Уравнения в частных производных
  • 2.1 Пример: однородный случай
  • 2.2 Пример: неоднородный случай
  • 2.3 Пример: смешанные производные
  • 2.4 Криволинейные координаты
• 3 Матрицы
• 4 Программное обеспечение
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Предположим, дифференциальное уравнение можно записать в форме

$ddxf\; (x)\; =\; g\; (x)\; h\; (\; f\; (x))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; f\; (x)\; =\; g\; (x)\; h\; (f\; (x))\}$

который мы можем записать проще, допустив $y\; знак\; равно\; е\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; у\; =\; е\; (х)\}$:

$dydx\; =\; г\; (х)\; ч\; (у).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; g\; (x)\; h\; (y).\}$

Пока h (y) ≠ 0, мы можем переставить члены, чтобы получить:

$dyh\; (y)\; =\; g\; (x)\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{dy\; \backslash \; over\; h\; (y)\}\; =\; g\; (x)\; \backslash ,\; dx,\}$

так, чтобы две переменные x и y были разделены. На простом уровне dx (и dy) можно рассматривать как просто удобную нотацию, которая обеспечивает удобную мнемоническую помощь для помощи при манипуляциях. Формальное определение dx как дифференциала (бесконечно малого) несколько продвинуто.

Альтернативная нотация

Те, кому не нравится нотация Лейбница, могут предпочесть записать ее как

$1\; h\; (y)\; dydx\; =\; g\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\; (y)\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; g\; (x),\}$

, но это не так очевидно, почему это называется «разделением переменных». Интегрируя обе части уравнения относительно $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, получаем

$\int \; 1\; h\; (y)\; dydxdx\; =\; \int \; g\; (x)\; dx,\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\; (y)\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; int\; g\; (x)\; \backslash ,\; dx,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (1)\}$

или, что эквивалентно,

$\int \; 1\; час\; (y)\; dy\; =\; \int \; g\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\; (y)\}\}\; \backslash ,\; dy\; =\; \backslash \; int\; g\; (x)\; \backslash ,\; dx\}$

из-за правила замены для интегралов.

Если можно вычислить два интеграла, можно найти решение дифференциального уравнения. Обратите внимание, что этот процесс эффективно позволяет нам обрабатывать производное $d\; y\; d\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\}$как дробь, которую можно разделить. Это позволяет нам более удобно решать разделимые дифференциальные уравнения, как показано в примере ниже.

(Обратите внимание, что нам не нужно использовать две константы интегрирования в уравнении (1), как в

$\int \; 1\; h\; (y)\; dy\; +\; C\; 1\; =\; \int \; g\; (\; х)\; dx\; +\; C\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{h\; (y)\}\}\; \backslash ,\; dy\; +\; C\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; int\; g\; (x)\; \backslash ,\; dx\; +\; C\_\; \{2\},\}$

, потому что одна константа $C\; =\; C\; 2\; -\; C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; C\_\; \{2\}\; -C\_\; \{1\}\}$эквивалентна.)

Пример

Рост населения часто моделируется дифференциальным уравнением

$d\; P\; dt\; =\; k\; P\; (1\; -\; PK)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dP\}\; \{dt\}\}\; =\; kP\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{P\}\; \{K\}\}\; \backslash \; right)\}$

где $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$- генеральная совокупность по времени $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$, $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$- скорость роста, а $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$- пропускная способность окружающей среды.

Разделение переменных может использоваться для решения этого дифференциального уравнения.

$d\; п\; dt\; знак\; равно\; К\; п\; (1\; -\; PK)\; \int \; d\; PP\; (1\; -\; PK)\; =\; \int \; kdt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{dP\}\; \{dt\}\}\; =\; kP\; \backslash \; left\; (\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{P\}\; \{K\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; [5pt]\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{dP\}\; \{P\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{P\}\; \{K\}\}\; \backslash \; right)\}\; \}\; =\; \backslash \; int\; k\; \backslash ,\; dt\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Чтобы вычислить интеграл в левой части, мы упростим дробь

$1\; P\; (1\; -\; PK)\; =\; KP\; (K\; -\; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{P\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{P\}\; \{K\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{K\}\; \{P\; \backslash \; left\; (KP\; \backslash \; right)\}\}\}$

, а затем разложим дробь на частичные дроби

$KP\; (K\; -\; P)\; =\; 1\; P\; +\; 1\; K\; -\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{K\}\; \{P\; (KP)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{P\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{KP\}\}\}$

Таким образом, мы имеем

$∫ (1 P + 1 K - P) d P = ∫ kdt ln ⁡ | P | - ln ⁡ | К - П | = k t + C ln ⁡ | К - П | - ln ⁡ | P | = - k t - C ln ⁡ | К - П П | = - k t - C | К - П П | = e - k t - C | К - П П | = e - C e - k t K - P P = ± e - C e - k t Пусть A = ± e - C. K - PP знак равно A e - kt КП - 1 = A e - kt KP = 1 + A e - kt PK = 1 1 + A e - kt P = K 1 + A e - kt {\ displaystyle {\ begin {выровнено } \ int \ left ({\ frac {1} {P}} + {\ frac {1} {KP}} \ right) \, dP = \ int k \, dt \\ [6pt] \ ln { \ begin {vmatrix} P \ end {vmatrix}} - \ ln {\ begin {vmatrix} KP \ end {vmatrix}} = kt + C \\ [6pt] \ ln {\ begin {vmatrix} KP \ end { vmatrix}} - \ ln {\ begin {vmatrix} P \ end {vmatrix}} = - kt-C \\ [6pt] \ ln {\ begin {vmatrix} {\ cfrac {KP} {P}} \ end {vmatrix}} = - kt-C \\ [6pt] {\ begin {vmatrix} {\ dfrac {KP} {P}} \ end {vmatrix}} = e ^ {- kt-C} \\ [6pt ] {\ begin {vmatrix} {\ dfrac {KP} {P}} \ end {vmatrix}} = e ^ {- C} e ^ {- kt} \\ [6pt] {\ frac {KP} { P}} = \ pm e ^ {- C} e ^ {- kt} \\ [6pt] {\ text {Let}} A = \ pm e ^ {- C}. \\ [6pt] {\ frac {KP} {P}} = Ae ^ {- kt} \\ [6pt] {\ frac {K} {P}} - 1 = Ae ^ {- kt} \\ [6pt] и {\ frac {K } {P}} = 1 + Ae ^ {- kt} \\ [6pt] {\ frac {P} {K}} = {\ frac {1} {1 + Ae ^ {- kt}}} \\ [6pt] P = {\ frac {K} {1 + Ae ^ {- kt}}} \ end {align}}}$

Следовательно, решение логистического уравнения

$P\; (t)\; =\; K\; 1\; +\; A\; e\; -\; kt\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{K\}\; \{1\; +\; Ae\; ^\; \{-\; kt\}\}\}\}$

Найти $A\; \{\backslash \; displ\; aystyle\; A\}$, пусть $t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; 0\}$и $P\; (0)\; =\; P\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; left\; (0\; \backslash \; справа)\; =\; P\_\; \{0\}\}$. Тогда у нас есть

$P\; 0\; =\; K\; 1\; +\; A\; e\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{K\}\; \{1\; +\; Ae\; ^\; \{0\}\}\}\}$

Учитывая, что $e\; 0\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{0\}\; =\; 1\}$, и решая относительно A, мы получаем

$A\; =\; K\; -\; P\; 0\; P\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; frac\; \{K-P\_\; \{0\}\}\; \{P\_\; \{0\}\}\}.\}$

Обобщение разделяемых ОДУ до n-го порядка

Подобно тому, как можно говорить о разделяемых ОДУ первого порядка, можно говорить о разделимых ОДУ второго, третьего или n-го порядка. Рассмотрим разделимое ОДУ первого порядка:

$dydx\; =\; f\; (y)\; g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; f\; (y)\; g\; (x)\}$Производная может в качестве альтернативы можно записать так, чтобы подчеркнуть, что это оператор, работающий с неизвестной функцией y: $dydx\; =\; ddx\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; (y)\}$Таким образом, когда кто-то разделяет переменные для уравнений первого порядка, он фактически перемещает знаменатель dx оператора в сторону с переменной x, а d (y) остается на сторона с переменной y. Оператор второй производной по аналогии распадается следующим образом: $d\; 2\; ydx\; 2\; =\; ddx\; (dydx)\; =\; ddx\; (ddx\; (y))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; (\{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\; \}\; (y))\}$Операторы третьей, четвертой и n-й производной распадаются таким же образом. Таким образом, подобно тому, как разделимое ОДУ первого порядка можно привести к форме $dydx\; =\; f\; (y)\; g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; f\; (y)\; g\; (x)\; \}$отделимое ОДУ второго порядка можно привести к форме $d\; 2\; ydx\; 2\; =\; f\; (y\; \prime )\; g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; =\; f\; (y\; \text{'})\; g\; (x)\}$и разделимое ОДУ n-го порядка сводится к $dnydxn\; =\; f\; (y\; (n\; -\; 1))\; g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\; y\}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\}\; =\; f\; (y\; ^\; \{(n-1)\})\; g\; (x)\}$

Пример

Рассмотрим простой нелинейный Дифференциальное уравнение второго порядка:

$y\; ″\; =\; (y\; \prime )\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}\text{'}\; =\; (y\; \text{'})\; ^\; \{2\}\}$Это уравнение является уравнением только для y' 'и y', это означает, что он может быть приведен к общей форме, описанной выше, и, следовательно, отделим. Поскольку это разделяемое уравнение второго порядка, соберите все переменные x с одной стороны и все переменные y 'с другой, чтобы получить: $d\; (y\; \prime )\; (y\; \prime )\; 2\; =\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; d\; (y\; \text{'})\}\; \{(y\text{'})\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; dx\}$Теперь проинтегрируем правую часть по x и левую по y ': $\int \; d\; (y\; \prime )\; (y\; \text{'})\; 2\; =\; \int \; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{d\; (y\text{'})\}\; \{(y\; \text{'})\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \backslash \; int\; dx\}$Это дает $-\; 1\; y\; \prime \; =\; x\; +\; C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{y\; \text{'}\}\}\; =\; x\; +\; C\_\; \{1\}\}$, что упрощается до: $y\; \prime \; =\; 1\; C\; 1\; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}=\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{C\_\; \{1\}\; -x\}\}\}$Теперь это простая интегральная задача, дающая окончательный ответ: $y\; =\; C\; 2\; -\; ln\; \; |\; С\; 1\; -\; х\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; C\_\; \{2\}\; -\; \backslash \; ln\; |\; C\_\; \{1\}\; -x\; |\}$

Метод разделения переменных также используется для решения широкого диапазона линейных частных дифференциальные уравнения с граничными и начальными условиями, такие как уравнение теплопроводности, волновое уравнение, уравнение Лапласа, уравнение Гельмгольца и бигармоническое уравнение.

Аналитический метод разделения переменных для решения уравнений с частными производными также был обобщен в вычислительный метод разложения в инвариантных структурах, которые могут использоваться для решения систем уравнений с частными производными.

Пример: однородный случай

Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности. Уравнение имеет вид

$\partial \; u\; \partial \; T\; -\; \alpha \; \partial \; 2\; u\; \partial \; x\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; -\; \backslash \; alpha\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 0\}$

(1)

Переменная u обозначает температуру. Граничное условие однородное, то есть

$u\; |\; х\; =\; 0\; =\; и\; |\; x\; =\; L\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \{\backslash \; big\; |\}\; \_\; \{x\; =\; 0\}\; =\; u\; \{\backslash \; big\; |\}\; \_\; \{x\; =\; L\}\; =\; 0\}$

(2)

Давайте попробуем найти решение, которое не является тождественно нулевым, удовлетворяющим граничным условиям, но со следующим свойством: u - это произведение, в котором зависимость u от x, t разделена, то есть:

$u\; (x,\; t)\; =\; X\; (x)\; T\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x,\; t)\; =\; X\; (x)\; T\; (t).\}$

(3)

Подставляя u обратно в уравнение (1) и используя правило произведения,

$T\; \prime \; (t)\; \alpha \; T\; (t)\; =\; X\; ″\; (x)\; X\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{T\; \text{'}(t)\}\; \{\backslash \; alpha\; T\; (t)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{X\text{'}\; \text{'}(x)\}\; \{X\; (x)\}\}.\}$

(4)

Так как правая часть зависит только от x, а левая только от t, обе части равны некоторому постоянному значению - λ. Таким образом:

$T\; \prime \; (t)\; =\; -\; \lambda \; \alpha \; T\; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \text{'}(t)\; =\; -\; \backslash \; lambda\; \backslash \; alpha\; T\; (t),\}$

(5)

и

$Х\; ″\; (х)\; =\; -\; \lambda \; Х\; (х).\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \text{'}\text{'}\; (x)\; =\; -\; \backslash \; lambda\; X\; (x).\}$

(6)

- λ здесь собственное значение для обоих дифференциальных операторов и T (t) и X (x) являются соответствующими собственными функциями.

Теперь мы покажем, что решения для X (x) для значений λ ≤ 0 не могут возникнуть:

Предположим, что λ < 0. Then there exist real numbers B, C such that

$X\; (x)\; =\; B\; e\; -\; \lambda \; x\; +\; C\; e\; -\; -\; \lambda \; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (x)\; =\; Be\; ^\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{-\; \backslash \; lambda\}\}\; \backslash ,\; x\}\; +\; Ce\; ^\; \{-\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; \backslash \; lambda\}\}\; \backslash ,\; x\}.\}$

От (2) получаем

$X\; (0)\; =\; 0\; =\; X\; (L),\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (0)\; =\; 0\; =\; X\; (L),\}$

(7)

и, следовательно, B = 0 = C, откуда u тождественно 0.

Предположим, что λ = 0. Тогда существуют действительные числа B, C такие, что

$X\; (x)\; =\; B\; x\; +\; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (x)\; =\; Bx\; +\; C.\}$

Из (7) мы заключаем так же, как в 1, что u идентично 0.

Следовательно, так должно быть что λ>0. Тогда существуют действительные числа A, B, C такие, что

$T\; (t)\; =\; A\; e\; -\; \lambda \; \alpha \; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (t)\; =\; Ae\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\; \backslash \; alpha\; t\},\}$

и

$X\; (x)\; =\; B\; sin\; \; (\lambda \; x)\; +\; C\; cos\; \; (\lambda \; x).\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (x)\; =\; B\; \backslash \; sin\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash ,\; x)\; +\; C\; \backslash \; cos\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash ,\; x).\}$

От (7) получаем C = 0 и что для некоторого натурального числа n

$\lambda \; =\; n\; \pi \; L.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; lambda\}\}\; =\; n\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{L\}\}.\}$

Это решает уравнение теплопроводности в частном случае, когда зависимость u имеет особую форму (3).

В общем, сумма решений для (1), которые удовлетворяют граничным условиям (2), также удовлетворяет (1) и (3). Следовательно, полное решение может быть представлено как

$u\; (x,\; t)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; D\; n\; sin\; \; n\; \pi \; x\; L\; exp\; \; (-\; n\; 2\; \pi \; 2\; \alpha \; t\; L\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (\; x,\; t)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; D\_\; \{n\}\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; pi\; x\}\; \{L\}\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; alpha\; t\}\; \{L\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right),\}$

где D n - коэффициенты, определяемые начальным условием.

Учитывая начальное условие

$u\; |\; t\; =\; 0\; знак\; равно\; f\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \{\backslash \; big\; |\}\; \_\; \{t\; =\; 0\}\; =\; f\; (x),\}$

мы можем получить

$f\; (x)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; D\; n\; sin\; \; n\; \pi \; x\; L.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; D\_\; \{n\}\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; pi\; x\}\; \{L\}\}.\}$

Это синусоидальный ряд разложение f (x). Умножение обеих сторон на $sin\; \; n\; \pi \; x\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; pi\; x\}\; \{L\}\}\}$и интегрирование по [0, L] дает

$D\; n\; знак\; равно\; 2\; L\; \int \; 0\; L\; f\; (x)\; sin\; \; n\; \pi \; x\; L\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{L\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{L\}\; f\; (x)\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; pi\; x\}\; \{L\}\}\; \backslash ,\; dx.\}$

Этот метод требует, чтобы собственные функции x, здесь $\{sin\; \; n\; \pi \; x\; L\}\; n\; =\; 1\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; pi\; x\}\; \{L\; \}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$, являются ортогональными и полными. В общем, это гарантируется теорией Штурма-Лиувилля.

Пример: неоднородный случай

Предположим, что уравнение неоднородно,

$\partial \; u\; \partial \; t\; -\; \alpha \; \partial \; 2\; u\; \partial \; x\; 2\; =\; h\; (\; х,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; -\; \backslash \; alpha\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; h\; (x,\; t)\}$

(8)

с граничными условиями, такими же, как (2).

Разложить h (x, t), u (x, t) и f (x) в

$h\; (x,\; t)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; hn\; (t)\; sin\; \; n\; \pi \; x\; L,\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (x,\; t)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; h\_\; \{n\}\; (t)\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; pi\; x\}\; \{L\}\},\}$

(9)

$u\; (x,\; t)\; знак\; равно\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; un\; (t)\; грех\; \; n\; \pi \; x\; L,\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x,\; t)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; u\_\; \{n\}\; (t)\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; pi\; x\}\; \{L\}\},\}$

(10)

$f\; (x)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; bn\; sin\; \; п\; \pi \; Икс\; L,\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (х)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{п\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; b\_\; \{п\}\; \backslash \; грех\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{п\; \backslash \; пи\; х\}\; \{L\}\},\}$

(11)

где h n (t) и b n могут быть вычислены интегрированием, а u n (t) подлежит определению.

Подставляем (9) и (10) обратно на (8) и, учитывая ортогональность синусоидальных функций, получаем

$un\; \prime \; (t)\; +\; \alpha \; n\; 2\; \pi \; 2\; L\; 2\; un\; (t)\; =\; час\; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \text{'}\_\; \{n\}\; (t)\; +\; \backslash \; alpha\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \{L\; ^\; \{2\}\}\}\; u\_\; \{n\}\; (t)\; =\; h\_\; \{n\}\; (t),\}$

, которые представляют собой последовательность линейных дифференциальных уравнений, которые могут быть легко решены, например, с помощью преобразования Лапласа или Интегрирующий коэффициент. Наконец, мы можем получить

$u\; n\; (t)\; =\; e\; -\; \alpha \; n\; 2\; \pi \; 2\; L\; 2\; t\; (b\; n\; +\; \int \; 0\; t\; h\; n\; (s)\; e\; \alpha \; n\; 2\; \pi \; 2\; L\; 2\; s\; d\; s).\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{n\}\; (t)\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; alpha\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \{L\; ^\; \{2\}\}\}\; t\}\; \backslash \; left\; (b\_\; \{n\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; h\_\; \{n\}\; (s)\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{2\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \{L\; ^\; \{2\}\}\}\; s\}\; \backslash ,\; ds\; \backslash \; right).\}$

Если граничное условие неоднородно, то расширение (9) и (10) больше не действует. Нужно найти функцию v, удовлетворяющую только граничному условию, и вычесть ее из u. Тогда функция u-v удовлетворяет однородному граничному условию и может быть решена указанным выше методом.

Пример: смешанные производные

Для некоторых уравнений, включающих смешанные производные, уравнение разделяется не так легко, как уравнение теплопроводности в первом примере выше, но, тем не менее, разделение переменных все же может применяться. Рассмотрим двумерное бигармоническое уравнение

$\partial \; 4\; u\; \partial \; x\; 4\; +\; 2\; \partial \; 4\; u\; \partial \; x\; 2\; \partial \; y\; 2\; +\; \partial \; 4\; u\; \partial \; y\; 4\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{4\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{4\}\}\}\; +\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{4\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{4\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{4\}\}\}\; =\; 0.\}$

Действуя обычным образом, ищем решения вида

$u\; (x,\; y)\; =\; X\; (x)\; Y\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x,\; y)\; =\; X\; (x)\; Y\; (y)\}$

, и мы получаем уравнение

$X\; (4)\; (x)\; X\; (x)\; +\; 2\; X\; ″\; (x)\; X\; (x)\; Y\; ″\; (y)\; Y\; (y)\; +\; Y\; (4)\; (y)\; Y\; (y)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{X\; ^\; \{(4)\}\; (x)\; \}\; \{X\; (x)\}\}\; +\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{X\; \text{'}\text{'}\; (x)\}\; \{X\; (x)\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{Y\; \text{'}\text{'}\; (y)\}\; \{Y\; (y)\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{Y\; ^\; \{(4)\}\; (y)\}\; \{Y\; (y)\}\}\; =\; 0.\}$

Записываем это уравнение в виде

$E\; (x)\; +\; F\; (x)\; G\; (y)\; +\; H\; (y)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (x)\; +\; F\; (x)\; G\; (y)\; +\; H\; (y)\; =\; 0,\}$

мы видим, что производная по x и y исключает первое и последнее условия, так что

$F\; \text{'}(x)\; G\text{'}\; (y)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \text{'}(x)\; G\text{'}\; (y)\; =\; 0,\}$

т.е. либо F (x), либо G (y) должны быть константой, скажем -λ. Это также означает, что либо $-\; E\; (x)\; =\; F\; (x)\; G\; (y)\; +\; H\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; -E\; (x)\; =\; F\; (x)\; G\; (y)\; +\; H\; (y)\})$или $-\; H\; (y)\; =\; E\; (x)\; +\; F\; (x)\; G\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; -H\; (y)\; =\; E\; (x)\; +\; F\; (x)\; G\; (y))\}$постоянны. Возвращаясь к уравнению для X и Y, у нас есть два случая

$X\; ″\; (x)\; =\; -\; \lambda \; 1\; X\; (x)\; X\; (4)\; (x)\; =\; \mu \; 1\; X\; (x)\; Y\; (4)\; (y)\; -\; 2\; \lambda \; 1\; Y\; ″\; (y)\; =\; -\; \mu \; 1\; Y\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; X\; \text{'}\text{'}\; (x)\; =\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; X\; (x)\; \backslash \backslash \; X\; ^\; \{\; (4)\}\; (x)\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; X\; (x)\; \backslash \backslash \; Y\; ^\; \{(4)\}\; (y)\; -2\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; Y\; \text{'}\text{'}\; (y)\; =\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; Y\; (y)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и

$Y\; ″\; (y)\; =\; -\; \lambda \; 2\; Y\; (y)\; Y\; (4)\; (y)\; =\; \mu \; 2\; Y\; (y)\; X\; (4)\; (x)\; -\; 2\; \lambda \; 2\; X\; ″\; (x)\; =\; -\; \mu \; 2\; X\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; Y\; \text{'}\text{'}\; (y)\; =\; -\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; Y\; (y)\; \backslash \backslash \; Y\; ^\; \{(4)\}\; (y)\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; Y\; (y)\; \backslash \backslash \; X\; ^\; \{(4)\}\; (x)\; -2\; \backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; X\; \text{'}\text{'}\; (x)\; =\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; X\; (x)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, каждый из которых может быть решен путем рассмотрения отдельных случаев для и отмечая, что $\mu \; i\; =\; \lambda \; i\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}$.

Криволинейные координаты

В ортогональная криволинейная координата es, разделение переменных все еще может использоваться, но в некоторых деталях, отличных от таковых в декартовых координатах. Например, регулярность или периодическое условие могут определять собственные значения вместо граничных условий. См., Например, сферические гармоники.

Матричной формой разделения переменных является сумма Кронекера.

В качестве примера мы рассматриваем 2D дискретный лапласиан на регулярная сетка :

$L\; =\; D\; xx\; \oplus \; D\; yy\; =\; D\; xx\; \otimes \; I\; +\; I\; \otimes \; D\; yy,\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \backslash \; mathbf\; \{D\_\; \{xx\}\}\; \backslash \; oplus\; \backslash \; mathbf\; \{D\_\; \{yy\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{D\_\; \{xx\}\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{D\_\; \{yy\}\},\; \backslash ,\}$

где $D\; xx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{D\_\; \{\; xx\}\}\}$и $D\; yy\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{D\_\; \{yy\}\}\}$- одномерные дискретные лапласианы в направлениях x и y соответственно, и $I\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\}$- идентификаторы соответствующих размеров. См. Основную статью Сумма Кронекера дискретных лапласианов для подробностей.

Некоторые математические программы могут выполнять разделение переменных: Xcas среди прочих.

• Неразделимое дифференциальное уравнение

• Полянин, Андрей Д. (2001-11-28). Справочник по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными для инженеров и ученых. Бока-Ратон, Флорида: Chapman Hall / CRC. ISBN 1-58488-299-9.
• Myint-U, Tyn; Дебнат, Локенат (2007). Линейные дифференциальные уравнения с частными производными для ученых и инженеров. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston. DOI : 10.1007 / 978-0-8176-4560-1. ISBN 978-0-8176-4393-5.
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Аспирантура по математике. 140 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-8328-0.

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Джон Ренце, Эрик В. Вайсштейн, Разделение переменных (Дифференциальное уравнение ) в MathWorld.
• Методы обобщенного и функционального разделения переменных в EqWorld: Мир математических уравнений
• Примеры разделения переменных для решения УЧП
• «Краткое обоснование разделения переменных»